【精准提分】专题03 勾股定理选填题集训（二）（9个基础题+3个压轴题+课后巩固）- 2024-2025学年八年级下册数学期末专项培优（人教版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题03 勾股定理选填题集训（二）（人教版） 【9个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】已知两点的坐标求两点之间的距离 1 【基础题型二】勾股数的判断 7 【基础题型三】以直角三角形三边为边的图形面积问题 11 【基础题型四】勾股定理中网格问题 21 【基础题型五】勾股定理折叠问题中求长度问题 30 【基础题型六】勾股定理折叠问题中面积问题 38 【基础题型七】勾股定理折叠问题中坐标问题 48 【基础题型八】勾股定理与无理数综合 60 【基础题型九】以弦图为背景的计算题 65 【压轴题型十】勾股数（树）中规律问题 73 【压轴题型十一】勾股定理中规律探索类问题 78 【压轴题型十二】勾股定理中新定义类题型 93 【基础题型一】已知两点的坐标求两点之间的距离 例题1（24-25九年级下·福建厦门·期中）在直角坐标系中，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到原点的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点的坐标为， ∴点到原点的距离为， 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求两个点之间的距离，运用勾股定理分别列式计算，算出，再结合每个选项进行作答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，，，， 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．连接，根据，建立等式求m即可． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， 由题意得，则有， 解得（舍去）， 故选C． 【变式1-4】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出线段的长是解题的关键．首先根据勾股定理求出，进而得出的长，再根据点A的位置得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∴． ∵点A在x轴的负半轴，以点为原点， 以的长为半径画弧， ∴点A的坐标是． ， ， 点A的横坐标介于6和5之间 故选：B． 【变式1-5】（23-24八年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（    ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，分别求出所给点到原点的距离，据此可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴点到原点的距离为：； 点到原点的距离为， 点到原点的距离为， 点到原点的距离为， 所以点与点到原点的距离相等． 故选：A． 【变式1-6】（2024·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，A，B，点 M 为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，利用中点坐标公式求出点 M的坐标，两点间距离公式求出的长即可． 【详解】解：∵A，B，点 M 为线段的中点， ∴， ∴； 故选D． 【变式1-7】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，的斜边在轴上，点的坐标为，点的坐标为，若点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，两点间的距离，根据勾股定理得，再根据两点间的距离得，，，继而建立方程求解即可．解题的关键是掌握勾股定理和两点间的距离公式． 【详解】解：如图，的斜边在轴上， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1-8】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离， 设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵点在轴上 ∴设 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为，． 故答案为：，． 【变式1-9】（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知直角坐标平面内点和点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，熟记坐标平面内的两点间的距离的求解是解题的关键． 利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵点， ， 故答案为：． 【基础题型二】勾股数的判断 例题2（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15 【答案】A 【详解】解：A、∵， ∴， ∴9，40，41是勾股数，故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴5，12，15不是勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5与2.5不是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理问题，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴3，4，5这组数是勾股数，符合题意； B、∵， ∴4，5，6这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴7，8，9这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，9，10这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数据中的三个数，是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．，， C．1，1， D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．要判断是否为勾股数，首先判断是否为整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不是勾股数，不符合题意； B、，，不是整数，故此选项不是勾股数，不符合题意； C、1，1，不都是整数，故此选项不是勾股数，不符合题意； D、，故此选项是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①a为最长边，，13是正整数，符合题意； ②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式2-4】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-5】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（   ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：①，所以①不是勾股数； ②，所以②是勾股数； ③，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数． 综上所述②③是勾股数，共2个． 故选：B． 【变式2-6】（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．根据题意可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意，， 则， 解得，则， 所以． 故选：A． 【变式2-7】（24-25八年级下·河南焦作·期中）能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数．请你写出一组都是两位数的勾股数： ． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，是一组勾股数； 故答案为：，，． 【变式2-8】（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股数、规律型以及列代数式等知识，由题意可知为奇数，设股是a，则弦为，再根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，n为正整数， ∴为奇数， 设股是a，则弦为， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2-9】（24-25八年级上·山西晋中·期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 【答案】84、85 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．观察所给数组的规律，继而可得出答案． 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 【基础题型三】以直角三角形三边为边的图形面积问题 例题3（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是3，4，5，7，9．选取其中三块（可重复选取）按下图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（  ） A．3，4，5 B．3，4，7 C．4，5，9 D．3，7，9 【答案】C 【详解】设三个正方形的边长为：a、b、c（，），且使所围成的三角形是直角三角形， ∴， ∴两个较小的正方形面积等于最大的正方形面积； A．∵， ∴此时不能围成直角三角形，故不符合题意； B．∵， ∴此时能围成直角三角形，且该直角三角形的两直角边长分别为， ∴三角形的面积为； C．∵， ∴此时能围成直角三角形，且该直角三角形的两直角边长分别为， ∴三角形的面积为； D．∵， ∴此时不能围成直角三角形，故不符合题意； ∵， ∴面积最大的一组是4，5，9， 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选A． 【变式3-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．40 C．16 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 利用勾股定理，这两个正方形的面积和等于即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴正方形和正方形的面积和为， 故选：A． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∵A、B、F都是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴最大正方形E的边长是25， 故选：B． 【变式3-4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）以的各边为直径的三个半圆组成如下图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，，则的长度是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设两个小半圆的面积分别为，大半圆的面积为，根据题意得：三个阴影部分的面积和为，再由三个阴影部分的面积和为24，以及勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设两个小半圆的面积分别为，大半圆的面积为， 根据题意得：三个阴影部分的面积和为， ∵三个阴影部分的面积和为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式3-5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形的面积分别是，则最大正方形E的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义得到正方形的面积和即为最大正方形E的面积， ， 最大正方形E的面积为， 故选：D． 【变式3-6】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 【变式3-7】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，由题意得出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 故选：D． 【变式3-8】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，分别以为边在△ABC外侧作正方形和正方形，再以为斜边在△ABC外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，即得，进而由即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-9】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形全等的判定和性质．根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：，在直线上有正方形，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，的面积分别为4和16， 的面积， ∴， ∴则的面积为 故答案为：20． 【变式3-10】（24-25八年级下·北京·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为：25． 【变式3-11】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 【基础题型四】勾股定理中网格问题 例题4（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图每个小正方形的边长均为1，其中到点P的距离为的点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：根据题意得：点A到P的距离为2； 点B到P的距离为； 点C到P的距离为； 点D到P的距离为； 故选：D 【变式4-1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的减法； 根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式4-2】（2025·陕西西安·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，得到，，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意得：，， ， ， ， 点到线段的距离为， 故答案为：C． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，利用网格特定求得，进而利用数轴上点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，设直角顶点C与数轴上表示的点重合， 由题意，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C． 【变式4-4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，△ABC的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与△ABC全等，则这样的“好点”的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据全等三角形的判定判定即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴， 同理可得，，， ∴这样的“好点”的个数为， 故选∶． 【变式4-5】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 【变式4-6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求出后，根据三角形面积即可求出边上的高． 【详解】解：依图得：， 由勾股定理得， 在边上的高为． 故选：． 【变式4-7】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 【变式4-8】（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出△ABC面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式4-9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化；先运用勾股定理，算出，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图： ∵每个小正方形的边长均为， ∴， 即， 设边上的高长为 ∵ ∴， 故选：B． 【变式4-10】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都是格点，在图中找一点O，使得，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质与判定，勾股定理的应用，先利用网格特点画出点，再利用勾股定理计算即可. 【详解】解：如图，    ∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：． 【变式4-11】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点在格点上，点在网格线上，线段的垂直平分线恰好经过格点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及勾股定理与网格，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直平分线的性质得，再结合网格特征以及勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ 线段的垂直平分线恰好经过格点， ∴， 在中，， ∴则的长是， 故答案为：． 【基础题型五】勾股定理折叠问题中求长度问题 例题5（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，，∠B=90°，将△ABC折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则， 由翻折的性质可知：， ∵点D是的中点， ∴． 在中，由勾股定理可知：， 即， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将△ABC沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴由勾股定理得， ∵将△ABC沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，由勾股定理求出，设，由折叠得，得，，，在中，由勾股定理得方程，求出的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由折叠得，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式5-4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将△ABC沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、翻折变换的性质等知识，由，，，求得，由翻折得，，，所以，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿翻折，点A落在上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 【变式5-5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，将△ABC折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4， ∴． 故选：B． 【变式5-6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与△ABC的直角边垂直时，的长是 ． 【答案】6或2 【分析】分两种情况讨论，一是，则，求得，得到；二是，则，所以，由折叠得，则，所以，根据勾股定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴； 如图2，，设垂足为点H，则， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为6或2， 故答案为：6或2． 【点睛】此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正解地进行分类讨论是解题的关键． 【变式5-7】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式5-8】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将△BDE，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据折叠的性质得到，，，，再利用得到，所以，设，则，根据勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 【基础题型六】勾股定理折叠问题中面积问题 例题6（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，为边上一点，把△ABC沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【详解】解：设， 根据折叠的性质得， ∴， ∵根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东梅州·期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， ， 故选：B． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将△ABC沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（      ） A．26 B．24 C．21 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∵，， ∴， ∵的面积为42，F为中点， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， 则，解得， ∴， 则， ， 故选：D． 【变式6-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 【变式6-5】（23-24八年级下·山东德州·期中）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，通过勾股定理得，再证明，，进而即可求解. 【详解】解：∵将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处， ∴， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， 设纸片宽为h， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-6】（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片△ABC中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-7】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则△BDF的面积 ． 【答案】 【分析】求的面积，边是的高，有，利用勾股定理可求出边即可．本题考查了折叠与勾股定理． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 设， ∵使点B与点D重合，折痕为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 的面积为． 故答案为：． 【变式6-8】（23-24八年级上·上海闵行·期末）在△ABC中，，，如果将△ABC折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么△ABC的面积是 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到△ABC的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到△ABC的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 【变式6-9】（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，，，过作于，解直角三角形得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ，， 过作于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【基础题型七】勾股定理折叠问题中坐标问题 例题7（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 【变式7-1】（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，，将△AOB沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，翻折的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，根据题意，，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得． 【详解】解：设， ∴， ，， 又由折叠知， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为，是解题的关键．根据折叠的性质得到，所以在中，利用勾股定理求得，则，然后设，则，根据勾股定理列方程求出的长，可得点E的坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为长方形，D的坐标为， ∴， ∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解，即的长为， ∴点E的坐标为，则点的纵坐标为 故选：B． 【变式7-3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． 设与交点为点D，过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【详解】设与交点为点D，过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故选：A． 【变式7-4】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，坐标与图形性质．先根据点D的坐标得到，，再由折叠的性质得到，，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】∵四边形是长方形，点D的坐标为， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-5】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 【变式7-6】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式7-7】（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】解：①当点在线段上时， 四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 解得， 点的坐标为， ②当点在线段的延长线上时， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， 点． 综上所述，或 故答案为：或． 【变式7-8】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【基础题型八】勾股定理与无理数综合 例题8（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】D 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为3， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：D． 【变式8-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点的距离，熟练数轴两点之间距离是解题的关键； 本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，该长度等于点A到这个点的距离，再结合数轴上点的位置关系求出点A所表示的数． 【详解】解：∵三角形的直角边分别对应数为和1， ∴直角三角形的两条直角边长分别为2和1， 根据勾股定理， ∴点A到的距离是， 设点A表示的数为a， ∴， 故选：D． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别是、，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，二次根式的计算，得出点，表示的数是解题关键．由题意可得，进而得到，从而可得，，再代入计算即可． 【详解】解：数轴上点表示的数为2，点表示的数为3， ， 以为边在数轴上方作一个正方形，则， ， 以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点， ， 若点，表示的数分别是、， 则，， ， 故选：B． 【变式8-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴交于点R，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解题关键．先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点P表示的数即可． 【详解】解：正方形的边长为1， 正方形的对角线长为， 以数轴上表示数1的点为圆心， 点P表示的实数为， 故选：B． 【变式8-4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，△ABC的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 表示的数是； 故选：A． 【变式8-5】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的数轴，点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与实数，由图可知，，则可得出点表示的数，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由图可知，， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式8-6】（24-25八年级下·福建厦门·期中）小胡同学在学习了“数轴上表示无理数”的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使，再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了实数与勾股定理．根据题意得：，，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵，， ∴， ∴点P表示的数是． 故答案为： 【变式8-7】（24-25七年级下·北京·期中）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，求出正方形对角线长度是解题的关键． 根据正方形的边长为1，则正方形的对角线为，故M表示的数比1小，即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线为 ∴M表示的数是 故答案为：． 【变式8-7】（24-25八年级下·北京·期中）如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 【基础题型九】以弦图为背景的计算题 例题9（24-25八年级下·天津·期中）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ∴得出，，， ，故， ， 所以，即正方形的面积为． 