2.2.3 直线的一般式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程 高二—人教A版—数学—选择性必修第一册—第二章 各位同学大家好! 我是广州市第四中学的薛莉老师 今天我们来学习 高二人教A版数学选择性必修第一册第二章 2.2.3直线的一般式方程 1 学习目标 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系,培养和提高数学抽象素养; 2. 能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化,培养和提高直观想象、逻辑推理素养; 3.能运用直线的一般式方程解决有关问题,培养数学运算、逻辑推理素养. 首先我们来看学习目标 1. 了解直线的一般式方程的形式特征, 理解直线的一般式方程与二元一次方 程的关系,培养和提高数学抽象素养; 2. 能正确地进行直线的一般式方程与 特殊形式的方程的转化, 培养和提高直观想象、逻辑推理素养; 3. 能运用直线的一般式方程解决有关 问题,培养数学运算、逻辑推理素养. 2 一、复习引入 点斜式 截距式 两点式 斜截式 复习引入 由下列各条件,写出直线的方程, 并画出图形. 同学们,根据前面我们学习的直线方程 形式,分别利用点斜式、截距式、两点 式和斜截式,可得到四种情况下的直线 方程分别为: (1) y-8=x-1,这是它的图象; (2) x/(-7)+y/7=1,如图所示; (3) (y-6)/(9-6)=(x+1)/(2+1),如图所示; (4) y=x+7,如图所示. 我们画出这4条直线的图象, 你会惊奇地发现:这4条直线是重合的. 事实上,它们的方程都可以化简为 x-y+7=0 . 3 二、新知探究 从这个特例我们发现,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,都是关于 的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢?下面我们探讨这个问题. 从这个特例我们发现,直线的点斜式、 斜截式、两点式、截距式方程,都是 关于x,y的二元一次方程. 直线与二元一次方程是否都有 这种关系呢? 下面我们探讨这个问题. 4 二、新知探究 1. 平面直角坐标系中的任意一条 直线都可以用一个关于x,y的二 元一次方程表示吗? 5 二、新知探究 斜率存在 斜率不存在 直线l (A,B不同时为0) 结论:平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用 一个关于x,y的二元一次方程表示 任意一条直线l,在其上任取 一点P0(x0,y0), 我们分两类进行讨论, 当直线斜率存在时, 直线方程为y-y0=k(x-x0), 可以改写为 Ax+By+C=0 这样的形式,这是关于x,y 的二元一次方程; 当斜率不存在时, 其方程为x=x0可改写为 x+0y-x0=0,这也是关于x,y 的二元一次方程,此时方程中 y的系数为0. 因此平面直角坐标系中的任意 一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示. 这里请大家注意,二元一次方程 Ax+By+C=0 如要表示直线的方程,则x,y前面的 系数A,B不能同时为0, 因为当A,B同时为0时, 方程C=0,没有任何意义. 而当A,B不同时为0时, 方程中就含有x,或含有y ,就可以表示直线上任意点的坐标 所满足的特征,所以,对于利用二 元一次方程Ax+By+C=0表示直线, 其中要求A,B不同时为0. 6 二、新知探究 2. 任意一个关于x,y的二元一次方程 都表示一条直线吗? 7 二、新知探究 (A,B不同时为0) 斜率为 , 在y轴上截距为 的直线 过点 , 垂直于x轴的直线 结论:任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0), 如果能把它化为直线方程的某 种形式,那么我们就可以断定 它表示一条直线. 我们不妨尝试将Ax+By+C=0 改写成我们熟悉的斜截式方程 y=kx+b的形式, 那么我们先要处理y前的系数B, 当B≠0时,方程变形为 y=-A/Bx-C/B,它表示斜率为 -A/B, 在y轴上截距为- C/B的直线; 当B=0时,A≠0,方程可变形为 x=-C/A,它表示过点(-C/A,0), 垂直于x轴的直线; 因此,任意一个关于x,y的二元 一次方程都表示一条直线. 8 二、新知探究 我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0) 叫做直线的一般式方程, 简称一般式(general form) . 9 二、新知探究 既然我们可以用一般式方程来表示 直线,那么方程Ax+By+C=0中, 当A,B,C为何值时,方程表示以下的 直线 10 二、新知探究 斜率为0, 在y轴截距不为0 平行于x轴 , A,B不同时为0 我们知道, 若想用二元一次方程表示直线,首要 的前提是A,B不同时为0. 