精品解析：广东省清远市第三中学教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

2024～2025学年清远市三中教育集团高二下学期期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若曲线在某点处切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 0 3. 已知直线是曲线的切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前项之和为，若，则（ ） A. 110 B. 132 C. 154 D. 176 5. 已知、满足，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 10. 下列叙述正确是（ ） A. 的最小值为 B. 命题p：，的否定为：， C. 8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为151 D. 设随机变量X服从正态分布且，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 与的等比中项为______． 13. 一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点，,记可能的爬行方法总数为,则______.(用组合数作答) 14. 已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 16. 第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示． 男学生 女学生 合计 关注度极高 45 40 85 关注度一般 5 10 15 合计 50 50 100 （1）若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率； （2）用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望． 17. 已知函数 （1）求函数在区间上的最值； （2）在所给坐标系中画出函数在区间上的图象； （3）若直线是函数的一条切线，求的值. 18. 在二项式展开式中，求： （1）展开式的第四项； （2）展开式的常数项； （3）展开式的各项系数的和． 19. 已知的前n项和为，．①，都是等差数列；②是等差数列，；③是正项数列，．从①②③中选择一个条件，完成下列问题． （1）求通项公式； （2）若，求的前n项和，并解不等式． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年清远市三中教育集团高二下学期期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D. 【详解】选项A：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1. 选项B：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项C：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项D：，则，则， 则不存在斜率为1的切线 故选：D 2. 设等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可得，再由等差数列的性质即可求出. 【详解】因为，所以， 从而. 故选：A． 3. 已知直线是曲线的切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点坐标，结合切线过原点列方程，解方程求得，进而求得的值. 【详解】设切点坐标为， 由，，所以切线的斜率为， 由于直线过原点， 所以切线过原点， 所以， 所以切线的斜率为，也即. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题. 4. 等差数列的前项之和为，若，则（ ） A. 110 B. 132 C. 154 D. 176 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可求出的值，再由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以，可得：， 所以， 故选：C 5. 已知、满足，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数分析出函数在区间上单调性，可比较出与的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出与的大小关系，进而可得出与的大小关系. 【详解】令，其中，则，当时，. 所以，函数在区间上单调递增， ，，即，即，即，可得， 所以，. 故选：C. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 6. 函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过求导确定函数的单调性，再通过比较的大小来得答案. 【详解】由题意知，易知在上单调递增． 因为， 所以，所以， 即. 故选：D. 7. 已知函数，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用导数求解单调区间. 【详解】由， 则 ， 令，解得或， 所以单调递增区间是，. 故选：D. 8. 已知数列满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用累加法即可求解. 【详解】因为所以 累加得：， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 命题p：，的否定为：， C. 8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为151 D. 设随机变量X服从正态分布且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式及三角函数的性质可判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可判断B，根据中位数的概念可判断C，根据正态分布的性质可判断D. 【详解】对于A，，而等号成立时，即显然不成立，故A错误； 对于B，命题p：，的否定为：，，故B正确； 对于C，8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为，故C正确； 对于D，因为随机变量X服从正态分布且，则，，故D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值判断A，逆用二项式定理判断B，由展开判断C，展开判断D. 【详解】在中， 所以令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确； ， 其中，所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 与的等比中项为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的定义即可求解. 【详解】解：设等比中项为G，则，∴． 故答案为：. 13. 一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点，,记可能的爬行方法总数为,则______.(用组合数作答) 【答案】（或）. 【解析】 【分析】根据题意，电子蚂蚁一共需要爬行步，其中向上n步，向右m步，由组合数公式分析可得答案. 【详解】根据题意，分析可得电子蚂蚁一共需要爬行步，其中向上n步，向右m步， 需要在步中选出m步向右（n步向上）即可，则（或）， 故答案为：（或） 14. 已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由给定的函数关系，利用对数定义求出，再判断出等比数列即可作答. 【详解】因函数， 条件①，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列； 条件③，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列； 条件②，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为1，公比2， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据排列定义求解即可. 【详解】任意取出两个元素的所有排列为： . 16. 第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示． 男学生 女学生 合计 关注度极高 45 40 85 关注度一般 5 10 15 合计 50 50 100 （1）若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率； （2）用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式求解即可； （2）从该校随机选1名学生，求出该学生对新闻大事关注度极高的概率，由题意得，由二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”． ． 小问2详解】 从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高概率为． 由题意得， 则． 17. 已知函数 （1）求函数在区间上的最值； （2）在所给的坐标系中画出函数在区间上的图象； （3）若直线是函数的一条切线，求的值. 【答案】（1）； （2）图象见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得单调性，求得极值和区间端点值后可得最值； （2）由单调性和最值可得函数图象； （3）根据切线斜率，由导数几何意义可构造方程求得切点坐标，由此可得切线方程，进而得到的值. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，， ，. 【小问2详解】 由（1）可得在区间上的图象如下图所示， 【小问3详解】 由（1）知：，令，解得：或； 当时，切点为，则切线方程为：，； 当时，切点为，则切线方程为：，即，； 综上所述：或. 18. 在二项式的展开式中，求： （1）展开式的第四项； （2）展开式的常数项； （3）展开式的各项系数的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出展开式通项公式，由通项公式可求得第四项； （2）写出展开式通项公式，求得常数项； （3）令可得所有项系数和． 【小问1详解】 二项式的展开式的通项为， 所以第四项． 【小问2详解】 二项展开式的通项为， 令，得， 所以展开式的常数项为． 【小问3详解】 令，得展开式的各项系数的和为． 19. 已知的前n项和为，．①，都是等差数列；②是等差数列，；③是正项数列，．从①②③中选择一个条件，完成下列问题． （1）求的通项公式； （2）若，求的前n项和，并解不等式． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2），不等式解集为且 【解析】 【分析】（1）方案①：设的公差为d．由已知，转化为的方程，解方程求，利用等差数列通项公式可求的通项公式； 方案②：设的公差为，由条件求出数列的通项公式，再根据和关系求的通项公式； 方案③：根据和的关系，由条件可得数列的递推式，由此证明数列为等差数列，再由等差数列通项公式求其通项公式； （2）由（1），利用裂项相消法求，再解不等式即可. 【小问1详解】 选择①：设的公差为d．因为是等差数列， 所以， 所以，， 同时平方得， 所以， 所以，解得． 则， 则，，满足题意． 选择②：设的公差为， 则，，， 所以，所以． 所以， 当时，满足上式， 所以． 选择③：， 当时，， 两式相减得， 所以． 又，所以当时，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 则． 由，所以且． 解集为{n|n > 1011且n∈N*}. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $