安徽省安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期数学周测试卷5.14
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内容正文：
第 1页，共 4页
安师大附中 2024—2025 学年第二学期高一年级周测
数学试题 2025.05.14
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知复数 2
1 i
z
，则 z z （ ）
A． 2 B．2 C． 2 D． 2
2.已知向量 1, 3a ， 2,0b ，则a在b上的投影向量为（ ）
A． 1,0 B． 3,0 C． 1 3,2 2
D．
3 3,
2 2
3.设 m、n是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 ( )
A．若 / /m ，n ，则 / /m n B．若 / /m ， / /n ，则 / /m n
C．若m n ，n ，则m D．若m ， / /m n，则n
4.如图是正四面体的平面展开图， , , ,G H M N分别为 , , ,DE BE EF EC的中点，在这个正四面体中，以下
四个说法中错误的是（ ）
A.BD与MN为异面直线
B.GH与MN成 60°角
C.GH与EF平行
D.DE与MN垂直
5.在三棱锥 ABCD中，AD=BC，且 AD与 BC所成的角为 60°，若 E， F分别是 AB，CD的中点，
则直线 EF与 BC所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．30°或 60°
6.在 ABCV 中，
π
3
A ， 3BC ，若满足上述条件的 ABCV 有且仅有一个，则边长 AC的取值范围
是（ ）
A． 0, 3 B． 3,2)[ C． 0, 3 2 D． 3,2
7.已知在 ABCV 中， 3, 4, 90 .AC BC C P 为 ABCV 所在平面内的动点，且 1PC ，则 PA PB
的
最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
高一数学试题 第 2页，共 4页
8.如图，正四面体 ABCD的棱长为 2，点 E在四面体 ABCD外侧，且 AED△ 是以 E为直角顶点的等
腰直角三角形．现以 AD为轴，点 E绕 AD旋转一周，当三棱锥E BCD 的
体积最小时，直线CE与平面 BCD所成角的正弦值的平方为（ ）
A． 2 2
12
B． 2 2
6
C.
1
3
D． 2
3
二、多选题：本题共 3 小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有（ ）
A.如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内
B.过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行
C.如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10.如图， AC为圆锥 SO底面圆 O的直径，点 B是圆 O上异于 A，C的动点， 1SO OC ，则下
列结论正确的是（ ）
A．圆锥 SO的侧面积为 2π
B．三棱锥 S ABC 体积的最大值为
1
3
C． SAB 的取值范围是
π π,
4 3
D．若 AB BC ，E为线段 AB上的动点，则 SE CE 的最小值为 3 1
11.如图，在山脚A测得山顶 P的仰角 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 a米到 B，在 B处测得山顶 P
的仰角为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．
sin
sin
a
PB
B．
cos sin
sin
a
AQ
C．
sin sin
sin
a
PC
D．
sin sin
sin
a
PQ
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.与平面向量 5, 12a 反向共线的单位向量的坐标为 .
13.已知复数 z满足 1z ，其中 i为虚数单位，则 | 1 i |z 的最小值为 .
14.在底面边长为 1且高为 3的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，
则正方体棱长的最大值为 ．
高一数学试题
第 3页，共 4页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．
设 k为实数，向量 ( ,12), (4,5), (10, )OA k OB OC k
．
（1）若
OA OB与OC
垂直，求 k的值；
（2）当 k为何值时， , ,A B C 三点共线．
16．
如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，
π
2
ACB ，E、F分别为 AB、 1 1BC 的中点．
（1）求证：EF BC ；
（2）若 2AC BC ，三棱锥 1 1B AEC 的体积为
2 3
3
，求直线 EF与平面 ABC所成角大小．
17.
如图，已知在四棱锥 P ABCD 中，PD 平面 ABCD，四边形 ABCD为直角梯形. AD CD ， //AB CD，
2AB AD PD ， 4CD ，点E是棱 PC上靠近 P端的三等分点，点 F 是棱PA上点.
（1）证明： //PA 平面BDE；
（2）求异面直线 BD与 PC夹角的余弦值.
高一数学试题 第 4页，共 4页
18.
已知锐角 ABCV 中， , ,a b c分别是角 , ,A B C的对边，且 cos 3 sin 0a C a C b c .
（1）求 A；
（2）记 ABCV 的面积为 S，求
2 2 2a b c
S
的取值范围．
19.
