13.2.1 三角形的边课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 【R·数学八年级上册】 学习目标 理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边的和大于第三边； 会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形，及已知三角形的两边求第三边的取值范围. 了解三角形的稳定性. 情境导入 节日的晚上，房间内亮起了彩灯. 如图，装有黄色彩灯的电线与装有白色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由. 装有黄色彩灯的电线长. 依据：两点之间线段最短. 探究新知 知识点1 三角形的三边关系 任意画一个△ABC，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，有几条线路可以选择？ 探 究 ① BA → AC ② BC 线路②更短：两点之间线段最短. 哪条线路较短？理由是什么？ 三角形的两边之和大于第三边. 这说明三角形的边之间有什么关系？ C A B 你能证明这个结论吗？ 知识点1 三角形的三边关系 C A B 证明：对于任意一个△ABC， 如果把其中任意两个顶点看成定点， (例如B，C) 由“两点之间，线段最短”，可得 AB + AC > BC. 同理有 AC + BC > AB， AB + BC > AC. 这样，我们就证明了，三角形的两边之和大于第三边. 知识点1 三角形的三边关系 C A B AB + AC > BC. 进一步，由不等式②③，移项可得 AC + BC > AB， AB + BC > AC. 这就是说，三角形的两边之差小于第三边. ② BC > AB – AC， BC > AC – AB. ③ 已知三角形的三边长分别为 3，8，x，则 x 的取值范围是______________. 三角形的任意两边之和大于第三边 5 ＜ x ＜ 11 三角形的任意两边之差小于第三边 x < 8 + 3 x > 8 – 3 x < 11 x > 5 针对训练 知识点1 三角形的三边关系 思 考 对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 现有 12 条已知长度的线段： 试一试 任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长. 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 知识点1 三角形的三边关系 在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况： ① ② ③ 因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形. 知识点1 三角形的三边关系 一般地， 如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形. 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 针对训练 判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、9cm、5cm； （2）6cm、8cm、10cm. 解：（1）不能，因为 3 cm + 5 cm < 9 cm； （2）能，因为 6 cm + 8 cm > 10 cm， 10 cm – 6 cm > 8 cm. 已知三条线段，如何简单有效地判断能否组成三角形？ 计算两条较短的线段的和，若比最长的线段长，则可以组成三角形；若小于或等于，则不可以组成三角形. 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 教材P6 例题 解：（1）设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm，则 x + 2x + 2x = 18 解得 x = 3.6. 所以，三角形三边的长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. 教材P6 例题 （2）因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. 4 + 2x = 18 ①如果 4 cm 长的边为底边，设腰长为 x cm，则 解得 x = 7. 2×4 + y = 18 ②如果 4 cm 长的边为腰，设底边长为 y cm，则 解得 y = 10. 因为 4 + 4 < 10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形. 教材P6 例题 知识点2 三角形的稳定性 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 知识点2 三角形的稳定性 如图，将三根木条用钉子定成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 探 究 发现：三角形木架的形状不会改变. 知识点2 三角形的稳定性 发现：四边形的形状会改变. 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 发现：它的形状不会改变. 在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗? 知识点2 三角形的稳定性 知识点2 三角形的稳定性 三角形是具有稳定性的图形. 针对训练 判断下列图形中哪些具有稳定性. 具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性 三角形的稳定性有着广泛的应用. 知识点2 三角形的稳定性 起重机 钢架桥 针对训练 如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF、EG 固定门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是什么？ 解：利用的是三角形的稳定性.四边形不具有稳定性，通过增加木条构成新的三角形，达到稳固的效果. B A E F C D G 随堂演练 教材P7练习 第1题 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10. × × √ 因为 3 + 4 < 8 因为 5 + 6 = 11 因为 5 + 6 > 10，10 – 5 > 6 随堂演练 教材P7练习 第2题 2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？ 解：一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条不能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 1 dm < 4 dm； 两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条能组成一个等腰三角形，因为 1 dm + 4 dm > 4 dm，4 dm – 1 dm > 4 dm. 随堂演练 3. 如果三角形的两边长分别是 2 和 4，且第三边是奇数，那么第三边长为______. 若第三边为偶数，那么三角形的周长为______. 3或5 10 4. 已知 a，b，c 分别是三角形三边的长，化简： |a – b + c| + |b – a – c| – |a + b + c| =_________. a – 3b + c 随堂演练 5. 如图，P是△ABC 内一点，连结 BP 并延长，交 AC 于点 D，连结 CP. （1）试探究 AB + BC + AC 与 2BD 的大小关系； （2）试探究 AB + AC 与 PB + PC 的大小关系. A B D P C 随堂演练 解：（1）根据三角形的三边关系，可得 BC + CD > BD，AB + AD > BD， ∴BC + CD + AB + AD > 2BD， 即 AB + BC + AC > 2BD. （2）根据三角形的三边关系，可得 AB + AD > BD，PD + CD > PC， ∴BC + AC + PD + CD > BD + PC， ∴ AB + AC > BD + PC – PD， 即 AB + AC > PB + PC. A B D P C 随堂演练 课堂小结 三角形的三边关系 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 应用 三角形的稳定性 $$