故选：B 【变式9-1】（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-2】（2025·贵州·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先由勾股定理求得，进而得，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-3】（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 【变式9-4】（24-25八年级下·河南漯河·期中）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，运用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：A． 【变式9-5】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 【变式9-6】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子． 【详解】解：大正方形的面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边， ，B选项式子正确，不符合题意； 小正方形的面积是4， ，A选项式子正确，不符合题意； 大正方形的面积是36，小正方形的面积是4， 四个全等的直角三角形的面积和为， ， ，D选项式子正确，不符合题意； ， ，C选项式子错误，符合题意； 故选：C． 【变式9-7】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为， ∴， 故答案为：． 【变式9-8】（2025·湖北·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若△ADE与的面积相等，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的性质、分式的求值，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先分别求出与的面积，再根据与的面积相等可得，然后计算分式的减法，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：，，，，， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∵与的面积相等， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【变式9-9】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值．由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得． 【详解】解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 【变式9-10】（24-25八年级上·广东茂名·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，再求出的值，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为： ， 故答案为：． 【压轴题型十】勾股数（树）中规律问题 例题10（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 【变式10-1】（24-25八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选A． 【变式10-2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 【变式10-3】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 【变式10-4】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可． 【详解】解：如图： ∵第一个正方形的边长为a, ∴第一个正方形的面积为， 由勾股定理得，， ∴，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为， ∴，即，“生长”第1次后所有正方形的面积和为， 同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为， …… 则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为， 故答案为：，． 【变式10-5】（2023·陕西西安·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为 ． 【答案】 【分析】根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴经为， 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 【压轴题型十一】勾股定理中规律探索类问题 例题11（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图甲，直角三角形△ABC的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可得：，， ∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”， ∴根据题意可得：， ∴， ∴， ， ∴总结出， ∵，，， ∴归纳得出一般规律：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键． 【变式11-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点（为正整数），则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标规律探索，等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键 过点作轴于B，利用等边三角形的特点求出，由点P的运动速度及运动路径可得点的横坐标及纵坐标的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点作轴于B， ∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形， ， ， ，， 同理，，，，， ∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0， ∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，1秒钟走一段， ∴运动每6秒循环一次， ∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，， 点P的横坐标规律：，，，，，，， ∵， ∴点P的纵坐标为，点P的横坐标为， ∴点P的坐标， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，理解图示，掌握角度，边长的计算方法，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用含角的直角三角形，可求出，根据等边三角形的性质可得，从而求出，由此可得，如图所示，过作于点，过作于点，以此类推得到，过作于点，计算方法同理可得，，根据三角形面积的计算可得的面积为，由此代入，计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴等边的边长，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，, ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴等边的边长， 在中，， ∴，， ∴， 同理，在中，的边长， ∵，，， ∴的边长， 如图所示，过作于点，过作于点，以此类推得到，过作于点， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ∴， ∴的面积为， ∴的面积为：． 故答案为：． 【变式11-3】（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，找出点坐标变化的规律“为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为”成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得出根据点的变化找出变化规律为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为，然后根据规律即可解答． 【详解】解：根据等边三角形的性质可得出以及坐标可得： 观察发现规律：为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为， ∵为偶数， ∴的横坐标为3，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 【变式11-4】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，是等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，按此规律作下去，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及规律型．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出规律，即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 的长度为， ， 故答案为：． 【变式11-5】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在，轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点、分别在，轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 本题考查了规律型：点的坐标，勾股定理．根据题意，找到各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律是关键． 【详解】解：由图形可知，， ， ， ⋯， 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每4次旋转一周． ∴ ∴点在第三象限的角平分线上， ∴． 故答案为：． 【变式11-6】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，勾股定理，通过计算发现规律，然后根据规律求解． 