25 与圆有关的位置关系 2025年河南省中考数学专题复习课件

第六章 圆 与圆有关的位置关系 1 考点1 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 图形 与 的大小关系 点 在圆内 _________________________ 点 在圆上 点 在圆外 2 考点2 直线与圆的位置关系重点 1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图形 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 与 的关系 ①___ ②___ ③___ 公共点的个数 2 ④___ 0 1 3 2.切线的性质与判定 性质定 理 圆的切线⑤______于过切点的半径. 推论 .经过圆心且垂直于切线的直线必过⑥______. .经过切点且垂直于切线的直线必过⑦______. 判定 .和圆有⑧___个公共点的直线是圆的切线. .如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑨______，那么这条直线是 圆的切线. .经过半径的外端并且⑩______于这条半径的直线是圆的切线. 3.*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一 点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 垂直 切点 圆心 1 半径 垂直 4 考点3 三角形的外心和内心 三角形的外心 三角形的内心 概念 三角形外接圆的圆心. 三角形内切圆的圆心. 作法 _____________________________ 三角形三条边的垂直平分线的交点 __________________________________ 三角形三个内角的平分线的 交点 性质 三角形的外心到三角形⑪________ __的距离相等. 三角形的内心到三角形⑫ ________的距离相等. 位置 外心不一定在三角形内. 内心一定在三角形内. 三个顶点 三条边 5 考点4 正多边形与圆的有关计算 设正边形的边长为，外接圆半径为 . 边心距 ______________________________ 正 边形的周长 正 边形的面积 正 边形中心角的度数 正 边形每个外角的度数 6 设正边形的边长为，外接圆半径为 .则： 正六边形： ； 正方形： ； 正三角形： . 7 基础题过考点 考点1，2→ 1.一题多问 如图，为的中线.已知，.以点 为 圆心， 为半径画圆. （1）若，则点与的位置关系是_____________，直线与 的位置关系是______； （2）若，则点与的位置关系是_____________，直线与 的 位置关系是______； 点在外 相离 点在上 相切 8 （3）若，则点与的位置关系是_____________，直线与 的 位置关系是______. 点在内 相交 9 考点2→ 2.一题多问 如图（1），为的外接圆，是的直径， 是 的弦，且，过点作，交的延长线于点 . 图（1） 10 （1）求证：是 的切线. 证明：连接 . ， . ， ， . ， . 又为的半径，是 的切线. 11 （2）如图（2），延长交的延长线于点 . 图（2） ①若 ，则 的度数为_____. 12 ②求证: . 证明：连接，则， ， ， . 是的直径， ， ， . 又， . 13 考点3→ 3.如图，在的正方形网格中，部分网格线被擦去．点，， 均在格点 （网格线的交点）上． 14 （1）请用无刻度的直尺在图（1）中找到三角形的重心 ； [答案] 如图（1），点 即为所求. 图（1） 15 （2）请用无刻度的直尺在图（2）中找到三角形的外心 ； [答案] 如图（2），点 即为所求. 图（2） 16 （3）请用无刻度的直尺在图（3）中找到三角形的内心 ． [答案] 如图（3），点 即为所求． 图（3） 17 命题角度1 与切线有关的证明与计算 例1 一题多问 在中， . （1）如图（1），的平分线交于点,以点为圆心， 的长为半径 画圆． 图（1） ①求证：是 的切线； 18 证明：如图（1），过点作于点 . 图（1） ， . 又平分 ， , 是 的切线. 19 ②若点在上，且，则当，时，求线段 的长. [答案] 如图（1），在和中， ， ， . 在和中， ， ， ． 20 （2）如图（2），若以为直径的与交于点，取的中点 ，连接 . 图（2） 求证：是 的切线. 21 证明： 方法一：如图（2），连接， ， 点为的中点，点是 的中点， 是 的中位线， ，， . ， ， . 又， ， ， ，即 . 又是的半径，为 的切线． 22 方法二:如图（3），连接, . 是的直径， . 在中， 点是 的中点， ， . ， . ， ， ，即 . 又是的半径，为 的切线． 23 解答与切线有关的证明与计算的技巧 1.当已知切线时，常连接切点和圆心，从而构造出直角或直角三角形，然后 结合图形的性质及题中条件求解. 2.证明一条直线是圆的切线的方法： （1）当已知条件明确指出圆与直线有公共点时，连接圆心和此公共点，然 后证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”.如例题中的第（2） 小题，已知点<m></m>在圆上. （2）当已知条件未明确指出圆与直线有公共点时，可过圆心作直线的垂线， 再证明圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”.如例题中的第 （1）小题，未明确指出<m></m>与圆有交点. 24 命题角度2 利用切线的性质解决问题 例2 假日小明妈妈带着小明和弟弟小 刚到某游乐场乘坐摩天轮，如图为该 游乐场摩天轮简化示意图．已知摩天 轮的直径为，小明乘坐 车厢， 小刚乘坐 车厢，车厢大小忽略不计， ，妈妈站在摩天轮正下方处（身高忽略不计），即 于点 ． 25 （1）当摩天轮转动到图（1）所示的位置时，妈妈仰望两人发现，， 两 车厢刚好在同一视线上，此时仰角 .求证： . 证明： ，， . 过点作于点 ，如图（1）. 图（1） 26 在中， . ， ， . 在中， ， . 27 （2）当摩天轮转动到图（2）所示的位置时，妈妈的视线刚好与 相切 于点，且平分 ． 28 ①四边形 是( ) B A.一般四边形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 [解析] 解法提示：是的切线， ， . 平分， , ， ， ， 四边形 是平行四边形. 易得，且 , 四边形 不可能是菱形或矩形.故选B. 29 ②求此时 车厢到地面的距离． [答案] 如图（2），延长交于点 . 图（2） 四边形 是平行四边形， 30 , . 又,， . 在中， . 平分, , , ， . 