8.6.3 平面与平面垂直讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题8.6.3 平面与平面垂直(知识梳理及题型总结) ·模块一 二面角 ·模块二 平面与平面垂直的性质与判定 ·模块三 课后作业 模块一 二面角 1. 二面角 如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 棱为AB，面分别为的二面角记作二面角。有时为了方便，也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q。如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或二面角。 2. 二面角的取值范围为。 3. 二面角的平面角的确定方法 （1） 定义法 如图：在二面角的棱上取一点O，在平面内过点O作，在平面内过点O作，则∠AOB为二面角的平面角。 （2） 线面垂直法 如图：已知二面角，过平面内一点A做交于点B，过点B作于点O，连接AO。 （3） 垂面法 如图：已知二面角，过棱上一点O作平面，使直线平面，且，∠AOB为二面角的平面角。 【考点1 二面角的求解】 【例1.1】已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】把直线和平面放置在锥体中，然后利用异面直角夹角定义，结合三余弦定理及余弦函数的单调性得，根据二面角平面角的定义，结合最大角定理及正弦函数单调性得，即可得解. 【详解】如图，设斜线为直线，平面为平面，且， 由图可知，当恰为时，此时与的夹角为； 当为时，， 由于，知， 故由在上单调递减得，知.综上可知； 由于，故是二面角所成角，即，， 由于，则， 故由在上单调递增得，即，可知. 故选：A 【例1.2】如图，在正方体中    (1)求证：面面； (2)求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】根据面面垂直的判断定理即可证明面面； 根据二面角的定义先找出二面角，即可求二面角的平面角的余弦值． 【详解】（1）   面，面， ， 在正方形中，， ，平面，平面， 平面， 面， 面面； （2）在正方形中， ， 取的中点，连接， 易知， 是的中点，， 为二面角的平面角． 设正方体的棱长为， ， ，， 由余弦定理有 【变式1.1】如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（   ）    A．线段的长是点到平面的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．是二面角的一个平面角 D．是直线与平面所成角 【答案】C 【分析】利用点到平面距离的定义可判断A选项；推导出，可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，所以，线段的长是点到平面的距离，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，所以线段的长是点到直线的距离，B对； 对于C选项，因为，， 所以，是二面角的一个平面角，C错； 对于D选项，因为平面，所以，是直线与平面所成角，D对. 故选：C. 【变式1.2】如图平面SAC⊥平面ACB，是边长为4的等边三角形，为直角三角形，∠ACB=90°，，求二面角S-AB-C的余弦值． 【答案】 【分析】先作出二面角的平面角．由面面垂直可得线面垂直，作SD⊥平面ACB，故作，可证，为二面角的平面角，解直角三角形即可得出结论. 【详解】过S点作SD⊥AC于D，则为中点， 过D作DM⊥AB于M，连SM， ∵平面SAC⊥平面ACB，∴SD⊥平面ACB， ∴SM⊥AB，又∵， 平面， ∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角， 在中，SD=4×， 在中，过C作CH⊥AB于H， ， ∴， ∵且AD=DC，∴， ∵SD⊥平面ACB，平面ACB，∴SD⊥DM， 在中，， ∴. 考点：二面角的平面角 点评：主要是考查了二面角的平面角的求解的运用，属于基础题． 模块二 平面与平面的垂直 1. 平面与平面垂直的概念 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面与平面垂直，记作。 2. 面面垂直的判定与性质 判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一个直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 4. 平面与平面垂直的其他性质和结论 （1） 如果两个平面垂直，那么经过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该点所在平面内，即 。 （2） 如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 （3） 如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，或。 （4） 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，。 （5） 三个两两垂直的平面的交线两两垂直， 【考点1 面面垂直的判定】 【例1.1】已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据已知条件判断线线、线面、面面位置关系，可判断ABC选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，则或、异面，B错； 对于C选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），C错； 对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，则，D对. 故选：D. 【例1.2】在长方体中，下列结论错误的是（   ） A．直线AB与平面平行 B．直线与平面垂直 C．平面与平面平行 D．平面与平面垂直 【答案】B 【分析】对于A，根据线面平行的判定判断即可；对于B，根据线面垂直的判定判断即可；对于C，根据面面平行的判定判断即可；对于D，根据长方体的特征判断即可. 【详解】对于A，在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若矩形不是正方形，则与不垂直， 直线与平面也不可能垂直，故B错误； 对于C，在长方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又，且平面， 所以平面平面，故C正确； 对于D，在长方体中，平面平面，故D正确. 故选：B. 【变式1.1】（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定性质推理判断ACD；借助反证法推理判断B. 【详解】由平面平面，得平面平面，D正确； 由平面，得，又为圆的直径，为圆周上不与点重合的点， 则，又平面，因此平面，又平面， 则平面平面，C正确； 由平面，得，而平面， 于是平面，又平面，则， 又平面，从而平面， 又平面，平面平面，A正确； 对于B，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，B错误. 