【精准提分】专题01 二次根式中相关求解（10个基础题+3个压轴题+课后巩固）- 2024-2025学年八年级下册数学期末专项培优（人教版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题01 二次根式中相关求解（人教版） 【10个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据未知数的值求二次根式的值 1 【基础题型二】二次根式中整数问题 3 【基础题型三】二次根式有意义的条件及其求值 5 【基础题型四】利用二次根式的非负性化简求值 11 【基础题型五】二次根式的乘法中估算与简算问题 16 【基础题型六】最简二次根式和同类二次根式的相关求值 21 【基础题型七】二次根式的混合运算（计算题） 25 【基础题型八】已知字母的值，化简求值 32 【基础题型九】已知条件式的值，化简求值 39 【基础题型十】二次根式的实际应用 43 【压轴题型十一】复合二次根式化简问题 51 【压轴题型十二】二次根式中比较大小问题 60 【压轴题型十三】二次根式中最值问题 71 【基础题型一】根据未知数的值求二次根式的值 例题1（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，将代入所求二次根式，再求解即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【变式1-4】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式1-5】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】把代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【基础题型二】二次根式中整数问题 例题2（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 【变式2-1】（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 【变式2-2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式2-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【变式2-4】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 【变式2-5】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 【基础题型三】二次根式有意义的条件及其求值 例题3（24-25八年级下·浙江金华·期中）若根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：由题意可知：， 解得：且， 故答案为：且． 【变式3-1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件可得，进而得到，则可求出的值． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可解答． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 的取值范围为． 故答案为：． 【变式3-4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．是一道复合型的题目，要考虑前面是重点．根据分式分母不为零，二次根式被开方数非负，得出不等式组计算即可． 【详解】解：由题意： 则， 故答案为：． 【变式3-5】（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出，再解方程求出且，根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可． 【详解】解：∵关于a的二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 即整数的值为，，，，， 解分式方程得：且， 又∵分式方程有负整数解， ∴整数的值为：，， 即所有整数a的和为， 故答案为：． 【变式3-6】（24-25九年级下·山东泰安·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，和代数式求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 先根据算术平方根的被开方数非负性确定a，再代入求出b，最后将a、b值代入并化简得出结果． 【详解】∵在和中，被开方数须是非负数， ∴且． ∴． 把代入中， ， 将，代入，可得 ． 故答案为：．. 【变式3-7】（24-25八年级下·山东德州·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3-8】（24-25七年级下·天津和平·期中），求 的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键； 根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出的值，然后代入即可求解． 【详解】解：， 由题意可得：， 解得：； 当时，； 则； 的算术平方根为； 故答案为： 【变式3-9】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）若成立，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，．根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-10】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）（1）若为实数，且，求的值； （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式被开方数大于或等于0和运算法则，准确进行推理计算； （1）先根据二次根式有意义的条件确定字母的值，再代入求解； （2）先确定字母的取值范围，再求出字母的值，代入计算即可． 【详解】解：（1），， ， ， ； （2）， ， ， 可化为， ， ， ． 【变式3-11】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，求不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出b的值，进而求出a的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ， ， 原式． 【基础题型四】利用二次根式的非负性化简求值 例题4（24-25八年级下·黑龙江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：A 【变式4-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质可得，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知，且， ∴， ∴ ； 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解答的关键是对二次根式的化简的法则的掌握．根据二次根式的化简的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 得． 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提． 【详解】解：由于二次根式有意义， 所以， 所以， 故选：B． 【变式4-4】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式4-5】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值, 先根据有理数的性质得到，，再根据二次根式的性质化简得到原式，然后变形得到原式，再利用整体代入的方法计算，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 原式 ． 故选：B． 【变式4-6】（24-25八年级下·广东·期中）已知，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键，根据的取值范围，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-7】（24-25八年级下·江西上饶·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简． 先根据被开方数非负确定的正负，再利用二次根式的性质对原式进行化简． 【详解】因为二次根式有意义，则， 所以． 则． 答案选B． 【变式4-8】（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 由可得，，然后根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【变式4-9】（24-25八年级下·福建福州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，因式分解的应用，实数的大小比较，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键． 根据题意中提取公因式可得，即可得出，根据二次根式的性质可得，，再根据实数比较大小的方法进行求解即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ∴． 故答案为：． 【基础题型五】二次根式的乘法中估算与简算问题 例题5（24-25八年级下·重庆渝北·期中）估计的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）估计的值在（  ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，无理数的估算，先根据二次根式乘法计算法则求出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级下·重庆璧山·期中）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法运算、无理数的估算，先根据二次根式的乘法化简原式，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：C． 【变式5-4】（2025·重庆·一模）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算、无理数的估算，先根据二次根式的运算法则得到，再估算出的范围即可求解． 【详解】解：， ∵，即， ∴，即， 故选：B． 【变式5-5】（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 【变式5-6】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若（为连续整数），则的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算、二次根式的乘法运算等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键．先根据二次根式的乘法运算可得，再根据无理数估算方法估算的范围即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴的值分别为5和6． 故选：C． 【变式5-7】（2025八年级下·全国·期中）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 【变式5-8】（24-25九年级上·重庆·期末）已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，利用二次根式的乘法运算可得，进而利用夹逼法可得，据此即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即 ∵， ∴整数， 故选：． 【变式5-9】（河南省许昌地区2024-2025学年八年级下学期期中素质评估数学试卷）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的乘法计算，积的乘方的逆用．根据积的乘方的逆用把原式变形为，再根据积的乘方的逆用和二次根式的乘方计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式5-10】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先逆用积的乘方，进行平方差公式的计算，再去括号，合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【基础题型六】最简二次根式和同类二次根式的相关求值 例题6（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．最简二次根式与可以合并，则，即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式， ∴． 解得． 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级下·河南新乡·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式，根据定义得到，即可求出的值． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 【变式6-4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ∴是型无理数． 故答案为：． 【变式6-5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【变式6-6】（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵和两个最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义列出一元一次方程是解答本题的关键． 【变式6-7】（23-24八年级下·安徽·期中）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 【变式6-8】（24-25八年级下·河南许昌·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 【变式6-9】（24-25八年级下·山东滨州·期中）若把化成最简二次根式后，可以与进行合并，则的一个值可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 设（为正整数），则，得到，当时，此时，符合题意． 【详解】解：设（为正整数），则， ， 当时，，此时， 可以与合并， 的一个值可以为， 故答案为：． 【变式6-10】（24-25八年级上·广东河源·期末）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的加减．根据A、B、C是可以合并的最简二次根式，得到A、B、C的被开方数相同，即可求得A、B、C，再根据二次根式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：∵A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴， ∴，， ∴，，， ∴． 故答案为： 【基础题型七】二次根式的混合运算（计算题） 例题7（24-25八年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【详解】 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合与运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式的应用是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简并计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的加减； （2）先计算二次根式的乘除运算，同时利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式7-3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的四则混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-4】（24-25八年级下·安徽淮南·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法、化简二次根式、计算算术平方根，再计算加减法即可得； （2）先化简二次根式、计算算术平方根，再计算乘法与加减法即可得； （3）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式7-5】（24-25八年级下·广东江门·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法，化简二次根式，再计算加减即可得解； （2）先化简二次根式，计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式7-6】（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)5 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式7-7】（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则及平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键． （1）先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式与绝对值，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-8】（24-25八年级下·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则及乘法公式． （1）分别计算二次根式的乘除，零次幂，再合并同类二次根式； （2）先整理再利用平方差公式和完全平方公式计算，最后求和即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-9】（24-25八年级下·广东广州·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，同类二次根式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 先对二次根式进行化简，利用二次根式的乘法法则进行运算，最后进行二次根式的加减即可． 【详解】解： ． 【变式7-10】（24-25八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简每个二次根式，再计算乘法，然后计算加减即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式7-11】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用乘方、负整数指数幂、二次根式的乘法和零指数幂计算即可； （2）利用二次根式的性质化简后再进行加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 【基础题型八】已知字母的值，化简求值 例题8（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先求出，，然后把原式变形为代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式8-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加减法，按照计算法则、运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键． 因为，，所以，， （1），代入数据计算即可． （2），代入数据计算即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， ， ， ； （2）解： ． 【变式8-3】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则及平方差公式．先根据、的值计算出、的值，再代入原式计算可得． 【详解】∵，， ∴, , ∴． 【变式8-4】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)(2)14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则和平方差公式、完全平方公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式得，再把a、b值代入，根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先根据完全平方公式得，再把a、b值代入，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-5】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，，求的值． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式8-6】（24-25八年级下·山东滨州·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，先把原式化为，再约分，分母有理化得到化简的结果，再代入，计算即可. 【详解】解：． 代入、的值，得． 【变式8-7】（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式8-8】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式8-9】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）原代数式化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式8-10】（24-25八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质与化简． （1）仿照题中给出的方法计算即可； （2）先仿照题中给出的方法计算求出a的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 ． 【基础题型九】已知条件式的值，化简求值 例题9（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【答案】 【详解】解：，，是三角形的三边长， ， 即， ， 故答案为：． 【变式9-1】（2025·江西吉安·一模）已知，那么的值等于 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级上·重庆·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 【变式9-4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式9-5】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 【变式9-6】（23-24八年级下·福建厦门·期末）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 【基础题型十】二次根式的实际应用 例题10（24-25八年级下·河北唐山·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，嘉嘉采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为________； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)琪琪想采用如图2所示的方式在矩形纸片上裁出两块边长都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【详解】（1）解：∵正方形纸片A的面积为， ∴边长为：， 故答案为：； （2）解：由题意得，方形纸片B的边长为， ∴图1中阴影部分的面积为； （3）解：能，理由如下： ∵，，而，， ∴能裁出． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东威海·期中）居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)绿地的周长约为42米(2)8000元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：绿地的周长： （米）． ∴绿地的周长约为42米； （2）解： （平方米）． ∴购买地砖的花费为（元）． 【变式10-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． (1)木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能截出；理由见解析 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板B为正方形，且面积为， ∴木板B的边长为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，， 能截出． 【变式10-3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：s），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据：） 【答案】在内该摆钟发出滴答声的次数约为159 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据公式代入数值进行计算即可． 【详解】解：一个周期 在内该摆钟发出滴答声的次数约为159． 【变式10-4】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【详解】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 【变式10-5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【答案】该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键． 根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解∶ 根据题意得， 解得， ， 该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准． 【变式10-6】（24-25八年级下·福建厦门·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．求木板（中剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形面积公式求出A、B、C三个正方形木板的边长，进而确定大长方形木板的长和宽，再根据阴影部分面积等于大长方形木板的面积减去A、B、C三个正方形木板的面积计算求解即可． 【详解】解：由题意得，大长方形木板的长为，宽为， ∴阴影部分面积为． 【变式10-7】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．    (1)求大长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为16千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】(1)(2)736千克 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， 总产量为（千克）， 答：张大伯种植蔬菜的总产量为736千克． 【变式10-8】（24-25八年级下·江西南昌·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； （2）解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， （块）． 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 【变式10-9】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1)(2)7200元 【分析】本题考查二次根式实际应用，二次根式混合计算，平方差公式计算等． （1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： ． ∴周长是：； （2）解：， ， ， （元）， ∴张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元． 【压轴题型十一】复合二次根式化简问题 例题11（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 【变式11-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 【变式11-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)(3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 【变式11-4】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式11-5】（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． （1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【详解】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 【变式11-6】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 【答案】(1)，，(2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）， ， ， ， ， ． 【变式11-7】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解； （2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解； （3），据此即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴a的值为或． （3）解：， ∴． 【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键． 【压轴题型十二】二次根式中比较大小问题 例题12（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 解题思路：本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【答案】(1)；(2)(3)44 【详解】（1）解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； （2）解： （3）解： 【变式12-1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 【变式12-2】（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①   ②(2)(3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， 同理：， ， ， ． 【变式12-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1)(2)，(3)(4)9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 【变式12-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)(4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 【变式12-5】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【答案】(1)①；②62 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）①根据题意得出，然后比较与的大小即可； ②先算出，，再将变形后代入求解即可． （2）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，然后解方程组即可． （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． ②∵，， ∴， ， 则． （2）解：∵， ， 即， ， 解得：． （3）解： ． 