2025年北京市九年级中考数学模拟练习试卷（二）　

2025年北京市九年级中考数学模拟练习试卷（二） 一、选择题：本题共8题，每题2分，共16分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1． 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录， 如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”， 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 2． 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线 （垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ． 如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行， 则的度数为（　 　） A． B． C． D． 3． 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　 　）    A． B． C． D． 4． 若点，，在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 5． “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”， 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑” 四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）， 让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张， 则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　 　） A． B． C． D． 6． 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表： 命中次数（次） 5 6 7 8 9 人数（人） 1 4 3 1 1 由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（　 　） A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6 7． 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，且，， 是对角线上任意一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、 设，，则能大致表示与之间关系的图象为（　 　） A．B．C． D． 8． 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D， 连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　 　）    A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共8个小题．每小题2分，共16分．把答案填在题中横线上．） 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．分解因式： ． 11．方程﹣＝0的解为 ． 12．已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是 ． 13． 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴， 小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F， 则的长为 ． 14．如图如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为_______ 15 .如图，一次函数与轴、轴分别交于两点， 以为一边在第二象限作正方形，反比例函数经过点． 将正方形沿轴正方向平移个单位后，点恰好落在反比例函数上，则的值是 ．    16 . 如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处， ， 垂足为F  若， 则 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：． 18 . 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 19．先化简，再求值：，其中 20 . 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：    (1)△ABE≌△CDF； (2)四边形AECF是平行四边形． 21．第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”， 如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动， 拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格， 其中乙规格比甲规格每套贵20元． (1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； (2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 22． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， 且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23．为弘扬劳动精神，提升劳动技能，某校开展了“劳动教育”主题活动，活动结束后，随机抽取20名学生每周的劳动时间情况进行了调查统计，并将统计结果进行收集、整理和分析，给出部分信息如下： 收集数据： 学生每周参与劳动时间t（单位：分钟）：，． 整理数据： 列频数分布表 分组 范围 划记 频数 A 一 1 B 正 5 C 7 D 4 E 画频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： (1)请把上面的频数分布表中的空白处和频数分布直方图补充完整； (2)在本次调查中，众数为______分钟，中位数为______分钟； (3)若该年级有名学生，试估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数； (4)若要求学生每周劳动时间不低于1小时，请根据以上信息提出一条合理化建议． 24．如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点， 连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若，求证：CE是的切线． (2)若的半径为，，求AC的长． 25． 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图， 其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，， 支点A为的中点，且． (1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离． (2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离． 26．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形． 那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像， 则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时， 公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？ 请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1) 该抛物线的表达式为　　 ； (2) 点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3) 在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转， 使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 28． 问题发现： 如图1，在和中，，，， 连接，填空： ； ； （2） 类比探究： 如图2，在和中，，, 连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由； （3） 拓展延伸： 如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，求AC 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市九年级中考数学模拟练习试卷（二）解答 一、选择题：本题共8题，每题2分，共16分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1． 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录， 如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”， 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意； B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2． 光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线 （垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ． 如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行， 则的度数为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，过点D作交于点F，根据题意可得，，因此，最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】过点D作交于点F， 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 3． 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　 　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 4． 若点，，在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，进行比较即可． 【详解】∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， 则， 故选：D． 5． “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”， 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑” 四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）， 让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张， 则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 6． 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表： 命中次数（次） 5 6 7 8 9 人数（人） 1 4 3 1 1 由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（　 　） A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6 【答案】B 【分析】根据中位数及众数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 中位数为，众数为6； 故选B． 7． 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，且，， 是对角线上任意一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、 设，，则能大致表示与之间关系的图象为（　 　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于熟练掌握三角形的相似的判定和性质．根据图形先利用平行线的性质求出，再利用相似三角形的性质得出x的取值范围和函数解析式即可解答 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵为的中线，为的中线， ∴，即， 解得， 同理可得，当时，， 综上分析可知，选项D的函数图象符合题意． 故选：D． 8． 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D， 连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P， 作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　 　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误． 【详解】解：由题意得：，为的平分线， ，， ， 为等边三角形， 为的垂直平分线， ，故A的结论正确； 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 垂直平分线段， ，故B的结论正确； 中，， ， ， ，故C的结论正确． ，， ， ， ， ， ， 故D的结论错误； 故选：D． 二、填空题：（本大题共8个小题．每小题2分，共16分．把答案填在题中横线上．） 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用．先提取公因式，然后利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．方程﹣＝0的解为 ． 【答案】x＝﹣3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得3(x+1)-2x=0. 解得x=-3. 经检验x=-3是分式方程的解. 故答案是x=-3. 12．已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】根据根与系数的关系，进行计算即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； 故答案为：． 13． 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴， 小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，利用菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为_______ 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15 .如图，一次函数与轴、轴分别交于两点， 以为一边在第二象限作正方形，反比例函数经过点． 将正方形沿轴正方向平移个单位后，点恰好落在反比例函数上，则的值是 ．    【答案】1 【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，先求出点A、B的坐标，然后利用正方形的性质、余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC，进而可利用全等三角形的性质求出点D、C的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，于是可得点G坐标，再根据平移的性质即可求出答案． 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图， 在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）． 则OB＝2，OA＝1． ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAF＝90°，    又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°， ∴∠DAF＝∠OBA， 在△OAB和△FDA中， ∵∠OBA＝∠DAF，∠BOA＝∠AFD，AB＝AD， ∴△OAB≌△FDA（AAS）， 同理可证：△OAB≌△EBC， ∴AF＝OB＝EC＝2，DF＝OA＝BE＝1， ∴D的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣2，3）． 将点D代入得：k＝﹣3， 则函数的解析式是：y＝﹣． ∴G的坐标是（﹣1，3）， ∴当点C与G重合时，正方形沿x轴正方向平移了1个单位，即a＝1． 故答案为1． 16 . 如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处， ， 垂足为F  若， 则 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：． 【答案】37 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算顺序以及运算方法是解此题的关键． 【详解】解： ． 18 . 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得·， 解不等式②，得：， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 则不等式组解集为： ． 19．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 20 . 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：    (1)△ABE≌△CDF； (2)四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 21．第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”， 如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动， 拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格， 其中乙规格比甲规格每套贵20元． (1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； (2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 解：（1）设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合实际意义． ． 答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元． （2）设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元 根据题意，得 ， 解得， ， ， 随的增大而增大． 当时，最小值． 故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少． 22． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， 且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴ ． 23．为弘扬劳动精神，提升劳动技能，某校开展了“劳动教育”主题活动，活动结束后，随机抽取20名学生每周的劳动时间情况进行了调查统计，并将统计结果进行收集、整理和分析，给出部分信息如下： 收集数据： 学生每周参与劳动时间t（单位：分钟）：，． 整理数据： 列频数分布表 分组 范围 划记 频数 A 一 1 B 正 5 C 7 D 4 E 画频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： (1)请把上面的频数分布表中的空白处和频数分布直方图补充完整； (2)在本次调查中，众数为______分钟，中位数为______分钟； (3)若该年级有名学生，试估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数； (4)若要求学生每周劳动时间不低于1小时，请根据以上信息提出一条合理化建议． 【答案】(1)见解析 (2) (3)名 (4)学校多组织有关劳动教育的活动，提高劳动技能 【分析】（1）由题意知，E组的频数为，然后补表与统计图即可； （2）由题意，将学生每周参与劳动时间t从小到大依次排序，然后根据众数、中位数的定义求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）建议合理即可． 【详解】（1）解：由题意知，E组的频数为， 补表与统计图如下； 分组 范围 划记 频数 A 一 1 B 正 5 C 7 D 4 E 3 （2）解：由题意，将学生每周参与劳动时间t从小到大依次排序为： ∴众数为， 中位数为第位的平均数为， 故答案为：； （3）解：由题意知，（名）， ∴估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数为名； （4）解：可提建议为：学校多组织有关劳动教育的活动，提高劳动技能． 24．如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点， 连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若，求证：CE是的切线． (2)若的半径为，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接OC，可证明OC//DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案． （2）连接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以=，设BC=x，AC=2x，所以AB=x，列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接OC， ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠COB=2∠OAC， ∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC， ∴∠COB=∠ABD， ∴OC//DE， ∵CE⊥DB，∠CED=90°， ∴∠OCE=90°，OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线． （2）连接BC， ∵∠BDC=∠BAC， ∴=， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴， 设BC=x，AC=2x，   ∴AB=， ∵⊙O的半径为， ∴， ∴x=2， ∴AC=2x=4． 25． 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图， 其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，， 支点A为的中点，且． (1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离． (2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离． 【答案】(1)支点到桌面的距离 (2)支撑面下端到桌面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质， （1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得； （2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得， 掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作， ∴， 在中，，，，， 即， ， 即支点到桌面的距离． （2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，，， 即， ， ∵，支点A为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，，， 即， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 则支撑面下端到桌面的距离： ， 即支撑面下端到桌面的距离为． 26．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形． 那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像， 则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时， 公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？ 请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C，对称轴为直线，点A的坐标为．    (1) 该抛物线的表达式为　　 ； (2) 点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接．当时，求点P的坐标； (3) 在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，将线段绕点Q顺时针旋转， 使点恰好落在抛物线上？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得出，通过交点式得出函数关系式； （2）设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，则可得，，且得点D的坐标，证明，得D为中点，由中点公式求出的坐标，由待定系数法求出直线的关系式，与抛物线联立即可求出交点P的坐标； （3）分在上方和下方两种情况，当在上方时，构造出，得代入抛物线即可，当在上方时，得出． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ； （2）解：设抛物线对称轴交x轴于点F，交于点D，连接并延长交于，如图， ∵对称轴为直线， ∴， ，， ∴；    在中，令，得， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴， 由中点坐标公式得：， 设直线的关系式为：， 把C、E两点坐标分别代入得：，解得：， 直线的关系式为：， 联立二次函数与一次函数解析式并消去y得：， 解得：（舍，， 当时，， ； （3）解：存在； 点旋转后的对应点为，作对称轴于，对称轴于， 当在上方时，    则，设， 将线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，则， 又， ∴， 又，， ， ，，， ， 恰好落在抛物线上， ， 解得，（舍）， ∴点Q的纵坐标为； ， 当在上方时，作对称轴于，    可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ， 综上：或． 28． 问题发现： 如图1，在和中，，，， 连接，填空： ； ； （2） 类比探究： 如图2，在和中，，, 连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由； （3） 拓展延伸： 如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，求AC 【答案】（1）1；；（2）；（3）或 【分析】（1）如图1中，设交于J．证明，推出，可得结论． （2）设交于J．证明，推出，可得结论． （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得，则，，可得的长． 【详解】解：（1）如图1中，设交于J． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：1，． （2）如图2中，结论： 理由：设交于J． 在中，∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）拓展延伸 ①点C与点M重合时，如图（3），同（2）得：， ∴，， 在中， ； ∵，， ∴， ∴， 设，则， 中，， ∴， ∴， 中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∴； ②点C与点M重合时，如图（4），同理得：，， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 整理得， ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 学科网（北京）股份有限公司 $$