猜押04 一次函数、反比例函数综合（9大题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（南京专用）

猜押04 一次函数、反比例函数综合（9大题型） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 一次函数 2024年南京卷第19题；2023年南京卷第13题；2022南京卷第25题； 分析近三年的南京中考数学卷，发现一次函数和反比例函数在近几年均会考查一道题，难度一般是一道基础，一道一般难度；主要考查一次函数、反比例函数的图象与性质和应用，题型比较新颖，注重对题意的理解，需要学生认真审题，抓住题干的要求；一般考查的题型以填空题和解答题为主，多练习相关的习题； 一次函数与反比例函数是初中阶段比较重要的两个函数内容，涉及到的知识点有图象与性质、应用题、与方程、不等式的关系等等；这一块的题型注意考查学生的基础掌握情况和综合运用能力，能够用所学知识解决问题；预计在2025年的中考依旧会延续往年的考法，一道一次函数题，一道反比例函数题，重点研究两个函数的图象与性质； 反比例函数 2024年南京卷第12题；2023年南京卷第14题；2022年南京卷第4题； 题型一 一次函数的图象与性质 1．（2024·江苏南京·一模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数只有时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 选项不正确， 故选：B． 2．（2023·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向左平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图像平移的规律，并化为一般式即可求解． 【详解】解：函数图像向左平移1个单位长度 故答案是：B． 【点睛】本题考查图像的平移，属于函数性质的基础应用题型，难度不大．解题的关键是掌握函数图像平移的规律，即“左加右减，上加下减；x管左右，y管上下”． 3．（2024·江苏南京·二模）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，能够明确题意，求得直线l与y轴的交点是解题的关键．设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则，利用勾股定理求得，即可求得C 点的坐标，进一步求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式，进一步求得过点A垂直于的直线解析式，即可求得直线l的表达式． 【详解】解：如图， 设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线l与y轴的交点为D，B关于直线l的对称点为C， 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线l为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴直线l为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线l的函数表达式是， 过点A作，交y轴于点E， 则， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴直线为， ∴直线l的函数表达式是或． 故答案为或． 4．（2023·江苏南京·三模）以下对一次函数的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）． ①向下平移4个单位长度得到一次函数的图像； ②向左平移4个单位长度得到一次函数的图像； ③绕原点旋转得到一次函数的图像； ④先沿轴对称，再沿轴对称得到一次函数的图像． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数的平移，判断①②，根据旋转的性质以及轴对称的性质，分别画出图形判断③④即可求解． 【详解】解：一次函数 ①向下平移4个单位长度得到一次函数，即的图像，故①正确，符合题意； ②向左平移4个单位长度得到一次函数，即的图像，故②正确，符合题意； ③如图所示，绕原点旋转得到一次函数或的图像；故③不正确，不符合题意；      ④如图所示，先沿轴对称得到，再沿轴对称得到一次函数的图像，故④正确，符合题意；          故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，轴对称与旋转的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．（2022·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移方式可直接进行求解． 【详解】解：由将函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像的函数表达式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键． 6．（2023·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B． (1)求直线对应的函数表达式； (2)将直线______可以得到函数的图像．（填写所有正确的序号） ①向右平移6个单位长度； ②向下平移6个单位长度； ③绕点按逆时针方向旋转； ④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【答案】(1) (2)②③④ 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键． （1）求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）分别求得变换后的函数解析式判断即可． 【详解】（1）解：将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， 直线的解析式为； （2）①将直线向右平移6个单位长度得到； ②将直线向下平移6个单位长度得到； ③将直线绕点按逆时针方向旋转得到； ④将直线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； ∴②③④正确． 7．（2023·江苏南京·二模）已知关于x的一次函数（k为常数，）． (1)不论k为何值，该函数图像都经过一个定点，这个定点的坐标为___________； (2)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值， (3)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，结合图像，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，，即可得到定点的坐标； （2）求出与坐标轴的交点坐标，利用函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为3，进行求解即可； （3）分和两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴不论k为何值，该函数图像都经过一个定点，这个定点的坐标为； 故答案为：． （2）解：当时，． ∴与坐标轴的交点坐标为：； 由题意得：． 解得． （3）解：当时，， 当时， ∵该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点， ∴该点只能是，如图： ∴的函数值在和之间，且函数值可以等于，即：； 当时， ∵该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点， ∴该点只能是，如图： ∴的函数值在和之间，且函数值可以等于，即：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 8．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______； (3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)两个函数图象的交点坐标为(-1，0)； (2)(-3，2) (3)a的取值范围是a>1或a<-1． 【分析】（1）把a=-1代入求得y1=-x-1，再联立解方程组即可求解； （2）把y1=ax+3a+2变形为y1-2=a(c+3)，据此即可求解； （3）画出函数图象，当直线y1=ax+3a+2经过y2=x+1与x轴的交点B(-1，0)时，求得此时a的值；当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时，求得此时a的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵y1=ax+3a+2， ∴当a=-1时，y1=-x-1， 联立， 解得， 故两个函数图象的交点坐标为(-1，0)； （2）解：因为y1=ax+3a+2 (a为常数，a≠0), 所有y1-2=a(c+3)，所以当x=-3时，y1恒等于2， 所以y1=ax+3a+2的图象过定点A，其坐标为(-3，2)； 故答案为：(-3，2)； （3）解：画出函数图象如图： 当直线y1=ax+3a+2绕着点A旋转，点B为y2=x+1与x轴的交点，坐标为B(-1，0)， 此时0=-a+3a+2， 解得a=-1， 当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时， 此时a=1， ∴当a>1或a<-1时，两个函数图象的交点在第三象限， 故a的取值范围是a>1或a<-1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是结合一次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围的影响． 9．（2022·江苏南京·一模）（新情境）已知一次函数y1＝kx－2（k为常数，k≠0）和y2＝x＋1． （1）当k＝3时，若y1＞y2，求x的取值范围． （2）在同一平面直角坐标系中，若两函数的图像相交所形成的锐角小于15°，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）x＞；（2）＜k＜，且k≠1 【分析】（1）解不等式3x－2＞x+1即可； （2）y2斜率为1，图象与x轴形成的角度为45°，若两函数的图像相交所形成的锐角小于15°，画出大致图象可判断出y1与x轴所形成的角度范围是30°到60°之间，根据特殊角的正弦值可得出k的取值范围. 【详解】解：（1）当k＝3时，y1＝3x－2． 根据题意，得3x－2＞x+1，解得x＞． （2）如图，    ∵y2＝x＋1， ∴∠ABO=∠OBA=45°， ①若k＜0，假设图象为y21,此时，两直线夹角一直大于45°，不符合题意，舍去； ②若k＞0，假设图象为y22,此时，存在两直线夹角小于15°，由图象可得，当夹角达到最大15°时，y22与x轴夹角达到最小为30°，∴k＞ ，当两直线平行时，无交点，此时k=1，不符合题意，舍去；当k＞1时，当夹角达到最大15°时，y23与x轴夹角达到最大为60°，∴k＜ ， 综上所述，＜k＜，且k≠1. 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，考查了函数图象夹角问题，归根结底就是考查斜率问题，抓住问题关键即可解答此题. 10．（2025·江苏南京·一模）代数式，代数式． (1)当时，若，则的取值范围是_________； (2)若，，判断代数式与的大小，并说明理由； (3)将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一次函数的性质，整式的加减计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由题意可证明，据此可得结论； （3）先求出，当时，，满足题意；当时，C是x的一次函数，据此讨论m的值利用一次函数的增减性列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，，， ∴， 解得； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，， ∴ ， ∴ 当时，，满足题意； 当时，则C的值随x增大而增大， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 当时，则C的值随x增大而减小， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 综上所述，． 题型二 一次函数与方程、不等式综合 11．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数与为常数），当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点，以及一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．联立两条直线的解析式求得交点坐标，由当时，，结合函数图象，可得，由此可得． 【详解】解：联立两个解析式得， 解得， 两条直线的交点坐标为， 当时，，结合图象可得， ， 解得． 故答案为：． 12．（2023·江苏南京·三模）已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据一次函数的图像可得，再代入解不等式即可得． 