【精准提分】专题02 勾股定理选填题集训（一）（8个基础题+4个压轴题+课后巩固）- 2024-2025学年八年级下册数学期末专项培优（人教版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题02 勾股定理选填题集训（一）（人教版） 【8个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】利用勾股定理解直角三角形 1 【基础题型二】勾股定理与数轴的综合应用 2 【基础题型三】利用勾股定理设未知数列方程求解 4 【基础题型四】利用勾股定理直接求解 7 【基础题型五】勾股定理中的面积问题 9 【基础题型六】勾股定理与尺规作图综合应用 12 【基础题型七】勾股定理中周长问题 16 【基础题型八】勾股定理中实际应用 19 【压轴题型九】勾股定理中需分类讨论问题 22 【压轴题型十】勾股定理综合之最值问题 24 【压轴题型十一】勾股定理综合之多结论问题 27 【压轴题型十二】勾股定理综合之双空类问题 30 【基础题型一】利用勾股定理解直角三角形 例题1（24-25八年级下·河北唐山·期中）在中，∠，，、、的对边分别是、、，下列结论：①；②；③：：；④中，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）若直角三角形的两边长，满足，则第三边的长是（   ） A．4或 B．5或 C．4 D． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式1-3】（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知直角三角形面积为6，斜边长为5，则直角三角形的周长为（   ） A．24 B．7 C．12 D．10 【变式1-4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若一直角三角形的两边长分别是3和4，则它的面积为（   ） A．5 B．6 C．5或 D．6或 【变式1-5】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在中，，记△ABC的面积为的周长为，下列命题中的假命题是（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25八年级下·湖南郴州·期中）△ABC中，，则中有（　　） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25八年级下·天津·期中）在中，，． （1）若，则 ， ； （2）若，则 ． 【变式1-8】（24-25八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则 ． 【基础题型二】勾股定理与数轴的综合应用 例题2（24-25七年级下·北京·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·海南海口·一模）如图，矩形中，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点表示的数为1，的直角边落在数轴上，且，长为1个单位长度．若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-6】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-7】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【基础题型三】利用勾股定理设未知数列方程求解 例题3（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在△ABC中，，，，在边上找一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式3-1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将△ABC沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在Rt△ABC中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，中，，将△ABC沿向右平移得到对应的，其中，，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【变式3-4】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，△ABC是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-5】（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰△ABC中，，，，，连接交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-6】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，△ABC中，，点在边上，，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【变式3-7】（2025·河南平顶山·一模）如图，在△ABC中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ；当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ． 【基础题型四】利用勾股定理直接求解 例题4（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，是△ABC的角平分线，，垂足为E，若，则 ． 【变式4-1】（2025·新疆克孜勒苏·模拟预测）如图，在△ABC中，，交于点，，则 ．    【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）如图，在中，，的平分线交于点，过点作，交于点，过点作于点，若，，则（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式4-3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【变式4-5】（2025·陕西咸阳·一模）如图，、分别是△ABC的高线、中线，，，．则长为（   ） A． B． C． D．1 【变式4-6】（24-25八年级下·新疆·期中）如图的三角形纸片中，，使B落在边上，且，那么的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式4-7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式4-8】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，，交于点，，，，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 【变式4-9】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．8 【变式4-10】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，是等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式4-11】（2025·江苏南通·一模）已知中，，，D为的中点，E，F分别在边，上．若是等边三角形，，则的长是 ． 【基础题型五】勾股定理中的面积问题 例题5（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，，分别以、为边向外作等腰和等腰，若要求的面积，只需知道哪个图形的面积（   ） A． B． C． D．四边形 【变式5-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，△ABC是等边三角形，边长为2，延长到D，使，延长到E，使，延长到F，使，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A．30 B．15 C．20 D．27 【变式5-4】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知，以为边在外作等腰，，若，则 ． 【变式5-5】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在梯形中，，如果，，梯形的面积为48．取的中点，连接并延长，与的延长线交于点．如果，那么的长是 ． 【变式5-6】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在△ABC中，，，．将△ABC沿射线方向平移得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式5-7】（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【变式5-8】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，四边形中，，，，，则 ． 【变式5-9】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图所示的四边形中，，，， 则四边形的面积为 ． 【变式5-10】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，已知在中，，平分，则的面积为 ． 【基础题型六】勾股定理与尺规作图综合应用 例题6（2025·广东深圳·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图． ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点； ④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，； ⑤分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长是（    ） A． B．8 C．6 D． 【变式6-2】（2025·四川凉山·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式6-3】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【变式6-4】（2025·贵州·模拟预测）如图， 在△ABC中， ，， 分别以点B 和点 C为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线交于点 D． 若，， 则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D． 【变式6-5】（2025·广东深圳·二模）如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 ． 【变式6-6】（2025·山东烟台·一模）如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则 ． 【变式6-7】（2025·安徽合肥·二模）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点O，连接．若，则线段的长为 ． 【变式6-8】（2025·四川成都·一模）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ． 【变式6-9】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，则的长为 ． 【变式6-10】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为 ． 【变式6-11】（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为 ． 【基础题型七】勾股定理中周长问题 例题7（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，∠B=90°，的平分线交于点，于点，若，，则△ADE的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，长方形中，平分，交于点，垂直平分，分别交，于点和，若，则长方形的周长为（   ） A． B． C．18 D．19 【变式7-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）△ABC是直角三角形，，若，则这个直角三角形的周长为（   ） A．22 B．60 C．36 D．54 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于点D，交于点E．若，，则的周长为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【变式7-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，等腰△ABC，周长为，，，垂足为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若△ABC的周长为，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式7-6】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，是的角平分线，，垂足为E．若，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-7】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，等边△ABC的面积为，D是外一点，且，，，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式7-8】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（    ） A． B．6 C． D．5 【基础题型八】勾股定理中实际应用 例题8（24-25八年级下·湖南长沙·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，用11个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中第一个直角三角形的两条直角边分别为1和2，其它直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式8-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级下·重庆璧山·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为（   ）尺． A． B．10 C．16 D．12 【变式8-4】（24-25八年级下·山西晋中·期中）小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式8-5】（24-25八年级下·山东临沂·期中）数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（    ） A． B． C． D．30 【变式8-6】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，当秋千静止时，踏板从点B到点A的距离（的长）为5m，将踏板往前推4m到C处时（即水平距离），它的绳索始终拉直，则此时踏板上升的高度（的长）为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【变式8-7】（24-25八年级下·山东济宁·期中）文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 【变式8-8】（24-25九年级下·北京西城·期中）如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为 米． 【变式8-9】（24-25八年级下·广东深圳·期中）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 ．（结果精确至．参考数据：） 【压轴题型九】勾股定理中需分类讨论问题 例题9（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在△ABC中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形， ． 【变式9-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，点D，E分别是，上的动点，将沿所在的直线折叠，使点A的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上，连接，，当为等腰三角形时，线段的长是 ． 【变式9-3】（2025·江西景德镇·一模）如图，△ABC是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则 ． 【变式9-4】（24-25八年级下·江西萍乡·期中）如图，在△ABC中，，点P为射线上一点．则当是等腰三角形时，的长为 ． 【变式9-5】（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期中）在中，，，，点在边上，且，不重合的两条线段关于经过点的直线对称，当点恰好落在△ABC的边上时，的长为 ． 【变式9-6】（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知是△ABC的边上的高，若，，，则的长为 ． 【变式9-7】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，点P为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点C的对应点为D，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【变式9-8】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为 ． 【变式9-9】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，动点P在射线上移动，连接．如果∠APC=2∠B，则线段的长为 ． 【变式9-10】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【压轴题型十】勾股定理综合之最值问题 例题10（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是△ABC的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．13 【变式10-1】（2025·四川遂宁·一模）如图，点E在等边△ABC的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（   ） A．9 B．10 C． D． 【变式10-2】（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式10-3】（2025·湖南郴州·二模）如图，在中，∠B=90°，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ． 【变式10-4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在△ABC中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【变式10-5】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 【变式10-6】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【变式10-7】（2025·贵州·一模）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ． 【变式10-8】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ． 【变式10-9】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 【压轴题型十一】勾股定理综合之多结论问题 例题11（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）在△ABC中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是12． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论不正确的是(   ) A． B．是等腰直角三角形 C． D． 【变式11-2】（2025·安徽亳州·二模）如图，在△ABC中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式11-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下个结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【变式11-4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形、、分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接、．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 【变式11-5】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，的平分线交于，过点D作交于点E．若，．下列结论：①是等腰三角形；；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式11-6】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角△ABC中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-7】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有 （填写序号）． 【变式11-8】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰直角△ABC中，为的中点，为上一动点，则以下结论：①；②，③当时，，④的最小值为，其中正确的是 ．（只填写序号） 【压轴题型十二】勾股定理综合之双空类问题 例题12（2025·海南海口·一模）如图，在△ABC中，，，D是的中点，E是边上的一点，点B与点关于直线对称，点恰好在边上，连接，则 °；的长是 ． 【变式12-1】（2025·河南平顶山·一模）如图，在△ABC中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ；当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ． 【变式12-2】（2025·安徽淮南·一模）如图，在矩形中，，，取上一点，以为圆心长为半径画弧交于点，以、为圆心，以分别大于长为半径画弧交于点，连接并延长至点，使交于点，．分别以，为圆心，大于为半径画弧交于点，．连接交于点，点在上，过点作于点，连接． （1）如图，与相等的线段有 ；（2）的值为 ． 【变式12-3】（2025·海南海口·一模）如图，在等边△ABC中，，则等边△ABC的面积为 ；点是边的中点，点从点出发，沿方向运动．连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 【变式12-4】（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ． 【变式12-5】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【变式12-6】（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【变式12-7】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求 ． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当 时，能使． 【变式12-8】（2025·安徽安庆·一模）在中，，，平分交于点，平分交于点． （1） ； （2）若，则长为 ． 【变式12-9】（2025·山东东营·模拟预测）如图，等边三角形的边长为1，顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，过点作于点，过点作，交于点；过点作于点，过点作，交于点；……，按此规律进行下去，点的横坐标是 ． 1．（24-25八年级下·四川自贡·期中）直角三角形的两边长分别为3和5，则另一边长为 （     ） A．4 B． C．4 或 D．4 或 2．（2025·河北邯郸·一模）如图，在△ABC中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（    ） A．4 B．2 C．2 D．3 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）△ABC中， ，，点是边上的动点，过点作于点，于点，则的长（   ） A．4.8 B．4.8或3.8 C．9.6 D．6 4．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．50 B．100 C．150 D．无法计算 5．（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25八年级下·河北保定·期中）题目：“如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，求的长．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列说法正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．甲、丙两人答案合在一起才完整 C．乙、丙两人答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人答案合在一起才完整 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，D为上一点，，，且．记长为x，长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东德州·一模）如图，△ABC中，，点D在的延长线上，且，与的平分线交于点E，连接，．若，，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在等边△ABC中，、分别在、边上，且．以为边长作等边△ADE，连接、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山东德州·期中）若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E，F，则线段的长为 ． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在△ABC中，，平分交于点D，于点M，若，．则线段的长是 ． 14．（2025·吉林四平·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 15．（24-25八年级下·四川·期中）如图，等边中，，是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点，交线段于点，且，连接，则 ． 16．