第8讲整体思想求角 培优讲义 2024—2025学年人教版七年级数学下册

整体思想求角 题型一 设单个未知数求定角 方法技巧 巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角. 【例1】 如图1,直线MN与直线AB,CD分别交于点E,F,AB∥CD,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP的延长线与CD 交于点G,点 H 是MN 上一点,且GH⊥EG. (1)求证:PF∥GH; (2)如图2,连接PH,K是GH上一点,∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由. 题型二 设两个未知数求定角 方法技巧 题目中未知角与某两个未知的角有关，此时设两个未知数求定角 【例2】 如图,AB∥CD,∠DBC=2∠ABC,∠BCD的平分线CE 交BD 于点E,连接AE,∠BDC=6∠BAE,求∠AEC 的度数. 题型三 求角的和、差、倍、分为定值 方法技巧 设未知数，列式将所求角的和差整体计算出来. 【例3】 如图,AB∥EF,∠BAC与∠CDE 的角平分线交于点G,GF∥DE,已知∠ACD=90°,求2∠AGD+∠GFE 的值. 题型四 求角的比值为定值 方法技巧 设未知数，列式将所求角的比值整体计算出来. 【例4】 如图,已知AM∥BN,∠DAB=60°,点 P 是射线AM上一动点(与点A 不重合),∠ABP 和∠PBN的平分线分别交射线AM 于点C，D.∠DAB的平分线与∠DBN的平分线交于点H，在点 P 运动的过程中，∠CBN与∠AHB的比值是否变化?若不变，请求出这个比值：若变化，请找出其变化规律. 针对练习6 1.如图, ,E 是 BC 上一点, 和 的平分线交于点F，求 的度数. 2.点A，C为射线l上两点，且. (1)如图1,点 E 在线段AC上,求证: (2)如图2,若点E,F在线段AC上,且. ,DE平分 求 的度数. 3.如图,AB∥CD,∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F. (1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数; (2)如图2,若 写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论. 整体思想求角 题型一 设单个未知数求定角 方法技巧 巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角. 【例1】 如图1,直线MN与直线AB,CD分别交于点E,F,AB∥CD,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP 的延长线与CD 交于点G,点H 是MN 上一点,且GH⊥EG. (1)求证:PF∥GH; (2)如图2,连接PH,K是GH上一点,∠PHK=∠HPK,作 PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由. 【分析】 (1)过点P作AB的平行线交MN 于点T，运用平行线+拐点模型求∠EPF，再根据∠EGH的大小关系求解；(2)设∠PHK=∠HPK=x,用x表示未知角,运用整体思想求解. 【解答】 (1)过点P作AB 的平行线交MN 于点T.∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°.∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴ 易证∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°.∵GH⊥EG,∴∠EGH=∠EPF=90°.∴PF∥GH. (2)∠HPQ的大小不发生变化.理由如下:设∠PHK=∠HPK=x.∵PF∥GH,∴∠FPH=∠PHK=x. 易得∠FPK=2x,∠EPK=90°+2x.∵PQ平分 ∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°+x-x=45°.∴∠HPQ的大小不变,∠HPQ=45° 题型二 设两个未知数求定角 方法技巧 题目中未知角与某两个未知的角有关，此时设两个未知数求定角 【例2】 如图,AB∥CD,∠DBC=2∠ABC,∠BCD的平分线CE 交BD 于点E,连接AE,∠BDC=6∠BAE,求∠AEC的度数. 【分析】 本题有两个未知角：∠BAE和∠BCE，设两个未知数，建立角的联系，整体求解. 【解答】 过点E作EF∥AB.∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥EF.∴∠A=∠AEF,∠DCE=∠CEF. ∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠DCE. ∵∠BCD的平分线CE 交BD 于点E, ∴可设∠DCE=∠BCE=x,则∠ABC=2x. ∴∠DBC=2∠ABC=4x. 设∠BAE=y,则∠BDC=6∠BAE=6y,易得∠ABD+∠BDC=180°, ∴2x+6y+4x=180°,∴x+y=30°,∴∠BAE+∠DCE=x+y=30°.∴∠AEC=30°. 题型三 求角的和、差、倍、分为定值 方法技巧 设未知数，列式将所求角的和差整体计算出来. 【例3】 如图,AB∥EF,∠BAC与∠CDE 的角平分线交于点G,GF∥DE,已知∠ACD=90°,求2∠AGD+∠GFE的值. 【分析】 过拐点 C,D,G分别作AB 的平行线,设∠BAC=2x,∠CDE=2y,其它角用x，y表示出来. 【解答】 过点C,D,G分别作AB的平行线CM,DN,GT. 设∠BAC=2x,∠CDE=2y,易得∠BAG=∠GAC=x,∠CDG=∠GDE=y, ∠BAC+∠CDN=∠ACD=90°,∴∠CDN=90°-2x. 易证∠NDE+∠E=180°=∠GFE+∠E.∴∠GFE=∠NDE=2x+2y-90°. . ∴2∠AGD+∠GFE=180°-2x-2y+2x+2y-90°=90°. 题型四 求角的比值为定值 方法技巧 设未知数，列式将所求角的比值整体计算出来. 【例4】 如图,已知AM∥BN,∠DAB=60°,点 P 是射线AM 上一动点(与点A 不重合),∠ABP 和∠PBN的平分线分别交射线AM 于点C，D.∠DAB的平分线与∠DBN 的平分线交于点H，在点 P 运动的过程中，∠CBN与∠AHB的比值是否变化?若不变，请求出这个比值：若变化，请找出其变化规律. 【分析】 过点 H 作HG∥AM.设∠DBN=2x,导角可求出比值. 【解答】 设∠DBN=2x,过点 H作HG∥AM, ∵AM∥BN,∴AM∥BN∥GH, 易证∠PBD=2x,∠ABN=120°,∠ABP=120°-4x, BC平分∠ABP,∴∠ABC=∠CBP=60°-2x, ∴∠CBN=∠CBP+∠PBN=60°-2x+4x=60°+2x, 易证∠AHB=∠DAH+∠HBN=30°+x, ∴∠CBN:∠AHB=(60°+2x):(30°+x)=2 针对练习6 1.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,EM⊥EN,∠EMA 和∠END的平分线交于点 F,求∠MFN 的度数. 【解答】 过点E作EH∥AB,过点F作FQ∥AB.设∠AMF=∠EMF=x, ∠ENF=∠FND=y,则∠MEH=180°-2x,∠NEH=180°-2y. ∠MEN=180°-2x+180°-2y=90°,x+y=135°. ∴∠MFN=∠AMF+∠FND=x+y=135°. 2.点A,C为射线l上两点,且AB∥CD. (1)如图1,点 E 在线段AC上,求证:∠B+∠D=∠BED; (2)如图2,若点E,F在线段AC上,且∠ABE=3∠ABF,DE平分∠FDC,∠ABE=60°,求2∠BED-∠BFD 的度数. 【解答】 (1)过点E作EG∥AB,∵AB∥CD,∴EG∥CD,∴∠B=∠BEG,∠D=∠DEG,∴∠B+∠D=∠BED. (2)100°.提示:设∠CDF=(2a)°,易知∠ABE+∠EDC=∠BED=(60+a)°,∠ABF+∠FDC=∠BFD=(20+2a)°.∴2∠BED-∠BFD=2(60+α)°-(20+2α)°=100°. 3.如图,AB∥CD,∠ABE与∠CDE 的平分线相交于点F. (1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数; (2)如图2,若 写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论. 【解答】 (1)过点F作FH//AB,过点E作EG//AB.∵EG//AB,∴∠ABE=180°-∠BEG,∠CDE=180°-∠DEG.∴∠ABE+∠CDE=360°-(∠BEG+DEG)=360°-80°=280°.又∵BF,DF分别平分 ∠CDF= ∠CDE,∴∠ABF+∠CDF= ×(∠ABE+∠CDE)=140°,∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=140°. (2)过点M作MN//AB,设∠BED=x,由(1)可得 . 学科网（北京）股份有限公司 $$