【详解】解：由已知，点M每次旋转转动，则转动一周需转动8次， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可求：，，…， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式11-7】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 【变式11-8】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为 ，点的纵坐标为 ．    【答案】 【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出，，，…，可得点，，的纵坐标，从而得的纵坐标，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴的边长，， ∴点的纵坐标为， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理得：， ∴， ∴点的纵坐标为， …， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【变式11-9】（23-24八年级上·河北保定·期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，……    （1）线段的长为 ． （2）若代表的面积；代表的面积，以此类推；代表的面积，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数字的规律探究，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握勾股定理，推导一般性规律是解题的关键． （1）由勾股定理得，，，，……可推导一般性规律为，进而可求的值； （2）由题意知，，，，……可推导一般性规律为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， …… ∴可推导一般性规律为， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ， ， …… ∴可推导一般性规律为， ∴ ； 故答案为：． 【变式11-10】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，…按此规律进行下去．    （1）的长度为 ；点的坐标为 ； （2）若的面积为16，则n的值为 ． 【答案】 2 6 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，，…，，再利用、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点在y轴负半轴上，即可确定点的坐标； （2）由（1）得：，，，，…， 可得，的面积为，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，等腰直角三角形的直角边在x轴的负半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，，…， ∵、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴， ， ∴点在第三象限， ∵， 由等腰直角三角形的性质可得的横坐标与纵坐标都为， ∴点的坐标为：． 故答案为：；； （2）由（1）得：，，，，…， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得； 故答案为：6 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，勾股定理的应用． 【压轴题型十二】勾股定理中新定义类题型 例题12（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 【变式12-1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形"定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键． 设，根据“邻等对补四边形”定义得，再根据得①，得②，将①代入②得，由此解出即可得的长． 【详解】解：设， ∵四边形是“邻等对补四边形”，， ， ， ， ， 即①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 将①代入②，得：， ， 或， 由，解得：， 由，解得：(不合题意，舍去)， 故选：C． 【变式12-2】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则△ABC中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离,再求它们的比值即可． 【详解】解 ： 作于点D，为的中线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， ∴△ABC中边的“中偏度值”为：，    故选：A． 【变式12-3】（24-25八年级上·山西太原·期末）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，，，边上的高，△ABC△ABC中边的“中偏度值”为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况计算；先根据勾股定理求出，再根据中线的定义得出,故，同理可得，故得出答案；熟知分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 故答案为：6或． 【变式12-4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：如图1，在△ABC中，点P在边上，连接，若的长恰好为整数，则称P为BC边上的“整点”．如图2，在△ABC中，，，且 边上有4个“整点”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理等知识，充分利用垂线段最短，得出整点与三角形顶点A的连线的距离l的取值范围，是解答本题的关键． 设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数，得出当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数，再据此得出符合条件的h的值，问题随之得解． 【详解】解：如图，边上的高为h， 设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数， 即当“整点”在上时，， 当“整点”在上时，， ∴在上的“整点”数目比在上时的数目多1， 即此时“整点”的数目之和必为奇数，当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数， ∵边上有4个“整点”， “整点”的数目之和为偶数， ∴点D也为“整点”，即边上的高的长度h为整数， 当时，“整点”在上时，，此时有3个“整点”；“整点”在上时，，此时有4个“整点”， ∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为6个； 当时，“整点”在上时，，此时有2个“整点”；“整点”在上时，，此时有3个“整点”， ∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为4个，此时符合题意； 当时，“整点”在上时，，此时有1个“整点”；“整点”在上时，，此时有2个“整点”， ∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为2个； 可知随着的h值越来越大，“整点”的数目越来越少直至为0， 综上：，即， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式12-5】（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 24．（23-24八年级上·四川达州·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：点，，的“完美间距”是，则点，，的“完美间距”是 ；已知点，，，若点A，B，C的“完美间距”为2，则x的值为 ． 【答案】 3 3或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理求两点间的距离等知识，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键． 求出、、的值即可得到点，，的“完美间距”， 已知点，，，求出，，并得到结论△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形，所以“完美间距”等于或的长度，即5或，结合点A，B，C的“完美间距”为2，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴点，，的“完美间距”是3， ∵点，，直线上两点， ∴轴，； ∵点，是直线上两点， ∴轴，且； ∴是以点B为直角顶点的直角三角形， ∵点A，B，C的“完美间距”为2， 所以．解得：或 所以点A，，的“完美间距”的最大值为5． 故答案为：3，3或 【变式12-6】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，△ABC中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． （1）若边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是 三角形； （2）若，则边上的“中高距”为 ． 【答案】 等腰 / 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解； （2）在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到，在中，可得，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：∵边上的“中高距”为0， ∴边上的高线垂直平分， ∴， ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 故答案为： 【变式12-7】（23-24九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，△ABC是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，△ABC是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，△ABC是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式12-8】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】解：取中点，连接， 此时为中线，， 是“精准三角形”， ， ， ， 设， 则，， ， 中，， ，， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，在长方形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M在数轴上对应的数为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点，能求出的长度是解题的关键．