第25讲一元一次不等式 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

一元一次不等式 知识导航 1.一元一次不等式的相关概念及解法. 2.含参数的一元一次不等式. 3.一元一次不等式与实际应用. 4.含绝对值的一元一次不等式. 【板块一】 一元一次不等式的相关概念及解法 方法技巧 1.一元一次不等式是指含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断. 2.解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为或 的形式. 题型一 一元一次不等式的定义 【例1】 若不等式 是关于x的一元一次不等式，求m、n满足的条件. 【练1】下列不等式是一元一次不等式的是( ) B. x+1=0 C. x+y>0 题型二 一元一次不等式的解法 【例2】 解不等式 并把它的解集表示在数轴上. 【练2】 解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上： 题型三 求一元一次不等式的特殊解 【例3】 若不等式 的最小整数解是方程2x-ax=4的解，求a的值. 【练3】 解不等式 并写出它的非负整数解. 题型四 列不等式，求取值范围 【例4】对于实数a,b,c表示运算: ab-c,如 =2×3-4=6-4=2: (1)列出算式并求值； (2)若 的值大于1，请列出不等式，并解不等式；并判断(1)中①和②的值是不是此不等式的解. 【练4】若代数式 的值不小于代数式 的值，则x的取值范围是 . 针对练习1 1.下列各式：①-x≥5;②y-3x<0;③ +5<0;④x²+x≠3;⑤ +3≤3x;⑥2(x+2)-x<x--5,其中是一元一次不等式的有 .(填序号) 2.若 是关于x的一元一次不等式，则m的值为 . 3.不等式 的最小整数解为 . 4.不等式 的所有自然数解的和等于 . 5.代数式 的值小于 的值，则x的取值范围是 . 6.解不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)2(5x-3)≤4x-3(1-3x) 7.若不等式5(x-2)+8≤6(x-1)+7的最小整数解是方程3x-ax=-3的解，求 的值. 8.对x，y定义一种新运算T，规定： (a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： 若 (1)求a,b的值. (2)解关于m的不等式:T(2m,3-4m)≤8. 【板块二】 含参数的一元一次不等式 方法技巧 1.解决含参数的一元一次不等式，抓住两条主线：将参数当作数看待或将参数当作主元看待. 2.注意讨论参数的取值范围. 题型一 解含参数的一元一次不等式 【例1】 解关于x的不等式( 【练1】 解关于x的不等式 ax+3<x+b. 题型二 已知不等式的解集，求参数的取值范围 【例2】 若不等式(2k+1)x<2k+1的解集是x>1,求k的取值范围. 【练2】 当a= 时,关于x的不等式(1-a)x>a-5的解集是x<2. 题型三 已知不等式的解集，化简后求参数的取值范围 【例3】已知一元一次不等式 mx--3>2x+m. (1)若它的解集是 求m的取值范围； (2)若它的解集是 试问：这样的m是否存在?如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由. 【练3】 若关于x的不等式m(x+2)>2m-1的解集是 则关于x的不等式(m-1)x>-1-m的解集是( ) 题型四 已知不等式的整数解，求参数的取值范围 【例4】已知不等式2x-m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围. 【练4】 若关于x的不等式2x-m≤0的正整数解只有4个，则m的取值范围是( ) A.8<m<10 B.8≤m<10 C.8≤m≤10 D.4≤m<5 题型五 已知不等式的解集，求相关不等式的解集 【例5】 若关于x的不等式(2a-b)x+3a-4b<0的解集是 试求关于x的不等式(a-4b)x+2a--3b<0的解集. 【练5】 已知关于x的不等式( 的解集是 则 b的解集为 . 针对练习2 1.若不等式( 的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是 2.已知不等式 的正整数解为1、2、3，则a 的取值范围为 . 3.若实数3是不等式 的一个解，则a可取的最小正整数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.解关于x的不等式a(x-b)≤b(x--a). 5.已知. 是关于x的不等式 的一个解，求a的取值范围. 6.设不等式( 的解集为 求不等式( 的解. 【板块三】 实际问题与一元一次不等式(一) 方法技巧 1.常见的一些等量关系：①行程问题：路程=速度×时间；②工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量；③利润问题：商品利润=商品售价-商品进价，利润率 ④增长率问题：增长量=原有量×增长率；⑤银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间；⑥数字问题：多位数的表示方法：例如： 2.用不等式解决应用问题在设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”)不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上. 题型一 关系直接型 【例1】 蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用.已知A 型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资 15 吨.在每辆车不超载的条件下，要把这300 吨物资一次性装运完.问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆? 【练1】某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株? 