精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年下学期九年级期中考数学试卷

福州一中2024－2025学年度第二学期期中考试 初三数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、单选题 1. 下列实数中，（ ）是无理数 A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故不符合题意； B．是无理数，故符合题意 C．是分数，属于有理数，故不符合题意； D．0是整数，属于有理数，故不符合题意． 故选：B． 2. 杨絮纤维的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，需注意对于一般形式，，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．正确的确定的值即可． 【详解】解：； 故选：A 3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得出答案． 【详解】解：根据主视图可以发现，俯视图的形状应该是一个长方形中含有一个圆形，即：     故选：C． 4. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角的计算、利用邻补角互补求角度，解题关键是熟练掌握利用邻补角互补求角度． 先求出，再由和互补即可得解． 【详解】解：，， ， 直线，相交于点， 和互补， ． 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，幂的、积的乘方运算，单项式乘以单项式，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，单项式除以单项式，幂的、积的乘方运算，单项式乘以单项式运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 为丰富初中生假期生活，学校组织学生参加“社会实践、环境调查、职业体验”三种活动，小丽和小莹从中随机选择一个活动参加，两人恰好选择同一活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握用列表法或树状图法求解的方法是关键． 画树状图展示所有等可能的结果数，找出两人恰好选择同一活动的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“社会实践、环境调查、职业体验” 三种活动） 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一活动的结果数为3， 所以两人恰好选择同一活动的概率=． 故选B． 7. 如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 8. 某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设进馆人次的月平均增长率x， 先表示出第2，3个月的进馆人次，再相加即可得到方程． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为， 则根据题意，可列方程是， 故选：D． 9. 已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，解题的关键是将二次函数的解析式化为顶点式．根据题意，将二次函数的解析式化为顶点式，当时，最小值为，即可求解． 【详解】解：将二次函数解析式化为顶点式，即（为常数，且）， 则该二次函数图像的对称轴为，且开口向上， ∵当时，函数的最小值为， ， 解得， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．则下列选项中与最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设正方形的边长为，根据折叠的性质、垂直平分线的性质等， 在中，运用勾股定理求出，得到，再判断最接近四个选项中哪一个比值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， 四边形为正方形， ,， 垂直平分线线段， ，， 四边形是矩形， ， 由折叠性质得，， 在中，， ， ， ，，，， 在、、、中，与最接近的是， 故选：B． 二、填空题 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 不等式的解是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 13. 若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数的计算，求中位数，熟练掌握平均数的计算及求中位数是解题的关键．先根据平均数的定义列方程求x的值，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 将这组数据从小到大排列：1，1，2，3，3， 则中位数为2． 故答案为：2． 14. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 15. 已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将点代入中，得出，，代入求解即可． 【详解】∵点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，作轴于H，设，求出，把代入，得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于H， 设， 令，则，解得：，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，、是平行四边形的对角线上的点，．求证． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】略 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 20. 某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生评委进行投票推荐，每人选择其中一个，得到扇形统计图． 教师评委量化统计表 组别 运动 感知 协同 甲 85 88 90 乙 88 83 82 丙 83 80 80 （1）求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？ （2）丙成绩明显最低，现要从甲、乙两个机器人中选择参加比赛，你认为推选哪个？为什么？ 【答案】（1）甲票，乙票 （2）乙，理由： 甲总成绩：（分）， 乙总成绩：（分）， ， 推选乙参加比赛． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和加权平均数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据扇形统计图用甲、乙所占百分比乘以学生评委总人数，可得答案； （2）根据加权平均数的定义分别求出甲、乙的总成绩，比较总成绩后即可得答案． 【小问1详解】 解：学生评委投给甲的票数：（票）， 学生评委投给乙的票数：（票）； 【小问2详解】 略 21. 某种玻璃原材料在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度与时间的函数图象如下图，降温阶段与成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为_________； （2）求能够对玻璃进行加工的时长． 【答案】（1）150 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，反比例函数的实际应用，正确理解题意读懂函数图象是解题的关键． （1）根据加热，温度从变为即可求出答案； （2）先求出温度从变为的时间，再设出降温阶段与的函数关系式，并利用待定系数法求出对应的解析式，再求出函数值为480时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴玻璃加热速度为； 【小问2详解】 解：； 设降温阶段与的函数关系式为， 把代入中得：， ∴， ∴降温阶段与的函数关系式为， ∴降温阶段随增大而减小， 当时，， ∴能够对玻璃进行加工的时长为． 22. 如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径． （1）求证：AB是的切线； （2）若求AC的长． 【答案】（1） 证明：连接OD、CD， ∵CE是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴OA垂直平分CD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵AC是切线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵OD是半径， ∴AB是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）易证△BED∽△BDC，求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵BD是切线，易证△BED∽△BDC， ∴， 设，∵ ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵AD、AC是的切线， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故AC的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 23. 已知函数图象上有一点， （1）若该函数图象与轴有唯一交点，且，求证：； （2）若点也在该函数图象上（与点不重合），利用轴对称的定义证明：函数与函数的图象关于轴对称． 【答案】（1） 证明：∵函数图象上有一点，， ∴ ∵该函数图象与轴有唯一交点 ∴ ∴ ∴将代入得， 整理得， ∴ ∴； （2） 证明：∵函数与函数的二次项系数都为1 ∴都开口向上，形状相同 ∵点也在函数图象上（与点不重合）， ∴点和点关于对称轴对称 ∴ ∴ ∵函数的图象的对称轴为直线 ∴函数与函数的图象的对称轴关于y轴对称 ∴函数与函数的图象关于轴对称． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，，代入得到，然后根据该函数图象与轴有唯一交点得到，得到，然后代入求解即可； （2）首先判断出函数与函数的图象都开口向上，形状相同，然后判断出两个函数的对称轴关于y轴对称，进而证明即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 24. 几名同学在玩一个藏宝图寻宝游戏，藏宝图中的正方形代表一个边长为的藏宝区域（包括边界），寻宝的密码由一组数字组成，．这三个数字分别代表着正方形边上的点、、．数字的大小为从点出发，按照的路径走到其所代表的点的路程．而寻找的宝藏所在的位置即为到，，三点距离相等的点．若该点不存在或在藏宝区域之外，则该密码无效，否则该密码有效．例如，某次游戏中密码为，则点即为到，，三点距离相等的点，即正方形的中心， （1）若为线段中点，、分别与点、重合，请直接写出对应的密码，并使用无刻度的直尺和圆规在图1中找出点的位置； （2）求证：当密码有效时，； （3）某局游戏寻宝密码为，求密码有效时的最小值． 【答案】（1） 如图所示，点P即为所求； （2） 证明：∵点P到R、S、T三点的距离相等， ∴点P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点， ∴与不能平行或者在同一直线上， ∴T、S、R不能处在正方形的同一条边上， ∵， ∴要保证T、S、R不能处在正方形的同一条边上， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点P在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，据此先作出点R，再分别作出的垂直平分线，二者的交点即为点P； （2）根据题意可得点P是线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，那么与不能平行或者在同一直线上，故T、S、R不能处在正方形的同一条边上，据此可证明结论； （3）根据题意可知，在满足密码有效的情况下，的值都应该尽量最小，则当S在上，T在上时此时存在最小值，进一步可推出当线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点恰好在上时，此时才会有最小值（S固定）；设线段的垂直平分线交线段的垂直平分线于H，且点H在上，连接，则，证明四边形是矩形，得到；再根据题意得到则，，；由勾股定理可得方程，则可求出，进而得到，设，则，则，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵要使最小， ∴在满足密码有效的情况下，的值都应该尽量最小， ∴当S在上，T在上时此时存在最小值， 如图3-1和图3-2所示，当S固定时，若t的值增大，那么线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点会逐渐下移， ∴当线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点恰好在上时，此时才会有最小值（S固定）； 如图3-3所示，设线段的垂直平分线交线段的垂直平分线于H，且点H在上，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵某局游戏寻宝密码为， ∴， ∴， ∴，； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，矩形的性质与判定，二次函数的最值问题，勾股定理等等，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 25. 