【详解】解：由一次函数的图像得：，即， 代入得：，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键． 13．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数y1=kx-2（k为常数，k≠0）和y2=-x+3． (1)若y1的图象经过点（2，2），求k的值； (2)在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围； (3)当x＜1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是______． 【答案】(1)k的值为2； (2)x＜； (3)-1≤k≤4且k≠0． 【分析】（1）把点（2，2）代入y1=kx-2，即可求解； （2）将k=2代入解析式然后求不等式，即可求解； （3）把x=1代入y2=-x+3求出交点坐标然后作图，通过观察图象求解． 【详解】（1）解：把点（2，2）代入y1=kx-2，得2=2k-2， 解得：k=2； ∴k的值为2； （2）解：由（1）知y1=2x-2， 解不等式：2x-2<-x+3得：x＜； （3）解：由题意得，两直线交点横坐标为1， 把x=1代入y2=-x+3得y=2， 即交点坐标为（1，2）． 把（1，2）代入y1=kx-2得k=4， ∴y1=4x-2． 如图， ∵y1过定点（0，-2）， ∴0＜k≤4满足条件． 当k=-1时，直线y1与y2互相平行， ∴-1≤k＜0时也满足题意． 综上所述，-1≤k≤4且k≠0． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合的解题技巧是解题关键． 14．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数y1＝－x＋m－3（m为常数）和y2＝2x－6 (1)若一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围； (2)当x＜3时，y1＞y2，结合图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)m＞3 (2)m≥6 【分析】（1）先解得一次函数与x轴的交点，再令交点坐标为正数，转化为解一元一次不等式即可； （2）根据图象，将问题转化为解一元一次不等式． 【详解】（1）解：令y1＝0，得x＝m－3， ∵一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧， ∴m－3＞0， ∴m＞3. （2）如图，由（1）可得y1＝－x＋m－3与轴交点为横坐标为m－3， 当x＜3时，y1＞y2， 则m－3≥3 ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，涉及一次函数与x轴的交点、一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 15．（2023·江苏南京·一模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣2x+6． (1)当k＝﹣3时，若y1＞y2，求x的取值范围． (2)当x＜1时，y1＜y2，结合图象，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)x＜﹣8 (2)﹣2≤k≤6且k≠0 【分析】（1）将k＝﹣3代入解析式然后求不等式． （2）把x＝1代入y2＝﹣2x+6求出交点坐标然后作图，通过观察图像求解． 【详解】（1）解：当k＝﹣3时，y1＝﹣3x﹣2，y2＝﹣2x+6． 当y1＞y2时，﹣3x﹣2＞﹣2x+6， 解得x＜﹣8． （2）由题意得，两直线交点横坐标为1时， 把x＝1代入y2＝﹣2x+6得y＝4， 即交点坐标为（1，4）． 把（1，4）代入y1＝kx﹣2得k＝6， ∴y1＝6x﹣2． 如图， ∵y1过定点（0，﹣2）， ∴0＜k≤6满足条件． 当k＝﹣2时，直线y1与y2互相平行， ∴﹣2≤k＜0时也满足题意． 综上所述，﹣2≤k≤6且k≠0． 【点睛】本题主要考查的是一次函数图像的综合运用，掌握一次函数图形的性质是解题的关键． 16．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图1，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为． （1）在图②中画出的号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图2中画出的号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是 ． 【乘法线】 （4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线（为常数，）上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①互相垂直；②，；（4）；（5）男同学人数是人；（6） 【分析】本题考查了新定义，坐标，正比例函数，一次函数的性质，两直线交点求方程组的解； （1）根据新定义，类比画出的号加法线； （2）根据新定义，类比画出的号加法线； （3）①观察图象即可求解； ②根据题意写出解析式，即可求解； （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，分别画出号乘法线与的号减法线，交点的横坐标即为所求； （6）根据题意得，则过定点，进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）在图②中画出的号加法线，如图所示， 作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．    （2）作的减法线，先在横线上找到第一个被减数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号减法线．    （3）①如图所示，   的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直， 根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线， ∴的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直 ②∵则，，则， 故答案为：，． （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即， 号乘法线的函数表达式为； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人， 依题意，， 即画出号乘法线与的号减法线，如图所示， 交点对应的横坐标为， ∴男同学人数是人；    （6）如图所示，    2号减法线的解析式为，3号加法线的解析式为 ∵k号乘法线（k为常数，）上任一点的函数值与的2号减法线和的3号加法线． 设k号乘法线的解析式为， ∴，则过定点， 如图所示，    ∵当时，． 当时，， 将代入，得， ∴ 结合函数图象可得． 17．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 【答案】 且或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【详解】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 18．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 19．（2024·江苏南京·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的平移，一次函数的图象与不等式的关系，根据函数图象可得的解集为，向右平移3个单位得，则的图象与x轴交于点，即可求解． 【详解】解： 向右平移3个单位得， 向右平移3个单位得， ∴的图象与x轴交于点， 根据函数图象得的解集为， ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 20．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A． (1)求点A的坐标； (2)如图，设x轴上一点，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交与的图象于点B，C，连接，若，求的面积及点B、点C的坐标； 【答案】(1) (2)面积为42，点、 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，设出与坐标，表示出，由已知与关系，及的长求出的长，求出的值，过作垂直于，求出三角形面积；由的值确定出与坐标即可； 【详解】（1）解：联立得：， 解得：， 则点的坐标为； （2）解：根据勾股定理得：， ， ， 设点， ， 解得：， 过点作，如图所示， ， 当时，， ． 题型三 一次函数的实际应用 21．（2022·江苏南京·一模）将函数y＝-2x＋4的图像绕图像上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图像经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】作出函数的图象，并在图象上找出横坐标分别为2，1，0，-1的四点A、B、C、D，过点P作PM垂直直线于点M，求出PM的关系式，并求出与直线的交点坐标，得出PM的长，求出当它们的夹角大于45°小于90°时，分别求出PA、PB、PC、PD，然后与PN进行比较即可得出答案． 【详解】解：作出函数的图象，并在图象上找出横坐标分别为2，1，0，-1的四点A、B、C、D，且其坐标分别为（2，0），（1，2），（0，4），（-1，6），过点P作PM垂直直线于点M，如图所示： 设PM的关系式为，把（3，5）代入得：，解得：， ∴PM的关系式为， 联立，解得：， ∴点M的坐标为， ， 设过点P的直线与直线的交点为N，当它们的夹角为，当时，， 当它们的夹角大于45°小于90°时，， ∴， ， ， ， ， 又∵， ∴PA与直线之间的夹角小于45°， 即点P的横坐标不可能是2，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，一次函数图象的性质和解直角三角形，根据题意得出是解题的关键． 22．（2023·江苏南京·模拟）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min）， 追及的路程为（km）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 所以乙车的速度v的取值范围是． 故答案为：． 23．（2022·江苏南京·二模）（新情境）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中线段所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中折线段所示，则E点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是从图象中获取准确信息，根据速度与路程关系正确计算． 根据题意和函数图象中的数据，可以求得小丽和小明的速度，可知点E为小明到达甲地时，然后即可得到点E的横坐标，根据相关数据求出坐标即可． 【详解】解：由图可得， 小丽的速度为：， 小明的速度为：， 故点E的横坐标为：，纵坐标是：， 故答案为：． 24．（2023·江苏南京·一模）在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图，则乙在行驶过程中，直接写出当x＝ 时距甲5km． 【答案】或或 【分析】根据一次函数图像的性质，通过列方程并求解，得一次函数解析式，通过计算，即可得出答案． 【详解】设，将（0，120）和（0.5，90）代入得： 解得： ∴ 设，将（0，90）和（3，0）代入得： 解得： ∴ 乙在行驶过程中距甲5km分三种情况： 第一种情况，甲在乙后面5km，即甲距C村远5km，则 ∴， 解得：， 第二种情况，乙在甲后面5km，即乙距C村远5km，则， ∴， 解得：， 第三种情况，甲已经到C村，乙距C村5km，则， ∴， 解得：， 当时，得： ∴，即时，甲已经到C村 ∵ ∴符合题意 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解． 25．（2025·江苏南京·一模）A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)补全y1与x之间的函数图像： (2)若慢车的速度为． ①点P的坐标为 ； ②快车到达A地前，两车何时相距？ (3)若慢车在快车返回A地后的内到达，则慢车速度v的范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②当或或或时 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）根据快车到达B地后立即按原路原速返回，可得快车返回A地时，，即可补全与x之间的函数图象； （2）①求出快车速度为，可知两车出发后相遇，此时相遇处距A地，故P的坐标为； ②当时，，当时，，分别解方程可得答案； （3）分别求出慢车的速度进行比较即可． 【详解】（1）解：∵快车到达B地后立即按原路原速返回， ∴快车返回A地时，； 补全与x之间的函数图象如下： （2）解：①快车速度为， ∵， ∴两车出发后相遇，相遇处距A地， ∴P的坐标为； 故答案为：； ②根据题意得， 当时，， ∵两车相距， ∴， 解得或； 当时， ， ∵两车相距， ∴， 解得或； 综上所述，当或或或时，两车相距； （3）解：∵，， ∴； 故答案为：． 