专题01 一次函数（考题猜想，高频易错重难点15大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题01 一次函数（考题猜想，15大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 正比例函数的定义 · 题型二 求一次函数自变量或函数值（重点） · 题型三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 · 题型四 已知函数经过的象限求参数范围（重点） · 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） · 题型六 一次函数图象平移问题（高频） · 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 · 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 · 题型九 判断一次函数的增减性 · 题型十 根据一次函数增减性求参数（重点） · 题型十一 求一次函数解析式（易错） · 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题（高频） · 题型十三 实际问题与反比例函数（重点） · 题型十四 一次函数与几何综合（难点） · 题型十五 其他问题(一次函数的实际应用) 题型一 正比例函数的定义 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（    ） A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄 C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 3.（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 4.（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 题型二 求一次函数自变量或函数值 5.（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知一次函数，那么 ． 6．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 ． 7.（21-22八年级下·上海·期中）如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点． (1)求A，C坐标； (2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 题型三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 8．（23-24八年级上·上海·期末）一次函数的图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 9．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下不可能表示成一次函数与正比例函数在同一个平面直角坐标系中的图像的是（    ） A．    B．   C．    D．    题型四 已知函数经过的象限求参数范围 10.（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22八年级下·上海·期末）一次函数y＝﹣x﹣1不经过第 象限． 12．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 14.（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．3 D． 15.（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 16.（20-21八年级下·上海·期中）已知一次函数在轴上的截距为2，且随的增大而减小，求一次函数的解析式，并求出它的图像与坐标轴围成的三角形的面积 题型六 一次函数图象平移问题 17．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数可由一次函数向下平移 个单位得到． 19．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 20．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）把直线向左平移3个单位后，在y轴上的截距为 ． 21．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如果将一次函数的图像沿轴向上平移1个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为 ． 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 22．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果直线（）过第二、三、四象限，与x的交点为，那么使得的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，函数的图象与y轴、x轴分别相交于点和点，则关于x的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 24.（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 25．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 26.（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是 ． 27．（22-23八年级下·上海长宁·期末）如果一次函数、为常数，的图像过点，且经过第一、二、三象限，那么当时，的取值范围是 ． 题型九 判断一次函数的增减性 28.（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（   ） ①函数图象经过点：②图象经过第二象限；③当时，y随x的增大而增大． A． B． C． D． 29．（22-23八年级上·上海青浦·期末）下列函数图像中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 30.（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数的图像经过点与，那么y随着x的增大而 ．(填“增大”或“减小”) 题型十 根据一次函数增减性求参数 31.（20-21八年级下·上海普陀·期末）已知直线（k是常数，），随的增大而增大，那么该直线经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 32.（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 题型十一 求一次函数解析式 33.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）一次函数中两个变量x、y部分对应值如表所示： x … 0 1 … y … 8 5 2 … 那么这个一次函数的解析式是 ． 34.（20-21八年级下·上海长宁·期中）已知关于x的方程mx－2＝3x＋n有无数个解． (1)求出m、n的值． (2)求一次函数y＝mx＋n与坐标轴围成的三角形的面积． 35．（21-22八年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数相交于横坐标为的点A． (1)求正比例函数解析式； (2)如图，已知点B在这个正比例函数图像上，点C在反比例函数的图像上，直线轴，且在点A上方，并于y轴交于点D．如果的面积等于的面积，求点B的坐标． 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 36.（23-24八年级上·上海·期末）函数与图象没有交点，则b的取值范围是 ． 37．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数和反比例函数的图像都经过，则正比例函数的解析式为 ． 