第20讲坐标与综合 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

坐标与综合 知识导航 1.平移问题；2.面积问题；3.参数问题. 【板块一】 平移问题 【例】 在平面直角坐标系中，点. 点 ，将点A 向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点 C. (1)用t 表示点C 的坐标为 ；用t表示点B 到y 轴的距离为 ； (2)若 时，平移线段AB，使点A，B到坐标轴上的点. 处，点 在y轴上，点 在x轴上，指出平移的方向和距离，并求出点. 的坐标； (3)如图,当 时，平移线段AB至MN(点A 与点M 对应)，使点M落在x轴的负半轴上， 的面积为4，试求点 M，N的坐标. 针对练习1 1.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为( (1)求 的面积； (2)若y轴上有一点M，且. 的面积为10，求点 M的坐标； (3)如图2，把直线AB以每秒2个单位的速度向右平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点( 【板块二】面积问题 【例1】如图,点A(-2,0),B(2,-2),线段AB交y轴于点C. (1)求点C的坐标； (2)若将线段AB平移至OE,使点A 与点O重合,点 F(m,n)在线段OE上,试说明: (3)若D(6，0)，动点 P从点D 开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时点Q从点C开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动.问：经过多少秒钟，△APC与△AOQ的面积相等? 【例2】在平面直角坐标系中，已知点A(a,0),B(a,6),C(a-2,2). (1)若 ，则三角形 ABC的面积为 ； (2)将线段BC向右平移m 个单位，若三角形ABC的面积小于4，求m的取值范围； (3)若点 ，连结AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围 . 针对练习2 1.在平面直角坐标系中,点 A(a,b),B(c,d),且 (1)如果 ，求A，B两点的坐标； (2)如果 ，求直线AB与x轴交点M 以及与y轴交点N 的坐标； (3)如果点A在x轴上方平行于x轴，且在到x轴距离等于2的直线上运动，若 的面积不超过21，求a的取值范围. 2.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(2,4),C(5,0). (1)如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接BD交x轴于点E，是否存在点 D，使得 若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，若将线段AB向上平移2个单位长度，点G为x轴上一点，点F(5，n)为第一象限内的一动点,连接BF,CF,CA,AG,若 的面积等于由AB，BF，CF，AC四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值(用含 n的式子表示). 【板块三】 参数问题 【例1】 在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4),C(m,2m+6). (1)当m=-2时,△ABC的面积为 (直接写出结果); (2)当点C在第二象限时，求△ABC的面积S与m的关系式； (3)若点 ，请直接写出△ABP 的面积S 的取值范围. 【例2】如图，将线段 AD 水平向右平移到 BC，已知A，D 两点的坐标分别为A(-1,-2),D(0,1),连接DC,AB,得四边形ABCD,且 BC交x轴于点M. (1)点B 的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)如图1,连接OC,OB,求三角形BOC的面积和点M 的坐标; (3)如图2,若点 P(m,n)为四边形ABCD内的一点,且. 求m，n满足的数量关系，并直接写出m的取值范围. 针对练习3 1.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,2),B(b,6),且a,b满足关系式 (1)直接写出A,B两点的坐标:A( , ),B( , ); (2)如图1,点 P(m,n)是线段AB上的动点,求m,n之间的数量关系; (3)如图2，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为 当线段 交y轴于点C时，若 与 的面积相等，求移动的时间t和点C 的坐标. 2.如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，下表列举的是直线l上的点P(x，y)的取值情况： x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y -1 0 1 2 3 4 5 (1)直线l上的点P(x，y)的横纵坐标之间的数量关系是 (直接写出结果)； (2)若点 P(-2,2),点Q(q,0),若以P,Q,O,B为顶点的四边形的面积大于5,求q的取值范围; (3)已知坐标平面内第一象限的点M(m,n),N(m+4,n+4),若三角形PMN的面积是12,求m,n的数量关系. 