【变式12-6】（24-25八年级上·广东佛山·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)(4)11 【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 【压轴题型十三】二次根式中最值问题 例题13（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8(2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【变式13-1】（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【变式13-2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6(2)(3)(4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 【变式13-3】（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 【变式13-4】（23-24九年级下·山东济宁·期末）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    【答案】（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米 【分析】（1）根据当时，，当时，，即可求解， （2）令，，根据“当，时，”，即可求解， （3）令，，根据“当且仅当时，” ，即可求解， （4）设一边长为米，则另一边为米，根据“面积为32平方米”得，求出得最小值，及此时的得值，即可求解， 本题考查了，知识的迁移创新，完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是：灵活应用用材料所提供的结论． 【详解】解：（1）∵当，时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （2）当，式子，当且仅当时，即：时，有最小值，最小值为2， （3）∵， ∴， ∴，当且仅当时，即：时有最小值，最小值为24， （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米， 则：，即：， ∴所用篱笆的长为米， （米）， 当且仅当时，即时，取得最小值16， 此时，（米），（米）， 故答案为：（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． 【变式13-5】（23-24八年级上·四川乐山·期末）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (2)菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； (3)四边形面积的最小值为． 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可； （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设一边为xm，则另一边长为m， ∴菜园的面积， 又∵， ∴当时，菜园的面积有最大值为1250， 答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是2和3， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 【变式13-6】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 【变式13-7】（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【答案】(1)6(2)20米(3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 【变式13-8】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④(2)(3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减法与乘法、以及化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的加减法与乘法、以及性质化简逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键；由题意易得，然后由可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的值应在9和10之间； 故选B． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是关键． 根据二次根式的性质“”化简即可． 【详解】解：若， ∴， 解得，， 故选：D ． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 8．（24-25八年级下·河南焦作·期中）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数是非负数以及立方根的定义．据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级下·河南许昌·期中）使分式有意义的的取值范围在数轴上应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式和分式有意义的条件以及解集的数轴表示，根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，解不等式求出解集，根据数轴的解集表示方法判断即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 在数轴上表示如下： 故选：B． 10．（24-25八年级下·湖北随州·期中）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可． 【详解】解：由题意可知，，， 故， 故． 故选：D． 11．（2025·江苏无锡·一模）已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（    ） A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质．由题意将，和代入的代数式，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵、是两个连续的偶数（）， ∴， ∴ ， ∴总是偶数， 故选：A． 12．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 13．（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及幂运算，熟练掌握二次根式的开方数非负性是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求出y的值，最后计算代数式即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件得， 且， 解得， ∴ ∴， 故答案为：1． 14．（24-25八年级下·北京·期中）若，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的基本运算，能够利用二次根式的性质化简是解题的关键． 根据二次根式化简和运算，将等号左边的化简合并，然后解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2． 15．（24-25八年级下·福建厦门·期中）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，二次根式的性质，解题的关键是掌握相关运算法则．（1）根据二次根式的性质即可求解；（2）根据二次根式的除法法则求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 答案为：，，． 16．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知实数满足，则的值是 ． 【答案】2015 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，得到，进而得到，化简，移项后，利用平方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2015． 17．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知x，y都是实数，且，又知的整数部分为a，小数部分为b，若，，比较 m、n 的大小． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，无理数的整数部分与小数部分，正确判断带根号的无理数在两个整数之间是解答此题的关键．分别求出，的值，即可求出m的值，再根据的整数部分为a，小数部分为b，可求出n，即可比较大小， 【详解】解：∵ ∴，解得， ∴，即． ∴， ∵的整数部分为a，小数部分为b，且 ∴，， ∴， ∵，， ∴，即． 19．（24-25八年级下·吉林松原·期中）已知 ， ． (1)_____，_____； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；18(2) 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值； （2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 20．（24-25八年级下·山东济宁·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)(2)不正确；理由见解析(3)；严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可， （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； （2）解：不正确．   理由：当时，． ， 不正确； （3）解：当时，， 解得． ∴鸡蛋产生的动能． ∴启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 21．（24-25七年级下·吉林·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： (1)_______； (2)_______；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母有理化运算，平方差公式等知识． （1）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （2）类比提供的式子，分子分母同乘以，再进行计算即可求解； （3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解： ． 