如图1在中，，，、边上的高、交于点． （1）求的值； （2）点是三角形外接圆的圆心，判断到的距离与的关系，并证明； （3）如图2，是线段上的动点，连接，，若上的点满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图，过点作于点， ∵，， ∴垂直平分， 又∵点是三角形外接圆的圆心， ∴点在上，垂直平分， ∴点到的距离，， 由（1）得：，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（）由，，则，再根据勾股定理得，从而求出，在中利用正切的定义即可求解； （）过点作于点，利用等腰三角形的性质得出三角形外接圆的圆心在上，且垂直平分，推出，再由勾股定理得，得出，再利用三角函数的知识求出和的长，即可得出结论； （3）作于点，通过证明得到，分析可知当取得最小值时，取得最小值；利用求出，的长，设，表示出和，得出的表达式，利用完全平方的非负性和二次根式的性质求出的最小值，即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于点， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∴， 令，则，且， ∴ ， 当，即时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、三角形外接圆的性质、二次根式的运算、勾股定理，正确利用勾股定理和三角函数的知识求线段长度是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024－2025学年度第二学期期中考试 初三数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、单选题 1. 下列实数中，（ ）是无理数 A. B. C. D. 0 2. 杨絮纤维的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为丰富初中生假期生活，学校组织学生参加“社会实践、环境调查、职业体验”三种活动，小丽和小莹从中随机选择一个活动参加，两人恰好选择同一活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最小值为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．则下列选项中与最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 因式分解：______． 12. 不等式的解是________． 13. 若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是_____． 14. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 15. 已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为_______． 16. 如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为______ 三、解答题 17. 计算：． 18. 如图，、是平行四边形的对角线上的点，．求证． 19. 解方程：． 20. 某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生评委进行投票推荐，每人选择其中一个，得到扇形统计图． 教师评委量化统计表 组别 运动 感知 协同 甲 85 88 90 乙 88 83 82 丙 83 80 80 （1）求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？ （2）丙成绩明显最低，现要从甲、乙两个机器人中选择参加比赛，你认为推选哪个？为什么？ 21. 某种玻璃原材料在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度与时间的函数图象如下图，降温阶段与成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为_________； （2）求能够对玻璃进行加工的时长． 22. 如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径． （1）求证：AB是的切线； （2）若求AC的长． 23. 已知函数图象上有一点， （1）若该函数图象与轴有唯一交点，且，求证：； （2）若点也在该函数图象上（与点不重合），利用轴对称的定义证明：函数与函数的图象关于轴对称． 24. 几名同学在玩一个藏宝图寻宝游戏，藏宝图中的正方形代表一个边长为的藏宝区域（包括边界），寻宝的密码由一组数字组成，．这三个数字分别代表着正方形边上的点、、．数字的大小为从点出发，按照的路径走到其所代表的点的路程．而寻找的宝藏所在的位置即为到，，三点距离相等的点．若该点不存在或在藏宝区域之外，则该密码无效，否则该密码有效．例如，某次游戏中密码为，则点即为到，，三点距离相等的点，即正方形的中心， （1）若为线段中点，、分别与点、重合，请直接写出对应的密码，并使用无刻度的直尺和圆规在图1中找出点的位置； （2）求证：当密码有效时，； （3）某局游戏寻宝密码为，求密码有效时的最小值． 25. 如图1在中，，，、边上的高、交于点． （1）求的值； （2）点是三角形外接圆的圆心，判断到的距离与的关系，并证明； （3）如图2，是线段上的动点，连接，，若上的点满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $