第15讲点的坐标 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

点的坐标 知识导航 1.点的坐标与距离； 2.点的坐标规律(一)象限点与轴上点； 3.点的坐标规律(二)与轴平行的直线上的点与象限角角平分线上的点. 【板块一】 点的坐标及规律(一) 象限点与轴上点 方法技巧 1.坐标与距离：点P(x，y)为平面直角坐标系内一点. ①点 P(x,y)到x轴的距离⇔|y|; ②点 P(x,y)到 y轴的距离⇔|x|. 2.象限点的坐标特征： 点 P(x，y)为平面直角坐标系内一点. ①P(x,y)在第一象限< ②P(x,y)在第二象限 ③P(x,y)在第三象限 ④P(x,y)在第四象限< 3.轴上点的坐标特征： (注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限) ①点在x轴上⇔纵坐标为0； ②点在 y轴上⇔横坐标为0. 3.轴上点的坐标特征： (注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限) ①点在x轴上⇔纵坐标为0； ②点在 y轴上⇔横坐标为0. 题型一 坐标与距离 【例1】若点 P在x轴的下方，y轴的左方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2.则点P的坐标为( ) A.(-3,2) B.(-2,3) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 【例2】 已知平面直角坐标系内有一点M(m-1,2m+3). (1)当m为何值时，点M到x轴的距离为1? (2)当m为何值时，点M到y轴的距离为2? 题型二 坐标与象限 【例3】 在平面直角坐标系中,点A(2m-7,n-6)在第四象限，点A 到x轴和y轴的距离分别为3，1，试求m+n的值. 【例4】 已知点 P(2a-4,3a+6)在第三象限,请问点( 在第几象限? 题型三 坐标与坐标轴 【例5】已知点 P(a-2,2a+8),分别根据下列条件求出点 P 的坐标. (1)点 P在x轴上; (2)点 P 在y轴上; (3)点 P到x轴，y轴的距离相等. 题型四 坐标与位置 【例6】五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流下棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线(横、竖、斜均可)就获得胜利.如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋A 所在点的坐标是( 黑棋B所在点的坐标是(0，4)，现在轮到黑棋走，黑棋放到点C的位置就获得胜利，那么点C的坐标是 . 【例7】 如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1m)上沿着网格线运动.贝贝从点A 处出发去寻找点B，C，D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从点A到点B 记为：A→B(+1，+4)，从点 B到点A 记为：B→A(-1，-4).请根据图中所给信息解决下列问题： (1)A→C( , );B→C( , );C→ (-3,-4); (2)如果贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程； (3)如果贝贝从点A处去寻找妮妮的行走路线依次为(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),请在图中标出妮妮的位置点E. 针对练习1 1.点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点 P 的坐标为( ) A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4) 2.在平面直角坐标系中，若点 P(m-3，m+1)在第二象限，则m的取值范围是( ) A.-1<m<3 B. m>3 C. m<-1 D. m>-1 3.在平面直角坐标系中有 A，B两点，若以点 B为原点建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(2，3)，若以点A为原点建立平面直角坐标系(两平面直角坐标系x轴，y轴方向一致)，则点 B的坐标为 . 4.在平面直角坐标系中，点A(a，1-a)一定不在第 象限. 5.在平面直角坐标系中，点P到x轴和y轴的距离分别为3，5，则这样的点 P 的个数是 . 6.(2018·夏津)已知点 P(2m+4,m-1),试分别根据下列条件,求出点 P 的坐标. (1)点 P 在y轴上; (2)点P 的纵坐标比横坐标大3； (3)点P到x轴的距离为2，且在第四象限. 7现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图所示，若知道游乐园点 D 的坐标为( (1)请按题意建立平面直角坐标系； (2)写出其他景点的坐标； (3)请指出哪个景点距离原点最近?哪个景点距离原点最远? 