首先来看平行于x轴的直线,它的几何特 征就是直线的斜率为0,且在y轴上的截距不为 0,因此没有x项,即x前的系数A=0,则 B≠0;可将方程改写为y=-A/Bx-C/B, 因为A=0,直线方程为y=-C/B, 其中在y轴上截距-C/B≠0,则C≠0, 因此可得A=0,B≠0, C≠0. 11 二、新知探究 斜率不存在, 在x轴截距不为0 平行于y轴 , A,B不同时为0 同理,对于平行于y轴的直线,它的几何 特征就是直线的斜率不存在,且在x轴上 的截距不为0,因此没有y项,即y前的系数 B=0,则A≠0;可将方程改写为 Ax+C=0,即x=-C/A,其中在x轴上截 距-C/A≠0,则C≠0, 从而得到A≠0,B=0,C≠0. 12 二、新知探究 斜率为0, 在y轴截距为0 与x轴重合 , A,B不同时为0 对于与x轴重合的直线,它的几何特 征就是斜率为0,且在y轴上的截距为 0,因此没有x项,即x前的系数A=0,则 B≠0;可将方程改写为y=-A/Bx-C/B, 因为A=0,直线方程为y=-C/B, 其中在y轴上截距-C/B=0,则C=0, 因此可得A=0,B≠0, C=0,直线方程y=0. 13 二、新知探究 斜率不存在, 在x轴截距为0 与y轴重合 , A,B不同时为0 结论:A,B,C取值的不同,决定了一条直线的位置. 对于与y轴重合的直线,它的几何特征 就是斜率不存在,且在x轴上的截距为 0,因此没有y项,即y前的系数B=0,则 A≠0;可将方程改写为Ax+C=0, 即x=-C/A,其中在x轴上截 距-C/A=0,则C=0,从而得到A≠0, B=0,C=0,直线方程x=0. 那么我们可以知道A,B,C取值的不同, 决定了一条直线的位置. 14 二、新知探究 4.归纳小结 所以,对于表示直线的方程,我们又多 了一种表达形式,即直线的一般式方程 Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0), 这种形式可以表示任意的直线, 而其它直线方程的形式都有局限性. 15 三、典型例题 典型例题 例1 已知直线经过点A(6,-4),斜率为 -4/3,求直线的点斜式和一般式方程. 16 三、典型例题 直线的点斜式方程 直线上的一点 直线的斜率 直线的一般式方程 分析:已知直线上的一点和 直线的斜率,可以直接求得直线的点 斜式方程,我们只需将点斜式化简成 Ax+By+C=0的形式,即可得到一般 式方程. 17 三、典型例题 解:经过点A(6,-4) ,斜率为 -4/3 的直线的点斜式方程是 y+4=-4/3(x-6),化为一般式, 得4x+3y-12=0,如图所示. 18 三、典型例题 归纳小结:直线一般式方程的结构特征: ① 方程是关于x,y的二元一次方程; ② 方程中等号的左侧自左向右一般按 x,y常数的先后顺序排列; ③ x的系数一般不为分数和负数; ④ 虽然直线方程的一般式有三个参数, 但只需两个独立的条件即可求得直线的 方程. 19 三、典型例题 例2 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为 斜截式,求出直线l的斜率以及它在 x轴与y轴上的截距,并画出图形. 20 三、典型例题 直线的 斜截式方程 直线的 一般式方程 直线斜率 时, x的值 直线在y轴上截距 直线在x轴上截距 直线与x轴 交点横坐标 直线与两坐标轴的交点 经过两点绘制直线 分析:我们需要先将一般式方程 化为斜截式,从而也就得到了直线的斜率 与在y轴上的截距;此时,还需要找到在x 轴上的截距,我们知道,当y=0时x的值其 实就是直线与x轴交点的横坐标,就是直线 在x轴上的截距,所以通过这些几何要素, 我们就可以找到直线与两坐标轴的交点, 从而经过这两点可以绘制出这条直线. 21 三、典型例题 在直角坐标系中画直线时,通常找出直线与两坐标轴的交点,然后连接这两点. 解:把直线l的一般式方程化为斜截式 y=1/2x+3,因此直线l的斜率k=1/2, 它在y轴上的截距为3. 在直线l的方程中令y=0,得到x=-6, 即直线l在x轴上的截距是-6. 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别 为A(-6,0),B(0,3), 过这两点作直线,就是直线l,如图所 示. 注意:在直角坐标系中画直线时, 通常找出直线与两坐标轴的交点, 然后连接这两点. 22 四、巩固提升 巩固提升 已知直线l的方程是Ax+By+C=0 . (1) 当B≠0时,直线l的斜率是多少?当B=0时呢? (2) 系数A,B,C取什么值时,方程Ax+By+C=0 表示经过原点的直线? 23 分析: (1) 当B≠0时,直线方程改写 为点斜式求出斜率; 当B=0时,直线l的斜率不存在; (2) 由直线过原点可得C=0,再由 A,B不同时为0即可解得. 24 解: (1) 当B≠0时,直线l的斜率是k=-A/B ; 当B=0时,直线l的斜率不存在; (2) 因为直线Ax+By+C=0过原点,所以C=0 . 