微专题之立体几何中平行关系导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

微专题之立体几何中平行关系导学案2025-5-14 【知识点】 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 【例题】 例1.若直线l不平行于平面，且l⊄，则(　 　) A.内的所有直线与l异面 B.内不存在与l平行的直线 C.与直线l至少有两个公共点 D.内的直线与l都相交 例2．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，是中点，若为上的点，求证：//平面 例3．如图，四边形是平行四边形，四边形是梯形，且//，，是线段上的动点，试确定点的位置，使∥平面，并说明理由 例4. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点. (1)求三棱锥B1－A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由. 【作业】班级 姓名 座号 一、选择题： 1．，则与位置关系是 (　 　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 2．已知是平面外的一条直线，过作平面使//，这样的（ ） A．只有一个 B．至少有一个 C．不存在 D．至多有一个 3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　 　) A.异面 　　 B.平行 C.相交 　　 D.以上均有可能 4．如图，在多面体中，平面平面 ，且，则 (　 　) A．平面 B．平面 C． D．平面平面 5．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（　 　） A． B． C． D． 6．（多选题）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　 　） A．直线A1G与直线AF相交 B．三棱锥C-AEF的体积为 C．直线A1G与平面AEF平行 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 二、填空题 7．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________. 8．如图所示，是所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段于，若，则________. 三、解答题 9.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题之立体几何中平行关系导学案2025-5-14 【知识点】 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 【例题】 例1.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　 　) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α与直线l至少有两个公共点 D.α内的直线与l都相交 【答案】B 【解析】因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线. 例2．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，是中点，若为上的点，求证：//平面 【答案】见解析 【解析】由题意，可得，所以为的中点， 取的中点，连接， 则且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又由平面平面，所以平面. 例3．如图，四边形ABCD是梯形，四边形是梯形，且//，，四边形是平行西变形，是线段上的动点，试确定点的位置，使∥平面，并说明理由 【答案】见解析 【解析】当时，平面． 证明如下：连接，交于，连接， 由于，∴，得， 由于平面，平面MAC，∴平面； 例4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点. (1)求三棱锥B1－A1BE的体积； (2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由. 【证明】(1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B· DA＝××2×2×2＝. (2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下： 因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE. 又A1B∥CD1，所以GE∥CD1. 又E为DD1的中点，则G为CD的中点. 故BG∥B1F，BG就是所求直线. 【作业】班级 姓名 座号 一、选择题： 1．，则与位置关系是 (　 　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 【答案】D 【解析】 结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交． 选D． 2．已知是平面外的一条直线，过作平面使//，这样的（ ） A．只有一个 B．至少有一个 C．不存在 D．至多有一个 【答案】D 【解析】∵是平面外的一条直线，∴或与相交. 当时，平面只有一个；当与相交时，平面不存在. 故选D 3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　 　) A.异面 　　 B.平行 C.相交 　　 D.以上均有可能 【答案】B 【解析】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1， ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. 4．如图，在多面体中，平面平面 ，且，则 (　 　) A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】A 【解析】如图所示，取DG的中点M，连AM、FM，． 则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形， ∴且． ∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE， ∴AB∥DE， ∴AB∥FM． 又AB＝DE， ∴AB＝FM， ∴四边形ABFM是平行四边形， ∴BF∥AM． 又BF平面ACGD，AM平面ACGD， ∴BF∥平面ACGD．选A． 5．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（　 　） A． B． C． D． 【解答】解：连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图 则O为BD的中点， 又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心， 令菱形ABCD的边长为a，则ANa，ACa． ∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN ∴PA∥MN ∴PM：PC＝AN：AC 即PMPC，t． 故选：C． 6．（多选题）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　 BCD　） A．直线A1G与直线AF相交 B．三棱锥C-AEF的体积为 C．直线A1G与平面AEF平行 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 【解析】直线A1G与直线AF异面，A错； 三棱锥C-AEF的体积为等于F-ACE， ，故故B正确； 取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故C正确； 把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S，故D正确； 二、填空题 7．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________. 【答案】 【解析】如图所示，连接、， 在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以. 故答案为：. 8．如图所示，是所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段于，若，则________. 【答案】 【解析】由图知，∵平面α∥平面ABC，平面PAB平面α=AB，平面PAB平面ABC=AB， 得AB∥AB；同理得BC∥BC，AC∥AC.从而. ∵PA：AA＝2：3，即PA：PA＝2：5，∴AB：AB＝2：5， 由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，所以S△A′B′C′：S△ABC＝4：25． 故答案为． 三、解答题 9.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【证明】(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D， 所以平面BDE∥平面MNG. 学科网（北京）股份有限公司 $$