精品解析：海南省东方市八所中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期八所中学期中考试 高一数学试卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由公式可得结果. 详解： 故选B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 3. 若线段上、、三点满足，则这三点在线段上的位置关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性关系得到和 是共线同向的，且进而得到答案. 【详解】根据题意得到和是共线同向的，且. 故选：A. 4. 已知，是不共线非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 5. 已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 所以或， 即(舍去)或， 故直角三角形， 故选：C 6. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 7. 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 8. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的虚部为，B错； 对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：CD. 10. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 若点，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项． 【详解】，，所以，，是直角三角形，A正确. 若点，则,，四边形是平行四边形，B正确. 若，则，C错误. 若，则是中点，，D正确. 故选：ABD． 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为： 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以． 14. 记内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可求解. 【详解】依题意，，得， 设外接圆的半径为，所以外接圆的面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求与的坐标； （2）求向量，的夹角的余弦值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示运算； （2）利用平面向量夹角的坐标表示运算. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 ，，， ,． 16. 在中，，，． （1）求； （2）求边上的高． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得，由此求得. （2）利用余弦定理求的，结合面积法求得边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由于，所以是锐角，所以 【小问2详解】 由余弦定理得， ， ， 解得或， 设边上的高为， 则， 所以，或. 17. 已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）． （1）求||，||的值； （2）若=m+n，求实数m，n的值； （3）若（+）∥ （－+ k），求实数k的值． 【答案】（1）||=5；； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的模长的坐标公式即得； （2）利用向量的线性坐标表示即得； （3）利用向量平行的坐标表示即求. 【小问1详解】 ∵向量=（3，4），=（1，2）， ∴||=5，； 【小问2详解】 ∵=（3，4），=（1，2），=（－2，－2），=m+n， ∴（3，4）=m（1，2）+n（－2，－2） =（m－2n，2m －2n）， 所以， 得； 【小问3详解】 ∵（+）∥(－+ k)， 又－+k=(－1－2k，－2－2k )，+=（4，6）， ∴6 (－1－2k)=4 (－2－2k), 解得， 故实数k的值为. 18. 海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北方向上，山顶D的仰角为，求此岛屿露出海平面的部分CD的高度. 【答案】千米 【解析】 【分析】先在中，根据已知角度求出，再利用正弦定理求出BC的长度，最后在直角三角形中，根据正切函数求出岛屿露出海平面部分CD的高度. 【详解】已知舰队从处行驶到处，在处测得在西偏北方向上， 在处测得在西偏北方向上，所以，. 根据三角形内角和为，可得. 在中，已知千米，，， 由正弦定理可得：（千米）. 在中，因为测得山顶的仰角为，即，且. 所以（千米）. 则岛屿露出海平面的部分CD的高度为千米. 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数单调性结合整体思想即可得出答案； （2）根据，求得角，再根据，求得，最后利用余弦定理即可得出答案. 【小问1详解】 解：， 令，得， ∴的单调递增区间为； 【小问2详解】 解：由，得， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 由余弦定理得， ∴， ∴的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期八所中学期中考试 高一数学试卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10 2. 若，则 A. B. C. D. 3. 若线段上、、三点满足，则这三点在线段上位置关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 7. 如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应点位于复平面的第三象限 D. 10. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 直角三角形 B. 若点，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若，则 11. 函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为______． 13. 已知，则_____． 14. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求与的坐标； （2）求向量，的夹角的余弦值． 16. 中，，，． （1）求； （2）求边上的高． 17. 已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）． （1）求||，||的值； （2）若=m+n，求实数m，n的值； （3）若（+）∥ （－+ k），求实数k的值． 18. 海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶（如图），在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北方向上，山顶D的仰角为，求此岛屿露出海平面的部分CD的高度. 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，且，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$