22．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：；． (1)观察上面的解题过程，请直接写出的结果是 ； (2)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1)(2)2024 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式，准确计算是解题关键． （1）根据平方差公式，可分母有理化； （2）根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的运算，可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 23．（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)化简：① ，② ． (2)计算：． (3)已知是整数，，，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；②(2)(3)1 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键； （1）仿照材料中方法求解即可； （2）先分母有理化，再合并即可； （3）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：①， ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 故答案为：1． 1 / 103 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题01 二次根式中相关求解（人教版） 【10个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】根据未知数的值求二次根式的值 1 【基础题型二】二次根式中整数问题 2 【基础题型三】二次根式有意义的条件及其求值 2 【基础题型四】利用二次根式的非负性化简求值 3 【基础题型五】二次根式的乘法中估算与简算问题 5 【基础题型六】最简二次根式和同类二次根式的相关求值 6 【基础题型七】二次根式的混合运算（计算题） 7 【基础题型八】已知字母的值，化简求值 9 【基础题型九】已知条件式的值，化简求值 10 【基础题型十】二次根式的实际应用 11 【压轴题型十一】复合二次根式化简问题 15 【压轴题型十二】二次根式中比较大小问题 18 【压轴题型十三】二次根式中最值问题 22 【基础题型一】根据未知数的值求二次根式的值 例题1（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式1-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【变式1-4】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 【变式1-5】（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是 ． 【基础题型二】二次根式中整数问题 例题2（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【变式2-1】（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【变式2-2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式2-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【变式2-4】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【变式2-5】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【基础题型三】二次根式有意义的条件及其求值 例题3（24-25八年级下·浙江金华·期中）若根式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）若，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 【变式3-4】（24-25八年级下·山东烟台·期中）使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式3-5】（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【变式3-6】（24-25九年级下·山东泰安·期中）若，则 ． 【变式3-7】（24-25八年级下·山东德州·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【变式3-8】（24-25七年级下·天津和平·期中），求 的算术平方根为 ． 【变式3-9】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）若成立，则x的取值范围是 ． 【变式3-10】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）（1）若为实数，且，求的值； （2）若实数满足，求的值． 【变式3-11】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，求的值． 【基础题型四】利用二次根式的非负性化简求值 例题4（24-25八年级下·黑龙江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】（24-25八年级下·广东·期中）已知，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【变式4-7】（24-25八年级下·江西上饶·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-8】（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知，则计算 ． 【变式4-9】（24-25八年级下·福建福州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接） 【基础题型五】二次根式的乘法中估算与简算问题 例题5（24-25八年级下·重庆渝北·期中）估计的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【变式5-1】（24-25八年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）估计的值在（  ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式5-3】（24-25九年级下·重庆璧山·期中）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【变式5-4】（2025·重庆·一模）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-6】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若（为连续整数），则的值分别为（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【变式5-7】（2025八年级下·全国·期中）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【变式5-8】（24-25九年级上·重庆·期末）已知，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-9】（河南省许昌地区2024-2025学年八年级下学期期中素质评估数学试卷）计算： ． 【变式5-10】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【基础题型六】最简二次根式和同类二次根式的相关求值 例题6（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列二次根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级下·河南新乡·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【变式6-5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式6-6】（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）当 时，和两个最简二次根式是同类二次根式． 【变式6-7】（23-24八年级下·安徽·期中）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【变式6-8】（24-25八年级下·河南许昌·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 【变式6-9】（24-25八年级下·山东滨州·期中）若把化成最简二次根式后，可以与进行合并，则的一个值可以为 ． 【变式6-10】（24-25八年级上·广东河源·期末）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，则的值为 ． 【基础题型七】二次根式的混合运算（计算题） 例题7（24-25八年级下·北京·期中）计算： 【变式7-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算： (1) (2) 【变式7-2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【变式7-3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）计算： (1)； (2) 【变式7-4】（24-25八年级下·安徽淮南·期中）计算： (1) (2) (3) 【变式7-5】（24-25八年级下·广东江门·期中）计算 (1) (2) 【变式7-6】（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-7】（24-25八年级下·河南许昌·期中）计算： (1)； (2)． 【变式7-8】（24-25八年级下·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)． 【变式7-9】（24-25八年级下·广东广州·期中）计算：． 【变式7-10】（24-25八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【变式7-11】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算题 (1) (2) 【基础题型八】已知字母的值，化简求值 例题8（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知，，求的值． 