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点 P处的
离散曲率为 1 2 2 3 1 1
11
2πP k k k
Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ ，其中 ( 1,2, , , 3)iQ i k k 为多
面体M的所有与点 P相邻的顶点，且平面 1 2Q PQ ，平面 2 3Q PQ ，…，平面 1k kQ PQ 和平面 1kQ PQ为
多面体M的所有以 P为公共点的面．
已知三棱锥P ABC 如图所示．
（1）求三棱锥P ABC 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若 PA 平面 ABC， AC BC ， 4AC BC ，三棱锥P ABC 在顶点 C处的离散曲率为
3
8
，
求点 A到平面 PBC的距离；
（3）在（2）的条件下，又知点 Q在棱 PB上，直线 CQ与平面 ABC所成角的余弦值为 30
6
，求
BQ的长度．
高一数学试题
（本小题满分13分）
（本小题满分15分）
（本小题满分15分）
（本小题满分17分）
（本小题满分17分）
答案第 1 页，共 9 页
高一数学周考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C D C B A AD BD
题号 11
答案 ABD
1．
( )
( )( )
2 1 i2
1 i
1 i 1 i 1 i
z
+
= = = +
− − +
，则 1 iz = − ，所以 ( )( )1 i 1 i 2z z = + − = .
2．由题意，a 在b 上的投影向量为 ( ) ( )
2 1
2,0 1,0
2 2
a b b
b b
= = .
3．由 m、n是两条不同的直线， 是一个平面，知：
在 A中，若 / /m ， n ，则 m与 n平行或异面，故 A错误；
在 B中，若 / /m ， / /n ，则 m与 n相交、平行或异面，故 B错误；
在 C中，若m n⊥ ， n ，则 m与 相交、平行或m ，故 C错误；
在 D中，若m ⊥ ， / /m n，则由线面垂直的判定定理得n ⊥ ，故 D正确．
4．还原成正四面体，
如图，由异面直线判定定理：
BD与MN 为异面直线，A 对，
易知： / / , / /GH AD MN AF ，又 60DAF = ，
所以GH 与MN 成60角，B 对，
易知GH 与 EF 为异面直线，C 错
因为正四面体对棱垂直，所以 , //DE AF MN AF⊥ ，
所以DE MN⊥ ，D 对.
5．【详解】如图：因为 E，F，G分别是 AB，AC，BD的中点，
所以 / / , / /EG AD EF BC ,
由于 AD与 BC是异面直线，根据异面直线所成角的定义可知，
∠FEG为异面直线 AD与 BC所成角或其补角，
因为 AD与 BC所成的角为 60°，
所以∠FEG为 60°或 120°.
6．在 ABC 中利用正弦定理得
3
2
sin sin 3
2
BC AC
A B
= = =
，则 2sinAC B= ，
答案第 2 页，共 9 页
若满足上述条件的 ABC 有且仅有一个，则sin 1B = 或
3
sin
2
B ，
则 2AC = 或0 3AC ，则边长 AC 的取值范围是 ( 0, 3 2 .
7．依题意如图建立平面直角坐标系，则 ( )0,0C ， ( )3,0A ， ( )0,4B ，
因为 1PC = ，所以 P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，
设 ( )cos ,sinP ， )0,2π ，
则 ( )3 cos , sinPA = − − ， ( )cos ,4 sinPB = − − ，
可得 ( ) ( ) ( ) ( )cos 3 cos 4 sin sinPA PB = − − + − −
2 2cos 3cos 4sin sin = − − + 1 3cos 4sin = − − ( )1 5sin = − + ，
其中
3
sin
5
= ，
4
cos
5
= ，
因为 ( )1 sin 1 − + ，则 ( )4 1 5sin 6 − − + ，可得 4,6PA PB − ，
所以PA PB 的最大值为 6.
