精品解析：辽宁省朝阳县实验中学2024-2025学年高二下学期5月期中调研数学试题

朝阳县实验中学高二下学期调研考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为整数集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若存在，，使得直线与，的图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆与圆内切，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象关于点对称 D. 函数在区间上值域为 11. 在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有( ) A. 当P为中点时，三棱锥P-的外接球半径为 B. 线段PQ长度的最小值为2 C. 三棱锥-APC的体积为定值 D. 平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知锐角满足，，则__________. 13. 在等差数列中，，其前项和为，则__________. 14. 已知函数，若存在实数满足，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，面积为，且． （1）求的外接圆的半径； （2）若，且，求边上的高． 16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 17. 已知某种机器的电源电压（单位：）服从正态分布.其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为. （1）求该机器生产的零件为合格品的概率； （2）为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，记这4件中合格品有个，求的分布列､数学期望和方差. 附：若，则 18. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 19. 设函数，其中是自然对数的底数，. （1）若，求最小值； （2）若，证明：恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 朝阳县实验中学高二下学期调研考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为整数集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用集合补集运算及一元二次不等式的解法即可得到答案. 【详解】因为. 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得. 【详解】，. 故选：A． 3. 已知为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数积量运算法则求得，再利用向量夹角余弦公式即可得解. 【详解】因为为单位向量，， 所以，则， 所以. 故选：D. 4. 随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和组合数公式求出总选择和满足条件的选择种数，再由古典概型概率公式可得. 【详解】两人从5个城市中各选2个城市去旅游共有种选法， 若两人不去相同城市，则有种选法， 所以小明和小王不会去相同城市的概率为. 故选：B 5. 已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性得到，再解不等式组即得解. 【详解】解：由题得. 因为在上单调递减，并且， 所以，所以或. 故选：D 6. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 7. 若存在，，使得直线与，的图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，图象上的切点分别为，，可得出过这两点处的切线方程，联立得，设，利用导数判断出的单调性可得答案.. 【详解】设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，， 所以，设，， 设，则， 所以为单调递增函数，， 可得时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆与圆内切，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两圆内切得，运算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆内切，所以，即，解得或. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得：，根据正弦函数周期公式判断A；代入检验，结合对称性的性质判断BC；以为整体，结合正弦函数的性质求值域. 【详解】因为， 对于选项A：因为函数的最小正周期为，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为不为0， 所以函数的图象不关于点对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上值域为，故D正确； 故选：ABD. 11. 在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有( ) A. 当P为中点时，三棱锥P-的外接球半径为 B. 线段PQ长度的最小值为2 C. 三棱锥-APC的体积为定值 D. 平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：易知三棱锥P-的外接球球心为中点，据此即可求解判断；B：根据几何图形即可判断线段PQ长度的最小值为AB；C：易知为定值；D：作出平面BPQ与正方体各个面的交线即可判断其形状． 【详解】对于A，当P为中点时， ∵是正方形，∴， ∵AB⊥平面，平面，∴AB⊥， ∵AB∩=B，AB、平面ABP，∴平面ABP， ∵平面AP，∴平面AP⊥平面ABP， 易知Rt△ABP外接圆圆心AP中点，Rt△AP外接圆圆心为中点， 则过Rt△ABP外接圆圆心作平面ABP的垂线，过Rt△AP外接圆圆心作平面AP的垂线，易知两垂线交点为中点，则三棱锥P-的外接球球心即为中点，外接球半径即为，故A正确； 对于B，如图过P作PG⊥BC于G，过Q作QE⊥PG于E， 易知PQ≥QE=AG≥AB，故线段PQ长度的最小值为AB=2，故B正确； 对于C， ∵∥，平面，平面，∴∥平面， ∵P∈，故P到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，故C正确； 对于D，易知，截面BPQ与平面的交线始终为，连接，易知∥，过Q作QF∥交于F，连接、QB，则即为截面，其最多为四边形： 当Q与重合，P与重合，此时截面BPQ为三角形： 平面BPQ截该正方体所得截面不可能为五边形，故D错误﹒ 故选：ABC﹒ 【点睛】本题综合考察空间中点、线、面的关系，A选项的关键是找到外接球球心，B选项利用几何关系即可判断，C选项利用三棱锥等体积法即可判断，D选项需充分利用空间里面的平行关系作出截面形状进行判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系可求得，代入两角和差余弦公式即可. 【详解】均为锐角，，， . 故答案为：. 13. 在等差数列中，，其前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，得到，求出，进而可求出通项公式，进而可求出答案 【详解】由，有，则， 故答案为： 14. 已知函数，若存在实数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，由图象得出关系及范围，代入，利用导数求得最大值． 【详解】由函数的图象可知，有． 令，有， 令，有，可得函数的减区间为，增区间， 可得．故的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，面积为，且． （1）求的外接圆的半径； （2）若，且，求边上的高． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得. （2）结合（1）的信息，求出边a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得. 【小问1详解】 在中，，解得， 由正弦定理得的外接圆的半径. 【小问2详解】 由（1）知，， 由余弦定理得，则， 令边上的高为，则，即， 所以边上的高为. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在正三棱柱中，连接与交于点，连接DE， 由四边形是矩形，得点是的中点，又点是AC的中点， 则，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接DF，在等边中，点为AC的中点，则， 以点为原点，直线DB，DC，DF分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 17. 已知某种机器的电源电压（单位：）服从正态分布.其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为. （1）求该机器生产的零件为合格品的概率； （2）为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，记这4件中合格品有个，求的分布列､数学期望和方差. 附：若，则 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据二项分布求解分布列，代入期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 记电压“不超过”、“在之间”、“超过”分别为事件， “该机器生产的零件为不合格品”为事件． 因为，所以， ， ． 所以， 所以该机器生产零件为合格品的概率为． 【小问2详解】 从该机器生产的零件中随机抽取4件，设合格品件数为， 则，， ，， ， 所以的分布列为 所以的数学期望为， 的方差为. 18. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【小问1详解】 将分别代入双曲线C得:, 解得,所以. 【小问2详解】 ,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时, 此时,, , 以为直径的圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立消去并整理得, 其中,即, , 以为直径的圆经过坐标原点, ,即， ， ,整理得,解得， 所以即. 19. 设函数，其中是自然对数的底数，. （1）若，求的最小值； （2）若，证明：恒成立. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，求出，可得答案； （2）设， ， ，，，设，求出利用单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以单调递增，又， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. 【小问2详解】 设， 若，则， 若，则， 设， 则，所以单调递增，又， 当时，，上单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以， 综上，恒成立. 【点睛】本题考查了求函数值域或最值的问题，一般都需要通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，再利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$