根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M在数轴上对应的数为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，展开后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，根据题意可知最短距离为，，， 根据勾股定理得：， 蚂蚁爬行的最短距离为， 故选：C． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质得， ． 故选：B 4．（2025·广东汕头·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5．（2025·福建南平·二模）如图，在△ABC中，，，点为边上一点，且，点在边上（与不重合），将沿着折叠，使得点的对应点落在边上，则线段的长度为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质及勾股定理． 根据等腰直角三角形的性质得出，根据翻折的性质和线段的和差得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ， 由翻折的性质可得， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 6．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．（24-25九年级下·山东滨州·期中）已知△ABC是锐角三角形，且，则边的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，勾股定理及直角三角形的性质，根据垂线段最短可知当时，最短，当时，最长，进而确定的取值范围即可． 【详解】如图， 当时，最短，如图，此时，， 当时，最长，如图，此时， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴是锐角三角形，且，则边的长的取值范围是， 故选：C． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，平分，点D在的延长线上，平分，且交于点M，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．64 D．256 【答案】D 【分析】本题考查等角对等边，勾股定理，根据平行结合角平分线的定义，推出，，进而得到，勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 10．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．设另一直角边为x,根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设另一直角边为x， ∵斜边的长为13，一条直角边长为5， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，中，，分别以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的三条边为三个正方形的边长是解决问题的关键，先根据正方形的性质表示出的表达式，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵三个四边形均是正方形， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， ∵， ∴ 故答案为：． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为20，且．则小正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得．本题考查了勾股定理的几何应用，完全平方公式，直角三角形的面积公式等知识点，利用勾股定理求出大正方形的边长是解题关键． 【详解】解：由题意得，四个直角三角形的面积为， 由勾股定理得，大正方形的边长为， 则有，即， ， ，即， 解得， 则小正方形的面积为， 故答案为：8 13．（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，已知，D为上一点，沿将折叠，C点刚好落在边上的点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠和勾股定理，先求得，再设，则，利用勾股定理列方程即可，熟练利用方程思想是解题的关键． 【详解】解：， ， 由折叠得到， ，， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 故答案为：． 14．（2025·北京石景山·一模）如图，等边△ABC中，于点D，点E在上，的垂直平分线交于点P，连接．若，，则四边形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用等边三角形的性质可得，，从而可得，，然后在中，利用含30度角的直角三角形可得，再利用线段垂直平分线的性质可得：，最后利用四边形的周长公式进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：△ABC是等边三角形， ，， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， 四边形的周长 ， 故答案为：． 15．（2025·贵州遵义·一模）在△ABC中，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理、三角形三边关系、垂直平分线的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形、由三角形三边关系得是解题的关键． 如图：取中点E，过点E作，过点A作交于F，连接，，可证明得，则，是的垂直平分线，可知，由三角形三边关系可知，，当三点共线时取等号，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图：取中点E，过点E作，过点A作交于F，连接，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 由三角形三边关系可知，， 当三点共线时取等号，即：的最小值为． 故答案为：． 16．（2025·安徽六安·一模）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角△ABC的高，则．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿所在直线翻折，B点对应点E恰好落在边上，延长至点F，连接，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，证明为等边三角形，得出，，求出，，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于点D，作轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G，    ∵点，点， ∴， 由勾股定理得： ∴在直角三角形中，， ∴， 此时； 当点P运动到点F或点H时，，， ∴， ∴或， ∴或， 又， ∴或 故答案为：或． 1 / 118 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题03 勾股定理选填题集训（二）（人教版） 【9个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】已知两点的坐标求两点之间的距离 1 【基础题型二】勾股数的判断 3 【基础题型三】以直角三角形三边为边的图形面积问题 4 【基础题型四】勾股定理中网格问题 8 【基础题型五】勾股定理折叠问题中求长度问题 11 【基础题型六】勾股定理折叠问题中面积问题 14 【基础题型七】勾股定理折叠问题中坐标问题 17 【基础题型八】勾股定理与无理数综合 20 【基础题型九】以弦图为背景的计算题 22 【压轴题型十】勾股数（树）中规律问题 26 【压轴题型十一】勾股定理中规律探索类问题 28 【压轴题型十二】勾股定理中新定义类题型 32 【基础题型一】已知两点的坐标求两点之间的距离 例题1（24-25九年级下·福建厦门·期中）在直角坐标系中，已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到原点的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式1-2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为，以点为原点， 以的长为半径画弧，交 x轴的正半轴于点 A，则点A的横坐标介于（   ）      A．7 和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 【变式1-5】（23-24八年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（    ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【变式1-6】（2024·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中，A，B，点 M 为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．7 C．6 D．5 【变式1-7】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，的斜边在轴上，点的坐标为，点的坐标为，若点的坐标为，则 ． 【变式1-8】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为 ． 【变式1-9】（24-25八年级上·上海闵行·期末）已知直角坐标平面内点和点，则线段 ． 【基础题型二】勾股数的判断 例题2（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15 【变式2-1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数据中的三个数，是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．，， C．1，1， D．