8．在正四面体 ABCD中，取BC 中点 F，连接 ,DF AF ，则DF AF= ，
取 AD 中点 M，连接 ,FM EM ，则FM AD⊥ ，
AED△ 是以 E为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体 ABCD的棱长为 2，
则 EM AD⊥ ，且
1
1
2
EM AD= = ，
点 E绕 AD旋转一周，形成的图形为以M为圆心，以 1EM = 为半径的圆，
设该圆与MF 的交点为 1E ，当三棱锥E BCD− 的体积最小时，即 E点到底面BCD的距离最
小，
即此时 E点即位于 1E 处，
因为正四面体 ABCD的棱长为 2，则 3DF AF= = ，
答案第 3 页，共 9 页
又 AD 中点为M，则 2 2 2FM AF AM= − = ，则 1 2 1FE = − ，
设点 1E 在底面BCD上的射影为 H，则 1 1 1 1
2 1
sin
3
MD
E H E F E FH E F
FD
−
= = = ，
又MB MC= ，BC 中点为 F，故MF BC⊥ ，
故 2 2 2 2
1 1( ) 1 ( 2 1) 4 2 2E C FC E F= + = + − = − ，
由于点 1E 在底面BCD上的射影为 H，故 1E CH 即为直线 1CE 与平面 BCD所成角，
故
2
2
2 1
1 2
2
1
1
( 2 1)
( ) 3 2 2 2 23sin
( ) 1212 6 2( 4 2 2 )
E H
E CH
E C
−
− −
= = = =
−−
.
9．由基本事实 2 可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个
平面内，故 A 正确；
因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，
所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，
即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故 B 错误；
一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故 C 错误.
由基本事实 3 知，如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故 D 正确；
10．在Rt SOC△ 中， 2 2 2SC SO OC= + = ,
则圆锥的母线长 2l = ，半径 1r OC= = .
对于选项 A：圆锥 SO 的侧面积为π π 1 2 2πrl = = ，故选项 A 错误；
对于选项 B：当OB AC⊥ 时， ABC 的面积最大，此时
1
2 1 1
2
ABCS = = ，
则三棱锥 S ABC− 体积的最大值为：
1 1 1
1 1
3 3 3
ABCV S SO= = = ，故选项 B 正确；
对于选项 C：当点 B 与点 A 重合时， ASB = 为最小角；
当点 B 与点 C 重合时，
π
2
ASB = ，达到最大值，
又因为点 B 与 A，C 不重合，则
π
0,
2
ASB
.
又 2 πSAB ASB + = ，可得
π π
,
4 2
SAB
，故选项 C 错误；
对于选项 D：因为 , 90 , 2AB BC ABC AC= = = ，所以 2AB BC= = .
又 2SA SB= = ，所以 SAB△ 为等边三角形，∴ 60SBA = .
答案第 4 页，共 9 页
将 SAB△ 以 AB 为轴旋转到与 ABC 共面，
得到 1S AB，则 1S AB为等边三角形， 1 60S AB = .
如图： ( ) 1minSE CE S C+ = .
因为 1 2S B BC= = ， 1 1 150S BC S BA ABC = + = ,
∴ 2 2 2 21 1 12 (cos150 2 2 2 3 3 1)S C S B BC S B BC= + − = + + = + ；
( ) 1min 3 1SE CE S C+ = = + ，故选项 D 正确.
11．由题意可得 90PQA = ， PAQ = ， BAQ = ，AB a ， PBC = ， 90PCB = ，
对于 A 选项， 90APQ = − ， 90BPC = − ，
所以 ( ) ( )90 90APB APQ BPQ = − = − − − = − ，
PAB PAQ BAQ = − = − ，
在 APB△ 中，由正弦定理得
( ) ( )sin sin
AB PB
=
− −
，故
( )
( )
sin
sin
a
PB
−
=
−
，A 对；
对于 B 选项， ( ) ( ) ( )sin sin 180 sin sinABP APB PAB APB PAB = − − = + = − + −
( )sin = − ，
在 APB△ 中，由正弦定理可得
( ) ( )sin sin
PA AB
=
− −
，故
( )
( )
sin
sin
a
PA
−
=
−
，
在Rt PAQ中，
( )
( )
cos sin
cos
sin
a
AQ PA
−
= =
−
，B 对；
对于 C 选项，在Rt PBC 中，
( )
( )
sin sin
sin
sin
a
PC PB
−
= =
−
，C 错；
对于 D 选项，在Rt PAQ中，
( )
( )
( )
( )
sin sin sin sin
sin
sin sin
a a
PQ PA
− −
= = =
− −
，D 对.
