第11讲 平移 培优讲义2024-2025学年人教版数学七年级下册

平移 题型一 平移定义 方法技巧 1.图形的平移必须具备两个要素:平移的方向与平移的距离.其中,平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向;平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离. 2.平移只改变位置,形状与大小都不改变. 【例1】 下列运动中属于平移的是( ) A.急刹车时汽车在地面上的滑动 B.冷水加热时小气泡上升变为大气泡 C.随风飘动的风筝在空中的运动 D.随手抛出的彩球的运动 题型二 平移性质 方法技巧 (1)平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等;对应角相等;对应点的连线平行(或共线)且相等; (2)“将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一方向移动了相同的距离”. 【例2】 如图所示是重叠的两个直角三角形,将直角 沿BC 方向平移得到 如果 8cm,BE=4cm,DH=3cm,求图中阴影部分的面积. 题型三 平移作图 方法技巧 平移作图的步骤:(1)找出能表示原图形的关键点;(2)将原图形中的某个关键点与其平移后的位置点连接起来;(3)过其他关键点分别作线段,使得它们与确定线段平行且相等,再连接这些关键点的对应点,所得的图形就是原图形平移后的图形. 【例3】 如图,网格中每个小正方形边长为1,三角形ABC的顶点都在格点上.将三角形ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到三角形 (1)请在图中画出平移后的三角形 (2)画出平移后的三角形 的中线 (3)若连接 则这两条线段的关系是 ; (4)三角形ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为 ; (5)若三角形ABC与三角形ABE 面积相等,则图中满足条件且异于点C的格点E 共有 个. 题型四 平移中几何综合问题 方法技巧 善于运用平移性质结合平行线性质及技巧探究几何综合题. 【例4】 如图,点C,M,N在射线DQ上,点 B 在射线AP 上,且. ∠2,AN平分. (1)试说明 (2)试求 的度数; (3)平移线段 BC. ①试问 的值是否发生变化?若不变,请求出这个比值;若不变,请找出相应变化规律; ②若在平移过程中存在某种位置,使得 试求此时 的度数. 针对练习9 1.某宾馆准备在大厅的主楼梯上面铺设某种红地毯.已知这种红地毯每平方米售价30元,主楼梯道宽2.5米,其侧面如图,请你帮忙算一算,此宾馆若购买这种红地毯需花费多少钱? 2.将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF 的位置,平移的距离是边 BC长的2倍,求图中的四边形 ACED的面积. 3.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移,使点A平移到点D,点E,F分别是B,C的对应点. (1)请画出平移后的三角形DEF,并求三角形 DEF的面积= ; (2)在AB上找一点M,使CM平分三角形ABC 的面积; (3)在网格中找格点 P,使 这样的格点 P 有 个. 4.已知l₁∥l₂,点A₁B在l₁上,点C,D在l₂上,连接AD,BC. AE,CE分别是∠BAD,∠BCD的角平分线,∠ =70 ,∠ =30 . (1)如图1,求∠AEC 的度数; (2)如图2,将线段AD沿CD 方向平移,其他条件不变,求∠AEC的度数. 平移 题型一 平移定义 方法技巧 1.图形的平移必须具备两个要素:平移的方向与平移的距离.其中,平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向;平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离. 2.平移只改变位置,形状与大小都不改变. 【例1】 下列运动中属于平移的是( ) A.急刹车时汽车在地面上的滑动 B.冷水加热时小气泡上升变为大气泡 C.随风飘动的风筝在空中的运动 D.随手抛出的彩球的运动 【点拔】 判断物体的运动是否属于平移,看运动方向,物体的大小、形状是否发生了变化.本题选A. 题型二 平移性质 方法技巧 (1)平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等;对应角相等;对应点的连线平行(或共线)且相等; (2)“将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一方向移动了相同的距离”. 【例2】 如图所示是重叠的两个直角三角形,将直角 沿BC 方向平移得到 如果 8cm,BE=4cm,DH=3cm,求图中阴影部分的面积. 【分析】 阴影部分是梯形,不能直接求出其面积,用等积变换求其面积. 【解答】 即 于是 题型三 平移作图 方法技巧 平移作图的步骤:(1)找出能表示原图形的关键点;(2)将原图形中的某个关键点与其平移后的位置点连接起来;(3)过其他关键点分别作线段,使得它们与确定线段平行且相等,再连接这些关键点的对应点,所得的图形就是原图形平移后的图形. 【例3】 如图,网格中每个小正方形边长为1,三角形ABC的顶点都在格点上.将三角形ABC向左平移2格,再向上平移3格,得到三角形A'B'C'. (1)请在图中画出平移后的三角形A'B'C'; (2)画出平移后的三角形A'B'C'的中线B'D'; (3)若连接BB',CC',则这两条线段的关系是 (4)三角形 ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为 12 ; (5)若三角形 ABC与三角形ABE 面积相等,则图中满足条件且异于点C的格点E 共有 10 个. 【分析】 (1)(2)(3)(4)根据平移的性质求解; (5)过点C作AB的平行线,然后找出此平行线上的格点即可. 【解答】 (1)(2)图略;( (4)三角形ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积=4 3=12; (5)满足条件且异于点C的格点E 共有10个. 题型四 平移中几何综合问题 方法技巧 善于运用平移性质结合平行线性质及技巧探究几何综合题. 【例4】 如图,点C,M,N在射线DQ上,点 B在射线AP 上,且. ∠2,AN平分∠DAM. (1)试说明AD∥BC; (2)试求∠CAN的度数; (3)平移线段 BC. ①试问∠AMD:∠ACD的值是否发生变化?若不变,请求出这个比值;若不变,请找出相应变化规律; ②若在平移过程中存在某种位置,使得 ,试求此时 的度数. 【分析】 (1)根据平行线的性质和判定解答即可; (2)根据角平分线的定义解答即可; (3)根据平移的性质和平行线的性质解答即可. 【解答】 (1)∵AP∥DQ,∴∠D+∠DAB=180 . ∵∠D=80 ,∴∠DAB=100 . ∵∠ABC=80 ,∴∠DAB+∠ABC=180 .∴AD∥BC; (2)∵AN平分∠DAM,∴∠NAM=∠NAD= ∠DAM.∵∠1=∠2, 即: ∵∠DAB=100 ,∴∠CAN=50 ; (3)①不会.∵AP∥DQ,∴∠AMD=∠MAB=2∠1,∠ACD=∠1,∴∠AMD:∠ACD=2; ②∵AP∥DQ,AD∥BC,∴∠AND=∠NAB,∠ACB=∠DAC,∵∠AND=∠ACB, ∴∠NAB=∠DAC,∴∠NAB-∠NAC=∠DAC-∠NAC,即∠1=∠DAN. ∴∠1=∠2=∠DAN=∠MAN=25 ,∴∠ACB=∠DAC=75 . 针对练习9 1.某宾馆准备在大厅的主楼梯上面铺设某种红地毯.已知这种红地毯每平方米售价30元,主楼梯道宽2.5米,其侧面如图,请你帮忙算一算,此宾馆若购买这种红地毯需花费多少钱? 【解答】 (3.1 2.5+5.5 2.5) 30=645(元) 答:购买这种红地毯需花费645元. 2.将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF 的位置,平移的距离是边 BC长的2倍,求图中的四边形ACED的面积. 【解答】 设点A到BC 的距离为h,则 因为平移的距离是边BC长的2倍,所以AD=2BC,CE=BC, 所以四边形ACED的面积 3.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移,使点A平移到点D,点E,F分别是B,C的对应点. (1)请画出平移后的三角形 DEF,并求三角形DEF的面积= 7 ; (2)在AB上找一点M,使CM平分三角形ABC 的面积; (3)在网格中找格点 P,使 S三角形ABC=S三角形BCP,这样的格点 P 有 4 个. 【解答】 (1)7;(2)取AB的中点M 即可;(3)4. 4.已知l₁∥l₂,点A,B在l₁上,点C,D在l₂上,连接AD,BC. AE,CE分别是∠BAD,∠BCD的角平分线,∠ =70 ,∠ =30 . (1)如图1,求∠AEC的度数; (2)如图2,将线段AD沿CD 方向平移,其他条件不变,求∠AEC的度数. 【解答】 (1)过点E作EF∥l₁,易得l₁∥l₂∥EF,∴∠BCD=∠ =70 . ∵CE是∠BCD的角平分线,∴ ∴∠FEC=∠ECD=35 ,同理可求∠AEF=15 ,∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=50 ; (2)过点E作EF∥l₁,易得l₁∥l₂∥EF,∴∠BCD=∠ =70 .∵CE是∠BCD的角平分线, ∵l₁∥l₂,∴∠BAD+∠ =180 ,∵∠ =30 ,∴∠BAD=150 ,∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE= 150 =75 .∵EF∥l₁,∴∠BAE+∠AEF=180 .∴∠AEF=105 . 学科网(北京)股份有限公司 $$