26 与圆有关的计算 课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第六章 圆 与圆有关的计算 1 考点1 弧长与扇形面积的计算重点 如图，的半径为，所对的圆心角为 ，的长为 . 的周长： ①_____； 的长： ②____. 的面积： ③_____； 扇形的面积：=④_ ____= . 弧长公式 面积公式 2 考点2 圆锥的相关计算 如图，圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的高为 ， 底面圆半径为，母线长为 ，侧面展开扇形的圆 心角为 ，弧长为 . （1）圆锥底面圆的面积，周长 . （2） ⑤_____. （3）圆锥的高、底面圆的半径和母线长之间的关系： ⑥____. （4）圆锥的母线长等于其侧面展开扇形的半径；圆锥的底面圆的周长等于 其侧面展开扇形的弧长. （5）圆锥的侧面积为⑦_____，全面积为⑧__________. 3 考点3 阴影部分面积的计算重点 1.弓形面积的求法 类型 劣弧对应的弓形 优弧对应的弓形 图形 _________________________________ _________________________________ 面积计算 4 2.求不规则图形面积的常用方法 （1）分割求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几 个规则图形面积的和或差.如图（1）， ⑨_________________________ _______. 5 （2）等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形 的面积来计算.如图（2），点为的中点，则 ⑩________.如图 （3），已知扇形，，则 ⑪________ . 6 （3）容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面 积叠加前的几个图形的面积之和（多加部分的面积 空白部分的面积）” 求解.如图（4），阴影部分是扇形和扇形的重叠部分，则 ⑫ __________________________. 7 命题角度1 弧长的计算 例1 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一 条弧经过格点（网格线的交点），，,点为 上 一点.若 ，则 的长为_ _____. 【思路点拨】 分两步求解： 第一步：找圆心； 第二步：求半径长和 所对圆心角的度数. 8 [解析] 如图，易知所在圆的圆心为格点，连接， ，则 , ， . 9 确定圆心的方法 作任意两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心.特殊地，当一条弦 所对圆周角是直角时，直角所对的弦的中点即为圆心. 10 提分特训 （第1题） 1.[2024广安中考] 如图，在等腰三角形 中， ， ，以 为直径作半圆， 与，分别相交于点，，则 的长度为 ( ) C A. B. C. D. 11 [解析] 方法一：如图（1），连接是半圆的直径， ， 即.又 ， ， 所对的圆心 角度数为 ，的长度为 .故选C. 图（1） 图（2） 12 方法二：如图（2），连接， ， ， ， ，，.在 中， ， .又 ，， 的长度为 .故选C． 13 （第2题） 2.[2022郑州二模] 如图,在正方形中,.以点 为圆 心,长为半径在正方形内部作,点为上一点,连接 ,分 别以点,为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点, ,作 直线,交于点,交于点 ,则图中阴影部分的周长为 ______________. [解析] 如图，连接，.由作图痕迹可知垂直平分 ， ，.又 ， ， 为等边三角形， ，， ， 阴影部分的周长为 . 14 命题角度2 阴影部分面积的计算 类型1 公式法 例2 [2024河南中考] 如图,是边长为 的等边三 角形的外接圆,是的中点,连接,.以点 为 圆心,的长为半径在 内画弧,则阴影部分的面积 为( ) C A. B. C. D. 15 [解析] 如图，连接， 是等边三角形， ， ， 为 的中点， ，垂直平分线段，经过点 ， , ， ， . 16 【思路点拨】 连接 ,结合圆内接四边形的性质得到扇形圆心角的度数，利用三角函数求 出 的长，用公式法求解. 