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，…，的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为 ． 17．（2025·江西抚州·一模）如图，在等边三角形中，，点D在上，是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为 ． 18．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为 ． 19．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，等腰直角三角形中，，点为△ABC外一点，，，，则的长为 ． 20．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 1 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题02 勾股定理选填题集训（一）（人教版） 【8个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】利用勾股定理解直角三角形 1 【基础题型二】勾股定理与数轴的综合应用 7 【基础题型三】利用勾股定理设未知数列方程求解 11 【基础题型四】利用勾股定理直接求解 20 【基础题型五】勾股定理中的面积问题 31 【基础题型六】勾股定理与尺规作图综合应用 44 【基础题型七】勾股定理中周长问题 56 【基础题型八】勾股定理中实际应用 64 【压轴题型九】勾股定理中需分类讨论问题 71 【压轴题型十】勾股定理综合之最值问题 86 【压轴题型十一】勾股定理综合之多结论问题 98 【压轴题型十二】勾股定理综合之双空类问题 113 【基础题型一】利用勾股定理解直角三角形 例题1（24-25八年级下·河北唐山·期中）在中，∠，，、、的对边分别是、、，下列结论：①；②；③：：；④中，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵在中，∠，， ∴，①正确，不符合题意； 由勾股定理得，，②正确，不符合题意； ，即，③正确，不符合题意； ∴，④错误，符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）若直角三角形的两边长，满足，则第三边的长是（   ） A．4或 B．5或 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，先求出和的值，再设第三边为，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 又∵, ∴ ∴ 设第三边长为x，由则共有以下两种情况： ①当时， ②当时，由所以， ∴第三边长是：4或； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．直接根据勾股定理得到，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c， 由勾股定理得：， 由题意得：， ∴， ∴，即斜边长为． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级下·广西贵港·期中）已知直角三角形面积为6，斜边长为5，则直角三角形的周长为（   ） A．24 B．7 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设直角三角形的两直角边分别是a、b，利用勾股定理和三角形的面积公式求得．然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（a、b均为正数）， 则，， ∴， ∴， ∴（舍去）， 所以该直角三角形的周长是：． 故选：C． 【变式1-4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若一直角三角形的两边长分别是3和4，则它的面积为（   ） A．5 B．6 C．5或 D．6或 【答案】D 【分析】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，注意在实际应用时有必要的时候分情况讨论．分为两种情况：①斜边是4，有一条直角边是3；②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①斜边是4，有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是=， ∴该三角形的面积为； ②3和4都是直角边，则该三角形的面积为， 即该三角形的面积为6或； 故选：D． 【变式1-5】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在中，，记△ABC的面积为的周长为，下列命题中的假命题是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平方差公式的应用，由直角三角形两锐角互余可判断；由勾股定理即平方差公式可判断，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故选项是真命题，该选项不合题意； ∵， ∴, ∴ 即，故选项是真命题，该选项不合题意； ∵，， ∴，故选项是假命题，该选项符合题意； ∵△ABC的周长为， ∴， 又∵， ∴， ∴，故选项是真命题，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-6】（24-25八年级下·湖南郴州·期中）△ABC中，，则中有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．根据三角形的内角和定理可得，，，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理逐项判断即可得． 【详解】解：∵△ABC中，， ∴，，，则选项A错误； 画出图形如下： ∴，即，则选项C正确； ∴，，则选项D错误； ∴，则选项B错误； 故选：C． 【变式1-7】（24-25八年级下·天津·期中）在中，，． （1）若，则 ， ； （2）若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了直角三角形中特殊角的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形性质以及勾股定理的应用． （1）利用含角的直角三角形性质求出，再用勾股定理求． （2）利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出和． 【详解】在中，． ，即． 将代入， ， 故答案为：2；； （2）在中，，则， ． ． 由勾股定理， 又， 则， 解得． 故答案为：． 【变式1-8】（24-25八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用分类讨论的方法解答．根据题意，先画出图形，然后求出的长，再分两种情况，求出相应的的长即可． 【详解】解：作于点，如图所示， ∵，， ∴， ∴ 当点在的位置时，，， 在中， ∴ 当点在的位置时，同理可得 ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 【基础题型二】勾股定理与数轴的综合应用 例题2（24-25七年级下·北京·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点A到原点的距离， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意得到的长，再利用勾股定理得到的长，进而得到的长，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴点表示的数为， 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．根据勾股定理可求得的长为，再根据点在原点的左侧，从而得出点所表示的数，即可作答． 【详解】解：如图： 由数轴得， 则， ∵点在原点的左侧， ∴点表示的实数是， 故选：B 【变式2-3】（2025·海南海口·一模）如图，矩形中，在数轴上，且点与原点重合，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】解：， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于， ， 故选：A． 【变式2-4】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上点表示的数为1，的直角边落在数轴上，且，长为1个单位长度．若以点为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，解题的关键是利用勾股定理求出的长．先利用勾股定理，求出，进而求得，从而得到点表示的数． 【详解】解：，，， ， ， 点表示的数为1， 点表示的数为． 故选：D． 【变式2-5】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 【变式2-6】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到的结果为． 根据勾股定理求出，因为，即可得到答案第2025次得到的结果为 【详解】解：， ， ， ， 点表示的数是 故选：A ． 【变式2-7】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，再次利用两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【详解】解：如图所示：点表示的数为，点表示的数为，， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 故选：B． 【基础题型三】利用勾股定理设未知数列方程求解 例题3（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在△ABC中，，，，在边上找一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：作的平分线交于点，过作于． ． ，， ， ， ， ． 设，则，， ， 解得． ． 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，将△ABC沿对角线翻折，点落到点，线段与轴交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作于点，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，，设，则，，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 点的坐标为， ，， 根据折叠可知：， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， 的长为， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在Rt△ABC中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如图，中，，将△ABC沿向右平移得到对应的，其中，，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】此题考查了平移的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移得到，由勾股定理得到，列方程进行解答即可． 【详解】解析：由题意可知，，， ∴， 设，，则， 解得． ∴． 故选：D 【变式3-4】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，△ABC是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用；由勾股定理可得．根据翻折可得；设，根据图形翻折可得，在直角三角形中，根据勾股定理可得，求解再进一步解答即可． 【详解】解：， ∴． 根据翻折可得：， 设， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得： ． 故选A． 【变式3-5】（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰△ABC中，，，，，连接交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点作于，求出，则，证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理即可求解，正确作出辅助线，构建全等三角形是本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， （负值舍去）， ， 故选：B． 【变式3-6】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，△ABC中，，点在边上，，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．过B作交延长线于F，证明 得到，，证明是等腰直角三角形，得到，设，在中，利用勾股定理求得x值即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于F，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， 在中，由得， 解得， ∴， 故答案为：12． 【变式3-7】（2025·河南平顶山·一模）如图，在△ABC中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ；当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，当是以为底的等腰三角形时，证明是直角三角形，运用勾股定理可求出；当是以为底的等腰三角形时，过点作于点，设，得，，由勾股定理得，解得，得，，由勾股定理得． 【详解】解：当是以为底的等腰三角形时，如图， ∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 又， ∴ ∴，即， ∴； 当是以为底的等腰三角形时，则， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴； 过点作于点，如图， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， 解得， ∴，， 在由，由勾股定理得． 故答案为：；． 【基础题型四】利用勾股定理直接求解 例题4（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，是△ABC的角平分线，，垂足为E，若，则 ． 【答案】 【详解】解：，， ，， 是的角平分线，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 【变式4-1】（2025·新疆克孜勒苏·模拟预测）如图，在△ABC中，，交于点，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，由三角形的内角和定理可得，结合垂直的定义可求得，，进而可求得，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ． ∴， ∴ 故答案为：． 【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）如图，在中，，的平分线交于点，过点作，交于点，过点作于点，若，，则（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 先根据角平分线的性质求，利用勾股定理求，再根据平行线的性质、等腰三角形的判定求解即可． 【详解】∵，的平分线交于点，， ∴， 在中， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是正确解答此题的关键． 过点作，根据勾股定理可以求出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，进而即可求出． 【详解】解：如下图所示：过点作， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：D． 【变式4-4】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据三角形外角性质得出，即可证明，利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式4-5】（2025·陕西咸阳·一模）如图，、分别是△ABC的高线、中线，，，．则长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线，高线，直角三角形的性质，勾股定理，先根据三角形高的定义结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，利用直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得到，再利用勾股定理求出，进而得到，求出，最后利用中线的定义求出，由即可求解． 【详解】解：∵是△ABC的高线， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是△ABC的中线， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-6】（24-25八年级下·新疆·期中）如图的三角形纸片中，，使B落在边上，且，那么的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，三线合一，含30度角的直角三角形，分母有理化，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．过点D作于H，易得，进而求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点D作于H， ∵折叠这个三角形，使B落在边AC上， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式4-7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理等知识，先求出，再由勾定理求出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴， ∵， ∴ ∵△ABC是等边三角形，且， ∴ ∴， ∴， ∴, 故选：B． 【变式4-8】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，，交于点，，，，则的长是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，连接，过点C作交的延长线于点F，证明是直角三角形推出，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理求出与的长即可推出结果． 【详解】解：如图，连接，过点C作交的延长线于点F， ∵点E是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式4-9】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．根据中点的性质求得和的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点，，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式4-10】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，是等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点作，根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形外角的性质可求出，从而可得，所以可得，，利用直角三角形的性质和勾股定理可得：，，从而可求，根据等边三角形的性质可知的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中，， ， ， 是的外角， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ，， ， ， ．      故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据特殊三角形的边和角之间的关系求解． 【变式4-11】（2025·江苏南通·一模）已知中，，，D为的中点，E，F分别在边，上．若是等边三角形，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】在左侧作交延长线于G，证明，可得出，根据含的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，结合线段中点的定义得出，然后在中根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解∶如图，在左侧作交延长线于G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造是解题的关键． 【基础题型五】勾股定理中的面积问题 例题5（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，，分别以、为边向外作等腰和等腰，若要求的面积，只需知道哪个图形的面积（   ） A． B． C． D．四边形 【答案】B 【详解】解：过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 设， 则，， ； , ， ， 故， 故选：B. 【变式5-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，△ABC是等边三角形，边长为2，延长到D，使，延长到E，使，延长到F，使，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，过点作，三线合一结合勾股定理求出的长，进而求出△ABC的面积，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作，连接， ∵是等边三角形，边长为2， ∴， ∴， ∵延长到D，使，延长BC到E，使，延长CA到F，使， ∴，， ∴， 同理：， ∴的面积为： ； 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形纸片中，．过点A作，垂足为点E．若，则该纸片的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角度关系以及直角三角形的面积计算等知识，通过构造辅助线和利用全等三角形的性质是解题的关键．过点作，交延长线于，连接，由可证，可得，，由可证得，可得，，可求的长，由面积关系可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 该纸片的面积． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A．30 B．15 C．20 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 【变式5-4】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知，以为边在外作等腰，，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．过点B作，过点A作于点E，在的延长线上截取，连接，则是的垂直平分线，，由此得，进而得，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点B作，过点A作于点E，在的延长线上截取，连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：10． 【变式5-5】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在梯形中，，如果，，梯形的面积为48．取的中点，连接并延长，与的延长线交于点．如果，那么的长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据梯形的面积可求得，然后利用可证得，得到，进而可推出，即可求得，然后由，可知，根据等角对等边可知为等腰三角形，然后利用三线合一和勾股定理即可求得． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ，，梯形的面积为48， ，即， ， ， ，， 又点为的中点， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式5-6】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在△ABC中，，，．将△ABC沿射线方向平移得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的基本性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质及含角的直角三角形的性质得出，，，得出，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，，， ∴，， ∵将沿射线方向平移得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式5-7】（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键． 求不规则四边形的面积，可以转化为两个直角三角形的面积，由题意，然后结合勾股定理和完全平方公式进行推理计算． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即 故答案为：9． 【变式5-8】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，四边形中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】过点A作于点E，求得，，，，，，过点B作，交的延长线于点G，求得，解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，，，， ∴， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-9】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图所示的四边形中，，，， 则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，延长到点使，连接，证明，得出，即可得，，在中，勾股定理求出，再根据四边形的面积，即可求解． 【详解】解：延长到点使，连接， ∵，， ， 在和中 ， ， ， ， 即， ， ， ， 在中，， ， ∴， 则四边形的面积， 故答案为：． 【变式5-10】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，已知在中，，平分，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出垂线是解题的关键． 过D作于，由角平分线的性质得到，然后由勾股定理求出，再由面积法得到，即求解，即可求出面积． 【详解】解：过D作于， 是的平分线，，于， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：15． 【基础题型六】勾股定理与尺规作图综合应用 例题6（2025·广东深圳·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，平分，垂直平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∵， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图． ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点； ④以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，； ⑤分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长是（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点作，根据作图可知：平分，，角平分线的性质得到，平角的定义推出为含30度角的直角三角形，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作， 根据作图可知：平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式6-2】（2025·四川凉山·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式6-3】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在△ABC中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式6-4】（2025·贵州·模拟预测）如图， 在△ABC中， ，， 分别以点B 和点 C为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线交于点 D． 若，， 则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】连接，设交于点H．证明，求出，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式6-5】（2025·广东深圳·二模）如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 【变式6-6】（2025·山东烟台·一模）如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形．作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于E， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式6-7】（2025·安徽合肥·二模）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点O，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的作法，勾股定理，由作法可知垂直平分，推出，，再利用勾股定理解求出即可． 【详解】解：由作法可知垂直平分， ，， 在中，， ， 故答案为：8． 【变式6-8】（2025·四川成都·一模）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握勾股定理，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形周长，是解题的关键． 根据勾股定理得，根据角平分线定义得，可得，得，得，，即得的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图知，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【变式6-9】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了基本作图—作角平分线、角平分线的性质定理、勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．过作于，根据基本作图可判断平分，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，然后在中由勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，过作于， 由作图得，平分， ∵，，， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 即，解得，即， 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 【变式6-10】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，由题意得．设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴的长为3． 故答案为：3． 【变式6-11】（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，连接，根据勾股定理求出，由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，根据得，根据证明，可得出；由得，由，得，可得出，得出，由勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ． 由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴ ∴， 在中，， 故答案为：3． 【基础题型七】勾股定理中周长问题 例题7（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，∠B=90°，的平分线交于点，于点，若，，则△ADE的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，长方形中，平分，交于点，垂直平分，分别交，于点和，若，则长方形的周长为（   ） A． B． C．18 D．19 【答案】A 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，结合长方形的性质得，，，因为平分，故，再运用度所对的直角边是斜边的一半，得，最后由勾股定理，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴，， 即， 在中，， 在中，， ∴， ∴长方形的周长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，度所对的直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）△ABC是直角三角形，，若，则这个直角三角形的周长为（   ） A．22 B．60 C．36 D．54 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，设，，根据勾股定理可知，即，解出x，进一步即可得出答案． 【详解】解：设，， 根据勾股定理可知：， 即， 解得∶（负值舍去）， 则，， 则这个直角三角形的周长为：， 故选：C 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于点D，交于点E．若，，则的周长为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理等知识；由角平分线的概念及平行线的性质得，，由勾股定理得从而可求得的周长． 【详解】∵平分交于点D， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的周长为． 故选：D． 【变式7-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，等腰△ABC，周长为，，，垂足为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质可得的长度，进而根据勾股定理，即可求解 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选：D 【变式7-5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若△ABC的周长为，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的周长及垂直平分线的性质及勾股定理，解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质．根据题意，由的周长及勾股定理得的长，再由垂直平分线的性质得到，则可得到，进而即可得到的周长． 【详解】解：的周长为，， ． ． ∵， ∴即， ∴， ∴ 是的垂直平分线， ． ． 的周长． 故选：C． 【变式7-6】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，是的角平分线，，垂足为E．若，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，利用线段的和差关系是解决本题的关键． 利用勾股定理先求出，再证明得到、，最后利用线段的和差关系求出的周长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ． 故选：B． 【变式7-7】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，等边△ABC的面积为，D是外一点，且，，，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作于点，由等边三角形的性质得，则，所以，求得，延长到点，使，连结，可证明，得，，推导出，再证明，得，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 延长到点，使，连结，则， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为4， 故选：A 【变式7-8】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，先根据勾股定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到，并得到，然后根据的周长为解题即可． 【详解】解：解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为等腰三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选D． 【基础题型八】勾股定理中实际应用 例题8（24-25八年级下·湖南长沙·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：，， 根据勾股定理得：， ∴风筝离地面的高度为： ， 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，用11个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中第一个直角三角形的两条直角边分别为1和2，其它直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键．根据勾股定理得到第十一个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第十一个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，即， ∴， ∴最接近的是17， 故选：C ． 【变式8-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键. 在中，用含x的代数式表示边和，再用勾股定理建立方程即可. 【详解】若设秋千的绳索长为x尺， 在中，，，， 由勾股定理，得， 即， 故选：D. 【变式8-3】（24-25八年级下·重庆璧山·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为（   ）尺． A． B．10 C．16 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索长为尺，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设绳索长为尺，依题意得： ， 解得：， ∴绳索长为尺， 故选：B． 【变式8-4】（24-25八年级下·山西晋中·期中）小华新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成如图，若两手握住的绳柄两端距离约为米，小臂到地面的距离约米，则适合小华的绳长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，由等腰三角形的性质得（米），然后根据勾股定理即可求得、的长度，即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ， （米）， （米）， （米）， 绳长为（米）， 故选：D． 【变式8-5】（24-25八年级下·山东临沂·期中）数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（    ） A． B． C． D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴AB＝， 故选：B． 【变式8-6】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，当秋千静止时，踏板从点B到点A的距离（的长）为5m，将踏板往前推4m到C处时（即水平距离），它的绳索始终拉直，则此时踏板上升的高度（的长）为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 由题意得，，，对运用勾股定理求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-7】（24-25八年级下·山东济宁·期中）文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路比走路”少了 米． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 则， 故答案为：4． 【变式8-8】（24-25九年级下·北京西城·期中）如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，过D作于H，根据矩形的判定和性质，以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设米， ∵， ∴， 解得， 即：米， 故答案为：2． 【变式8-9】（24-25八年级下·广东深圳·期中）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 ．（结果精确至．参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点，点， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 即椅背上人的头部支撑点向上抬高了约． 故答案为：． 【压轴题型九】勾股定理中需分类讨论问题 例题9（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在△ABC中，，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t秒，若为等腰三角形， ． 【答案】或或 【详解】解：在△ABC中，，，， ， △ABC是直角三角形，． 情况一：当时， ， 在中，，， ， 当点在线段上时，（不合题意，舍去）， 当点在的延长线上时，， 此时秒； 情况二：当时， ，此时秒； 情况三：当时， 设，则， 在中， ， 即：， 解得：， ，此时秒． 故答案为：或或． 【变式9-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，点D，E分别是，上的动点，将沿所在的直线折叠，使点A的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、二次根式运算等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先根据题意可得，，，可分两种情况讨论：①当时，易得，即点是的中点，可知；②当时，易知，设，在中，可得，结合，可求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即有，解得， ∴， 根据题意，将沿所在的直线折叠后，为直角三角形， 则有， ①当时， 此时， ∴，点是的中点， ∴； ②当时，如下图， 则有， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，即． 综上所述，的长为1或． 故答案为：1或． 【变式9-2】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上，连接，，当为等腰三角形时，线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的定义．先证明为等边三角形，然后分当，当时，两种情况分析即可． 【详解】解：中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 当，如图，过作于， ∴， ∴， 在中，， ∴， 当，如图，过作，交延长线于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 综上可知：的长为或． 故答案为：或． 【变式9-3】（2025·江西景德镇·一模）如图，△ABC是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则 ． 【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，画出示意图是解题的关键． 【变式9-4】（24-25八年级下·江西萍乡·期中）如图，在△ABC中，，点P为射线上一点．则当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理， 分三种情况：当时，直接得出答案；当时，根据等腰三角形的性质得出答案；当时，设，表示，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：∵， ∴． 当时，可知； 当时， ∵， ∴； 当时，设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解， 所以． 综上所述，的长为5或8或． 故答案为：5或8或． 【变式9-5】（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期中）在中，，，，点在边上，且，不重合的两条线段关于经过点的直线对称，当点恰好落在△ABC的边上时，的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 根据角直角三角形性质和勾股定理可求得，即可求，，分类讨论当点落在边上；当点落在边上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质，可求的长． 【详解】解：，，， ， ， 点D在边上，且， ， ， ，由关于经过点的直线对称得， 如图 1，点落在边上， ，， 是等边三角形， ； 如图 2，点落在边上， ，， ； ∵ 点不能落在边上， 综上所述，的长为4或， 故答案为：4或． 【变式9-6】（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知是△ABC的边上的高，若，，，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由勾股定理，得出，，分两种情况讨论：△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形，分别求解即可． 【详解】解：是的边上的高， ， ∵，，， ， ①当△ABC是锐角三角形时， ； ②当△ABC是钝角三角形时， ． 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 【变式9-7】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，点P为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点C的对应点为D，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或5． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分当时，当时，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴A、D、B三点共线， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5； 故答案为：或5． 【变式9-8】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理．分当Q在射线上和当Q在射线上两种情况利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，当Q在射线上时， ∵，，， ∴， ∴； 如图所示，当Q在射线上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式9-9】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，动点P在射线上移动，连接．如果∠APC=2∠B，则线段的长为 ． 【答案】5或11/11或5 【分析】本题考查勾股定理，线段垂直平分线性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在线段延长线上时，分别求出的长即可． 【详解】解：①当点P在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：； ②当点P在线段延长线上时，如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴， 由①可得， ∴， ∴， 综上，线段的长为5或11． 故答案为：5或11． 【变式9-10】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ， ， ∴点三点共线， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 当时， ， ， ； 不可能为， 综上，或． 故答案为：或． 【压轴题型十】勾股定理综合之最值问题 例题10（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，，，是边上一点，且，点是△ABC的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．13 【答案】A 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 【变式10-1】（2025·四川遂宁·一模）如图，点E在等边△ABC的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（   ） A．9 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 本题主要考查了将军饮马、垂线段最短、以及勾股定理。熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得 ∴的最小值 故选：C． 【变式10-2】（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案． 【详解】解：∵△ABC与均为等边三角形，且等边△ABC的边长为4， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键． 【变式10-3】（2025·湖南郴州·二模）如图，在中，∠B=90°，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值， ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即的最小值为3． 故答案为：3． 【变式10-4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在△ABC中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，找出P点的位置是解题的关键． 作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，此时有最小值，即的长度． 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q， 连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴， ∴， 由对称性可得，， 由勾股定理得，， ∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13． 故答案为：13. 【变式10-5】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】过点P作于D，求得，作点C关于的对称点E，连接交于F，连接，得到，再根据，则当P、D、E三点共线时，值最小，最小值等于，然后求出的长即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 在中，，， ∴， ∵ ∴ ∴， 作点C关于的对称点E，连接交于F，连接， ∴，， ∴ ∵ ∴当P、D、E三点共线时，值最小，最小值等于， ∵点C关于的对称点E，连接交于F， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题，两点间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握利用轴对称求最短路径方法以是解题的关键． 【变式10-6】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在中，由勾股定理得：， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 【变式10-7】（2025·贵州·一模）如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，由题意可得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，过点的线段，且，由直角三角形的性质和勾股定理得，，作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值，由角平分线的性质得，，设，则，可得，得到，进而由得，利用三角形面积得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点是在线段上移动的， ∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动， 如图，过点的线段，且， 在中，，，， ∴，， ∴， 作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值， ∵平分交于点，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式10-8】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在中，根据勾股定理得，过点作交延长线于点，则，再计算，，进而求得，则，延长至使得，可得，则，当点在上时取等号，结合勾股定理即可求得的最小值为． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作交延长线于点，则， ， ∵四边形面积为， ∴， 又∵， ∴，则， 延长至使得， ∴是的垂直平分线， ∴， 则，当点在上时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，平行线间的距离，三角形三边关系的应用等知识点，添加辅助线得是解决问题得关键． 【变式10-9】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】过点作于．