13.3.1 三角形的内角-课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 【R·数学八年级上册】 13.3 三角形的内角与外角 学习目标 经历探究活动的过程，多角度探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性. 获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和等于180°. 应用三角形内角和定理解决实际问题，提高发现问题和解决问题的能力. 情境导入 请你帮忙评判一下这些关于三角形内角和的观点！ 【提示：本页音频单击鼠标播放，点击喇叭显示对话文字】 我是钝角三角形，我有一个钝角，我的内角和最大！ 我是直角三角形， 我的形状最大， 我的内角和肯 定最大！ 我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和也最小！ (有误差) (只能对有限个三角形使用这些方法) 在小学我们已经知道，三角形的内角和等于180°，我们是如何验证这一结论的？ 1 测量 2 剪拼方法 3 折叠方法 探究新知 知识点 三角形的内角和 这样的方法获得的结论可靠吗？ 这些验证不是数学证明，需要通过推理的方法来证明. 知识点 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°. 命题证明 A B C 已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 画图写出 已知求证 证明过程 ？ 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？ 探 究 知识点 三角形的内角和 A B C A B C B C B A B C A A B C ······ 将三个角拼合到一起的目的是什么？ 为了得到一个平角. 有了平角，根据平角定义，就得到了180°. 知识点 三角形的内角和 从下图给出的操作过程中，你能发现证明的思路吗？ B B C C A l A B C l 1 2 3 4 5 直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？ 直线 l∥BC 证明思路： 过点A作直线l//BC 由平行线的性质，转移∠B和∠C 由平角定义得到 180° 知识点 三角形的内角和 A B C l 1 2 3 4 5 已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 证明：如图，过点 A 作直线 l，使 l // BC. ∵l // BC，∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理 ∠3 =∠5. ∵∠1，∠4，∠5 组成平角， ∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180°(等量代换). ∴∠1 +∠4 + ∠5 = 180°(平角定义). 有其他证法吗？ 知识点 三角形的内角和 三角形的内角和定理 A B C 三角形的内角和等于180°. 几何语言： 在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C = 180° 知识点 三角形的内角和 B B C A A l 从下图给出的操作过程中，你能发现其他证明的思路吗？ 探 究 A B C l 1 2 3 4 5 知识点 三角形的内角和 延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l // AB. ∵l // AB，∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 且 ∠2 =∠5. ∵∠3，∠4，∠5 组成平角， ∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180°(等量代换). ∴∠3 +∠4 + ∠5 = 180°(平角定义). A B C l 1 2 3 4 5 证法2： (两直线平行，同位角相等). 通过前面的操作和证明过程，你有什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 借助平行线“移角”功能，将三个角转化成一个平角. 转化思想 知识点 三角形的内角和 ①依据平角定义，得到180° 除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 思路②如何添加辅助线？ 利用平行线的性质，转移角 添加平行线(辅助线) ②两直线平行，同旁内角互补 A B C l 2 1 F 1 4 2 3 D E A B C 知识点 三角形的内角和 证法三 证法四 针对训练 如图，说出各图中∠1 的度数.　　 30° 105° 1 （2） 80° 50° 1 （1） 22° 1 （3） 50° 45° 68° ∠1 = 180°– 50°– 80° = 50° ∠1 = 180°– 105°– 30° = 45° ∠1 = 180°– 22°– 90° = 68° 例 1 如图，在△ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线. 求∠ADB 的度数. 教材P12例题 第1题 A C B D A C B D 教材P12例题 第1题 解：由∠BAC ＝ 40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 在△ABD 中， ∠ADB = 180° – ∠B – ∠BAD = 180° – 75° – 20° = 85°. ∠BAD ＝ ∠BAC ＝ 20°. 教材P12例题 第2题 例 2 下图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 教材P12例题 第2题 分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC ，∠ACB 是△ABC 的内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB. 北 北 C A B D E 80° 40° ？ 50° ？ 教材P12例题 第2题 解：∠CAB = ∠BAD – ∠CAD = 80° – 50° = 30°. 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180°. 在△ABC 中， ∠ACB = 180° – ∠ABC – ∠CAB = 180° – 60° – 30° = 90°. 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 所以∠ABE = 180° – ∠BAD = 180° – 80° = 100°， ∠ABC = ∠ABE – ∠EBC = 100° – 40° = 60°. 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 你还能给出其他解法吗？ 教材P12例题 第2题 解：过点 C 作 CF // AD，则 CF // BE. ∴∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4 (两直线平行，内错角相等) ∴∠ACB = ∠1 +∠2 = ∠3 +∠4 = 50° + 40° = 90° (等量代换) 所以∠ABC = 180° – ∠BAD – ∠4 = 180° – 80° – 40° = 60°. 由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180°. 北 北 C A B D E 80° 40° 50° 1 2 F 3 4 答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°. 随堂演练 教材P13练习 第1题 1. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角 ∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少度？ C A B D 随堂演练 教材P13练习 第1题 C A B D 解：在△ABC 中， ∠ACD = 180° – (∠BAD +∠CAD) = 180° – (30° + 90°) = 60° . 