第6讲运用“中间等角”导角证两线平行 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

运用“中间等角”导角证两线平行 题型一 利用同角或等角的余角(或补角)相等导角 方法技巧 在已知条件为a+b=90°或a+b=180°的题目中,寻找第二对a+c=90°或a+c=180°,得出b=c. 【例1】 如图,已知直线AB∥DF,点G在射线BC上,射线 DE分别交AB,AG于点H,M,∠D+∠B=180°. (1)求证:DE∥BC; (2)如果∠AMD=80°,∠AHE=70°,∠EHB与∠MGC的平分线交于点 P,求∠HPG的度数. 题型二 运用等式的性质证角相等 方法技巧 1.若 则 2.若 则 【例2】 如图,点B在AC上, ,AF与BE 平行吗?为什么? 题型三 反复运用平行线的判定与性质导角 【例3】 如图,点E在AB上,点 F在CD上, 求证： 题型四 作适当的辅助线构造中间等角 方法技巧 有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线(连线，延长线或作平行线)来转化角. 【例4】 如图是一个汉字“互”字，其中点M在AB上，点N在CD上，点G在ME上，点 F在NH上， 求证:(1)∠MGH=∠GHN;(2)AB∥CD. 针对练习4 1.如图，F，E，A，C四点在同一条直线上，已知 ，判断ED与FB 的位置关系，并说明理由. 2.如图,点D在线段AB上,点E,F,H在线段BC 上, 若 ，判断DE与AH 的位置关系，并说明理由. 3.如图，直线AB交直线b于点M，点G，N，H是直线b 上异于点M 的三点，MP 平分 ,MQ平分 ，过点 H作AB 的平行线交QN 的延长线于点F.求证： 4.如图1,三角形ABC中,D,E,F三点分别在AB,AC,BC三边上,过点D的直线交线段EF 于点H, (1)求证: (2)若三角形ABC及D，E两点的位置不变，点F 在边BC 上运动使得. 的大小发生变化，保证点H存在且不与点F 重合，探究：要使 成立，请说明点 F 应该满足的位置条件，在图2中画出符合条件的图形并说明理由； (3)在(2)的条件下,若 用α表示 的大小. 运用“中间等角”导角证两线平行 题型一 利用同角或等角的余角(或补角)相等导角 方法技巧 在已知条件为a+b=90°或 的题目中，寻找第二对 或 得出 【例1】 如图,已知直线AB∥DF,点G在射线BC上,射线DE分别交AB,AG于点H,M, =180°. (1)求证:DE∥BC; (2)如果∠AMD=80°,∠AHE=70°,∠EHB与∠MGC的平分线交于点P,求∠HPG的度数. 【分析】 (1)证∠DHB=∠B;(2)过点 P作PN∥DE. 【解答】 (1)∵AB∥DF,∴∠D+∠DHB=180°,∵∠D+∠B=180°, ∴∠DHB=∠B,∴DE∥BC; (2) 过点P作PN∥DE,∵DE∥BC,∴DE∥PN∥BC.∴∠EHP=∠HPN,∠NPG=∠PGC.故∠HPG=∠EHP+∠PGC,易得 题型二 运用等式的性质证角相等 方法技巧 1.若a=b,b=c,则a=c; 2.若( 则 【例2】 如图,点B在AC上, AF与BE 平行吗?为什么? 【分析】 证∠AFC=∠2. 【解答】 AF∥BE,理由: (已知), ∴∠1=∠BFE(两直线平行,内错角相等). ∵∠1=∠2(已知),. (等量代换). ∵∠3=∠4(已知), (等式性质)， 即∠AFC=∠BFE, ∴∠AFC=∠2(等量代换), ∴AF∥BE(同位角相等，两直线平行). 题型三 反复运用平行线的判定与性质导角 【例3】 如图,点E在AB上,点 F在CD上, 求证： 【分析】 证∠3=∠C=∠B. 【解答】 ∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等), ∴∠2=∠4(等量代换), ∴CE∥BF(同位角相等，两直线平行)， ∴∠3=∠C(两直线平行，同位角相等). 