38．（23-24八年级上·上海·期末）已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是 (1)求点A的坐标和这个一次函数解析式； (2)求出另一个交点的坐标，并根据函数图象直接写出时的范围． 39．（24-25八年级上·上海·期末）如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 题型十三 实际问题与反比例函数 40．（24-25八年级上·上海·期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图像，请解决以下问题． (1)线段的函数表达式为 ； (2)曲线的函数表达式为 ； (3)点的坐标为 ； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，求的取值范围． 41．（22-23八年级上·上海长宁·期末）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．轮船先从甲地航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地原路返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行的路程为s（千米），s关于t的函数图象如图所示． (1)甲乙两地相距 千米，轮船在乙地停留了 小时； (2)轮船从甲地航行到乙地路程s关于所用时间t的函数关系式为 ； (3)如果轮船从乙地返回到甲地时的速度为20千米/小时，那么点M的坐标是 ． 42．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 题型十四 一次函数与几何综合 43.（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系内，点，点，点，则的面积为 ，若点D在y轴正半轴上，若，则点D坐标 ． 44.（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数的图像上有一点坐标为，点也在第一象限，已知． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求直线的函数解析式． 45．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 题型十五 其他问题(一次函数的实际应用) 46.（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 47.（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 48．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． $$专题01 一次函数（考题猜想，15大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 正比例函数的定义 · 题型二 求一次函数自变量或函数值（重点） · 题型三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 · 题型四 已知函数经过的象限求参数范围（重点） · 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） · 题型六 一次函数图象平移问题（高频） · 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 · 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 · 题型九 判断一次函数的增减性 · 题型十 根据一次函数增减性求参数（重点） · 题型十一 求一次函数解析式（易错） · 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题（高频） · 题型十三 实际问题与反比例函数（重点） · 题型十四 一次函数与几何综合（难点） · 题型十五 其他问题(一次函数的实际应用) 题型一 正比例函数的定义 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案． 【详解】解：A、，y是x的正比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（    ） A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄 C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定;如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由此逐项判断即可，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； B、人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不符合题意； C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例关系，故此选项不符合题意； D、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 故选：A． 3.（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】根据与成正比例，与成反比例，不妨设，，结合 得，根据题意，构造方程组解答即可． 本题考查了成正比，成反比的意义，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， 不妨设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， 故关于的函数解析式． 题型二 求一次函数自变量或函数值 5.（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知一次函数，那么 ． 【答案】1 【分析】直接将代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1 【点睛】本题考查求一次函数的函数值．解题的关键是正确的进行计算． 6．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）当时，不论k取任何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 ． 【答案】 【分析】先将化为，可得当时，不论取何实数，函数的值为，即可得到直线一定经过的定点为． 【详解】解：根据题意，可化为， ∴当时，不论取何实数，函数的值为， ∴直线一定经过的定点为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 7.（21-22八年级下·上海·期中）如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点． (1)求A，C坐标； (2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1)A（0，6），C(8，0） (2)能，4或 【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入即可求出A，C坐标； （2）分两种情况：作辅助线，构建两个全等三角形，通过AE＝FQ列关于a的方程，解出即可． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝6， ∴A（0，6）， 当y＝0时，﹣x＋6＝0， 解得x＝8， ∴C（8，0）； （2）解：由题可知：点Q是直线y＝2x﹣6上一点， 如图1，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F， ∵Q（a，2a﹣6）， ∴AE＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，FQ＝8﹣a， ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PQ，∠AQP＝90°， ∴∠EQA＋∠PQF＝90°， ∵∠AEQ＝90°， ∴∠EAQ＋∠EQA＝90°， ∴∠PQF＝∠EAQ， 在△AQE和△QPF中， ∵， ∴△AQE≌△QFP（AAS）， ∴AE＝FQ， ∴2a﹣12＝8﹣a， 解得a＝； 如图2，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F， ∵Q（a，2a﹣6）， ∴AE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，FQ＝8﹣a， 同理得：△AQE≌△QFP， ∴AE＝FQ， ∴12﹣2a＝8﹣a， 解得a＝4； 综上所述，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值是4或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形、全等三角形的性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，通过作辅助线构建两个全等三角形，并利用点Q的坐标表示线段AE和FQ的长，是解题的关键． 题型三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 8．（23-24八年级上·上海·期末）一次函数的图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定的取值范围，再根据的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解． 【详解】解：， ∵，， ∴一次函数的图像经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图像不经过第二象限， 故选：． 9．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下不可能表示成一次函数与正比例函数在同一个平面直角坐标系中的图像的是（    ） A．    B．   C．    D．    【答案】B 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项不符合题意； B、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论不一致，故本选项符合题意； C、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图像可知，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图像有四种情况： ①当，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当时，函数的图像经过第二、三、四象限． 题型四 已知函数经过的象限求参数范围 10.（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 11．（21-22八年级下·上海·期末）一次函数y＝﹣x﹣1不经过第 象限． 【答案】一 【分析】根据一次函数y=kx+b的图像的性质作答． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣x﹣1 ∴k＜0，b＜0． ∴一次函数的图像必经过第一、三、四象限，即不经过第一象限． 故答案为：一 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像，一次函数y=kx+b的图像有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图像经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图像经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 12．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限得到，解不等式即可求解，掌握正比例函数的图象特点是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 14.（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数在y轴上的截距是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，把代入得，，即一次函数与y轴的交点为，即可求解． 【详解】解：把代入得，， 即一次函数与y轴的交点为， ∴一次函数在y轴上的截距是3， 故选：C． 15.（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质； 根据与y轴的交点坐标可得b的值，再根据两条直线平行，k值相等，求出k即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 又∵一次函数的图像与直线平行， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 16.（20-21八年级下·上海·期中）已知一次函数在轴上的截距为2，且随的增大而减小，求一次函数的解析式，并求出它的图像与坐标轴围成的三角形的面积 【答案】y=-2x+2；1 【分析】根据截距为2，且y随x的增大而减小即可确定k值，求出解析式即可求出面积． 【详解】解：∵一次函数y=kx+k2-2在y轴上的截距为2， ∴|k2-2|=2， 即k=±2或k'=0， 又∵y随x的增大而减小， ∴k＜0， 即k=-2， ∴一次函数解析式为y=-2x+2； 作出函数图象如图， 设坐标轴原点为O，函数图象与x轴交于点B，与y轴交于点A， 由解析式可知A（0，2），B（1，0）， ∴OA=2，OB=1， ∴S△AOB=OA•OB=×2×1=1． 【点睛】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数基本知识是解题的关键． 题型六 一次函数图象平移问题 17．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变． 根据平移时k的值不变，只有b发生变化即可得到结论． 【详解】解：原直线的； 向下平移3个单位长度，得到了新直线，那么新直线的， ∴新直线的解析式为． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数可由一次函数向下平移 个单位得到． 【答案】3 【分析】题考查的是一次函数图象的平移，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵原直线解析式为即，新直线的解析式为， ∴将直线向下平移3个单位长度得到直线． 故答案为：3． 19．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵一次函数与直线 平行， ∴， 解得：， 故答案为：． 20．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）把直线向左平移3个单位后，在y轴上的截距为 ． 【答案】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则求出平移后的解析式，再根据在y轴上的截距为当时，求y的值即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线向左平移3个单位后，所得直线的表达式为，即， 当时，， 在y轴上的截距为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 21．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如果将一次函数的图像沿轴向上平移1个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：一次函数的图象沿y轴向上平移1个单位所得函数解析式为：，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 题型七 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 22．