8，15，17 【变式2-3】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【变式2-4】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【变式2-5】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组数据的三个数，是勾股数的有（   ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-6】（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-7】（24-25八年级下·河南焦作·期中）能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数．请你写出一组都是两位数的勾股数： ． 【变式2-8】（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 【变式2-9】（24-25八年级上·山西晋中·期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 【基础题型三】以直角三角形三边为边的图形面积问题 例题3（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是3，4，5，7，9．选取其中三块（可重复选取）按下图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（  ） A．3，4，5 B．3，4，7 C．4，5，9 D．3，7，9 【变式3-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【变式3-2】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．40 C．16 D．8 【变式3-3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的边长是（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【变式3-4】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）以的各边为直径的三个半圆组成如下图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，，则的长度是（   ） A．6 B．8 C． D． 【变式3-5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形的面积分别是，则最大正方形E的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3-6】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【变式3-7】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 【变式3-8】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，分别以为边在△ABC外侧作正方形和正方形，再以为斜边在△ABC外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-9】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 【变式3-10】（24-25八年级下·北京·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【变式3-11】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【基础题型四】勾股定理中网格问题 例题4（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图每个小正方形的边长均为1，其中到点P的距离为的点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【变式4-1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西西安·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，△ABC的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与△ABC全等，则这样的“好点”的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-5】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4-7】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式4-8】（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【变式4-9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为．若点，，都在格点（网格线的交点）上，则边上的高长为（    ） A． B． C． D．2 【变式4-10】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都是格点，在图中找一点O，使得，则的长为 ．    【变式4-11】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点在格点上，点在网格线上，线段的垂直平分线恰好经过格点，则的长是 ． 【基础题型五】勾股定理折叠问题中求长度问题 例题5（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，，∠B=90°，将△ABC折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将△ABC沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式5-3】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式5-4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将△ABC沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【变式5-5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，将△ABC折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与△ABC的直角边垂直时，的长是 ． 【变式5-7】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ． 【变式5-8】（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直角三角形纸片中，，将△BDE，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【基础题型六】勾股定理折叠问题中面积问题 例题6（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，为边上一点，把△ABC沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【变式6-1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式6-2】（24-25八年级上·广东梅州·期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将△ABC沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（      ） A．26 B．24 C．21 D．15 【变式6-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式6-5】（23-24八年级下·山东德州·期中）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 (   ) A． B． C． D． 【变式6-6】（24-25八年级下·四川雅安·期中）如图，在纸片△ABC中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【变式6-7】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则△BDF的面积 ． 【变式6-8】（23-24八年级上·上海闵行·期末）在△ABC中，，，如果将△ABC折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么△ABC的面积是 ． 【变式6-9】（24-25八年级上·上海宝山·期末）如图，将梯形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，直线为折痕；点也与边上的点重合，直线为折痕．已知，，，则的面积是 ． 【基础题型七】勾股定理折叠问题中坐标问题 例题7（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，，将△AOB沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是（   ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式7-3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【变式7-5】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 【变式7-6】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【变式7-7】（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【变式7-8】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【基础题型八】勾股定理与无理数综合 例题8（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，点O表示有理数O，点A表示有理数3；过点A作数轴的垂线，以A为圆心，2个单位长度的长为半径画弧交于点B；连接，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C；数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．3.8 D． 【变式8-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别是、，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴交于点R，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，△ABC的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-5】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的数轴，点表示的数是 ． 