题型二 阅读理解型 【例2】为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示： 某市自来水销售价格表 类别 月用水量(立方米) 供水价格 (元/立方米) 污水处理费 (元/立方米) 居民生活用水 阶梯一 0~18(含 18) 1.90 1.00 阶梯二 18~25(含 25) 2.85 阶梯三 25 以上 5.70 (注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费) (1)当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是 元/立方米. (2)4月份小明家用水量为20立方米,应付水费为:18×(1.90+1.00)+2×(2.85+1.00)=59.90(元)，预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费. (3)为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议. 【练2】 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素 C含量(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为 xkg，则x应满足的不等式为( ) A.600x+100(10-x)≥4200 B.8x+4(100-x)≤4200 C.600x+100(10-x)≤4200 D.8x+4(100-x)≥4200 针对练习3 1.某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率=售价进价价×100%)，则最多可降价( ) A.80元 B.160元 C.100元 D.120元 2南江县出租车收费标准为：起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元)，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计).在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是( )千米. A.6 B.7 C.8 D.9 3.三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( ) A.6组 B.5组 C.4组 D.3组 4.去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 天. 5.蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花. (1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤? 青菜 西兰花 进价(元/斤) 2.6 3.4 售价(元/斤) 3.6 4.6 (2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200 斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元? 6.下面是工厂各部门提供的信息： 人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算； 市场部：预测明年的产品销售是10000~12000件； 技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件； 供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个. 请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品? 【板块四】 实际问题与一元一次不等式(二) 方法技巧 常用不等号 读作 常见的表示不等关系的数学术语或词语 “>” 大于 正数、超出、超过、多余 “<” 小于 负数、不足、少于、低于 “≥” 大于等于(不小于) 非负数、至少、不少于、最低 “≤” 小于等于(不大于) 非正数、至多、不超过、限速、最高 “≠” 不等于 题型一 与方程(组)结合 【例1】小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表： 类别次数 购买 A 商品数量(件) 购买 B 商品数量(件) 消费金额(元) 第一次 4 5 320 第二次 2 6 300 第三次 5 7 258 解答下列问题： (1)第 次购买有折扣； (2)求A、B两种商品的原价； (3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数； (4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A 商品多少件. 【练1】水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元.(注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数) (1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元? (2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米? 题型二 方案选择型 【例2】 某公交公司有 A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量(人/辆) 45 30 租金(元/辆) 400 280 红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： (1)用含x的式子填写下表： 车辆数(辆) 载客量 租金(元) A x 45x 400x B 5-x (2)若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值； (3)在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案. 【练2】4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土———讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里. (1)求山西省的丘陵面积与平原面积； (2)活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元.