26．（2025·江苏南京·一模）圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据： 游泳次数x 1 2 3 4 5 … 总花费y/元 230 260 290 320 350 … (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？ 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入与之间的函数表达式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设y与x之间的函数表达式为． 由，，得． 由，，得． 解方程组，得． 所以． （2）解：当时，． 解这个方程，得． 所以当总花费为800元时，圆圆游泳的次数是20． 27．（2024·江苏南京·一模）“五一”长假，小王与小叶相约分别驾车从南京出发，沿同一路线驶往距南京的甲地旅游．小王由于有事临时耽搁，比小叶迟出发小时．而小叶的汽车中途发生故障，等排除故障后，立即加速赶往甲地．若从小叶出发开始计时，图中的折线、线段分别表示小叶、小王两人与南京的距离、与时间之间的函数关系． (1)小叶在途中停留了 ； (2)求小叶的汽车在排除故障时与南京的距离； (3)为了保证及时联络，小王、小叶在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过，试通过计算说明，他们实际的行驶过程是否符合约定？ 【答案】(1)； (2)； (3)符合． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，从函数图象获取信息是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）求出直线的函数表达式为， 从而求出点的坐标为， 再直线的函数表达式为，求出点的坐标即可； （）由图象可知：当 时，， 当时，，从而求解． 【详解】（1）解：小叶在途中停留了， 故答案为：； （2）解：设直线的函数表达式为． 根据题意，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点在直线上，且点的横坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为． ∴直线经过点、点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点在直线上，且点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴小叶在排除故障时，与南京的距离是； （3）解：由图象可知： 当 时，， 当时，， ∴他们实际的行驶过程符合约定． 28．（2025·江苏南京·模拟预测）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河； (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围； (3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象． 【答案】(1)100，10 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）根据甲车用时行驶了即可得甲车改变速度前的速度；利用时间路程速度即可得乙车行驶到达绥芬河所需时间； （2）先求出甲车行驶到达绥芬河所需时间为，再利用待定系数法求解即可得； （3）分别求出当、和时，与之间的函数关系式，再画出函数图象即可得． 【详解】（1）解：甲车改变速度前的速度是， 乙车行驶到达绥芬河所需时间为， 故答案为：100，10． （2）解：由题意得：甲车行驶到达绥芬河所需时间为， 设甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为， 将点和代入得：， 解得， 所以甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，． 则画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象如图②所示： 29．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像； (2)若慢车出发时与快车第次相遇． ①求快车从出发到返回甲地所用的时间； ②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意读懂函数图像是解题的关键． （1）根据题意可知快车和慢车的函数图像在时第一次相遇交于，因此借助慢车的函数图像确定点的位置，把连接点与并延长交直线于，然后对称作出快车返回甲地的函数图像即可； （2）①慢车的速度为，快车的速度为，根据快车出发两车相遇列出方程求出，根据路程速度时间得到，根据题意可得．设的函数表达式为，进而求出，然后求出当时，的值即可得到答案；②由①知，快车从出发到返回甲地所用的时间为小时，则快车到达乙地的时间为，则，结合当两车第次相遇的地点距离乙地可求出，根据路程速度时间，即可求解． 【详解】（1）解：慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发， 快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像过 设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意，两车第一次相遇时：， 解得：， 即两车第一次相遇的时间为，设两车的离甲地的距离（单位：）与时间的函数图像交于点，连接，并延长交所在直线于点，过点作轴于点，由于快车到达乙地后保持原速沿原路返回甲地，则快车返回甲地的图像应为关于对称的线段，设线段与慢车的图像交于点， 如图，即为所求所作； （2）①慢车的速度为，快车的速度为， 根据题意得：， ， ， ， 设的函数解析式为， 将代入得：， ， 的函数解析式为， 令，则， 解得：， 快车从出发到返回甲地所用的时间为小时； ②由①知，快车从出发到返回甲地所用的时间为小时， 则快车到达乙地的时间为，则， 当两车第次相遇的地点距离乙地， ， ， 故答案为：． 30．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由： (2)设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)①  ②存在；， 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键． （1）把，代入组合函数中，化简后进行判断即可； （2）①先求出点的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点代入“组合函数”，整理得，把代入“组合函数”，消去，把代入解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：是函数，的“组合函数”， 理由：由函数，的“组合函数”为：， 把，代入上式，得， 函数是函数，的“组合函数”； （2）解：①解方程组 得． 函数与的图像相交于点， 点的坐标为， 、的“组合函数”为， ， ，点在函数、的“组合函数”图像的上方． ，整理，得， ， 解得：， 的取值范围为； ②存在，理由如下： 函数的“组合函数”图像经过点． 将点坐标代入"组合函数"，得 ， ， ，． 将代入， 把代入，得 解得：， 设，则， ． 对于不等于的任意实数，存在“组合函数”图像与轴交点的位置不变． 题型四 一次函数与几何综合 31．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与轴对称，旋转变换，中点坐标公式，掌握待定系数法求一次函数的解析式以及几何变换是解题的关键． 根据题意得，连接，由旋转可知，绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，从而可求出点，进而可得直线m表达式为，联立直线m与直线l，可得交点，的中点，的中点坐标，则过两点的解析式即为直线的表达式，则过两点的解析式即为直线的表达式，由此即可求解． 【详解】解：设直线与轴交于点，令，则，令，则，如下图所示，，连接， ∵绕点逆时针旋转得到直线，则， 相当于绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作延长线于点，延长交轴于点，过点作延长线于点，则四边形是矩形，，，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，则， ∴，，则， 同理，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 设直线表达式为，代入两点坐标， ∴， 解得， 故直线表达式为， 如图所示，设直线与直线的交点为，连接，设与对称轴直线交于点， 联立直线与直线，得， 解得，即直线与直线的交点坐标为， ∵， ∴，即的中点为， 同理，的中点坐标为，即， ∵将直线沿直线翻折与直线重合，如图所示， ∴直线经过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， 即， 解得， 即直线的函数表达式为； 当对称轴为直线时，直线过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为； 综上所述，直线的函数表达式为或， 故答案为：或． 32．（2023·江苏南京·一模）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】6 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，当时，最小，推出四边形面积的最小，根据点在直线上，得到，推出，，根据，得到，根据即可得到答案． 【详解】取的中点E，连接， ∵， ∴， 当时，最小，就最小，与都最小，就最小， ∵点为直线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，三角形面积计算公式． 33．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过、的直线绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】设直线与轴的交点为点，过点作于点，先利用待定系数法求出直线的函数解析式为，从而可得，设点的坐标为，则，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据等腰三角形的判定可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为点，过点作于点， 设直线的函数解析式为， 将点、代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， 当时，，解得， ， ， ，， ，， 设点的坐标为，则， ， 在和中，， ， ，即， 解得， ， 直线绕点逆时针旋转，交轴于点， ， 又， ， ，即， 解得， 则点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、旋转的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 34．（2023·江苏南京·一模）如图，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点P在x轴上，若沿直线将翻折，点O恰好落在直线上的点C处，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由一次函数解析式求出点A、B坐标，进而求得，由折叠性质得，再根据点P在上与当点P在延长线上两种情况，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴点， ∴， ∴， ∵翻折得O与C关于对称， ∴， 分两种情况： ①当点P在上时， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得， ∴； ②当点P在延长线上时， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换、一次函数图象与x轴的交点问题、勾股定理、解一元一次方程，解答的关键是掌握翻折的性质，运用勾股定理列出方程解决问题． 35．（2023·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆．若一次函数（k为常数，）的图像与有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据题意，首先得出一次函数必过定点（-5,0），则直线绕点（-5,0）旋转，与有公共点，即找出两个相切的极限位置，求出对应的k值，k在两个极限位置k值之间． 【详解】∵一次函数解析式为：（k为常数，）， ∴当时，y=0，即一次函数必过定点， 设一次函数与x轴和y轴分别交于点A,B， 当直线AB与相切时，切点为M，有两种情况，如图所示： ①当直线与y轴交于正半轴时，连接OM， ∵直线AB与相切， ∴OM⊥AB， ∴∠AMO=90°， 在Rt△AMO中， , ∴, 在Rt△ABO中， , 解得：, 即B点坐标为， 代入一次函数解析式， 解得， ②当直线与y轴交于负半轴时，同理可得： B点坐标为， 代入一次函数解析式， 解得， ∴且， 故填：且． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，勾股定理及解直角三角形，解题关键是熟练掌握直线与圆的位置关系，将几何关系转化为代数关系． 36．（2023·江苏南京·一模）如图，在直角坐标系中，的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（8，0），B（12，4），直线以每秒2个单位的速度向右平移，经过 秒该直线可将的面积平分． 【答案】2.75 【分析】连接OB、AC交于E，直线与x轴交于D，当直线过E时，的面积平分，过E作直线的平行线交x轴于F，先求得直线EF解析式为，再求得点F的坐标为（5，0），由此即可求解． 【详解】如图，连接OB、AC交于E，直线与x轴交于D， 当直线过E时，的面积平分，过E作直线的平行线交x轴于F， 在中令得， ， ， ∴E是OB中点， ∵B（12，4）， ∴E（6，2） 设直线EF解析式为， 将E（6，2）代入可得：， ， ∴直线EF解析式为， 令得， ∴F（5，0）， ． ∴移动直线将的面积平分所需移动时间是． 故答案为：2.75． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积． 37．（2023·江苏南京·二模）一次函数的图象经过点，并且与直线相交于点B，与x轴相交于点C，若点B的横坐标为3，求： (1)B点的坐标和k，b的值； (2)在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P，B，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，，， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据点的横坐标，求出点坐标，再利用待定系数法求出k，b的值即可； （2）设，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 把，，代入，得： ，解得：； （2）存在； ∵，， ∴， 设，则：，， 当时，，解得：或， ∴，， 当时，，解得：或（舍去）， ∴， 当时，，解得：， ∴． 38．（2023·江苏南京·模拟预测）（文化背景）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)和； (2)点的坐标为或； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】（1）解：，， ， 为等距点． ，， ， 为等距点． ，， ， 不为等距点． ， ，，，， 为完美等距点， 故答案：和；； （2）解：在上， ， ， ， ， 或． 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ， ，， 点是线段的“等距点”， ， ， 解得：， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 39．（2023·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点点为线段上的一个动点点不与、重合，点为第一象限内一点，且同时满足，． (1)求点、点的坐标； (2)是否存在满足条件的点在函数的图象上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标图象，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，通过三角形相似表示出点的坐标是解题的关键． （1）坐标轴上点的坐标特征，即可求得点、的坐标； （2）求得，即可得到，从而求得，即可对称，，设，则，求得，通过证得，求得，，代入即可求得，即可求得，． 【详解】（1） 解：函数与轴交于点，与轴交于点， 时，，解得， ， 令，则， ； （2） 存在满足条件的点在函数的图象上， 作轴于， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， 点在函数的图象上， ， 解得， ． 40．（2023·江苏南京·二模）如图，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过线段上两点、分别作轴的垂线，垂足为、，记的面积为，的面积为．    (1)若点的横坐标为2，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，进而根据三角形面积公式即可求解； （2）先得出，设、两点的横坐标分别为、，且，根据三角形面积公式表示出,根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）当时，， ∴ ∴ （2）由，当时，，即， 设、两点的横坐标分别为、，且 于是、、 ，， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，三角形的面积，因式分解的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型五 反比例函数的图象与性质 41．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 42．（2024·江苏南京·三模）已知反比例函数的图像经过点，则下列关于与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、分式运算等知识，正确求得的值是解题关键．首先根据题意可得， ，，进而可求得，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 43．（2024·江苏南京·三模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象，熟练知识点是解题的关键． 可求，根据反比例函数k的几何意义得到，则． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得到， 而反比例函数的图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 44．（2023·江苏南京·一模）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．（1）正比例函数，时，正比例函数图象过第一、三象限；时，正比例函数图象过第二、四象限；（2）反比例函数，时，反比例函数图象在第一、三象限；时，反比例函数图象在第二、四象限． 【详解】正比例函数与函数的图像没有交点， ， k的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 45．（2023·江苏南京·一模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则 ．（填“”“ ”或“＝”） 【答案】 【分析】根据题意可知在每一象限内，y随x的增大而减小，根据性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，正确理解性质是解题的关键． 【详解】根据题意，得当时，函数自变量变大，其对应函数值减小，当时，自变量变大，函数值将变小， 故答案为：． 46．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 47．（2024·江苏南京·三模）点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值． (1)求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率； (2)若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，解题的关键是画出树状图． （1）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据第四象限点的坐标特征找出点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据点P坐标的情况数，得出的情况数，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：画树状图为： ∵共有12种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为：4， ∴点在平面直角坐标系中第四象限内的概率为； （2）解：∵共有12种等可能的结果，其中的情况数有8种，即反比例函数的图象在二、四象限的情况数有8种， ∴反比例函数的图象在二、四象限的概率是． 48．（2023·江苏南京·二模）（新情境）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出了表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：①　　，②　　； (4)设，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． x … 1 2 … y … … 【答案】(1) (2)详见解析 (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； (4) 【分析】 本题考查函数自变量取值范围，画函数图象，探究函数的图象及性质；熟练掌握探究函数性质的方法，能结合表格、图象探究函数性质是关键． （1）由可得，， （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）根据图象即可得到函数的性质； （4）根据函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：由可得， 故答案为：； （2）解：所画函数图象如下图： （3）解：探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是， ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，y随x的增大而增大； 故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （4）解：由图象可知，当时，y随x的增大而减小，； ， ， ， ， ， ． 49．（2023·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．    (1)求m和n的值； (2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答案） (3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为 ．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法由条件可知，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将所给坐标代入函数解析式中，求出m,n的值； （2）点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得，所以有两种情况,，结合反比例函数的性质，再根据e的取值得出f的取值范围； （3）画出图形， 由条件算出相应点的坐标，再利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形面积公式等于底×高， 再通过，即可计算出． 【详解】（1）解：∵函数（）的图像过， ∴，解得m＝12． 又∵也在反比例函数图像上， ∴，解得：； （2）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， 当时，， ∵， 故每个分支y随x增大而减小， 故当时，或； （3）解：把，代入得：，解得：， 即直线的解析式为， 令，则， ∴， 根据题意画图形如下：   ， 由题意得：， 过A点作， ∵，， ∴，， ∴在中，，由勾股定理得：， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数综合问题，涉及到勾股定理、菱形的性质等，灵活运用所学知识是关键． 50．（2023·江苏盐城·三模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图像和性质进行了探究，研究过程如下：      如图2，在平面直角坐标系xOy中，请用描点法画出的图像，并完成如下问题： (1)函数的图像可由函数的图像向左平移_______个单位，再向下平移_____个单位得到，其对称中心坐标为_____； (2)根据该函数图像指出，当x在什么范围内变化时，?直接写出结果_________． 【答案】(1)3，2， (2) 【分析】（1）先用描点法画出图像，再根据函数图像的平移规律即可解答； （2）先求出时，x的取值，然后结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：画出的图像如图所示：    则将函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位可得， 的对称中心为，向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得对称中心为． （2）解：当时，有，即； 由图像可得：当时，． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数的性质、对称中心、运用函数图像求不等式解集等知识点，正确画出函数的图像是解答本题的关键． 题型六 反比例函数系数k的几何意义 51．（2023·江苏南京·一模）如图，点A，B在反比例函数（）图像上，点A的横坐标为1，连接，若，的面积为4，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点A作轴，过点B作轴，设点，点B的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出求出，从而得出，求出即可 【详解】解：设点， 过点A作轴，过点B作轴，垂足分别为M，N，如图，    则 设点B的坐标为，则， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，或（舍去） ∴（负值舍去） ∴点B的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵反比例函数（）图像在第一象限， ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 52．（2023·江苏南京·二模）如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可知k的绝对值为2S△OPQ，反比例函数的图象在第二象限，即可判断出k的值． 【详解】解：∵△OPQ的面积是2， ∴k的绝对值为4， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k的值为﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解k与△OPQ的面积的关系，是解决问题的关键． 53．（2024·江苏南京·二模）如 图，点 、在 反 比 例 函 数 的图像上，连接 并延长交 轴于点，若是的中点，的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，过作，过作，连接，得到，根据的几何意义和为的中点，得到，再根据的面积为3，求出的面积即可得解． 【详解】解：过作，过作，分别交于点，连接，    则：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点，则， ∴， ∴． 故答案为：． 54．（2024·江苏南京·一模）如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为 ．    【答案】6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出，，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D，连接，    ∵平行四边形的面积是4， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵点B在的图象上， ∴ 故答案为：6 55．（2023·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点两点，连接，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数、两条直线的平行问题、三角形的面积、一次函数图象上的点的坐标特征，根据同底等高的三角形面积相等可得到，根据三角形的面积可得到点A的横坐标，代入即可求得结果，解题的关键是得到点A的坐标． 【详解】解：设直线交y轴于点C，则点，连接， 由题可得， ∴， ∵的面积为3， ∴， 即， 解得：， ∵点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入得， ∴， ∵函数的图象过点A， ∴， 故答案为：． 56．（2023·江苏南京·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于两点．若轴，轴，则 ．    【答案】10 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，得到两点关于原点对称，设点，则：，进而求出点的坐标，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于两点， ∴两点关于原点对称， 设：，则：， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，是解题的关键． 57．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据反比例函数的k的几何意义，可得，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是的中点，即可得到答案； 【详解】解：∵点A在反比例函数，轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图像交于A，C两点，轴， ∴O是的中点， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键.． 58．（2022·江苏南京·二模）点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C、D在x轴上．若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝ ． 【答案】15或-3/-3或15 【分析】由四边形ABCD是正方形得AB//x轴，，延长AB交y轴于E，根据反比例系数k的意义得，，即，即，时，，即求解以上两种情况即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB//CD， 即AB//x轴， 当， 如图所示，延长BA交y轴于E， ∵，，正方形ABCD的面积为9， ∴， 即， ， 当，此时反比例函数的图象分布在第二象限才会存在正方形ABCD. 如图所示， ∵，，正方形ABCD的面积为9， ∴， 即， ，此时 ∴ 故答案为：15或-3 【点睛】本题考查了反比例系数k的意义，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例系数k的意义并合理分类讨论． 59．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 【答案】-2 【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴OA＝OB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∵， ∴， ∵反比例函数图像位于第二象限， ∴k＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键． 60．（2022·江苏南京·一模）如图，点是函数图像上的任意一点，点、在反比例函数的图像上．若轴，轴，阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图像上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图像上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设 ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图像上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，过图像上一点作坐标轴的垂线构建矩形是常用的解题方法．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键． 题型七 实际问题与反比例函数 61．（2025·江苏南京·一模）（新情境）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得， ∴， ∴当时，则； 故答案为：5． 62．（2025·江苏南京·一模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图像如图所示．当时， ． 【答案】50 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合图象，先求出反比例函数的解析式，再把，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：设，由图象可知，点在函数图象上， ∴， ∴， ∴当，； 故答案为：50． 63．（2025·江苏南京·模拟预测）（跨学科融合）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】4 【分析】本题是反比例函数的应用问题，设解析式为 ，用待定系数法求解得到把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 故答案为：4． 64．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用) 【答案】(1) (2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键． （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元， 答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元． 65．（2025·江苏南京·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 【答案】6米 【分析】证明，得出，代入数据求出，设点B的坐标为，则点的坐标为，求出，得出反比例函数解析式为：，设点D的坐标为，得出，证明，得出，即，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米，米，，，， 则，，（米）， ∴， ∴， 即， 解得：， 设点B的坐标为，点的坐标为， ∵灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为， 设反比例函数解析式为， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：， 设点D的坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴（米）， 答：树与路灯相距6米． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，求出反比例函数解析式． 66．（2023·江苏南京·一模）（新情境）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车出行 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 67．（2024·江苏南京·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）老师安排不合理，理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 68．（2024·江苏南京·一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围? 【答案】(1) (2)该可变电阻应控制在以上 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可解答； （2）结合图像和反比例函数，即可解答． 【详解】（1）解：设 ，图象经过， ∴， ； （2）解：， ， ， ， ， ∴该可变电阻应控制在及以上． 69．（2024·江苏南京·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 (1)求P与x之间满足的函数关系式； (2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时， (2)在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【分析】（1）设基本价为b，第1场—第20场，且x为正整数，设P与x的函数关系式为，依题意得：，计算求解进而可得一次函数解析式；第21场—第40场，即且x为正整数时，设P与x的函数关系式为，即，依题意得：，计算求解进而可得反比例函数解析式； （2）设每场获得的利润为w万元．当，且x为正整数时，，由二次函数的图象与性质求最值即可；当，且x为正整数时，由反比例函数的图象与性质求最值即可，然后进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：设基本价为b，第1场一第20场，且x为正整数， 设P与x的函数关系式为， 依题意得：， 解得：， ∴． 第21～第40场，即且x为正整数时， 设P与x的函数关系式为， 即． 依题意得：， 解得， ∴， ∴当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为； 当且x为正整数时，． （2）解：设每场获得的利润为w万元． 当，且x为正整数时， ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）． 当，且x为正整数时，， ∵w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）， ∵， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 70．（2024·江苏南京·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 题型八 反比例函数与一次函数综合 71．（2023·江苏南京·二模）正比例函数和反比例函数的图像如图所示，交点的坐标是，那么当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设正比例函数与反比例函数图象的另一交点为，根据正比例函数与反比例函数图象的对称性可知：A与B关于原点对称，从而可求出点B的坐标，然后结合图象就可解决问题． 【详解】解：如图所示，设正比例函数与反比例函数图象的另一交点为， ∵正比例函数与反比例函数的图象都是以原点为中心的中心对称图形， ∴它们的交点A、B关于原点成中心对称， ∵点A的坐标为（1，4）， ∴点B的坐标为（-1，-4）． 结合图象可得：当时，此时正比例函数图像应位于反比例函数图像上方， ∴x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查的是有关正比例函数与反比例函数图象交点问题，运用数形结合的思想是解决本题的关键． 72．（2023·江苏南京·二模）如图，一次函数y＝－x＋6的图像与反比例函数（k为常数，k≠0）的图像交于点A、B，若AB＝ ，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】首先作出辅助线，构造Rt△ABC，利用一次函数解析式，表示出A、B两点坐标，用坐标表示出两直角边，证明△ABC是等腰直角三角形，利用三角函数求出BC的长，再将反比例函数与一次函数联立求出交点的横坐标，表示出，列出方程即可求得． 【详解】过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线交于点C，则,如图： 设， 由图可知：， ， ∴, ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴, ∴, 解得, ∴, ∴， 令，() 化简得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图像上点的坐标特征，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，分式方程，解一元二次方程，表示出两函数的交点的横坐标是解题关键． 73．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键． 根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得， ， 又∵， ， 则， ∴． 故答案为：2． 74．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．    【答案】8或18 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值． 本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键． 【详解】解：设时，正比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴正比例函数的表达式为． 设时，反比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 当时，把代入得， ， 解得． 当时，把代入得， ， 解得． 综上，当时，x的值是8 或18． 故答案为：8或18． 75．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点A在第二象限，点O为坐标原点，．反比例函数的图像经过点A，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键． 利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：当反比例函数的图象与图象交于点A时，k的绝对值最大， 此时点A的坐标为， ， 若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是， 故答案为：． 76．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，且．若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求得的最大值是解题的关键．根据题意可知为反比例函数的图象与直线的交点时，的值最大，求得在直线上时点的坐标，即可求得的最大值，即可得到距离． 【详解】解：由题意可知为反比例函数的图象与直线的交点时，的值最大， ， 在直线上时，， 此时， 点在第一象限， ， 的取值范围是， 故答案为：．    77．（2024·江苏南京·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，． (1)求a、k的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据数形相结合的思想结合图形即可得解． 【详解】（1）解：∵点，都在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， ∵， ∴，解得． ∵在直线的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴． ∴． （2）解：由（1）可知：，， 直线与x轴的交点坐标是， 根据函数图象可知，时，x的取值范围为：或． 78．（2024·江苏南京·一模）函数与的图象相交于、两点． (1)求及的值； (2)结合函数图象，直接写出的解集． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】()利用待定系数法即可求解； ()先求出两个函数解析式，再求出交点坐标，最后根据图象直接写出不等式的解集即可； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：将点分别代入两个函数解析式得，，， ∴，； （2）解：由 ()可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立函数式得，， 解得或， ∴， 画函数图象如下： 由图象可知不等式的解集为或． 79．（2023·江苏南京·模拟预测）（新情境）概念引入 定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”．例如：图①中的是“复兴点”． (1)在点，，中，是“复兴点”的点为 ； 初步探究 (2)如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合． 深入探究 (3)若反比例函数的图像上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是 ． (4)若一次函数的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围． 【答案】(1)A，B； (2)见解析 (3)或 (4)当时，复兴点的个数为0；当或时，复兴点的个数为1；当或或时，复兴点的个数为2 【分析】（1）根据“复兴点”的定义判断即可； （2）分，，，四种情形讨论即可； （3）分，两种情形讨论即可； （4）先判断一次函数的图像经过定点，然后分别求出一次函数的图像经过（2）中点M，N，P，Q时的k值，最后结合图像解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，对而言，，故点A是“复兴点”； 对而言，，故点B是“复兴点”； 对而言，，故点C不是“复兴点”； 故答案为：A，B； （2）解：当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 画图如下： （3）解：当时， ∵反比例函数的图像上存在4个“复兴点”， ∴反比例函数的图像与，的图像各有两个交点， 联立方程组，， 化简得，， ∴， 解得， ∴； 当时， 解：当时， ∵反比例函数的图像上存在4个“复兴点”， ∴反比例函数的图像与，的图像各有两个交点， 联立方程组，， 化简得，， ∴， 解得， ∴； 综上，当或时，反比例函数的图像上存在4个“复兴点”； （4）解：当时，， ∴一次函数的图像经过定点， 当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时， ，解得； 当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时， ，解得； 当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时， ，解得； 当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时， ，解得， 如图， ， 结合函数图像可知：当时，复兴点的个数为0； 当或时，复兴点的个数为1； 当或或时，复兴点的个数为2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图像等，理解题意，学会寻找特殊点解决问题是解题的关键． 80．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标． （1）利用待定系数法求出，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：令，， ∴点的坐标为， ∴， 由题意得，即， ∴， ∴点的坐标为或． 题型九 反比例函数与几何综合 81．（2024·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出．作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案． 【详解】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点， 点，，， 点，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴点，， 点A，是函数图象上的两点， ∴， 解得， ∴ 故选：B． 82．（2022·江苏南京·一模）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】设A点坐标为，则，用、的代数式表示、、坐标，根据双曲线经过的中点，列方程求出，再由矩形对角线相等列方程求出，即可得A坐标，从而求出． 【详解】解：设A点坐标为， 则，， 如图，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即，且在图象上， ，， ， 点是的中点， ，，， ，， 双曲线经过的中点， ， 解得， ，，， 而，且由矩形可得， ， 解得或（舍去）， ， 代入得：． 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设后，用含、的代数式表示、、的坐标，然后根据等量关系列方程． 83．（2025·江苏南京·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，不等式的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得出，再结合即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点在反比例函数的图象上， ． ， 且当时等号成立， ， 则的最小值为． 故答案为：． 84．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键． 设反比例函数解析式为，则；根据已知条件可得、；然后根据可得①以及的面积为4可得②；①、②联立解得：，即；然后求出关于y轴对称的解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，则 ∴，, ∴， ∵， ∴①， 如图：过A作轴，过B作轴， ∵的面积为4， ∴②， ①、②联立解得：， 经检验符合题意， 所以此函数图像的解析为， 所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为． 故答案为． 85．（2023·江苏南京·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 先根据题意确定点的坐标，再点的坐标的特征表示出的坐标，最后根据列方程即可解答． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点在上， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 即 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解， ∴，（舍去）， ∴， 故答案为． 86．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等腰的斜边在x轴上，顶点A在反比例函数的图像上，连接，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、 反比例函数图象上点的坐标特征以及解分式方程， 解题的关键是找出，解决该题型题目时， 根据线段间的关系找出关于的分式方程是关键． 【详解】 解：过点作轴于点，如图所示 ． 设点的坐标为，． 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（舍 去） ， 经验证是方程的解 ． 点的坐标为． 故答案为：． 87．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段的中点，连接．若．