过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，求出线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴过点作直线，作点关于直线的对称点在上，则， 连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称性质、含直角三角形性质、三角形的面积公式、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称性质构造图形解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 【压轴题型十一】勾股定理综合之多结论问题 例题11（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）在△ABC中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是12． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点关于的对称点为， ∴由轴对称变换性质可知，故①正确； 如图，过点作于点F． 当时，由轴对称变换性质得， ， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ，故②错误； ∵，， ， ，， ，，， ， ， 定值，故③正确； ∵， 的最大值为12，故④正确． ∴正确的有①③④关，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 【变式11-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论不正确的是(   ) A． B．是等腰直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确得到边相等、角相等．根据折叠的性质，，，，，，，然后结合等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由折叠可知，，，，，，， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， 是等腰直角三角形；故B正确，不符合题意； ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，故C不正确，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式11-2】（2025·安徽亳州·二模）如图，在△ABC中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，①由得，根据点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合），则，由此可对结论①进行判断；②根据，由勾股定理得：，由此可对结论②进行判断；③连接，设，根据等腰直角三角形的性质得，由勾股定理得，即，再由得，当且仅当时，，此时，则有，当时，，此时，则有，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合）， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴，故结论②正确； ③连接，设，如图所示： 在，点D为斜边上的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 当且仅当时，即点E，F分别为的中点时，， 此时，则有， 当时，即点E，F不是的中点时，，此时，则有， ∴，且等号可以取到，即最小值为．故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【变式11-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下个结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键．连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，根据全等三角形的性质，进而判断①②③，根据垂线段最短，当正三角形的边与垂直时，边最短，进而计算，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形为菱形，， ，， 和为等边三角形， ，， ，即 又 在和中 ， ，；故①正确 是等边三角形，故②正确； 四边形为菱形， ， ，故③正确； ④由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短 的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小， 又，正三角形的高为 的面积则此时的面积就会最大． ，故④正确； ∴正确的结论为：①②③④． 故选：A． 【变式11-4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形、、分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接、．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得，故②正确；同理可证，故③正确；由勾股定理可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，， ∴，故②正确； ，， ∴，故③正确； ， ∴ ， ∴，故④错误， 综上可知，正确的有①②③， 故选A． 【变式11-5】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，的平分线交于，过点D作交于点E．若，．下列结论：①是等腰三角形；；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】由角平分线定义得到、由平行线的性质推出，得到，判定是等腰三角形，设，由勾股定理得到，求出，得到，，作于，由勾股定理得到，可得，由，得到，，因此．，，所以． 【详解】解：作于． 的平分线交于， ． ， ． ． ． 是等腰三角形，故①符合题意； ， ． 设，则． ． ， ，解得． ，． ， ，解得． ， ，解得． ． 在和中， ． ，． ，故符合题意． ， ．故符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积，三角形全等的判定与性质等知识，关键是掌握勾股定理． 【变式11-6】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角△ABC中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“”可证，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得；故③正确；分别求出的面积，可得，故④错误；根据，结合对顶角，根据等角对等边证得，设，则，可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ；故③正确； ， 设，， ， ， ， ， ， 过点作于，在中，， ， ， ，故④错误； 如图，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ，故⑤正确， 故选：． 【变式11-7】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有 （填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】由题意易得是等腰直角三角形，然后通过证明，则有，进而根据三角形的中线、勾股定理可进行求解 【详解】解：∵，，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴；故①正确． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ∵， ∴是的中线，如果是角平分线，则， 但， 显然矛盾，故③错误． ④正确．在中，， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴垂直平分， ∴，故④正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述：正确的有①②④⑤； 故答案为①②④⑤． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式11-8】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰直角△ABC中，为的中点，为上一动点，则以下结论：①；②，③当时，，④的最小值为，其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是关键． 根据等腰三角形的性质，中线等知识判定①；运用勾股定理可判定②；根据中位线可判定③；根据轴对称-最短路径的计算，勾股定理等知识判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，不能确定是角平分线，故①错误，不符合题意； ∴， 在中，，故②正确； ∵是等腰直角三角形， ∴当时，即点是中点， 又∵点是中点， ∴，故③错误； 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，过点作于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，则， ∴， 在中，，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④ ． 【压轴题型十二】勾股定理综合之双空类问题 例题12（2025·海南海口·一模）如图，在△ABC中，，，D是的中点，E是边上的一点，点B与点关于直线对称，点恰好在边上，连接，则 °；的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵在△ABC中，，，D是的中点， ∴， ∴； ∵点B与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【变式12-1】（2025·河南平顶山·一模）如图，在△ABC中，已知，，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ；当是以为底的等腰三角形时，边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，当是以为底的等腰三角形时，证明是直角三角形，运用勾股定理可求出；当是以为底的等腰三角形时，过点作于点，设，得，，由勾股定理得，解得，得，，由勾股定理得． 【详解】解：当是以为底的等腰三角形时，如图， ∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 又， ∴ ∴，即， ∴； 当是以为底的等腰三角形时，则， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴； 过点作于点，如图， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， 解得， ∴，， 在由，由勾股定理得． 故答案为：；． 【变式12-2】（2025·安徽淮南·一模）如图，在矩形中，，，取上一点，以为圆心长为半径画弧交于点，以、为圆心，以分别大于长为半径画弧交于点，连接并延长至点，使交于点，．分别以，为圆心，大于为半径画弧交于点，．连接交于点，点在上，过点作于点，连接． （1）如图，与相等的线段有 ；（2）的值为 ． 【答案】 ； 【分析】根据矩形的性质可知，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可知，根据可证，根据全等三角形的性质可知，，从而可得：； 由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，从而可得：，，利用勾股定理分别求出和的长度，即可求出的值即可． 【详解】解：由作图可知是的平分线， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 故答案为：； 解：由可知， 由作图可知是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据尺规作图的作法明确作出的图形与原图形之间的关系． 【变式12-3】（2025·海南海口·一模）如图，在等边△ABC中，，则等边△ABC的面积为 ；点是边的中点，点从点出发，沿方向运动．连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质即可求得等边的面积；作于点，作于点，证明得，，所以运动的路径与的运动路径相同，即可得解． 【详解】解：连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ； 如图，作于点，作于点， ， ，， ， 又也为等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 运动的路径与的运动路径相同， 即点从点运动到点的距离为，即为， 故答案为：，． 【变式12-4】（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ． 【答案】 16 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， 先根据三点共线时最小，再根据等腰直角三角形的性质得出答案；将原式整理为，画出图形，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，然后根据直角三角形的性质和勾股定理可得答案． 【详解】解：当点A，P，D三点共线时最小， 此时， ∴， ∴， 根据勾股定理，得，， 则， ∴． 这个代数式得最小值是； 根据题意，得， 如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值. 当点A，P，D三点共线时最小， 此时，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得则， ∴. 在中，， ∴， ∴． 这个代数式得最小值是16． 故答案为：；16． 【变式12-5】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 【变式12-6】（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 【详解】解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 【变式12-7】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求 ． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当 时，能使． 【答案】 5或11 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）先求出的长，再求出的长，最后根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上和点P在的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 【变式12-8】（2025·安徽安庆·一模）在中，，，平分交于点，平分交于点． （1） ； （2）若，则长为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，，由三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，，，在中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 在中，； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵是角平分线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②． 【变式12-9】（2025·山东东营·模拟预测）如图，等边三角形的边长为1，顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，过点作于点，过点作，交于点；过点作于点，过点作，交于点；……，按此规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，勾股定理，关键是能根据求出的数据得出规律，题目比较好，但是有一定的难度． 根据△ABC是等边三角形，得到，，由勾股定理得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据中点坐标公式得到，推出是等边三角形，得到是的中点，求得，推出，即可求出点的横坐标． 【详解】解：是等边三角形， ，， 过点作于点， ∴， ∴， ，， ， ， ∴点为中点， ， ∵， ， 是等边三角形， ∴同理是的中点， ， 同理， ， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川自贡·期中）直角三角形的两边长分别为3和5，则另一边长为 （     ） A．4 B． C．4 或 D．4 或 【答案】C 【分析】本题考据勾股定理求直角三角形边长，分情况讨论确定直角边与斜边是解题关键． 先将长度为 5 的边分为斜边或直角边两种情况，再根据勾股定理求解即得． 【详解】解：当长度为 5 的边为直角边时，则第三边； 当长度为 5 的边为斜边时，则第三边． 故第三边长为：或 4 ． 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·一模）如图，在△ABC中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（    ） A．4 B．2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图 根据题意可知，， ， ， 在，，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）△ABC中， ，，点是边上的动点，过点作于点，于点，则的长（   ） A．4.8 B．4.8或3.8 C．9.6 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和． 根据题意画出图形，然后过A点作于F，连结，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得的长，由图形得 ，代入数值，解答出即可． 【详解】解：过A点作于F，连结， ∵在△ABC 中，，， ∴， ∴在 中 ， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．50 B．100 C．150 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．由已知可知，，根据勾股定理得出． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质，勾股定理．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与的交点为，    由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ∴． ， 故选C． 6．（24-25八年级下·河北保定·期中）题目：“如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，求的长．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列说法正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．甲、丙两人答案合在一起才完整 C．乙、丙两人答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据甲、乙、丙的说法分类讨论等腰三角形的具体情况，即可得出结果． 【详解】解：当时，点在点右侧，则，所以，此时为等腰三角形； 当时，点在点右侧，即，，此时为等腰三角形； 当时，点在之间，，即，，，此时为等腰三角形； 故选：D． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，D为上一点，，，且．记长为x，长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，过点A作，垂足为E，由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理建立方程即可得出答案． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ， ，， ∴， ， ． 在中， ， 在中， ， ， 即代数式的值不变． 故选B． 8．（2025·山东德州·一模）如图，△ABC中，，点D在的延长线上，且，与的平分线交于点E，连接，．若，，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点E作与点P， 过点E作交的延长线与点Q，先证明，由全等三角形的性质得出，，再得出和是等腰直角三角形，进而可得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作与点P， 过点E作交的延长线与点Q，如下图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 由勾股定理可得出：，， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在等边△ABC中，、分别在、边上，且．以为边长作等边△ADE，连接、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；连接，过点作交的延长线于点，证明，，得出，是等边三角形，进而可得，设，则，进而得出是等腰直角三角形，得出的长，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作交的延长线于点， ∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵, ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵ ∴ 故选：A． 10．（24-25八年级下·山东德州·期中）若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分两种情况：当为斜边，为直角边时；当、都为直角边时，分别利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当为斜边，为直角边时， 由勾股定理得第三边的长为：； 当、都为直角边时， 由勾股定理得第三边的长为：； 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E，F，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，再证是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出，然后由面积法求出，由勾股定理求出，则，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质．首先连接，利用证明，根据全等三角形的性质可知，，根据勾股定理可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，，为的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在△ABC中，，平分交于点D，于点M，若，．则线段的长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要涉及角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．正确作出辅助线的解题的关键． 延长构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质得到边的关系，再根据角的关系推出其他等腰三角形，进而求出相关线段的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点． 平分， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，． ，，且． 又，， ． ． ，， 则， ． ， ， ． 在中，，， ． 故答案为：4． 14．（2025·吉林四平·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川·期中）如图，等边中，，是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点，交线段于点，且，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，灵活运用勾股定理进行计算是解题的关键． 连接并延长交于点，过点作于点，先求出和，根据平分线定义得，再根据线段垂直平分线性质得，则是等边三角形，进而得，则，继而证明是等边三角形，求出，由勾股定理得，再由勾股定理即可求出． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作于点，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 故答案为： ． 16．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，…，的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型问题探究点的坐标，含的直角三角形三边的关系和勾股定理，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决本题的关键．根据含的直角三角形三边的关系和勾股定理得，，，于是可得到规律，据此即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ∵， ∴点与位置相同，在y轴的负半轴上， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 17．（2025·江西抚州·一模）如图，在等边三角形中，，点D在上，是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为 ． 【答案】1或或4 【分析】本题考查了等边三角形和直角三角形的性质，动点问题．解题的关键是添加辅助线和确定的取值范围． 过点D作于点G，连接，利用“直角三角形角所对的直角边是斜边的一半”求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，然后确定的取值范围，继而确定的整数值，最后求出的面积． 【详解】如图，过点D作于点G，连接， 在等边三角形中，，， ， ，，， ， ，， ， ， 当点E在点G处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大，， ，的长为整数， 的长为2或3或4， 是以为斜边的等腰直角三角形， 的面积为1或或4． 18．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得，，设，则，根据等边对等角得，在中，求得，继而得到，在中，推出，，，求出，，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，点作，交的延长线于点， ∴， ∵平分， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，等腰直角三角形中，，点为△ABC外一点，，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形和直角三角形成为解题的关键． 如图：过点C作且，连接，先证出得，利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图：过点C作且，连接， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，解得：． 故答案是：12． 20．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$