经协商，甲旅行社的优惠条件是：家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费.若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算? 针对练习4 1.2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm. 2.(2018春·洪山区期末)已知购买60件A商品和30件B商品共需1080元；购买50件A 商品和20件B商品共需880元.若某商店需购买B商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，则购买A商品的件数最多为 件. 3.(2018·南通)小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 购买数量(件) 购买总费用(元) A B 第一次 2 1 55 第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题： (1)求A，B两种商品的单价； (2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B 种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为:1200元/台、1600元/台、2000元/台. (1)至少购进乙种电冰箱多少台? (2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案? 【板块五】 绝对值不等式 方法技巧 1.①关于x的不等式 的解为： ；②关于x的不等式| 的解为： 或 2.含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题. 题型一 解含一个绝对值的不等式 【例1】 阅读求绝对值不等式子 解集的过程： 因为 ，从如图所示的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值是小于3的，所以 的解集是 解答下面的问题： (1)不等式 的解集为 . (2)求 的解集实质上是求不等式组 的解集，所以 的解集是 . 【练1】 解下列含绝对值的不等式： (1)|x|≤5 (2)|2x-1|<3 题型二 解含多个绝对值的不等式 【例2】 解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对应点在1的右边，由图可以看出x=2；|同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3. 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程|x+3|=4的解为 ; (2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9; (3)若 对任意的x都成立，求a的取值范围. 【练2】 解不等式： 针对练习5 1.解下列含绝对值的不等式： (1)|2x+5|>7 (2)|x+2|<3x+14 2.解下列含绝对值的不等式：| 3.解下列含绝对值的不等式:|x|≥|x-3|. 4.已知x<-1,化简:|3x+1|-|1-3x|. 5.已知5(x+1)-3x>2(2x+3)+4,化简|2x-1|-|1+2x|. 知识导航 1.一元一次不等式的相关概念及解法. 2.含参数的一元一次不等式. 3.一元一次不等式与实际应用. 4.含绝对值的一元一次不等式. 【板块一】 一元一次不等式的相关概念及解法 方法技巧 1.一元一次不等式是指含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断. 2.解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为x<a或x>a的形式. 题型一 一元一次不等式的定义 【例1】 若不等式 是关于x的一元一次不等式，求m、n满足的条件. 【分析】 根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数并且含未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，可知二次项系数等于零且一次项系数不等于零. 【解答】 不等式可化简为 由题意可得:m=0,n-3≠0.解得m=0,n≠3. 【练1】下列不等式是一元一次不等式的是( A ) B. x+1=0 C. x+y>0 题型二 一元一次不等式的解法 【例2】 解不等式 并把它的解集表示在数轴上. 【分析】 解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，其中系数化为1时若未知数的系数为负数，需要改变不等号的方向. 【解答】 去分母,得:2(2x-1)-3(3x-1)≥6,. 去括号,得:4x-2-9x+3≥6, 移项,得:4x-9x≥6+2-3, 合并同类项,得:-5x≥5, 系数化为1,得:x≤-1, 将不等式的解集表示在数轴上如下. 【练2】解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上： 【解答】 (1)x≤1,数轴略;(2)x>2,数轴略. 题型三 求一元一次不等式的特殊解 【例3】若不等式 的最小整数解是方程2x-ax=4的解，求a的值. 【分析】 此题可先将不等式化简求出x的取值范围，然后取x的最小整数解代入方程2x-ax=4，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值. 【解答】 由不等式 得:x>-5,所以最小整数解为x=-4， 将x=-4代入2x-ax=4中,解得a=3. 【练3】解不等式 并写出它的非负整数解. 【解答】 不等式的解集为x<2，则其非负整数解为0，1. 题型四 列不等式，求取值范围 【例4】 (2018·双桥区模拟)对于实数a,b,c,(表示运算: ab-c,如=2×3-4=6-4=2: (1)列出算式并求值； (2)若的值大于1，请列出不等式，并解不等式；并判断(1)中①和②的值是不是此不等式的解. 【分析】 (1)①②根据题意，列式计算即可；(2)根据题意，列出关于x的一元一次不等式，解之，结合(1)的结果即可得到答案. 【解答】 (1)①式结果为:(-1)×(-2)-(-2)=2+2=4, ②式结果为 (2)根据题意得:-2(x-1)-(-3)>1,解得:x<2, ∴①式的值不是此不等式的解，②式的值是此不等式的解. 