【板块二】 点的坐标规律(二) 与坐标轴平行的直线及象限角平分线上的点 方法技巧 1.与轴平行的点的坐标规律： ①平行于横轴(x轴)的直线上的点纵坐标相同； ②平行于纵轴(y轴)的直线上的点横坐标相同. 2.象限角角平分线上点的坐标特征： ①第一、三象限角角平分线上⇔横纵坐标相等； ②第二、四象限角角平分线上⇔横纵坐标互为相反数. 题型一 与x轴平行 【例1】已知平面直角坐标系中有一点 (1)若点 M到x轴的距离为1，求点 M的坐标； (2)若点 N(5,-1),且 轴，求点M的坐标. 题型二 与y轴平行 【例2】已知点 ,点Q的坐标为(1,5),直线 轴，求点 P 的坐标. 题型三 点在象限角角平分线上 【例3】 已知点 P(3m-6,m+2),试分别根据下列条件,求出点 P 的坐标. (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第二、四象限的角平分线上. 针对练习2 1.已知点A(a,3),B(-4,b),若AB∥y轴,则a= ;若AB∥x轴,则( 2.若过点 P 和点A(3,2)的直线平行于x轴,过点 P 和B(-1,-2)的直线平行于 y轴,则点 P 的坐标为 . 3.已知线段AB∥x轴,且AB=4,若点A 的坐标为(2,-3),则点 B的坐标为 . 4.已知点A(4,y),B(x,-3),若AB∥x轴,且线段AB的长为5,则 xy的值为 . 5.已知点A(3a-6,a+4),B(-3,2),且AB∥y轴,点P为直线AB上一点,且PA=2PB,则点P的坐标为 . 6.在平面直角坐标系中,点A(-3,2),B(3,4),C(x,y),若AC∥x轴,则线段BC的长度最短时,点C的坐标为 . 7.已知P(2-x,3x-4)到两坐标轴的距离相等,则x的值为 . 8.已知点 P(2m+4,m-1),点P在过点A(2,-4),且与x轴平行的直线上.求点 P 的坐标. 9.已知点 P(3m-6,m+1),试分别根据下列条件,求出点 P 的坐标. (1)点 P 在y轴上; (2)点 P在x轴上; (3)点P 的纵坐标比横坐标大5； (4)点 P 在过点A(-1,2),且与y轴平行的直线上. 点的坐标 知识导航 1.点的坐标与距离； 2.点的坐标规律(一)象限点与轴上点； 3.点的坐标规律(二)与轴平行的直线上的点与象限角角平分线上的点. 【板块一】 点的坐标及规律(一) 象限点与轴上点 方法技巧 1.坐标与距离：点P(x，y)为平面直角坐标系内一点. ①点 P(x,y)到x轴的距离⇔|y|; ②点 P(x,y)到 y轴的距离⇔|x|. 2.象限点的坐标特征： 点 P(x，y)为平面直角坐标系内一点. ①P(x,y)在第一象限 ②P(x,y)在第二象限 ③P(x,y)在第三象限 ④P(x,y)在第四象限 3.轴上点的坐标特征： (注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限) ①点在x轴上⇔纵坐标为0； ②点在 y轴上⇔横坐标为0. 3.轴上点的坐标特征： (注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限) ①点在x轴上⇔纵坐标为0； ②点在 y轴上⇔横坐标为0. 题型一 坐标与距离 【例1】若点P在x轴的下方，y轴的左方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2.则点P 的坐标为( D ) A.(-3,2) B.(-2,3) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 【分析】 根据点 P的位置确定点P 的坐标即可. 【解答】 ∵点P在x轴的下方，到x轴的距离是3，∴点P的纵坐标为-3，∵点P在y轴的左方，到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为-2,∴P(-2,-3),故选:D. 【例2】 已知平面直角坐标系内有一点M(m--1,2m+3). (1)当m为何值时，点M到x轴的距离为1? (2)当m为何值时，点M到y轴的距离为2? 【分析】 (1)根据纵坐标的绝对值为1列式求值即可；(2)根据横坐标的绝对值为2列式求值即可. 【解答】 (1)∵|2m+3|=1,2m+3=1或2m+3=-1,∴m=-1或m=-2; (2) ∵|m-1|=2,m-1=2或m-1=-2,∴m=3或m=-1. 题型二 坐标与象限 【例3】在平面直角坐标系中,点A(2m-7,n-6)在第四象限，点A到x轴和y轴的距离分别为3，1，试求m+n的值. 【分析】 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值列方程求出m，n的值，再求解即可. 【解答】 ∵点A(2m-7,n-6)在第四象限,到x轴和y轴的距离分别为3,1,∴2m-7=1,n-6=-3, 解得m=4,n=3,∴m+n=4+3=7. 【例4】已知点 P(2a-4,3a+6)在第三象限,请问点(Q(-a,2a+4)在第几象限? 【分析】 根据各象限内点的坐标特征解答即可. 【解答】 ∵点P(2a-4,3a+6)在第三象限,. 解得a<-2,∴2a<-4,即2a+4<0又一a>2，∴点Q在第四象限. 