13.3.2 三角形的外角课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.3.2 三角形的外角 【R 数学八年级上册】 学习目标 理解三角形的外角的概念. 经历由特殊到一般的数学思维过程,掌握三角形的内角和定理的推论,体会数学推理的严谨性. 问题导入 在证明三角形的内角和定理时,我们用过这种方法: B B C A A l l 1 2 3 4 5 A B C D 想一想:∠ACD 这样的角可以怎样描述?它具有什么性质? 探究新知 知识点 三角形的外角 D 如图,把 ABC 的一边 BC 延长,得到∠ACD. ∠ACD 是 ABC 的一个外角 ①角的顶点是三角形的顶点; ②角的一边是三角形的一边; ③角的另一边是三角形某边的延长线. A B C 像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角. A B C 想一想: ABC 有多少个外角? 1 2 4 3 5 6 一共有 6 个外角: ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6. 知识点 三角形的外角 每个顶点处都有两个外角,它们是_. 对顶角 研究时,通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论. 如图,下列各角是 ABC 的外角的是( ) A. ∠4 B. ∠3 C. ∠2 D. ∠1 1 A B C 3 2 4 B 针对训练 知识点 三角形的外角 D A B C 外角 相邻的内角 对于外角∠ACD 来说, ∠ACB 是与它相邻的内角, 不相邻的内角 ∠A,∠B是与它不相邻的内角. 知识点 三角形的外角 思 考 如图,在 ABC 中,∠A = 70 ,∠B = 60 ,∠ACD 是 ABC 的一个外角,你能求出∠ACD 的度数吗?∠ACD 与∠A,∠B 的大小有什么关系? D A B C 70 60 ∠ACD = 180 – ∠ACB =∠A +∠B = 60 + 70 = 130 任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系? 知识点 三角形的外角 猜想:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:_ 求证:_ ABC中,∠ACD 是 ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. ∠A +∠B +∠ACB = 180 . 又∵ ∠ACD +∠ACB = 180 , ∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换). 证明:由三角形的内角和等于180 ,得 D A B C 过 C 作 CE 平行于 AB, ∴∠2 = ∠B (两直线平行,同位角相等), ∠1 = ∠A (两直线平行,内错角相等), ∴∠ACD = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B. 知识点 三角形的外角 已知:_ 求证:_ ABC中,∠ACD 是 ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. D A B C E 1 2 证法二: 知识点 三角形的外角 推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 外角 符号语言: ∵∠ACD是 ABC 的一个外角,∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样,推论可以作为进一步推理的依据. ∠ACD _∠A ∠ACD _∠B 判断: ∠ACD = ∠A +∠B > > 知识点 三角形的外角 推论:三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. D A B C 外角 针对训练 ∠1 = 40 ∠2 = 140 ∠1 = 110 ∠2 = 70 ∠1 = 50 ∠2 = 140 说出下列各图形中∠1 和∠2 的度数. 教材P16练习 (1) (2) (3) 针对训练 教材P16练习 (4) (5) (6) ∠1 = 55 ∠2 = 70 ∠1 = 80 ∠2 = 40 ∠1 = 60 ∠2 = 30 教材P15例题 第4题 例 4 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是 ABC 的三个外角,它们的和是多少? A B C E F D 1 2 3 教材P15例题 第4题 解: 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得 ∠BAE =∠2 + ∠3, ∠CBF =∠1 +∠3,∠ACD =∠1 +∠2. 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180 ,得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2 180 = 360 . A B C E F D 1 2 3 解法二:如图,∠BAE +∠1 = 180 ① , ∠CBF +∠2 = 180 ②, ∠ACD +∠3 = 180 ③, 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180 , ① + ② + ③ 得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1+∠2+∠3) = 540 , 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540 – 180 = 360 . 教材P15例题 第4题 A B C E F D 1 2 3 教材P15例题 第4题 A B C E F D 1 2 3 解法三:过 A 作 AM 平行于 BC, 所以∠ACD = ∠EAM, ∠CBF = ∠BAM, 所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360 . M 知识点 三角形的外角 推论:三角形的外角和等于 360 . A B C E F D 1 2 3 1. 说出下列各图中∠1 的度数. 30 60 1 ① 45 50 1 ② 35 120 1 ③ ∠1 = 90 ∠1 = 95 ∠1 = 85 随堂演练 A C B D 分析: ∠ADC =∠B +∠BAD ∠B = 30 ,∠ADC = 70 ∠BAD = 40 ∠BAC = 80 ∠C = 180 –∠B–∠BAC ∠CAD = 40 ∠C = 180 –∠CAD –∠ADC 2. 如图,在 ABC 中,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,∠B = 30 ,∠ADC = 70 ,则∠C =_. 70 70 30 随堂演练 随堂演练 3. 如图,是一个五角星,求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数. 解:∵∠AFG =∠B +∠D, ∠AGF =∠C +∠E, ∠A +∠AFG +∠AGF =180 , ∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180 . F G 课堂小结 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角. 性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 . $$