【练4】 (2018春·蔡甸区期末)若代数式 的值不小于代数式 的值，则x的取值范围是 . 【解答】 针对练习1 1.下列各式:①-x≥5;②y-3x<0;③π/π+5<0;④x²+x≠3;⑤ +3≤3x;⑥2(x+2)-x<x-5,其中是一元一次不等式的有 ①③ .(填序号) 2.若 是关于x的一元一次不等式，则m的值为 1 . 3.不等式2(5x+3)>x-3(1-2x)的最小整数解为 x=-2 . 4.不等式 的所有自然数解的和等于 3 . 5.代数式 的值小于 的值，则x的取值范围是 6.解不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)2(5x-3)≤4x-3(1-3x) 【解答】 (1)x≥-1,数轴略; 数轴略;(3)x>1,数轴略. 7.若不等式5(x-2)+8≤6(x-1)+7的最小整数解是方程3x--ax=-3的解，求 的值. 【解答】 不等式的解集为x≥-3,则其最小整数解为x=-3,代入3x-ax=-3求得a=2,则原式=-|10-4|=-6. 8.对x，y定义一种新运算T，规定： (a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： 若 (1)求a,b的值. (2)解关于m的不等式：T(2m,3-4m)≤8. 【解答】 (1)a=1,b=3;(2)m≥-1.5. 【板块二】 含参数的一元一次不等式 方法技巧 1.解决含参数的一元一次不等式，抓住两条主线：将参数当作数看待或将参数当作主元看待. 2.注意讨论参数的取值范围. 题型一 解含参数的一元一次不等式 【例1】 解关于x的不等式 ax-2a<2(x--2). 【分析】 根据解一元一次不等式的一般步骤解不等式，需要注意的是合并同类项后，需讨论未知数的系数的正负情况. 【解答】 去括号,得: ax-2a<2x-4 移项,得: ax-2x<2a-4 合并同类项,得:(a-2)x<2a-4 当a<2时,x>2;当a=2时,x无解;当a>2时,x<2. 【练1】 解关于x的不等式 ax+3<x+b. 【解答】 当a<1时, 当a=1,b>3时,x为全体实数;当a=1,b≤3时,x无解;当a>1时, 题型二 已知不等式的解集，求参数的取值范围 【例2】 若不等式(2k+1)x<2k+1的解集是x>1,求k的取值范围. 【分析】 根据不等式的性质：不等式两边同除以一个负数，不等号方向改变，进而得出答案. 【解答】 ∵不等式(2k+1)x<2k+1的解集是x>1,∴2k+1<0,解得 【练2】 当 时,关于x的不等式(1-a)x>a-5的解集是x<2. 题型三 已知不等式的解集，化简后求参数的取值范围 【例3】已知一元一次不等式 mx-3>2x+m. (1)若它的解集是 求m的取值范围； (2)若它的解集是 试问：这样的m是否存在?如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由. 【分析】 (1)求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可； (2)根据已知和不等式的解集得出 且m-2>0,求出即可. 【解答】 (1)化简为:(m-2)x>m+3, ∵一元一次不等式的解集是 ∴m-2<0, ∴m的取值范围是m<2； (2)∵一元一次不等式的解集是 且m-2>0,∴m=-18且m>2,∴此时m不存在, 故若它的解集是 这样的m不存在. 【练3】 若关于x的不等式m(x+2)>2m-1的解集是 则关于x的不等式(m-1)x>-1-m的解集是( A ) 题型四 已知不等式的整数解，求参数的取值范围 【例4】已知不等式2x-m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围. 【分析】 首先求得不等式2x-m≤0的解集，其中不等式的解集可用m表示，根据不等式的正整数解即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的取值范围. 【解答】 解不等式2x-m≤0,得: ∵不等式至少有5个正整数解， ∴不等式的整数解至少包括1、2、3、4、5， 解得m≥10. 【练4】 若关于x的不等式2x-m≤0的正整数解只有4个，则m的取值范围是( B ) A.8<m<10 B.8≤m<10 C.8≤m≤10 D.4≤m<5 题型五 已知不等式的解集，求相关不等式的解集 【例5】 若关于x的不等式(2a-b)x+3a-4b<0的解集是 试求关于x的不等式(a-4b)x+2a--3b<0的解集. 【分析】 先化简不等式，根据不等式的解集得出参数需满足的条件：一是由是否变号得出参数范围，二是由界点得出参数的关系.然后根据参数满足的条件探讨另一个不等式的解集. 【解答】(2a-b)x<4b-3a,∵x> ∴2a-b<0且 将 代入2a-b<0得, 即 故b<0. ∴关于x的不等式(a-4b)x+2a-3b<0可化为 【练5】 已知关于x的不等式(4a-3b)x>2b-a的解集是 则 ax>b的解集为 针对练习2 1.若不等式(a-3)x<3-a的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是 a<3 。 2.已知不等式3x+a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围为 -12<a≤-9 . 3.若实数3是不等式2x-a-2<0的一个解，则a可取的最小正整数为( D ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.解关于x的不等式a(x--b)≤b(x-a). 【解答】 当a<b时,x≥0;当a=b时,x为全体实数;当a>b时,x≤0. 5.已知x=3是关于x的不等式 的一个解，求a的取值范围.【解答】 a<4. 6.设不等式(m+n)x+(2m-3n)<0的解集为 求不等式(m-3n)x+(n-2m)>0的解. 【解答】 x<-3. 【板块三】 实际问题与一元一次不等式(一) 方法技巧 1.常见的一些等量关系：①行程问题：路程=速度×时间；②工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量；③利润问题：商品利润=商品售价-商品进价，利润率 ④增长率问题：增长量=原有量×增长率；⑤银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间；⑥数字问题：多位数的表示方法：例如： 2.