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果直线（）过第二、三、四象限，与x的交点为，那么使得的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由直线（）过第二、三、四象限，可知：y随x的增大而减小， ∵一次函数与x的交点为， ∴当时，则； 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，函数的图象与y轴、x轴分别相交于点和点，则关于x的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图象可得表示函数图象上的点要在x轴上或上方，再根据图象可得答案． 【详解】解：∵直线和x轴的交点是， ∴不等式的解集是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象解一元一次不等式，解题时应结合函数图象和不等式的关系找出正确的答案． 24.（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 25．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型八 根据两条直线的交点求不等式的解集 26.（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是利用函数图象求不等式的解集． 从图象上找到在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 27．（22-23八年级下·上海长宁·期末）如果一次函数、为常数，的图像过点，且经过第一、二、三象限，那么当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，    当时，的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型九 判断一次函数的增减性 28.（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（   ） ①函数图象经过点：②图象经过第二象限；③当时，y随x的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足②；根据平行于x轴的直线的性质可得不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意； D、在中，，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 29．（22-23八年级上·上海青浦·期末）下列函数图像中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数，一次函数，反比例函数的增减性解答． 【详解】解：∵中，， ∴y的值随x值增大而增大；故A选项不符合题意； ∵中，， ∴y的值随x值增大而减小；故B选项符合题意； ∵中，∵， ∴时，y的值随x值增大而增大；故C选项不符合题意； ④∵， ∴时，y的值随x值增大而减小，时，y的值随x值增大而减小；故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟记各函数的增减性是解题的关键． 30.（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数的图像经过点与，那么y随着x的增大而 ．(填“增大”或“减小”) 【答案】减小 【分析】根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点与， ∵， ∴y随着x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据题意判断一次函数的增减性是解题的关键． 题型十 根据一次函数增减性求参数 31.（20-21八年级下·上海普陀·期末）已知直线（k是常数，），随的增大而增大，那么该直线经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性判断出k的符号，结合b的符号即可判断该直线经过的象限． 【详解】解：∵直线（k是常数，），随的增大而增大， ∴k＞0，又b=﹣5＜0， ∴该直线经过第一、三、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 32.（23-24八年级下·上海奉贤·期末）一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：一次函数的函数值随着的值增大而减小， ， ； 故答案为：． 题型十一 求一次函数解析式 33.（22-23八年级下·上海浦东新·期末）一次函数中两个变量x、y部分对应值如表所示： x … 0 1 … y … 8 5 2 … 那么这个一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析，把代入，求出k和b的值，即可得出该一次函数解析式． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为： 34.（20-21八年级下·上海长宁·期中）已知关于x的方程mx－2＝3x＋n有无数个解． (1)求出m、n的值． (2)求一次函数y＝mx＋n与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据关于x的方程有无数个解，列出方程组求出m和n； （2）将m和n的值代入一次函数y＝mx＋n解析式求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：关于x的方程可化为． 此方程有无数个解， 解得， 即， （2）解：，， 一次函数解析式为， 当x=0时，y=-2，当y=0时，， 一次函数与坐标轴的交点是，, ∴一次函数y＝mx＋n与坐标轴围成的三角形的面积是． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，一元一次方程解的情况，三角形面积公式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解答关键． 35．（21-22八年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数相交于横坐标为的点A． (1)求正比例函数解析式； (2)如图，已知点B在这个正比例函数图像上，点C在反比例函数的图像上，直线轴，且在点A上方，并于y轴交于点D．如果的面积等于的面积，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入，求出k的值即可； （2）设，则，   设点A到的距离为h，则，，得出，列出方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得， ∴， 将A代入正比例函数解析式得， 解得：，        ∴正比例函数解析式为； （2）解：设， ∵轴， ∴，    设点A到的距离为h， ∴，， ∴，        ∴， ∴（负值舍去），         ∴． 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 36.（23-24八年级上·上海·期末）函数与图象没有交点，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程(组)无解，由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解，由此可求出的取值范围. 【详解】解：的图象是过原点且在第一、三象限的一条直线，要使与它无交点，则的图象只能在第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数和反比例函数的图像都经过，则正比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，先将点代入求出，再代入正比例函数的解析式 即可得出答案． 【详解】解：把点 的坐标代入得， ∴点的坐标为 ， 把 代入，得， ∴正比例函数的解析式为 ， 故答案为：． 38．（23-24八年级上·上海·期末）已知一次函数和反比例函数的图象交于、两点，点的坐标是 (1)求点A的坐标和这个一次函数解析式； (2)求出另一个交点的坐标，并根据函数图象直接写出时的范围． 【答案】(1)，； (2)，或． 