5.1.2导数的概念及其几何意义（2）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义（2） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 问题1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 问题2 抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 2 问题1 你能写出函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的导数计算公式并说出导数的意义吗？ 3 导数 表示函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的瞬时变化率，反映了函数 y＝f (x) 在 x＝x0 附近的变化情况. 导数是瞬时变化率的数学表达. 4 问题2 导数 是否具有几何意义？ 5 追问1：平均变化率的几何意义是什么？ 6 追问1：平均变化率的几何意义是什么？ 过点 和点 的直线的斜率. 7 追问1：平均变化率的几何意义是什么？ 平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率k. 8 追问2：导数的几何意义应该如何理解？ 9 问题3 能否根据上述过程给切线下个定义？ 10 定义 在曲线 y ＝ f (x) 上任取一点 P (x，f (x))，如果当点 P 沿着曲线 y ＝ f (x) 无限趋近于点 P0 (x0，f (x0)) 时，割线 P0 P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0 T 称为曲线 y ＝ f (x) 在点 P0 处的切线 . x f (x) 11 追问1：初中阶段对切线是如何定义的？ 圆的切线 若直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. P0 O l 12 追问2：圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的，这种定义方式适用于任意曲线吗？ y＝x2 x＝1 (－1,1) y＝x3 13 追问3：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？ 14 问题4 导数 的几何意义是什么？ 15 点 P → 点 P0 割线 P0 P 的斜率 k 切线 P0 T 的斜率 k0 16 函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的导数 曲线 y＝f (x) 在点 P0 (x0，f (x0)) 处切线的斜率 k0 17 函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的导数 数形 转化 曲线 y＝f (x) 在点 P0 (x0，f (x0)) 处切线的斜率 k0 18 分析： 切点是切线上一点，只需要再求出切线的斜率. 切线的斜率等于相应函数在切点处的导数. 例1 求曲线 y＝－2x2 ＋1在点 ( 1，－1 ) 处的切线方程. 19 例1 求曲线 y＝－2x2 ＋1在点 ( 1，－1 ) 处的切线方程. 解： 设 所以，所求切线方程为 整理得 20 解决切线问题的关键是利用导数的几何意义求出切线的斜率. x f (x) 问题5 图中哪条直线最贴近点 P0 附近的曲线？ 在点 P0 附近，曲线 y ＝ f (x) 可以用点 P0 处的切线 P0T 近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲. 22 例2 图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象. 根据图象，请 描述、比较曲线 h(t)在 t＝t0，t1，t2 附近的变化 情况. 23 追问1：如何描述曲线 h (t) 在 t＝t0，t1，t2 附近的变化情况？ 在 t＝t0，t1，t2 处的切线 在 t＝t0，t1，t2附近的曲线 近似代替 斜率刻画 24 解： 用曲线 h (t) 在 t＝t0，t1，t2 处的切线斜率，刻画曲线 h (t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当 t＝t0 时， 曲线 h (t) 在 t＝t0 处 的切线 l0 平行于 t 轴， 这时，在 t＝t0 附近曲 线比较平坦，几乎没 有升降. 25 (2)当 t＝t1 时， 曲线 h (t) 在 t＝t1 处 的切线 l1 的斜率 这时，在 t＝t1附近曲 线下降，即函数 h (t) 在t＝t1附近单调递减. 解： 用曲线 h (t) 在 t＝t0，t1，t2 处的切线斜率，刻画曲线 h (t) 在上述三个时刻附近的变化情况. 26 (3)当 t＝t2 时， 曲线 h (t) 在 t＝t2 处 的切线 l2 的斜率 这时，在 t＝t2附近曲 线下降，即函数 h (t) 在t＝t2附近单调递减. 解： 用曲线 h (t) 在 t＝t0，t1，t2 处的切线斜率，刻画曲线 h (t) 在上述三个时刻附近的变化情况. 27 追问2：曲线 h (t) 在 t＝t1 和 t＝t2 附近都是下降的，两个时刻的下降趋势是否有区别呢？ 28 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度 曲线 h (t) 在 t＝t1 附近比在 t＝t2 附近下降得缓慢. 解： 29 在 t＝t0，t1，t2 处的切线 在 t＝t0，t1，t2附近的曲线 近似代替 斜率刻画 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度 曲线 h (t) 在 t＝t1 附近比在 t＝t2 附近下降得缓慢. 解： 以直 代曲 30 斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增减快慢 在 t＝t0，t1，t2 处的切线 在 t＝t0，t1，t2附近的曲线 近似代替 斜率刻画 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度 曲线 h (t) 在 t＝t1 附近比在 t＝t2 附近下降得缓慢. 解： 以直 代曲 31 思考：请描述曲线 h(t)在 t＝t3，t4 附近增（减）以及增（减）快慢的情况. 32 例3 图中是人体血管中药物浓度 c＝f (t) (单位：mg/mL) 随时间 t (单位：min ) 变化的函数图象. 根据图象，估计 t＝0.2，0.4，0.6，0.8 min 时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到 0.1 ) . 33 追问1：血管中药物浓度的瞬时变化率与函数的图象有什么关系？ 34 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线 f (t) 在此点处的切线的斜率. 我们以 t＝0.8 时刻为例，作出 t＝0.8 处的切线. 35 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线 f (t) 在此点处的切线的斜率. 我们以 t＝0.8 时刻为例，作出 t＝0.8 处的切线. 36 追问2：如何计算这条切线的斜率？ 37 在切线上取两点，如 (0.7，0.91) ，(1.0，0.48)， 所以， 所以，在t＝0.8时刻，药物浓度瞬时变化率约为－1.4. 则该切线的斜率 38 现实生活中有些变量间的关系，不一定能通过解析式刻画，或者我们不知道对应的解析式，导数的几何意义使得我们可以借助函数的图象以及以直代曲的思想方法，对函数的变化情况作出估计. 39 从求函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处导数的过程可以看到，当 x＝x0 时， 是一个唯一确定的数. 这样，当 x 变化时， 就是 x 的函数，我们称它为 y＝f (x) 的导函数 (简称导数). y＝f (x)的导函数有时也记作 ，即 定义 40 课堂练习 完成教材P69练习：1,2,3 课堂小结 知识层面 切线的一般定义； 导数的几何意义： f′(x0) 的几何意义就是曲线 y＝f (x) 在 x＝x0 处切线的斜率. 思想方法层面 数形结合； 以直代曲 . 42 课后作业 完成教材P70习题5.1： 第6,9,10,11,12 题. 小本（十三） 43 课后作业 1. 求曲线 在点 处的切线倾斜角. 2. 函数 f (x) 的图象如图所示，下列结论正确的是( ). （A） （B） （C） （D） 44 $$