在△BCD 中， ∠BCD = 180° – (∠CBD +∠D) = 180° – (45° + 90°) = 45° . ∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60° – 45° = 15° . 随堂演练 教材P13练习 第2题 2. 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数. C A B D E 随堂演练 教材P13练习 第2题 C A B D E 解：在△ADE 中， ∠ACD +∠AED = 180° –∠A = 180° – 40° = 140° . 在△ABC 中， ∠B +∠C = 180° – ∠A = 180° – 40° = 140° . ∴ ∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED = 140° + 140° = 280° . 随堂演练 3. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. （1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____； （2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____； （3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____. （1）∠C = 180°–∠A –∠B 45° （2）设∠A = 4x°，则∠B = 5x°，∠C = 9x° ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90° 54° （3）设∠C = x°，则∠A = 6x°，∠B = 3x° ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 课堂小结 证法 转化为一个平角或同旁内角互补 应用 求角度 三角形的内角和等于180° $$第2课时 三角形的两个锐角互余 【R·数学八年级上册】 学习目标 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余. 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法. 情境导入 这是我们常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的这两把三角尺，其两锐角的度数之和分别是多少？ A B C 对任意直角三角形，这个结论还成立吗？ 都是90° 探究新知 知识点1 直角三角形的性质 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，∠A 与∠B 有什么关系？ ∠A +∠B +∠C = 180°， 即 ∠A +∠B + 90° = 180°， 所以 ∠A +∠B = 90°. 由三角形的内角和定理，得 直角三角形的两个锐角互余. A B C 也就是说 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC . 直角三角形的表示方法 A B C 文字语言 几何语言 直角三角形的两个锐角互余 如图，在Rt△ABC中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90° 教材P14例题 第3题 例 3 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小. A C D E B 教材P14例题 第3题 A C D E B 解：在Rt△AEC 中，∠CAE = 90° –∠AEC . ∵∠AEC =∠BED ，∴∠CAE =∠DBE. 在Rt△BDE 中，∠DBE = 90° –∠BED . 教材P14练习 第1题 如图，在△ABC，中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. ∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？ 针对训练 A C D B 解：∠ACD =∠B. 理由： ∵ ∠ACB = 90°，CD⊥AB， ∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°， ∠B + ∠BCD = 90°， ∴∠ACD =∠B. 2. 如图，∠B =∠C = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？请说明理由. 解：∠A = ∠D. 理由： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠D. 针对训练 A C D B O 模型归纳 F (C) B A E D E F D (A) B C E F D B (A) C B (E) A F D (C) E B C (A) F D 知识点2 直角三角形的判定 思 考 有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ C A B 你有什么猜想？ 如何证明你的猜想？ 知识点2 直角三角形的判定 即△ABC 是直角三角形. A B C 猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形. 已知：____________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠A +∠B = 90°. ∠C＝90°. ∠A +∠B +∠C = 180°. 又∵ ∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 180° – 90° = 90°. 证明：由三角形的内角和等于180°，得 文字语言 几何语言 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC是直角三角形 A C B 知识点2 直角三角形的判定 针对训练 1. 如图，在△ABC 中，∠C = 25°，直线 a // b，点 A 在直线 a 上，若∠1 = 75°，∠2 = 40°，则△ABC 按角分类属于_____三角形. 直角 1 A C B a b 2 40° 65° 90° 教材P14练习 第2题 2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且∠1 ＝∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？ 针对训练 1 2 A B C D E ∵∠C = 90°，∴∠A +∠2 = 90°. ∴∠ADE = 90°. ∵∠1 = ∠2，∴∠A +∠1 = 90°. 解：是直角三角形. 理由： ∴△ADE 是直角三角形. 随堂演练 1. 具备下列条件的△ABC中，是直角三角形的是（ ） A. ∠A +∠B =∠C B. ∠ A∶∠ B∶∠ C = 1∶3∶4 D. ∠A = 2∠B = 3∠C C. ∠A = ∠B = ∠C D 2. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有__________________________，互余的角有：_____________________________________________________. ∠A =∠BCD， ∠B =∠ACD 随堂演练 ∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD 3. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 70°，∠C = 65°，BD⊥AC 于 D，求∠ABD，∠CBD的度数. 解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°， ∴∠A = 180°–∠ABC –∠C = 45°. ∵BD⊥AC， ∴∠ADB =∠CDB = 90°， ∴∠ABD = 90°–∠A = ∠45°， ∠CBD = 90° –∠C = 25°. 随堂演练 课堂小结 文字语言 几何语言 直角三角形的两个锐角互余 如图，在Rt△ABC中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90° 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC是直角三角形 A C B $$