求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；设A点坐标为，C点坐标为，根据线段中点坐标公式可得B点坐标为，利用点在反比例函数图象可得，再根据三角形面积公式即可求出k； 【详解】解：设A点坐标为，C点坐标为， B恰为线段的中点， 点坐标为， B在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； 88．（2025·江苏南京·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解； （1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可； （2）设出点D的坐标，点E坐标，根据，得出 【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点， ∴点的坐标为， 代入得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， 点E坐标为 （2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点， 设点D的坐标为，点E坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（舍去）或， 则点D的坐标为，点E坐标为， ，， ． 89．（2025·江苏南京·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 解得：或； ∴或． 90．（2025·江苏南京·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)当时，有最大值，最大值为． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值问题，熟练掌握该知识点是解题的关键． （）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （）根据题意列出，根据二次函数最值问题解答即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，且点的纵坐标为， ∴，解得， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点， ∴，， ∴ ∴ ； ∴当时，有最大值，最大值为． 53 / 66 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押04 一次函数、反比例函数综合（9大题型） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 一次函数 2024年南京卷第19题；2023年南京卷第13题；2022南京卷第25题； 分析近三年的南京中考数学卷，发现一次函数和反比例函数在近几年均会考查一道题，难度一般是一道基础，一道一般难度；主要考查一次函数、反比例函数的图象与性质和应用，题型比较新颖，注重对题意的理解，需要学生认真审题，抓住题干的要求；一般考查的题型以填空题和解答题为主，多练习相关的习题； 一次函数与反比例函数是初中阶段比较重要的两个函数内容，涉及到的知识点有图象与性质、应用题、与方程、不等式的关系等等；这一块的题型注意考查学生的基础掌握情况和综合运用能力，能够用所学知识解决问题；预计在2025年的中考依旧会延续往年的考法，一道一次函数题，一道反比例函数题，重点研究两个函数的图象与性质； 反比例函数 2024年南京卷第12题；2023年南京卷第14题；2022年南京卷第4题； 题型一 一次函数的图象与性质 1．（2024·江苏南京·一模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A．B．C． D． 2．（2023·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向左平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·二模）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ． 4．（2023·江苏南京·三模）以下对一次函数的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）． ①向下平移4个单位长度得到一次函数的图像； ②向左平移4个单位长度得到一次函数的图像； ③绕原点旋转得到一次函数的图像； ④先沿轴对称，再沿轴对称得到一次函数的图像． 5．（2022·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像的函数表达式为 ． 6．（2023·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B． (1)求直线对应的函数表达式； (2)将直线______可以得到函数的图像．（填写所有正确的序号） ①向右平移6个单位长度； ②向下平移6个单位长度； ③绕点按逆时针方向旋转； ④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 7．（2023·江苏南京·二模）已知关于x的一次函数（k为常数，）． (1)不论k为何值，该函数图像都经过一个定点，这个定点的坐标为___________； (2)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值， (3)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，结合图像，直接写出k的取值范围． 8．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______； (3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围． 9．（2022·江苏南京·一模）（新情境）已知一次函数y1＝kx－2（k为常数，k≠0）和y2＝x＋1． （1）当k＝3时，若y1＞y2，求x的取值范围． （2）在同一平面直角坐标系中，若两函数的图像相交所形成的锐角小于15°，请直接写出k的取值范围． 10．（2025·江苏南京·一模）代数式，代数式． (1)当时，若，则的取值范围是_________； (2)若，，判断代数式与的大小，并说明理由； (3)将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 题型二 一次函数与方程、不等式综合 11．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数与为常数），当时，，则的取值范围是 ． 12．（2023·江苏南京·三模）已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．    13．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数y1=kx-2（k为常数，k≠0）和y2=-x+3． (1)若y1的图象经过点（2，2），求k的值； (2)在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围； (3)当x＜1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是______． 14．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数y1＝－x＋m－3（m为常数）和y2＝2x－6 (1)若一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围； (2)当x＜3时，y1＞y2，结合图像，直接写出m的取值范围． 15．（2023·江苏南京·一模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣2x+6． (1)当k＝﹣3时，若y1＞y2，求x的取值范围． (2)当x＜1时，y1＜y2，结合图象，直接写出k的取值范围． 16．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图1，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为． （1）在图②中画出的号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图2中画出的号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是 ． 【乘法线】 （4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线（为常数，）上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出k的取值范围． 17．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 18．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 19．（2024·江苏南京·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 20．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A． (1)求点A的坐标； (2)如图，设x轴上一点，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交与的图象于点B，C，连接，若，求的面积及点B、点C的坐标； 题型三 一次函数的实际应用 21．（2022·江苏南京·一模）将函数y＝-2x＋4的图像绕图像上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图像经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 22．（2023·江苏南京·模拟）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 23．（2022·江苏南京·二模）（新情境）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中线段所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系如图中折线段所示，则E点坐标为 ． 24．（2023·江苏南京·一模）在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图，则乙在行驶过程中，直接写出当x＝ 时距甲5km． 25．（2025·江苏南京·一模）A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)补全y1与x之间的函数图像： (2)若慢车的速度为． ①点P的坐标为 ； ②快车到达A地前，两车何时相距？ (3)若慢车在快车返回A地后的内到达，则慢车速度v的范围是 ． 26．（2025·江苏南京·一模）圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据： 游泳次数x 1 2 3 4 5 … 总花费y/元 230 260 290 320 350 … (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？ 27．（2024·江苏南京·一模）“五一”长假，小王与小叶相约分别驾车从南京出发，沿同一路线驶往距南京的甲地旅游．小王由于有事临时耽搁，比小叶迟出发小时．而小叶的汽车中途发生故障，等排除故障后，立即加速赶往甲地．若从小叶出发开始计时，图中的折线、线段分别表示小叶、小王两人与南京的距离、与时间之间的函数关系． (1)小叶在途中停留了 ； (2)求小叶的汽车在排除故障时与南京的距离； (3)为了保证及时联络，小王、小叶在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过，试通过计算说明，他们实际的行驶过程是否符合约定？ 28．（2025·江苏南京·模拟预测）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河； (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围； (3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象． 29．（2024·江苏南京·模拟预测）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车速度是慢车速度的倍．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间之间的函数图像； (2)若慢车出发时与快车第次相遇． ①求快车从出发到返回甲地所用的时间； ②当两车第次相遇的地点距离乙地时，的值为___________． 30．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由： (2)设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 题型四 一次函数与几何综合 31．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 32．（2023·江苏南京·一模）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为 ． 