题型三 坐标与坐标轴 【例5】已知点 P(a-2,2a+8),分别根据下列条件求出点 P 的坐标. (1)点P在x轴上; (2)点 P在y轴上; (3)点 P到x轴，y轴的距离相等. 【分析】 (1)根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a，再求解即可； (2)根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可； (3)根据点到x轴，y轴的距离，点的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程求a的值，再求解即可. 【解答】 (1)∵点P(a-2,2a+8)在x轴上,∴2a+8=0,∴a=-4,∴a-2=-6,∴点P(-6,0); (2)∵点P(a-2,2a+8)在y轴上,∴a-2=0,∴a=2,∴2a+8=2×2+8=12,∴点P(0,12); (3)∵点P到x轴,y轴的距离相等,∴a-2=2a+8或a-2+2a+8=0,解得a=-10或a=-2.当a=-10时,a-2=—10—2=——12,2a+8=2×(-10)+8=-12,∴点P(-12,-12);当a=-2时,a—2=-2-2=-4,2a+8=2×(-2)+8=4,点 P(-4,4),综上所述,点 P的坐标为(-12,-12)或(-4,4). 题型四 坐标与位置 【例6】 五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流下棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线(横、竖、斜均可)就获得胜利.如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋A所在点的坐标是(-2，2)，黑棋B所在点的坐标是(0，4)，现在轮到黑棋走，黑棋放到点C的位置就获得胜利，那么点C的坐标是 (3，3) . 【分析】 根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标. 【解答】 由题意可得，如右图所示的平面直角坐标系，故点C的坐标为(3,3),故答案为:(3,3). 【例7】 如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1m)上沿着网格线运动.贝贝从点A 处出发去寻找点 B，C，D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从点A到点B 记为：A→B(+1，+4)，从点 B到点A 记为：B→A(-1，-4).请根据图中所给信息解决下列问题： (1)A→C( +3 , +4 );B→C( +2 , 0 );C→ A (-3,-4); (2)如果贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程； (3)如果贝贝从点A处去寻找妮妮的行走路线依次为(+2,+2),(+2,-1),(-2,+3),(-1,-2),请在图中标出妮妮的位置点E. 【分析】 (1)根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可； (2)根据运动路线列式计算即可得解； (3)在图中依次表示出各位置，然后确定出点E的位置即可. 【解答】 (1)A→C(+3,+4);B→C(+2,0);C→A(-3,-4); 故答案为:+3,+4;+2,0;A; (2)根据题意得:|+1|+|+4|+|+2|+|+1|+|-2|=10m. (3)妮妮的位置点E如图所示. 针对练习1 1.点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点 P 的坐标为( C ) A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4) 2.在平面直角坐标系中，若点. 在第二象限，则m的取值范围是( A ) B. m>3 3.在平面直角坐标系中有A，B两点，若以点 B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(2，3)，若以点A为原点建立平面直角坐标系(两平面直角坐标系x轴，y轴方向一致)，则点 B 的坐标为 (-2,-3) . 4.在平面直角坐标系中，点A(a，1-a)一定不在第 三 象限. 5.在平面直角坐标系中，点P到x轴和y轴的距离分别为3，5，则这样的点 P的个数是 4 . 6.已知点 P(2m+4,m-1),试分别根据下列条件,求出点 P 的坐标. (1)点 P 在y轴上; (2)点P 的纵坐标比横坐标大3； (3)点P到x轴的距离为2，且在第四象限. 【解答】 (1)∵点P(2m+4,m-1)在y轴上,∴2m+4=0,解得m=-2,∴m-1=-2-1=-3,∴点P的坐标为(0,-3); (2)∵点P的纵坐标比横坐标大3,∴(m-1)-(2m+4)=3,解得;m=-8,∴m-1=-8-1=-9,2m+4=2×(-8)+4=-12,∴点 P的坐标为(-12,-9); (3)∵点P到x轴的距离为2,∴|m-1|=2,解得m=-1或m=3,当m=-1时,2m+4=2×(-1)+4=2,m--1=-1-1=-2,此时,点P(2,-2);当m=3时,2m+4=2×3+4=10,m-1=3-1=2,此时,点P(10,2).