用不等式解决应用问题在设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”)不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上. 题型一 关系直接型 【例1】 蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用.已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15 吨.在每辆车不超载的条件下，要把这300 吨物资一次性装运完.问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆? 【分析】本题的数量关系是：7辆A型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数大于或等于300吨，由此可得出不等式，求出未知数的取值范围，找出符合条件的值. 【解答】 设需调用 B型车x辆，由题意得： 7×20+15x≥300, 解得： 又因为x取整数，所以x最小取11. 答：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B 型车11辆. 【练1】 (2018春·秦都区期中)某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株? 【解答】 设需要购买乙种花卉x株，根据题意可得：5x+20(31-x)≤350，解得：x≥18，∴至少需要购买乙种花卉18株. 题型二 阅读理解型 【例2】为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示： 某市自来水销售价格表 类别 月用水量(立方米) 供水价格 (元/立方米) 污水处理费 (元/立方米) 居民生活用水 阶梯一 0~18(含 18) 1.90 1.00 阶梯二 18~25(含 25) 2.85 阶梯三 25 以上 5.70 (注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费) (1)当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是 元/立方米. (2)4月份小明家用水量为20立方米,应付水费为:18×(1.90+1.00)+2×(2.85+1.00)=59.90(元)，预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费. (3)为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议. 【分析】 (1)用阶梯一的供水价格+污水处理费用，即可得出结论； (2)根据应付水费=18×(阶梯一的供水价格+污水处理费用)+超出18立方米的数量×(阶梯二的供水价格+污水处理费用)，即可求出结论； (3)由小明家的平均月收入可求出小明家月用水费用的最大值，设小明家的月用水量为x立方米，分0<x≤18和18<x≤25两种情况找出最大用水费用，由79.15>75.3可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，此题得解. 【解答】 (1)1.90+1.00=2.90(元). (2)18×(1.90+1.00)+(25-18)×(2.85+1.00)+(30-25)×(5.70+1.00)=52.2+26.95+33.5=112.65(元). 答：小明家6月份的水费为112.65元. (3)小明家月用水费用应不超过:7530×1%=75.3(元) 设小明家的月用水量为x立方米. 根据题意得:①当x≤18时,用水费用为:(1.90+1.00)x(元),当x为18时,用水费用为52.20元; ②当18<x≤25时,用水费用为:(x-18)×(2.85+1.00)+18×(1.90+1.00)(元), 当x=25时，用水费用为79.15元，超出预计费用， ∴用水量不能超过25立方米， 即(x-18)×(2.85+1.00)+18×(1.90+1.00)≤75.3,解得:x≤24(立方米). 综上所述：建议小明家月用水量不超过24立方米. 【练2】 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素 C含量(单位/千克) 600 100 原料价格(元/千克) 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为 xkg，则x应满足的不等式为( A ) A.600x+100(10-x)≥4200 B.8x+4(100-x)≤4200 C.600x+100(10-x)≤4200 D.8x+4(100-x)≥4200 针对练习3 1.某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率=售价进价×100%)，则最多可降价( D) A.80元 B.160元 C.100元 D.120元 2.南江县出租车收费标准为：起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元)，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计).在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是( B )千米. A.6 B.7 C.8 D.9 3.三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( C ) A.6组 B.5组 C.4组 D.3组 4.去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 37 天. 5.蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花. (1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤? 青菜 西兰花 进价(元/斤) 2.6 3.4 售价(元/斤) 3.6 4.6 (2)今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元? 【解答】 (1)老王昨天批发青菜100斤，西兰花100斤.(2)青菜每斤售价至少为4元. 6.