33．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过、的直线绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则点C的坐标为 ． 34．（2023·江苏南京·一模）如图，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点P在x轴上，若沿直线将翻折，点O恰好落在直线上的点C处，则点P的坐标是 ． 35．（2023·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆．若一次函数（k为常数，）的图像与有公共点，则k的取值范围是 ． 36．（2023·江苏南京·一模）如图，在直角坐标系中，的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（8，0），B（12，4），直线以每秒2个单位的速度向右平移，经过 秒该直线可将的面积平分． 37．（2023·江苏南京·二模）一次函数的图象经过点，并且与直线相交于点B，与x轴相交于点C，若点B的横坐标为3，求： (1)B点的坐标和k，b的值； (2)在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P，B，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2023·江苏南京·模拟预测）（文化背景）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 39．（2023·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点点为线段上的一个动点点不与、重合，点为第一象限内一点，且同时满足，． (1)求点、点的坐标； (2)是否存在满足条件的点在函数的图象上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2023·江苏南京·二模）如图，函数的图象分别交轴、轴于、两点，过线段上两点、分别作轴的垂线，垂足为、，记的面积为，的面积为．    (1)若点的横坐标为2，求的值； (2)若，求证：． 题型五 反比例函数的图象与性质 41．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 42．（2024·江苏南京·三模）已知反比例函数的图像经过点，则下列关于与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 43．（2024·江苏南京·三模）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，线段交反比例函数的图象于点，若的面积等于1，则的值等于 ． 44．（2023·江苏南京·一模）若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）． 45．（2023·江苏南京·一模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则 ．（填“”“ ”或“＝”） 46．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 47．（2024·江苏南京·三模）点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值． (1)求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率； (2)若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______． 48．（2023·江苏南京·二模）（新情境）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出了表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：①　　，②　　； (4)设，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． x … 1 2 … y … … 49．（2023·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴相交于点C．    (1)求m和n的值； (2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答案） (3)以为边在右侧作菱形．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交于点F，连接，则的面积为 ．（直接写出答案） 50．（2023·江苏盐城·三模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图像和性质进行了探究，研究过程如下：      如图2，在平面直角坐标系xOy中，请用描点法画出的图像，并完成如下问题： (1)函数的图像可由函数的图像向左平移_______个单位，再向下平移_____个单位得到，其对称中心坐标为_____； (2)根据该函数图像指出，当x在什么范围内变化时，?直接写出结果_________． 题型六 反比例函数系数k的几何意义 51．（2023·江苏南京·一模）如图，点A，B在反比例函数（）图像上，点A的横坐标为1，连接，若，的面积为4，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 52．（2023·江苏南京·二模）如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 53．（2024·江苏南京·二模）如 图，点 、在 反 比 例 函 数 的图像上，连接 并延长交 轴于点，若是的中点，的面积为，则的值为 ．    54．（2024·江苏南京·一模）如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为 ．    55．（2023·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点两点，连接，若的面积为3，则的值为 ． 56．（2023·江苏南京·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于两点．若轴，轴，则 ．    57．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为 ． 58．（2022·江苏南京·二模）点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C、D在x轴上．若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝ ． 59．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ． 60．（2022·江苏南京·一模）如图，点是函数图像上的任意一点，点、在反比例函数的图像上．若轴，轴，阴影部分的面积为，则 ． 题型七 实际问题与反比例函数 61．（2025·江苏南京·一模）（新情境）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 62．（2025·江苏南京·一模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图像如图所示．当时， ． 63．（2025·江苏南京·模拟预测）（跨学科融合）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 64．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用) 65．（2025·江苏南京·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？ 66．（2023·江苏南京·一模）（新情境）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 67．（2024·江苏南京·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 68．（2024·江苏南京·一模）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围? 69．（2024·江苏南京·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 (1)求P与x之间满足的函数关系式； (2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 70．（2024·江苏南京·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 题型八 反比例函数与一次函数综合 71．（2023·江苏南京·二模）正比例函数和反比例函数的图像如图所示，交点的坐标是，那么当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 72．（2023·江苏南京·二模）如图，一次函数y＝－x＋6的图像与反比例函数（k为常数，k≠0）的图像交于点A、B，若AB＝ ，则k的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 73．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为 ． 74．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．    75．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点A在第二象限，点O为坐标原点，．反比例函数的图像经过点A，则的取值范围是 ． 76．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，且．若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是 ． 77．（2024·江苏南京·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，． (1)求a、k的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 78．（2024·江苏南京·一模）函数与的图象相交于、两点． (1)求及的值； (2)结合函数图象，直接写出的解集． 79．（2023·江苏南京·模拟预测）（新情境）概念引入 定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”．例如：图①中的是“复兴点”． (1)在点，，中，是“复兴点”的点为 ； 初步探究 (2)如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合． 深入探究 (3)若反比例函数的图像上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是 ． (4)若一次函数的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围． 80．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点M在x轴上，且的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 题型九 反比例函数与几何综合 81．（2024·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 82．（2022·江苏南京·一模）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 83．（2025·江苏南京·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是 ． 84．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 85．（2023·江苏南京·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为，则的值为 ． 86．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等腰的斜边在x轴上，顶点A在反比例函数的图像上，连接，若，则点的坐标为 ． 87．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段的中点，连接．若．求k的值． 88．（2025·江苏南京·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，． (1)若为边的中点，求的值及点的坐标； (2)若，求的面积． 89．（2025·江苏南京·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 90．（2025·江苏南京·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值． 21 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$