精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

石嘴山三中2024—2025学年第二学期高一年级期中数学试题 命题人：韩建玲 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题： （本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数（为虚数单位），则（ ）． A B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得，求得模长即可得解. 【详解】， 所以， 故选：B. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若，则或者相交或者异面，故A正确， 对于B,若则或者，故B错误， 对于C, 若，则或者或者相交，故C错误， 对于D, 若，则,D正确， 故选：D 3. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D 4. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：B 5. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 【答案】B 【解析】 分析】设米，结合已知条件得，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得（米）. 故选：B 6. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 7. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出异面直线和所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知， 所以是异面直线和所成的角或其补角， 设异面直线和所成的角为，设正方体的棱长为， ，， 则. 故选：A. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 8. 在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【详解】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量. 二、多项选择题： （本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，下列关于说法正确的是（ ） A. 若，则和互为共轭复数 B. 若，则和中至少有一个为0 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算、共轭复数的性质逐项判断即可. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：令，，均为实数，若，，但是和不是共轭复数，故A错误； 对于选项B：令， 则有，可知 于是或 则或 故和中至少有一个为0，B正确； 对于选项C：令，，，，，所以，故C错误； 对于选项D：令， 则 又 ， ，则或（舍去） 故， 故D正确. 故选：BD 10. 在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求. 【详解】由题设，①， ②， 所以①2②得即， ②①得，故，A正确、B错误； 所以， 故，故C正确、D错误. 故选：AC 11. 已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化简得，即可判断A；将代入化简成，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化角可得，再由的范围可得的范围，即可判断C；由正弦定理求出，再由余弦定理可得，即可判断D. 【详解】由，得， 由正弦定理得，由余弦定理得， 则，当时，，即， 当时，，又，所以， 所以，所以， 所以，故选项A错误； 由，则，当且仅当时，故选项B正确； 在中，，由正弦定理，， 若为锐角三角形，又，则，故， 所以，所以，则， 所以，故选项C正确； 在中，由正弦定理，又，，， 得，则 由余弦定理，， 得， 整理得，解得，或， 当时，有，又，所以， 因为，则不成立，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题： （本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 将一斜边长为2等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体为圆锥， 且圆锥的底面半径为：，圆锥的母线长为：. 所以圆锥的侧面积为：. 故答案为： 13. 在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为__________________. 【答案】等腰或直角三角形 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，及正弦定理得， 而，则， 于是，则或，而，因此或， 所以为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题: （本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ． 16. 如图所示，四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.  下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，D为的中点． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得平面，再利用线面垂直得性质即可得证； （2）先证明，以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为D为的中点，且， 所以， 又平面，所以平面， 由于平面，所以； 【小问2详解】 解：因为底面， 所以， 因为， 所以， 所以， 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 则， 则， 设是平面的一个法向量，则 由，得 令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台. ①求削去部分与圆台的体积之比； ②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）①最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比；②设圆柱的底面半径为，高为，根据体积相等得到，即，再表示出底面周长与侧面积，最后利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. 【小问2详解】 ①若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高， 则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； ②设圆柱的底面半径为，高为，则， 即，所以， 所以圆柱的底面周长，侧面积， 则圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当圆柱的底面半径为时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小. 19. 若三角形内一点P满足，则称为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.已知分别为三角形三个内角所对的边，点为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角. （1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值; （2）若三角形的面积为.证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，由题，余弦定理及，可得，然后再由余弦定理可得答案. （2）注意到，则可得需证等式右边为，然后利用余弦定理可完成证明； 【小问1详解】 如图设，因， 则，由题可得， 则，由余弦定理，可得： ，注意到. 则. 则； 【小问2详解】 由图可得， 则要证等式右边等于， 由余弦定理，， 同理可得：，. 相加可得得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山三中2024—2025学年第二学期高一年级期中数学试题 命题人：韩建玲 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题： （本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数（为虚数单位），则（ ）． A. B. 1 C. D. 2 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 5. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 6. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题： （本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，下列关于说法正确的是（ ） A. 若，则和互为共轭复数 B. 若，则和中至少有一个为0 C. 若，则 D. 若，且，则 10. 在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，则 三、填空题： （本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为______． 13. 在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为__________________. 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 四、解答题: （本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 16. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 17. 如图，在三棱锥中，底面，，D为中点． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台. ①求削去部分与圆台的体积之比； ②先将整个铁料圆台融化（不考虑损耗），再将全部铁水凝固成一个圆柱，当圆柱的底面半径为何值时，圆柱的上下底面圆的周长与侧面积的和最小. 19. 若三角形内一点P满足，则称为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.已知分别为三角形三个内角所对的边，点为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角. （1）若，且，求三角形布洛卡角的余弦值; （2）若三角形面积为.证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$