3.如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为A(a，0)，B(0,b),C(2,4),且方程 是关于x，y的二元一次方程. (1)求A,B两点的坐标; (2)设D 为坐标轴上一点，且满足 求点D 的坐标； (3)平移△ABC得到△EFG(A与E对应,B与F 对应,C与G对应),且点E的横、纵坐标满足关系式:5xe-ye=4,点F 的横纵坐标满足关系式： 求点G的坐标. 坐标与综合 知识导航 1.平移问题；2.面积问题；3.参数问题. 【板块一】 平移问题 【例】 (2018·东西湖)在平面直角坐标系中，点 点 ，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点 C. (1)用t表示点C 的坐标为 (t+4,t-2) ;用t表示点B 到y轴的距离为 t+3 ; (2)若t=1时，平移线段AB，使点A，B到坐标轴上的点. 处，点 在y轴上，点 在x轴上，指出平移的方向和距离，并求出点 的坐标； (3)如图，当t=0时，平移线段AB至MN(点A 与点M 对应)，使点M落在x轴的负半轴上， 的面积为4，试求点 M，N的坐标. 【解答】 (2)向左平移2个单位再向下平移2个单位， (3)当t=0时,A(1,2),B(3,1).由平移性质知: 设点M(m,0),过点A作. 轴于点P，过点B作 轴于点Q，则 1=4,∴m=-3,∴M(-3,0),由平移知点 N(-1,-1). 针对练习1 1.(2017·武昌)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为( (1)求△AOB的面积; (2)若y轴上有一点M，且△MAB的面积为10，求点M的坐标； (3)如图2，把直线AB以每秒2个单位的速度向右平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点(0,-2)? 【解答】 (1)分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为 P，Q， 则 (2)设线段AB与y轴交于点C，则 或 (3)设直线AB与x轴交于点D，则 ∴D(-3,0).设(0,-2)平移前对应直线 AB上的点E,则 【板块二】 面积问题 【例1】 如图,点A(-2,0),B(2,-2),线段AB交y轴于点C. (1)求点C的坐标； (2)若将线段AB平移至OE,使点A与点O重合,点 F(m,n)在线段OE上,试说明:m+2n=0; (3)若D(6，0)，动点 P从点D 开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时点Q从点C开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动.问：经过多少秒钟，△APC与△AOQ的面积相等? 【解答】 (1)连接OB,∵ (2)由已知得E(4,-2),作EM⊥x轴于点M,FN⊥x轴于点N, 由 得， ; (3)设经过t秒钟△APC与△AOQ的面积相等. ①当 P在A 点的右边时， ②当P在A 点的左边时， ∴经过 秒或10秒△APC与△AOQ的面积相等. 【例2】 (2018·江岸)在平面直角坐标系中，已知点A(a,0),B(a,6),C(a-2,2). (1)若a=2,则三角形ABC的面积为 6 ; (2)将线段BC向右平移m 个单位，若三角形ABC的面积小于4，求m的取值范围； (3)若点D(a+8，8)，连结AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD 有公共点，请直接写出 n的取值范围 4≤n≤6 . 【解答】 (1)6；(2)点B可看作点A向上平移6个单位，点C可看作点A向左平移2个单位，再向上平移2个单位.平移后C(a+m-2,2),B(a+m,6),当 S△ABC=4时, 解得 ③当A，B，C三点共线时 且m≠3;(3)4≤n≤6. 针对练习2 1.在平面直角坐标系中,点A(a,b),B(c,d),且 (1)如果a=-1,b=-3,求A,B两点的坐标; (2)如果a=--1,b=-3,求直线AB与x轴交点M以及与y轴交点N 的坐标; (3)如果点A在x轴上方平行于x轴，且在到x轴距离等于2的直线上运动，若 的面积不超过21，求a的取值范围. 【解答】 (1)A(-1,-3),B(2,-7); (2)过点B作BP⊥x轴于点P,连接AP,由( ，列出关于MP的方程，求得 过点A作AQ⊥PB于点Q,连接 NQ,由 易求点 (3)由题知b=2,则d=-2,∴A(a,2)B(a+3,-2),同(2)用面积法可求AB与x轴交点 即 解得-12≤a≤9.(注: 时，△ABO才存在，这里没有考虑). 2.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(2,4),C(5,0). (1)如图1，若点 D为y轴负半轴上的一个动点，连接BD交x轴于点E，是否存在点 D，使得S△ADE=S△BCE?若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，若将线段AB向上平移2个单位长度，点G为x轴上一点，点F(5，n)为第一象限内的一动点,连接BF,CF,CA,AG,若△ABG的面积等于由AB,BF,CF,AC四条线段围成的图形的面积,求点G的横坐标的值(用含n的式子表示). 