12．
5 12
,
13 13
−
13． 2 1−
14．
5 1
2
−
答案第 5 页，共 9 页
解析：设外接球的半径为 R ，则
2 16π4π
3
S R= =球 ，
2 3
3
R = ．
设正六棱锥的底面边长为 x，则 ( )
2
2 23 R x R− + = ， 1x = ，
即正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 2．
正六棱锥的底面积 2
1
3 3 3
6 1
4 2
S = = ．
侧面面积
2
2
2
1 1 3 15
6 1 2
2 2 2
S
= − =
．
正六棱锥的体积
1
1 1 3 3 3
3 3
3 3 2 2
V S= = = ．
设正六棱锥的内切球的半径为 r ，
则 ( )1 2
1 1 3 3 3 15 3
3 3 2 2 2
V S S r r
= + = + =
．
3 15 3
415 3
r
−
= =
+
．
设正方体的棱长为a，则 3 2a r ，
5 1
2
a
−
．
正方体的棱长的最大值为
5 1
2
−
．
15．（1）由题意可得： ( )4,7OA OB k− = − ，.........................................................................2 分
若 −OA OB 与OC 垂直，则10( 4) 7 0k k− + = ，.........................................................................4 分
解得
40
17
k = ...................................................................................................................................6 分
（2）可得： ( )4 , 7AB OB OA k= − = − − ， ( )6, 5BC OC OB k= − = − ，................................8 分
若 , ,A B C 三点共线，则 / /AB BC ，可得 ( )4 ( 5) 42k k− − = − ，............................................11 分
解得 2k = − 或 11k = ．...............................................................................................................13 分
16．（1）取 BC中点为 H，连接 ,EH FH , ......................................................1 分
F为 1B C 的中点，故 1FH BB∥ ，而 1BB ⊥底面 ABC ，
故 FH ⊥底面 ABC ， BC 底面 ABC ，故FH BC⊥ ; .....................................3 分
又 E为 AB的中点，则 ∥EH AC ，
而
π
2
ACB = ，即 AC BC⊥ ，故EH BC⊥ ， . ...............................................5 分
而EH FH H ,EH ,FH= 平面FEH ，
答案第 6 页，共 9 页
故 ⊥BC 平面FEH ，EF 平面FEH ，故BC EF⊥ ，即EF BC⊥ ； ............7 分
（2）由（1）可知 FEH 为直线 EF 与平面 ABC 所成角，..........................................8 分
由 AC BC⊥ ，E 为 AB 中点，则CE AB⊥ ；
又 2AC BC= = ，得
1 1
2 2 2 1
2 2
AB ,CE AB ,EH AC= = = = = ， .........................9 分
又 1AA ⊥底面 ABC ，CE 底面 ABC ，故 1AA CE⊥ ，
而 1 1AA AB A,AA ,AB= 平面 1 1ABB A ，故CE ⊥平面 1 1ABB A ，
令 1CC FH t= =
则
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 3
2 2 2
3 3 2 3
B A EC C A B E A B EV V S CE t− −= = = = .
解得 1 3CC FH t= = = ， . .............................................................................13 分
在 Rt EFH△ 中， tan 3
FH
FEH
EH
= = ,所以
3
FEH
= ，
即直线 EF 与平面 ABC 所成角为
3
. ...............................................................................15 分
17．（1）在四棱锥P ABCD− 中，连接 AC BD O= ，连接OE ， ..............1 分
由梯形 ABCD， //AB CD，得
1
2
AO AB
OC DC
= = ，
由点E 是棱PC 上靠近 P 端的三等分点，
得
1
2
PE AO
EC OC
= = ，则 //OE AP， .....................................................................5 分
而 AP 平面BDE ，OE 平面BDE ，所以 //PA 平面BDE . ............7 分
（2）在 PA上取点G ，使
1
3
AG AP= ，连接OG，
则
1
3
AG AO
AP AC
= = ，即 //OG PC，
因此 DOG 是异面直线BD与PC 所成的角或其补角， ...................................9 分
1
3
OG PC= ，
由 PD ⊥平面 ABCD， ,AD CD平面 ABCD，得 ,PD AD PD CD⊥ ⊥ ，
2 21 2 52 4
3 3
OG = + = ，
2 4 2
3 3
DO BD= = ，
在 ADG△ 中，
2 2
, 45
3
AG DAG= = ，