17 类型2 分割求和（差）法 例3 [2018河南中考B卷] 如图，在矩形中, , ,以点为圆心，的长为半径作交于点 ;以 点为圆心,的长为半径作交于点 ,则图中阴影部分 的面积为_ _______. 【思路点拨】 连接,根据 求解即可. 18 [解析] 连接,根据题意得，,.在 中， ， ， .， ， ， ， . 19 类型3 等积转化法 例4 如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心 ，若 ，则阴影部分的面积为____. 【思路点拨】 如图，设点关于所在直线的对称点为，连接交 于点，连接，可得 ，进而可得 ，据此求解即可. 20 [解析] 设点关于所在直线的对称点为，连接交于点，连接 ， 则，，， ， .易证 ， . 21 类型4 容斥原理法 例5 如图，在矩形中， , ,先以点为圆心， 为半径画 弧，交于点,再以点为圆心， 为 半径画弧，交于点 ，则图中阴影部 分的面积是______________. 22 【思路点拨】 如图，连接 ,根据 求解 即可. 23 [解析] 如图，连接,则 ， ， ， , ， . 提分特训 3.[2023菏泽中考] 如图，正八边形的边长为4，以顶点 为圆 心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____（结果保留 ）. [解析] 由题意知 ， ， . 25 4.[2024洛阳二模] 如图，在中，是直径，点 是 圆上一点，过点作的切线交的延长线于点 ,连接 ，，若 , ,则图中阴影部分 的面积为_________.（结果用含 的式子表示） [解析] 如图，连接，是的切线， . 又 , , ， ， ， . 26 5.如图，在半径为3的中，点，， 均在圆上，连 接,,,,，已知， ， 则图中阴影部分的面积为___. [解析] 连接， , ， ， ， ， ， ，. 27 6.如图，在边长为4的正方形中，以 为直径的半圆交 对角线于点，以为圆心，为半径画弧交于点 ， 则图中阴影部分的面积是________． [解析] 连接，如图. 为直径， ， ， ，， ． 28 一图串考法 29 考法1 弧长的计算（8年2考） （第1题） 1.[2021河南,14] 如图所示的网格中,每个小正方形的边长 均为1,点,,均在小正方形的顶点上,且点,在 上, ,则 的长为___. （第1题） [解析] 如图，作的垂直平分线交 的垂直平分线于点 ，则点即为所在圆的圆心.易知.连接 ，则 ， . 30 2.[2020河南,15] 如图,在扇形中, ,平分交 于点 ,点为半径上一动点.若 ,则阴影部分周长的最小值为_________. （第2题） 31 （第2题） [解析] 平分， ， .如图，作点关于 所在直线的对称 点，连接交于点，此时 的值最小，即 阴影部分的周长最小.连接 点，关于 所在直 线对称， ， , ， ， ， 阴影部分周长的最小值为 . 32 考法2 阴影部分面积的计算（8年6考） 3.[2017河南,10] 如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕点逆时针旋转 ，点，的对应点分别为， ， 连接 ，则图中阴影部分的面积是( ) C A. B. C. D. 33 （第3题） [解析] 如图，连接， ， ， ， , . ， 是等边三 角形， ， ， ， 点，， 三点在一条直线 上， ， ， ， 是等边三角形，.易得 是直角三角 形，且 ， ， . 故选C. 34 4.[2022河南,14] 如图,将扇形沿方向平移,使点 移 到的中点处,得到扇形.若 , ,则 阴影部分的面积为_ _______. 35 （第4题） [解析] 如图，设与相交于点，连接，， 点 为的中点，， ， ， 为等边三角形， , ， ， . 5.[2019河南,14] 如图，在扇形中, ,半径交弦于点 , 且.若 ,则阴影部分的面积为________. 37 （第5题） [解析] ， ， ， ， . 如图，过点作于点，在 中， .在 中，，， . 38 6.[2018河南,14] 如图，在中, ，,将 绕的中点逆时针旋转 得到，其中点的运动路径为 ，则 图中阴影部分的面积为_______． 39 （第6题） [解析] 如图，连接，，由旋转可得 , ,为 的中点， .在 中，由勾股定理，得 , ， . 40 $$