又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换), ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 题型四 作适当的辅助线构造中间等角 方法技巧 有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线(连线，延长线或作平行线)来转化角. 【例4】 如图是一个汉字“互”字，其中点M在AB上，点N在CD上，点G在ME上，点F在NH上，GH∥EF,∠1=∠2,∠MEF=∠GHN. 求证:(1)∠MGH=∠GHN;(2)AB∥CD. 【分析】 (1)找中间角∠MEF进行转化； (2)延长ME交CD 于点T,或连MN,进行角的转化. 【解答】 (1)∵GH∥EF,∴∠MEF=∠MGH.又∵∠MEF=∠GHN,∴∠MGH=∠GHN. (2)方法一:延长 ME交CD 于点T. ∵∠MGH=∠GHN, ∴ME∥HN.∴∠MTD=∠2. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠MTD,∴AB∥CD. 方法二:连接MN,∵∠MGH=∠GHN, ∴ME∥HN.∴∠EMN=∠MNH.∵∠1=∠2,∴∠1+∠EMN=∠2+∠MNH,即∠AMN=∠MND. ∴AB∥CD. 针对练习4 1.如图，F，E，A，C四点在同一条直线上，已知 ，判断ED与FB 的位置关系，并说明理由. 【解答】 理由：∵ ∴∠5=∠BAF. 又∵ ∴AB∥CD.∴∠2=∠EHA. 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠EHA,∴BF∥DE. 2.如图,点D在线段AB上,点E,F,H在线段BC上, 若 ，判断DE与AH 的位置关系，并说明理由. 【解答】 DE∥AH.理由如下: 延长AH,DF交于点G, ∵DF∥AC,∴∠2=∠G. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠G,∴DE∥AH. 3.如图,直线AB交直线b 于点M,点G,N,H是直线b上异于点M 的三点,MP平分∠AMG,MQ平分∠AMN,∠MQN=90°,过点 H 作AB 的平行线交QN 的延长线于点 F.求证:∠F=∠MNQ. 【解答】 法一:如图,延长NQ交AB 于点D,∵MP 平分∠AMG,MQ平分∠AMN, ∴PM∥QN,∴∠MNQ=∠PMG,∠AMP=∠MDF, ∵AB∥HF,∴∠F=∠MDF,∵∠AMP=∠PMG,∴∠F=∠MNQ. 法二:如图,过点N作CN∥AB,证 4.如图1,三角形ABC中,D,E,F三点分别在AB,AC,BC三边上,过点 D的直线交线段EF 于点H,∠1+∠2=180°,∠3=∠C. (1)求证:DE∥BC; 【解答】 (1)∵∠1+∠DHE=180°,∠1+∠2=180°, ∴∠DHE=∠2.∴DH∥AC. ∴∠3+∠4+∠2=180°.∵∠3=∠C, ∴∠C+∠4+∠2=180°,即∠DEC+∠C=180°.∴DE∥BC. (2)若三角形ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC 上运动使得. 的大小发生变化，保证点H存在且不与点F 重合，探究：要使∠DHF=∠BFH成立，请说明点F应该满足的位置条件，在图2中画出符合条件的图形并说明理由； 【解答】 (2)作 HM∥DE,FM∥AC. ∵HM∥DE, ∴∠DHF=∠DHM+∠MHF=∠EDH+∠DEF. ∵FM∥AC, ∴∠BFE=∠BFM+∠MFE=∠C+∠FEC. 当∠DHF=∠BFH时,有∠EDH+∠DEF=∠C+∠FEC. ∵∠EDH=∠C, ∴∠DEF=∠FEC,即EF平分∠DEC. ∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠DHF=∠BFH成立. (3)在(2)的条件下,若∠C=α,用α表示∠BFH的大小. 【解答】 ∵ ∵EF平分 由(2)知, 学科网（北京）股份有限公司 $$