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求的值，再将点的坐标代入一次函数的解析式可求得的值； （2）根据图象，结合点和点的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数 的图象上， 点的坐标为， 代入一次函数得 ∴一次函数的解析式为：． （2）解：由题意得， 解得 ∴另一交点的坐标为：， ∴由图象可知：的取值范围为或． 39．（24-25八年级上·上海·期末）如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． (1)求正比例函数，反比例函数解析式； (2)求的面积． (3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)18 (3)点P的坐标为或，， 【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数图像过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 题型十三 实际问题与反比例函数 40．（24-25八年级上·上海·期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图像，请解决以下问题． (1)线段的函数表达式为 ； (2)曲线的函数表达式为 ； (3)点的坐标为 ； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂图像信息，利用函数解析式进行解答． （1）设线段的函数表达式为，把代入解方程得到线段的函数表达式为； （2）设曲线的函数表达式为，把代入得解方程得到曲线的函数表达式为； （3）解方程组得即可得到点的坐标为； （4）依据题意，根据题意分多种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：设曲线的函数表达式为， 把代入得，， ∴曲线的函数表达式为； 故答案为： ； （3）解方程组得或， ∴根据题意，可知点的坐标为； 故答案为：； （4）解：当时，由图像知，不合题意； 当时，， 若，则，（不合题意，舍去） 即； 当时，， 则，则； 即； 综上，的取值范围为． 41．（22-23八年级上·上海长宁·期末）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．轮船先从甲地航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地原路返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行的路程为s（千米），s关于t的函数图象如图所示． (1)甲乙两地相距 千米，轮船在乙地停留了 小时； (2)轮船从甲地航行到乙地路程s关于所用时间t的函数关系式为 ； (3)如果轮船从乙地返回到甲地时的速度为20千米/小时，那么点M的坐标是 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读取函数图像信息，根据图象得出正确信息是解题的关键． （1）根据图象即可作答； （2）设轮船从甲地航行到乙地路程关于所用时间的函数关系式为，将点代入，即可得出答案； （3）根据点的意义即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知， 甲乙两地相距60千米， 轮船在乙地停留的时间为（小时）． 故答案为：60；6； （2）设轮船从甲地航行到乙地路程关于所用时间的函数关系式为， 将点代入， 即， 解得：， 则关于所用时间的函数关系式为． 故答案为：； （3）（小时）， （小时）， （千米）， 则点的坐标为． 故答案为：． 42．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图像可得，甲车出发后，到达离A地的B地，可以求出甲车的速度，然后表示函数关系式即可； （2）根据点M的意义即可求得答案； （3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：令，则， 解得：， 故答案为：； （3）解：乙车的速度为千米/时， 则， 解得：， ∴距离地距离为千米， 故答案为：． 题型十四 一次函数与几何综合 43.（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系内，点，点，点，则的面积为 ，若点D在y轴正半轴上，若，则点D坐标 ． 【答案】 13 10 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的几何综合，首先根据题意画出图形，设直线的函数解析式为，用待定系数法求出直线的解析式，即可求出的坐标，利用即可求出面积，设，根据即可得出结果． 【详解】解：如图，在坐标系中描出各点，    设直线的函数解析式为，点，点， ，解得：， 直线的函数解析式为， 当时，， ， ； 设， ， 解得：， ， 故答案为：13；． 44.（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数的图像上有一点坐标为，点也在第一象限，已知． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、三角形全等，正确判定全等三角形是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则函数的表达式为：； （2）解：由题意得，为等腰直角三角形， 则的面积； （3）解：过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点， ，， ， ，， 则， 则，， 则点， 设直线的表达式为：， 则，则， 故直线的表达式为：． 45．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 题型十五 其他问题(一次函数的实际应用) 46.（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【答案】100 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时的值，最后求出剩余路程． 【详解】解：设函数解析式为：， 则：， 解得：， ， 当时，， 解得：， （千米）， 故答案为：100． 47.（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 【答案】(1) (2)原计划每天制作把 【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，设原计划每天制作把，则实际每天制作把，根据“因此提前1天完成”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入函数解析式得：， 解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，， 设原计划每天制作把，则实际每天制作把， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴原计划每天制作把． 48．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【答案】(1)这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元 (2)这个企业4、5月份的利润增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由待定系数法求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业月份的利润增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业月份的利润增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将代入得：， 解得：， ∴这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数的函数关系式为， 当时，， 答：这个一次函数的解析式为月份的利润为98万元； （2）设这个企业月的利润增长率为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：这个企业月份的利润增长率为． $$