【变式8-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式8-3】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，，求的值． 【变式8-4】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式8-5】（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，，求的值． 【变式8-6】（24-25八年级下·山东滨州·期中）先化简再求值：，其中，． 【变式8-7】（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【变式8-8】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【变式8-9】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，，，求值： (1) (2) 【变式8-10】（24-25八年级上·河北沧州·期末）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； 【基础题型九】已知条件式的值，化简求值 例题9（24-25八年级下·天津和平·期中）若是三角形的三边长，化简 ． 【变式9-1】（2025·江西吉安·一模）已知，那么的值等于 【变式9-2】（24-25八年级上·重庆·期末）若，则代数式的值为 ． 【变式9-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【变式9-4】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【变式9-5】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【变式9-6】（23-24八年级下·福建厦门·期末）若x，y为实数，且，求的值． 【基础题型十】二次根式的实际应用 例题10（24-25八年级下·河北唐山·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，嘉嘉采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为________； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)琪琪想采用如图2所示的方式在矩形纸片上裁出两块边长都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由. 【变式10-1】（24-25八年级下·山东威海·期中）居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 【变式10-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． (1)木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【变式10-3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：s），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据：） 【变式10-4】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【变式10-5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准． 【变式10-6】（24-25八年级下·福建厦门·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．求木板（中剩余部分（阴影部分）的面积． 【变式10-7】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．    (1)求大长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为16千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【变式10-8】（24-25八年级下·江西南昌·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【变式10-9】（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【压轴题型十一】复合二次根式化简问题 例题11（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【变式11-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【变式11-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【变式11-3】（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【变式11-4】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【变式11-5】（23-24八年级下·福建厦门·期中）先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【变式11-6】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 【变式11-7】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 【压轴题型十二】二次根式中比较大小问题 例题12（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 解题思路：本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【变式12-1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【变式12-2】（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【变式12-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【变式12-4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【变式12-5】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【变式12-6】（24-25八年级上·广东佛山·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【压轴题型十三】二次根式中最值问题 例题13（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【变式13-1】（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【变式13-2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【变式13-3】（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【变式13-4】（23-24九年级下·山东济宁·期末）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    【变式13-5】（23-24八年级上·四川乐山·期末）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【变式13-6】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【变式13-7】（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【变式13-8】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）若有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）估计的值应在（   ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 8．（24-25八年级下·河南焦作·期中）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 9．（24-25八年级下·河南许昌·期中）使分式有意义的的取值范围在数轴上应表示为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·湖北随州·期中）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏无锡·一模）已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（    ） A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 12．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 14．（24-25八年级下·北京·期中）若，则x的值为 ． 15．（24-25八年级下·福建厦门·期中）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 16．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知实数满足，则的值是 ． 17．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知，则 ． 18．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知x，y都是实数，且，又知的整数部分为a，小数部分为b，若，，比较 m、n 的大小． 19．（24-25八年级下·吉林松原·期中）已知 ， ． (1)_____，_____； (2)求代数式的值． 20．（24-25八年级下·山东济宁·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 21．（24-25七年级下·吉林·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； 回答下列问题： (1)_______； (2)_______；（n为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 22．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：；． (1)观察上面的解题过程，请直接写出的结果是 ； (2)根据你发现的规律，请计算：． 23．（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)化简：① ，② ． (2)计算：． (3)已知是整数，，，且，则的值为 ． 1 / 103 学科网（北京）股份有限公司 $$