故此时车厢到地面的距离为 . 31 【思路点拨】 （1）过点作于点，在中，，在 中， ，代入即可得证； （2）②延长交于点，分别求出等腰直角三角形 和等腰直角三角 形中， 的长，进而得解. 【自主解答】 32 提分特训 （第1题） 1.[2024福建中考] 如图，已知点,在 上， ,直线与相切，切点为,且为 的 中点，则 等于( ) A A. B. C. D. [解析] 如图， 点C为 的中点， .延长交 于点D，连 接，则 ， ， 直线与相切于点C， ， . 33 （第2题） 2.[2023聊城中考] 如图，点是 外接圆的圆心， 点是的内心，连接，.若 ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. [解析] 连接， 点是的内心， 平分 ， 点是 外接圆的圆心， ， ，故选C． 34 3.[2024开封一模] 如图（1）是一种供人们游玩的古代的马车.如图（2）是 马车车把接触地面时的侧面示意图，车轮的直径为,车架 经过圆心 ,地面水平线与车轮相切于点,连接, .小明测出车轮的直径 米，米，则 的长为_ ___米. 图（1） 图（2） 35 图（1） [解析] 方法一：如图（1），连接， 与相切， ， . 是的直径， ， ，.又 ， . 又， ， .设， ， ， ， （负值已舍去）， . 36 图（2） 方法二：如图（2），连接 ，则 ， .过 点作交的延长线于点 ，则 ， ，即 ，， ， ， . 37 4.[2024武汉中考] 如图,为等腰三角形,是底边的中点,腰 与半圆 相切于点,底边与半圆交于, 两点. 38 （1）求证:与半圆 相切; 证明：如图，连接，，过点作 交于点 ， 为等腰三角形，是底边 的中点， ，平分 . 与半圆相切于点， . 又 ， ， 是半圆 的切线. 39 （2）连接.若,,求 的值. [答案] 连接，由（1）可知， ， ， , ， . 在中，由勾股定理，得 ， ，解得 ， . 40 5.如图是一个筒车灌田的简化示意图. 立式水轮 在水流的作用下利用竹 筒将水运送到点处，水沿水槽 流 请解答下列问题. 到田地里，与水面交于点,，且点,,在同一直线上，与 相切. 若的半径为5米，点到点的距离为42米，立式水轮 的最低点到水 面的距离为2米.连接， . 41 （1）求证： . 证明：如图，连接并延长交 于 点，连接,则 , . 为的切线， ， ， . 又 ， . 42 （2）请计算出水槽 的长度. [答案] 连接,,过点作于点,则 （米）. , . 由勾股定理得， （米）， 米, （米）. 43 由（1）知 . 又， ， ， , （米）. 答：水槽的长度为 米. 44 一图串考法 45 考法 切线的性质（8年7考 ） 1.[2023河南,14] 如图，与相切于点， 交于点，点在上，且 ．若 ，，则 的长为___． [解析] 与相切于点， ．又 ，，， ．如图， 连接，，，， ， ， ． 46 方法一：，，， ， 即，， ． 方法二：设，则 .在 中，由勾股定理，得 ，即 ，解得， ． 47 2.[2022河南,22] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传 统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环 器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进 行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于 点,推杆与铅垂线的夹角为,点,,,, 在同一平面内.当推杆 与铁环相切于点时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的 启动效果. 48 （1）求证: . 证明： 方法一:如图（1）,过点作,交于点,交于点 . 与相切于点, . , . , , , . 为的切线, , 49 , , . 50 方法二：如图（2）,延长交于点 . 与相切于点, ， . , . 为的切线, , , 在四边形中, . , , . 51 方法三:如图（3）,过点作 , 图（3） 则 . 与相切于点, . , 52 , , , . 为的切线, ， , . 53 （2）实践中发现,切点 只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动. 图中点是该区域内最低位置,此时点到地面的距离 最小,测得 .已知铁环的半径为,推杆的长为,求此时 的长. [答案] 如图（1）,在 中, 54 ,, . , . 在 中, ,, . 又, . , 四边形为矩形， , . 55 3.[2021河南,20] 在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘 的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物 理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”. 小明受此启发设计了一个“双连杆机 构”,设计图如图（1）,两个固定长度的 “连杆”,的连接点在 上,当点 在上转动时,带动点, 分别在射 线,上滑动,.当与相切时,点恰好落在 上,如图 （2）. 请仅就图（2）的情形解答下列问题. 56 （1）求证: ; 证明：如图，连接 . 是的切线,, , . , , . 又 , . 57 （2）若的半径为5,,求 的长. [答案] 如图，过点作,垂足为 . 在中,,, . , . 设,,则 , 58 , ,, . 在中, . 59 4.[2020河南,20] 我们学习过利用尺规 作图平分一个任意角,而“利用尺规作图 三等分一个任意角”曾是数学史上一大 难题，之后被数学家证明是不可能完成 的.人们根据实际需要,发明了一种简易 使用方法如图（2）所示,若要把三等分,只需适当放置三分角器,使 经过的顶点,点落在边上,半圆与另一边恰好相切,切点为 , 则，就把 三等分了． 操作工具——三分角器,图（1）是它的示意图,其中与半圆的直径 在 同一直线上,且的长度与半圆的半径相等;与垂直于点, 足够长. 60 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知” 和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程． 已知:如图（2）,点,,,在同一直线上,,垂足为点 ,_____________ _______________________________． 求证：______________． ,点在射线上，切半圆于点 61 证明:连接 . , . 又,,, . 切半圆于点, . 又且,平分 , , . 62 $$