14.2 全等三角形的判定 第5课时 用“HL”判定直角三角形全等课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

【R·数学八年级上册】 第5课时 用 ''HL'' 判定直角三角形全等 学习目标 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生的观察、归纳能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力. 能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等. 复习导入 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 探究新知 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ A B C A' B' C' 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 ①一条直角边和一锐角分别相等 ②斜边和一锐角分别相等 ASA 或AAS A B C A' B' C' AAS A B C A' B' C' 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 ③两直角边分别相等 SAS A B C A' B' C' 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ A B C A' B' C' C' A' B' C A B 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ 探究5 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知： ①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合. ② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合. 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 C' A' B' C A B (C') (B') 接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系. 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 C A B (C') (B') ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB． ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个. ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上， A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． C A B (C') (B') M M' N 在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB. (A') 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 C A B (C') (B') a. 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，则∠BNA ＜∠BAC，∠BNA是锐角． b. 若过点 A 且垂直于 AB 的直线与线段 BN 相交于点 N′，则有 AB ＜ BN′ ＜ BN． N N' 外角的性质 垂线段最短 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC C A B (C') (B') (A') 在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法. 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） A′B′ = AB，BC = B′C′， 几何语言： 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 C A B C' A' B' 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） A′B′ = AB，BC = B′C′， 几何语言： C A B C' A' B' 注意 ①“H”代表斜边，“L”代表直角边. 顺序不要混淆 ②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”. （1）_______________（ ）； （2）_______________（ ）； （3）_______________（ ）； （4）_______________（ ）. 针对训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证明△ABC ≌ △BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由. AB = CD BC = AD ∠B = ∠D ∠BAC = ∠DCA HL SAS ASA AAS C D B A 或 AB // CD 例 6 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. 教材P42 例题 AC⊥BC，BD⊥AD，公共边AB ，AC = BD Rt△ABD≌Rt△BAC. C D B A 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C =∠D = 90°. 教材P42 例题 ∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） AB = BA， AC = BD， ∴ BC = AD . C D B A 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， 归纳：两个直角三角形全等的判定思路 已知 可选方法 寻找对应相等的条件 一锐角（A） 斜边（H/S） ASA 直角与已知锐角的夹边 AAS 已知锐角(或直角)的对边 HL 一直角边 一锐角 AAS 已知 可选方法 寻找对应相等的条件 一 直角边（L/S） HL 斜边 ASA 已知边相邻的锐角 AAS 已知边所对的锐角 SAS 另一直角边 归纳：两个直角三角形全等的判定思路 随堂演练 1. 如图，AB⊥CD，垂足为 O，要得到 △ABC ≌ △DEF，添加下列一组条件后，不能判定 Rt△AOC ≌ Rt△BOD 的是（ ） A. AC = BD，OA = OB B. OA = OD，∠A =∠B C. AC = BD，OC = OD D. AC = BD，AC // BD B 随堂演练 2. 如图，AE⊥BD，CD⊥BD，AB = BC，BE = CD，则 ∠ACB = _______. 90° 3. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ 随堂演练 A B C D E 教材P43练习 第1题 随堂演练 教材P43练习 第1题 解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由： ∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC. 又两人同时同速度出发， 并同时到达D，E 两地，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， A B C D E AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等. 随堂演练 教材P43练习 第2题 4. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF. A B C D E F 随堂演练 教材P43练习 第1题 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. A B C D E F 5. 如图，AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，AD = AF，AC = AE. 求证：BC = BE. A B C D E F 随堂演练 证明：由题意知，△ADC 与△AFE 均为直角三角形， 在Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC = AE， AD = AF， ∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE(HL). ∴CD = EF. 在Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， AB = AB， AD = AF， ∴Rt△ABD ≌ Rt△ABF(HL). ∴BD = BF. ∴BD – CD = BF – EF，即 BC = BE. A B C D E F 随堂演练 课堂小结 斜边、 直角边 内容 前提条件 探索方法 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 在直角三角形中 依次说明三角形的三个顶点重合 用“HL”判定两个直角三角形全等 $$