答案第 7 页，共 9 页
由余弦定理得 2 2
2 2 2 2 2 2 5
2 ( ) 2 2
3 3 2 3
DG = + − = ，
在等腰 DOG 中，
2 21
1032cos
52 5
3
DO
DOG
OG
= = = ，.......................................................14 分
所以异面直线BD与 PC 夹角的余弦值是
10
5
. ................................................................15 分
18．（1）由正弦定理得：sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C+ − − = . .............................2 分
所以 ( )sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C+ − + − = ，
所以 3sin cos 1 0A A− − = ，即
π 1
sin
6 2
A
− =
. ....................................5 分
π π
6 6
A − = ，
π
3
A = . ....................................7 分
（2）依题意
1 3
csin
2 4
S b A bc= = ，
由
π
3
A = ，可得 2 2 2a b c bc= + − ． ....................................9 分
则
2 2 2 2 2 2 2 24 3 4 3 2 2 8 3 4 3
3 3 3 3
a b c a b c b c bc b c
S bc bc c b
+ + + + + −
= = = + −
．..................11 分
因为 ABC 锐角三角形，所以
π
0
2
2π π
0
3 2
C
C
−
，整理得
π π
6 2
C ． ..................12 分
因为
( )sinsin sin cos cos sin 3 1
sin sin sin 2tan 2
A Cb B A C A C
c C C C C
+ +
= = = = + ， ..................15 分
因 tany x= 在 ,
6 2
上为增函数，则
3
tan
3
C ，
1
2
2
b
c
．
令
b
t
c
= ，因函数
1
y t
t
= + 在
1
,1
2
上单调递减，在 ( )1,2 上单调递增，
所以
5
2,
2
y
，即
5
2,
2
b c
c b
+
，
故
2 2 2a b c
S
+ +
的取值范围为
16 3
4 3,
3
. .......................................................17 分
19．（1）根据离散曲率的定义得 ( )
1
1
2π
P APB BPC APC = − + + ，
( ) ( )
1 1
1 , 1
2π 2π
A BPAB BAC PAC PBA ABC PBC = − + + = − + + ，
答案第 8 页，共 9 页
( )
1
1
2π
C PCA BCA PCB = − + + ，
又因为 APB BPC APC PAB BAC PAC + + + + + + PBA ABC PBC + +
4πPCA BCA PCB+ + + = ，
所以
1
4 4π 2
2π
P A B C + + + = − = ． ....................................5 分
（2）∵PA ⊥平面 ,ABC BC 平面 ABC ，∴PA BC⊥ ，
又∵ ,AC BC PA AC A⊥ = ， ,PA AC 平面PAC ，∴ ⊥BC 平面PAC ，
∵PC 平面PAC ，∴BC PC⊥ ，
∵ ( )
1 3
1
2π 8
C PCA BCA PCB = − + + = ，即
1 π π 3
1
2π 2 2 8
PCA
− + + =
∴
π
4
PCA = ，∴ 4= = =PA AC BC ，过点 A作 AM PC⊥ 于点M ，
由 ⊥BC 平面 ,PAC AM 平面PAC ，得 BC AM⊥ ，
又 , ,BC PC C BC PC= 平面PCB，则 AM ⊥平面PCB，
因此点 A到平面 PBC的距离为线段 AM 的长，在Rt ACM 中，
2
sin 4 2 2
2
AM AC PCA= = = ，
∴点A 到平面PBC 的距离为2 2 . ........................................................................................10 分
（3）过点Q作QG PA∥ 交 AB 于G ，连结CG ，
∵PA ⊥平面 ABC ，∴QG ⊥平面 ABC ，
∴ GCQ 为直线CQ与平面 ABC 所成的角，
依题意可得， 2 2 2 24, 4 4 4 2PA AB AC BC= = + = + = ，
( )
2
2 2 24 4 2 4 3PB PA AB= + = + = ，
3
sin
3
PA
PBA
PB
= = ，
6
cos
3
AB
PBA
PB
= = ，
设 (0 4 3)BQ x x= ，则
3 6
sin , cos
3 3
QG BQ PBA x BG BQ PBA x= = = = ，
在 BCG中， 2 2 2 cosCG BC BG BC BG CBG= + −
2 22 6 2 2 8 316 2 4 16
3 3 2 3 3
x x x x= + − = + − ，
又
30
cos
6
GCQ = ，所以 2
6
sin 1 cos
6
GCQ GCQ = − = ，
答案第 9 页，共 9 页
则
sin 5
tan
cos 5
GCQ
GCQ
GCQ
= =
，
∴
2
3
53tan
52 8 3
16
3 3
x
QG
GCQ
CG
x x
= = =
+ −
，解得：
4 3
3
x = 或 4 3x = − （舍）
故
4 3
3
BQ = . .......................................................................................17 分
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