【变式8-6】（24-25八年级下·福建厦门·期中）小胡同学在学习了“数轴上表示无理数”的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使，再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是 ． 【变式8-7】（24-25七年级下·北京·期中）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为 ． 【变式8-7】（24-25八年级下·北京·期中）如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为 ． 【基础题型九】以弦图为背景的计算题 例题9（24-25八年级下·天津·期中）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（   ） A．4.5 B．6 C．8 D．9 【变式9-1】（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　    A．4 B．6 C．8 D．10 【变式9-2】（2025·贵州·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式9-3】（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【变式9-4】（24-25八年级下·河南漯河·期中）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式9-5】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式9-6】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-7】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 【变式9-8】（2025·湖北·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若△ADE与的面积相等，则的值为 ． 【变式9-9】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数、表示直角三角形的两条直角边，则 ． 【变式9-10】（24-25八年级上·广东茂名·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则中间小正方形的面积为 ． 【压轴题型十】勾股数（树）中规律问题 例题10（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【变式10-2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【变式10-3】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【变式10-4】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）． 【变式10-5】（2023·陕西西安·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为 ． 【压轴题型十一】勾股定理中规律探索类问题 例题11（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图甲，直角三角形△ABC的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点（为正整数），则点的坐标是 ． 【变式11-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交于点，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【变式11-3】（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【变式11-4】（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，是等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，按此规律作下去，则的长为 ． 【变式11-5】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在，轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点、分别在，轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为 ． 【变式11-6】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 【变式11-7】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【变式11-8】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为 ，点的纵坐标为 ．    【变式11-9】（23-24八年级上·河北保定·期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，……    （1）线段的长为 ． （2）若代表的面积；代表的面积，以此类推；代表的面积，则的值为 ． 【变式11-10】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，…按此规律进行下去．    （1）的长度为 ；点的坐标为 ； （2）若的面积为16，则n的值为 ． 【压轴题型十二】勾股定理中新定义类题型 例题12（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式12-1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式12-2】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，则△ABC中边的“中高偏度值”为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25八年级上·山西太原·期末）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在△ABC中，，，边上的高，△ABC△ABC中边的“中偏度值”为 ． 【变式12-4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义：如图1，在△ABC中，点P在边上，连接，若的长恰好为整数，则称P为BC边上的“整点”．如图2，在△ABC中，，，且 边上有4个“整点”，则的长为 ． 【变式12-5】（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 24．（23-24八年级上·四川达州·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：点，，的“完美间距”是，则点，，的“完美间距”是 ；已知点，，，若点A，B，C的“完美间距”为2，则x的值为 ． 【变式12-6】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，△ABC中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． （1）若边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是 三角形； （2）若，则边上的“中高距”为 ． 【变式12-7】（23-24九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【变式12-8】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为 ． 1．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，在长方形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M在数轴上对应的数为（　　） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，正方体的棱长长为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东汕头·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建南平·二模）如图，在△ABC中，，，点为边上一点，且，点在边上（与不重合），将沿着折叠，使得点的对应点落在边上，则线段的长度为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 7．（24-25九年级下·山东滨州·期中）已知△ABC是锐角三角形，且，则边的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，平分，点D在的延长线上，平分，且交于点M，若，则的值为（    ） A．8 B．16 C．64 D．256 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 10．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积为 ． 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，中，，分别以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积，已知，则 ． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为20，且．则小正方形的面积为 ． 13．（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，已知，D为上一点，沿将折叠，C点刚好落在边上的点E处，则的长为 ． 14．（2025·北京石景山·一模）如图，等边△ABC中，于点D，点E在上，的垂直平分线交于点P，连接．若，，则四边形的周长为 ． 15．（2025·贵州遵义·一模）在△ABC中，，则的最小值为 ． 16．（2025·安徽六安·一模）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角△ABC的高，则．当时，的长为 ． 17．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿所在直线翻折，B点对应点E恰好落在边上，延长至点F，连接，若，，则的周长为 ． 18．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值 ． 1 / 118 学科网（北京）股份有限公司 $$