下面是工厂各部门提供的信息： 人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算； 市场部：预测明年的产品销售是10000~12000件； 技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件； 供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个. 请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品? 【解答】 (1)工厂明年的产量至多为16000件.(2)至多裁减300人. 【板块四】 实际问题与一元一次不等式(二) 方法技巧 常用不等号 读作 常见的表示不等关系的数学术语或词语 “>” 大于 正数、超出、超过、多余 “<” 小于 负数、不足、少于、低于 “≥” 大于等于(不小于) 非负数、至少、不少于、最低 “≤” 小于等于(不大于) 非正数、至多、不超过、限速、最高 “≠” 不等于 题型一 与方程(组)结合 【例1】小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表： 类别 次数 购买A 商品数量(件) 购买 B 商品数量(件) 消费金额(元) 第一次 4 5 320 第二次 2 6 300 第三次 5 7 258 解答下列问题： (1)第 次购买有折扣； (2)求A、B两种商品的原价； (3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数； (4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件. 【分析】 (1)由第三次购买的A、B两种商品均比前两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；(2)设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量，再结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(3)设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；(4)设购买A商品m件，则购买B商品(10-m)件，根据总价=单价×数量，再结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论. 【解答】 (1)第三次购买有折扣. (2)设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件， 根据题意得： 解得： 答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件. (3)设折扣数为z， 根据题意得： 解得:z=6. 答：折扣数为6. (4)设购买A商品m件,则购买B商品(10-m)件, 根据题意得： 解得 ∵m为整数，∴m的最小值为7. 答：至少购买A商品7件. 【练1】水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元.(注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数) (1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元? (2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米? 【解答】 (1)每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元.(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米. 题型二 方案选择型 【例2】 某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量(人/辆) 45 30 租金(元/辆) 400 280 红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： (1)用含x的式子填写下表： 车辆数(辆) 载客量 租金(元) A x 45x 400x B 5-x ——— (2)若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值； (3)在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案. 【分析】 (1)根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可； (2)根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决； (3)由(2)得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可. 【解答】 (1)∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B型客车载客量=30(5-x);B型客车租金=280(5-x);故填:30(5-x);280(5-x). (2)根据题意，,400x+280(5-x)≤1900,解得: ∵x为整数，∴x的最大值为4； (3)由(2)可知, 且x为整数,故x可能取值为0、1、2、3、4, ①A型0辆,B型5辆,租车费用为400×0+280×5=1400元,但载客量为45×0+30×5=150<195,故不合题意,舍去; ②A型1辆,B型4辆,租车费用为400×1+280×4=1520元,但载客量为45×1+30×4=165<195,故不合题意,舍去; ③A型2辆,B型3辆,租车费用为400×2+280×3=1640元,但载客量为45×2+30×3=180<195,故不合题意,舍去; ④A型3辆,B型2辆,租车费用为400×3+280×2=1760元,但载客量为45×3+30×2=195=195,符合题意; ⑤A型4辆,B型1辆,租车费用为400×4+280×1=1880元, 但载客量为45×4+30×1=210,符合题意; 故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆. 