所以当C=0且A,B不同时为0时, 方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线. 25 五、归纳总结 1. 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 归纳总结 本节课我们探究了直线的一般式方程 , 其中要求A,B不同时为0,而直线的一 般式方程可以表示所有的直线. 当B≠0时,一般式可化为斜截式; 当ABC≠0时,可化为截距式; 由于取点的不同,一般式化为点斜式 与两点式的形式不唯一. 26 五、归纳总结 2.直线的一般式方程的系数,对直线特点的影响. 归纳总结 本节课我们探究了直线的一般式方程 , 其中要求A,B不同时为0,而直线的一 般式方程可以表示所有的直线. 当B≠0时,一般式可化为斜截式; 当ABC≠0时,可化为截距式; 由于取点的不同,一般式化为点斜式 与两点式的形式不唯一. 27 五、归纳总结 2.直线的一般式方程的系数,对直线特点的影响. 归纳总结 本节课我们探究了直线的一般式方程 , 其中要求A,B不同时为0,而直线的一 般式方程可以表示所有的直线. 当B≠0时,一般式可化为斜截式; 当ABC≠0时,可化为截距式; 由于取点的不同,一般式化为点斜式 与两点式的形式不唯一. 28 课堂练习 课本P66,第1,2,3题 课堂作业 课本P67,习题2.2: 第8,10,11,12,13,14,15题 2.2.3直线的一般式方程答疑课程 高二—人教A版—数学—选择性必修第一册—第二章 31 重点:了解二元一次方程与直线的对应关系,掌握直线的一般式方程; 本节课的重点:了解二元一次方程与直线的对应 关系,掌握直线的一般式方程; 32 难点:直线的一般式方程的系数,对直线特点的影响. 难点:直线的一般式方程的系数, 对直线特点的影响. 例:当A=0,B≠0, C≠0时, 直线方程为y=-C/B,直线平行于x轴. 33 难点:直线的一般式方程的系数,对直线特点的影响. 当A≠0,B=0, C≠0时, 直线方程为x=-C/A,直线平行于y轴. 34 难点:直线的一般式方程的系数,对直线特点的影响. 当A=0,B≠0, C=0时, 直线方程为y=0,直线与x轴重合. 35 难点:直线的一般式方程的系数,对直线特点的影响. 当A≠0,B=0, C=0时, 直线方程为x=0,直线与y轴重合. 36 典型题目: 求直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的系数 A,B,C分别满足什么关系时,这条直线有以下性质: (1) 与两条坐标轴都相交; (2) 只与x轴相交; (3) 只与y轴相交. 分析: 根据直线与坐标轴相交的性质可得. 37 解:(1)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0) 与x轴相交时, 方程组同Ax+By+C=0,y=0 有唯一解,所以A≠0, 同理直线Ax+By+C=0(A,B不时为0) 与y轴相交时, 方程组Ax+By+C=0,x=0 有唯一解,所以B≠0 , 所以当A≠0,B≠0 时,直线Ax+By+C=0 与两条坐标轴都相交. 38 (2)已知直线只与x轴相交, 所以直线Ax+By+C=0与y轴平行或重合, 所以当 A≠0,B=0时,直线x=-C/A只 与x轴相交. 39 (3)已知直线只与y轴相交, 所以直线Ax+By+C=0与x轴平行或重合, 所以当 A=0,B≠0时,直线y=-C/B只 与y轴相交. 40 易错题:求经过点P(2,3),并且在两坐标轴 上的截距相等的直线的方程. 错解:设截距为a ,则直线为x/a+y/a=1, 将P(2,3)代入解得 a=5, 所以直线为x/5+y/5=1 ,即 x+y-5=0. 错因:截距式方程x/a+y/b=1, 其中截距a,b都不为0 . 41 分析:讨论截距是否为0,分别求出直线即可. 42 解:(1) 当截距为0时,即直线经过原点, 方程为3x-2y=0; (2) 当截距不为0时,即上述的错解 . 综上所述:直线为3x-2y=0或 x+y-5=0 . 43 1.由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1) 斜率是1,经过点 ; (2) 在 轴和 轴上的截距分别是 ; (3) 经过两点 ; (4) 在 轴上的截距是 ,倾斜角是 . 1.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗? 任意一条直线 ,在其上任取一点 , 1.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗? 2.任意一个关于 的二元一次方程都表示一条直线吗? 对于任意一个二元一次方程 ( 不同时为 ),如果能把它化为直线方程的某种形式,那么我们就可以断定它表示一条直线. 2.任意一个关于 的二元一次方程都表示一条直线吗? 我们把关于 的二元一次方程 (其中 不同时为 )叫做直线的一般式方程,简称一般式(general form) . 3. 在方程 中, 为何值时,方程表示的直线: ①平行于 轴? ②平行于 轴? ③与 轴重合? ④与 轴重合? 3. 在方程 中, 为何值时,方程表示的直线: ①平行于 轴? ②平行于 轴? ③与 轴重合? ④与 轴重合? 3. 在方程 中, 为何值时,方程表示的直线: ①平行于 轴? ②平行于 轴? ③与 轴重合? ④与 轴重合? 3. 在方程 中, 为何值时,方程表示的直线: ①平行于 轴? ②平行于 轴? ③与 轴重合? ④与 轴重合? 3. 在方程 中, 为何值时,方程表示的直线: ①平行于 轴? ②平行于 轴? ③与 轴重合? ④与 轴重合? 4. 归纳小结: 例1. 已知直线经过点 ,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程. 例1. 已知直线经过点 ,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程. 分析: 例1. 已知直线经过点 ,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程. 解:经过点 ,斜率为 的直线的点斜式方程是 ,化为一般式,得 . 归纳小结:直线一般式方程的结构特征: ① 方程是关于 的二元一次方程; ② 方程中等号的左侧自左向右一般按 常数的先后顺序排列; ③ 的系数一般不为分数和负数; ④ 虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 例2. 把直线l的一般式方程 化为斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形. 例2. 把直线l的一般式方程 化为斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形. 分析: 解:把直线l的一般式方程化为斜截式. 因此,直线l的斜率,它在y轴上的截距是3. 在直线l的方程中,令,得, 即直线l在x轴上的截距是. 由上面可得直线l与x轴､y轴的交点分别为,, 过A,B两点作直线,就得直线l. 1. 已知直线l的方程是. (1) 当时,直线l的斜率是多少?当时呢? (2) 系数A,B,C取什么值时,方程表示经过原点的直线? 1. 已知直线l的方程是. (1) 当时,直线l的斜率是多少?当时呢? (2) 系数A,B,C取什么值时,方程表示经过原点的直线? 分析: (1) 当时,直线方程改写为点斜式求出斜率; 当时,直线l的斜率不存在; (2) 由直线过原点可得,再由不同时为0即可得解. 解:(1) 当时,直线l的斜率是;当时,直线l的斜率不存在; (2) 因为直线过原点,所以,所以当且不同时为0时,方程表示经过原点的直线. 例:当,,时, 直线方程为,直线平行于x轴. 例:当,时, 直线与两坐标轴都相交. 例:①当,,时, 直线方程为,直线平行于x轴. 例:② 当,,时, 直线方程为,直线平行于y轴. 例:③当,,时, 直线方程为,直线与x轴重合 例:④ 当,,时, 直线方程为,直线与y轴重合. 典型题目:求直线(A,B不同时为0)的系数 A,B,C分别满足什么关系时,这条直线有以下性质: (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与x轴相交; (3)只与y轴相交. 分析:根据直线与坐标轴相交的性质可得. 解:(1) 直线(A,B不同时为0)与x轴相交时, 方程组有唯一解,所以, 同理直线(A,B不同时为0)与y轴相交时, 方程组有唯一解,所以, 所以当,时,直线与两条坐标轴都相交. 解:(2) 已知直线只与x轴相交, 所以直线与y轴平行或重合, 所以当,时,直线只与x轴相交. 解:(3) 已知直线只与y轴相交, 所以直线与x轴平行或重合, 所以当,时,直线只与y轴相交. 易错题:求经过点,并且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程 错解: 设截距为,则直线为, 将代入解得, 所以直线为,即. 错因:截距式方程, 其中截距都不为 易错题:求经过点,并且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程 分析:讨论截距是否0,分别求出直线即可. 易错题:求经过点,并且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程 解:(1) 当截距为0时,即直线经过原点,方程为; (2) 当截距不为0时,设截距为,则直线为, 将代入解得,所以直线为,即. 综上所述:直线为或. $$