故选：ACD 【变式1.2】如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【考点2 利用面面垂直的性质和结论】 【例2.1】已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则三条交线的交点个数为0或1 【答案】D 【分析】根据线面平行性质可判断A错误，B错误，再根据面面垂直性质可得C错误，由线面平行以及交线性质可得D正确. 【详解】对于A，若，则也可能为，即A错误； 对于B，若，则也可能是异面直线，即B错误； 对于C，若，也可以是，即C错误； 对于D，当分别为三棱柱的三个侧面时，此时两两平行，交点为0； 当分别为正方体共顶点的三个侧面时，此时交于同一点，交点为1； 即可得D正确. 故选：D 【变式2.1】如图，已知平面平面，，. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可由线面垂直的性质求证， （2）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求证， （3）根据二面角的定义可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由于平面平面，且两平面的交线为，，平面， 故平面，平面，故 （2）由于平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面 （3）由于平面，平面，故， 又，因此即为二面角的平面角， 由于，，故 【变式2.2】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 模块三 课后作业 1．（多选）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，因为，，所以， 又，所以不同的平面满足，故A正确； B，若，且，则或两平面相交， 比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，且，但是底面和侧面并不平行，故B错误； C，若，且，则两平面相交或平行， 比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，但是上底面与下底面并不垂直；故C错误； D，因为，，则，又，所以，故D正确. 故选：AD 2．．已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线面平行，线面垂直，线面垂直，面面垂直相关判定性质逐个判定即可. 【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错． 对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对． 对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错． 对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错． 故选：B． 3．（多选）已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（   ） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 【答案】BC 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A项，，，当时， 因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B项，因为m与所成角为60°，，所以与不垂直，所以与不垂直， 所以过可作唯一平面与垂直，故B正确； 对于C，D项，由，，，得与的关系是或， 所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. 故选：BC. 4．已知平行四边形中，，将沿着翻折使点到达点且不在平面内，则下列结论正确的是（ ） A．直线不可能与直线垂直 B．直线可能与直线垂直 C．直线可能与直线垂直 D．直线不可能与直线垂直 【答案】B 【分析】根据平面与平面垂直时，结合面面垂直以及线面垂直的性质即可求解AD，根据直线所成的角即可求解BC. 【详解】当平面与平面垂直时，平面PBD 与平面BCD 相交于BD， 由，可得平面，平面， 此时，，则A，D错误； 而，即直线与直线所成角为，只要， 此时为等腰直角三角形. 在以中点为圆心，半径为的圆上， 则根据直径AP所对圆周角为直角，即.满足题意. 所以存在点，使得，B正确； 由可得，所以为锐角，则为锐角，所以C错误. 故选：B. 5．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； 【详解】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 6．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，从而得到平面，再由平行四边形的性质得到平面，即可得证； （2）设，首先证明平面，作交于点，作，交于点，连接，即可得到即为平面与平面夹角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为是平行四边形，所以， 又，，， 所以，解得（负值已舍去）， 所以，即，所以， 又，即，又，平面， 所以平面， 又是平行四边形，所以，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为，设，则为的中点， 连接，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面中，作交于点， 而平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，又平面， 所以，所以即为平面与平面夹角， 又， 在中，由等面积法可得， 所以，则， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 7．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用勾股定理及已知中的线面垂直，可得线线垂直，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）通过平移可找到异面直线和所成角，再利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接， ，， ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面； （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即， 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，， 由(1)知，平面，， ， ， 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. 8．如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过，，得到平面，进而可求证； （2）由面面角的概念为平面与平面所成角，再结合求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面 所以，又因为，都在平面内， 所以平面，又因为平面 所以平面平面 （2）解：在三棱台中，分别是棱的中点，所以且相等，且相等， 所以四点共面 由（1）知平面， 平面， ，在平面内， 得： 所以为平面与平面所成角， 设，点到平面的距离为 由可得： 所以 所以或 又因为 所以，所以 所以在中， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 9. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 10. 如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明平面，得，得到为二面角的平面角，计算边长，解三角形即可求得； （2）利用等体积转化即可求得点面距离. 【详解】（1）如图，连接，，因平面，平面， 则，又，，，平面， 故平面，又平面，故， 则即二面角的平面角． 在中，，，. 所以二面角的正切值为. （2），， 平面，即点到平面的距离为， 又平面，， 设点到平面的距离为， 则由，可得， 又， 所以，解得：， 即到平面的距离为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.6.3 平面与平面垂直(知识梳理及题型总结) ·模块一 二面角 ·模块二 平面与平面垂直的性质与判定 ·模块三 课后作业 模块一 二面角 1. 二面角 如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 棱为AB，面分别为的二面角记作二面角。有时为了方便，也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q。如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或二面角。 2. 二面角的取值范围为。 3. 二面角的平面角的确定方法 （1） 定义法 如图：在二面角的棱上取一点O，在平面内过点O作，在平面内过点O作，则∠AOB为二面角的平面角。 （2） 线面垂直法 如图：已知二面角，过平面内一点A做交于点B，过点B作于点O，连接AO。 （3） 垂面法 如图：已知二面角，过棱上一点O作平面，使直线平面，且，∠AOB为二面角的平面角。 【考点1 二面角的求解】 【例1.1】已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2】如图，在正方体中    (1)求证：面面； (2)求二面角的平面角的余弦值． 【变式1.1】如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（   ）  A．线段的长是点到平面的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．是二面角的一个平面角 D．是直线与平面所成角 【变式1.2】如图平面SAC⊥平面ACB，是边长为4的等边三角形，为直角三角形，∠ACB=90°，，求二面角S-AB-C的余弦值． 模块二 平面与平面的垂直 1. 平面与平面垂直的概念 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。平面与平面垂直，记作。 2. 面面垂直的判定与性质 判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一个直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 4. 平面与平面垂直的其他性质和结论 （1） 如果两个平面垂直，那么经过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该点所在平面内，即 。 （2） 如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 （3） 如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，或。 （4） 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，。 （5） 三个两两垂直的平面的交线两两垂直， 【考点1 面面垂直的判定】 【例1.1】已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【例1.2】在长方体中，下列结论错误的是（   ） A．直线AB与平面平行 B．直线与平面垂直 C．平面与平面平行 D．平面与平面垂直 【变式1.1】（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式1.2】如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【考点2 利用面面垂直的性质和结论】 【例2.1】已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，则三条交线的交点个数为0或1 【变式2.1】如图，已知平面平面，，. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的大小. 【变式2.2】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 模块三 课后作业 1．（多选）已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 2．．已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（多选）已知直线，和平面，，且，，则下列四个选项中正确的有（   ） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为60°，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 4．已知平行四边形中，，将沿着翻折使点到达点且不在平面内，则下列结论正确的是（ ） A．直线不可能与直线垂直 B．直线可能与直线垂直 C．直线可能与直线垂直 D．直线不可能与直线垂直 5．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 6．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 7．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 8．如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 9. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 10. 如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$