【解答】 (1)连接AB交y轴于点M, ,过点 B 作BH⊥AC于点H,∴H(2,0),S△ABH=8,设点 M(0,m),. 解得m=2,∴点M(0,2),设 d=14,解得d=7,∴点D(0,-5); (2) 延长BA交x轴于点N,连接BC,设点N(-k,0),点A(-2,2),点B(2,6),点C(5,0)∴S△ABC=18,∵S△BNC-S△ANC= 解得k=4,∴点 N(-4,0),四边形 ABFC的面积 设 NG=t, 解得 设点G的横坐标为x，则 解得： 或 【板块三】 参数问题 【例1】 在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4),C(m,2m+6). (1)当m=-2时,△ABC的面积为 7 (直接写出结果); (2)当点C在第二象限时，求△ABC的面积S与m的关系式； (3)若点P(n,-2),-3<n≤2,i，请直接写出△ABP 的面积S 的取值范围. 【解答】 (1)7; (2)连接OC,易求 ①如图1，当点C在第二象限直线AB 下方时， ②如图2，当点C在第二象限的直线AB上方时， 综上所述:S=-5m-3或者S=5m+3; (3)5≤S<15. 【例2】如图，将线段 AD水平向右平移到BC，已知A，D 两点的坐标分别为A(-1,-2),D(0,1),连接DC,AB,得四边形ABCD,且. ,BC交x轴于点M. (1)点 B 的坐标为 (3,-2) ,点C的坐标为 (4,1) ; (2)如图1,连接OC,OB,求三角形 BOC的面积和点M 的坐标; (3)如图2,若点P(m,n)为四边形ABCD内的一点,且S△ADP=4,求m,n满足的数量关系,并直接写出m的取值范围. 【解答】(1)B(3,-2),C(4,1);(2)M( ,0)..思路：S 提示：过点P作EF∥y轴分别交CD,AB于E,F,则 用坐标表示面积即得3m-n=7. 针对练习3 1.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,2),B(b,6),且a,b满足关系式( (1)直接写出 A，B两点的坐标： (2)如图1,点 P(m,n)是线段AB上的动点,求m,n之间的数量关系; (3)如图2，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为 当线段 交y轴于点C时，若 与 的面积相等，求移动的时间t和点C 的坐标. 【解答】 (2)如图，过点P作 轴于点H，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作 轴于点F,连接PE,PF,四边形ABFE面积为48,S△AEP=m+18,S△APF=-18-3m,S△PEF=6n,∴48=(m+18)+(-18-3m)+6n,∴3n-m=24.∴m,n之间的数量关系为:3n-m=24; (3)如图,过点A₁作A₁P⊥y轴于点P,过点B₁作B₁Q⊥y轴于点Q,易知. 由△A₁CO与△B₁CO的面积相等得 ,解得t=6. .可求△A₁B₁O的面积为24,∴△CB₁O的面积为12,即 ∴CO=4,∴C(0,4),∴移动的时间t=6,点C的坐标为(0,4). 2.(2018·江岸)如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，下表列举的是直线l上的点P(x，y)的取值情况： x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y -1 0 1 2 3 4 5 (1)直线l上的点P(x，y)的横纵坐标之间的数量关系是 y=x+4 (直接写出结果)； (2)若点 P(-2,2),点Q(q,0),若以P,Q,O,B为顶点的四边形的面积大于5,求q的取值范围; (3)已知坐标平面内第一象限的点M(m,n),N(m+4,n+4),若三角形 PMN的面积是12,求m,n的数量关系. 【解答】(1)y=x+4;(2)q> 或q<-1且q≠-4;(3)m-n=2或m-n=-10. 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(a，0)，B(0,b),C(2,4),且方程 是关于x，y的二元一次方程. (1)求A,B两点的坐标; (2)设D为坐标轴上一点，且满足 求点D的坐标； (3)平移△ABC得到△EFG(A与E 对应,B与F对应,C与G对应),且点E的横、纵坐标满足关系式:5xE-yE=4,.点 F 的横纵坐标满足关系式： 求点G的坐标. 【解答】 (1)依题意得 解之得：A,B两点坐标分别为A(-4,0),B(0,-2); (2)因为A,B,C三点坐标分别为A(-4,0),B(0,-2),C(2,4),可求出 ①当点D在x轴上时，则有 所以xD+4=7或.xD+4=-7,角解得:xD=3或.xp=-11,此时点D的坐标为(3,0)或(-11,0); ②当点D在y轴上时，则有 所以 或 解得： 或 此时点D的坐标为((0, 或 综上所述:点D的坐标为(3,0)或(-11,0)或(0,- )或( (3)依题意设E(m,5m-4),F(n, n-4); 因为点E 由点A 与点F 由点B 按相同的规则平移得到，所以有 解之得 所以E(2,6),F(6,4),又A(-4,0),B(0,-2),所以平移规律为: 将△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到△EFG， 而C(2,4),所以G(8,10). 学科网（北京）股份有限公司 $$