【练2】4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土————讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里. (1)求山西省的丘陵面积与平原面积； (2)活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元.经协商，甲旅行社的优惠条件是：家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费.若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算? 【解答】 (1)山西省的平原面积为3.09平方公里，则山西省的丘陵面积为6.98平方公里. (2)当学生人数为16人时，两个旅行社的费用一样；当学生人数为大于16人时，乙旅行社比较合算；当学生人数为小于16人时，甲旅行社比较合算. 针对练习4 1.2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 55 cm. 2.已知购买60件A商品和30件B商品共需1080元；购买50件A商品和20件B商品共需880元.若某商店需购买B商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，则购买A 商品的件数最多为 13 件. 3.小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表： 次数 购买数量(件) 购买总费用(元) A B 第一次 2 1 55 第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题： (1)求A，B两种商品的单价； (2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B 种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 【解答】 (1)A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元； (2)购买A商品8件,B商品4件. 4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为:1200元/台、1600元/台、2000元/台. (1)至少购进乙种电冰箱多少台? (2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案? 【解答】 (1)至少购进乙种电冰箱14台； (2)有三种购买方案： 方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台. 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台. 方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台. 【板块五】 绝对值不等式 方法技巧 1.①关于x的不等式 的解为： ；②关于x的不等式 的解为： 或x<-a. 2.含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题. 题型一 解含一个绝对值的不等式 【例1】 阅读求绝对值不等式子 解集的过程： 因为 ，从如图所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以 的解集是-3<x<3.解答下面的问题： (1)不等式 的解集为 . (2)求|x-5|<3的解集实质上是求不等式组 的解集，所以 的解集是 . 【分析】 (1)根据题中所给出的例子进行解答即可； (2)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组，求|x-5|<3的解集是-3<x-5<3，可化为 求出其解集即可. 【解答】 【练1】 解下列含绝对值的不等式： (1)|x|≤5 (2)|2x-1|<3 【解答】(1)-5≤x≤5;(2)-1<x<2;(3)x≥ 或 题型二 解含多个绝对值的不等式 【例2】 解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对应点在1的右边，由图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3. 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程|x+3|=4的解为 ; (2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9; (3)若|x-3|--|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围. 【分析】 (1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；(2)不等式 3|+|x+4|≥9表示到3与-4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；( 对任意的x都成立，即求到3与-4两点距离的和最小的数值. 【解答】 (1)1或-7;(2)∵3和-4的距离为7,因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧，①当x在3的右边时，如下图，易知x≥4： ②当x在-4的左边时，如上图，易知x≤-5. ∴原不等式的解为x≥4或x≤-5; (3)原问题转化为:a大于或等于|x-3|--|x+4|最大值. ①当x≥3时, ②当-4<x<3,|x-3|-|x+4|=-2x-1<7; ③当x≤-4时,|x-3|-|x+4|=7; ∴|x-3|--|x+4|的最大值为7, 故a≥7. 【练2】 解不等式:|x-5|--|x+2|<1. 【解答】 x>1. 针对练习5 1.解下列含绝对值的不等式： (1)|2x+5|>7 (2)|x+2|<3x+14 ( 【解答】 (1)x<--6或 2.解下列含绝对值的不等式:|x--1|+|x+2|>5. 【解答】 x<-3或x>2. 3.解下列含绝对值的不等式:|x|≥|x-3|. 【解答】 4.已知x<-1,化简:|3x+1|--|1-3x|. 【解答】 - 2. 5.已知5(x+1)-3x>2(2x+3)+4,化简|2x-1|--|1+2x|. 【解答】 2. 学科网（北京）股份有限公司 $$