∵点 P在第四象限,∴点P 的坐标为(2,-2). 7.(2018·麻城)现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图所示，若知道游乐园点 D 的坐标为(2，-2). (1)请按题意建立平面直角坐标系； (2)写出其他景点的坐标； (3)请指出哪个景点距离原点最近?哪个景点距离原点最远? 【解答】 (1)略; (2)A(0,4),B(-3,2),C(-2,-1),D(2,-2),E(3,3); (3)望春亭(或景点C)距离原点最近，牡丹亭(或景点E)距离原点最远. 【板块二】 点的坐标规律(二) 与坐标轴平行的直线及象限角平分线上的点 方法技巧 1.与轴平行的点的坐标规律： ①平行于横轴(x轴)的直线上的点纵坐标相同； ②平行于纵轴(y轴)的直线上的点横坐标相同. 2.象限角角平分线上点的坐标特征： ①第一、三象限角角平分线上⇔横纵坐标相等； ②第二、四象限角角平分线上⇔横纵坐标互为相反数. 题型一 与x轴平行 【例1】 已知平面直角坐标系中有一点M(m-1,2m+3). (1)若点 M到x轴的距离为1，求点 M的坐标； (2)若点 N(5,-1),且MN∥x轴,求点 M的坐标. 【分析】 (1)根据题意可知2m+3的绝对值等于1，从而可以得到m的值，进而得到点M的坐标； (2)根据题意可知，点M的纵坐标等于点N的纵坐标，从而可以得到m的值，进而得到点M的坐标. 【解答】 (1)∵点M(m-1,2m+3)到x轴的距离为1,∴|2m+3|=1,解得,m=-1或m=-2,当m=-1时,点M的坐标为(-2,1),当m=-2时,点M的坐标为(-3,-1); (2)∵点M(m-1,2m+3),点 N(5,-1)且MN∥x轴,∴2m+3=-1,解得,m=-2,∴点M的坐标为(-3,-1). 题型二 与y轴平行 【例2】已知点P(a-2,2a+8),点Q的坐标为(1,5),直线 PQ∥y轴,求点 P 的坐标. 【分析】 利用平行于y轴的直线上的点的性质，横坐标相等，进而得出a的值，得出答案. 【解答】 ∵点Q的坐标为(1,5),直线PQ∥y轴,∴a-2=1,解得:a=3,∴2a+8=14,∴P(1,14). 题型三 点在象限角角平分线上 【例3】 已知点 P(3m-6,m+2),试分别根据下列条件,求出点 P的坐标. (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第二、四象限的角平分线上. 【分析】 利用象限角平分线上点的坐标规律即可求解. 【解答】 (1)∵P(3m-6,m+2)在第一、三象限的角平分线上,∴3m-6=m+2,解得:m=4,∴3m-6=12-6=6,m+2=4+2=6,∴P(6,6); (2)∵P(3m-6,m+2)在第二、四象限的角平分线上,∴3m-6+m+2=0,解得m=1,∴3m-6=3-6=-3,m+2=1+2=3,∴P(-3,3). 针对练习2 1.已知点A(a,3),B(-4,b),若AB∥y轴,则a= -4 ;若AB∥x轴,则b= 3 . 2.若过点 P和点A(3,2)的直线平行于x轴,过点 P 和B(-1,-2)的直线平行于y轴,则点 P 的坐标为 (-1,2) . 3.已知线段AB∥x轴,且AB=4,若点A 的坐标为(2,-3),则点 B的坐标为 (-2,-3)或(6,-3) . 4.已知点A(4,y),B(x,-3),若AB∥x轴,且线段AB的长为5,则 xy的值为 3或-27 . 5.已知点A(3a-6,a+4),B(-3,2),且AB∥y轴,点P为直线AB上一点,且PA=2PB,则点 P的坐标为 (-3,3)或(-3,-1) . 6.在平面直角坐标系中,点A(-3,2),B(3,4),C(x,y),若AC∥x轴,则线段BC的长度最短时,点C的坐标为 (3,2) . 7.已知 P(2-x,3x-4)到两坐标轴的距离相等,则x的值为 1或 . 8.已知点P(2m+4,m-1),点P在过点A(2,-4),且与x轴平行的直线上.求点 P 的坐标. 【解答】 令m-1=-4,解得m=-3.∴点 P的坐标为(-2,-4). 9.已知点 P(3m-6,m+1),试分别根据下列条件,求出点 P 的坐标. (1)点 P 在y轴上; (2)点 P 在x轴上; (3)点P 的纵坐标比横坐标大5； (4)点 P 在过点A(--1,2),且与y轴平行的直线上. 【解答】 (1)∵点P(3m-6,m+1)在y轴上,∴3m-6=0,解得m=2,∴m+1=2+1=3,∴点 P的坐标为(0,3); (2)∵点P(3m-6,m+1)在x轴上,∴m+1=0,解得m=-1,∴3m-6=3×(-1)-6=-9,∴点P的坐标为(-9,0); (3)∵点P(3m-6,m+1)的纵坐标比横坐标大5,∴m+1-(3m-6)=5,解得m=1,∴3m-6=3×1-6=-3,m+1=1+1=2,∴点 P的坐标为(-3,2); (4)∵点 P(3m-6,m+1)在过点A(-1,2)且与y轴平行的直线上,∴3m-6=-1,解得 。点 P 的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $$