28.1 锐角三角函数课时2 余弦、正切函数 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 课时2 余弦、正切函数 1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念. (重点) 2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. (重点、难点) 学习目标 新课导入 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 新课讲解 合作探究 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 新课讲解 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A=∠D，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 新课讲解 归纳 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 新课讲解 归纳 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 ∠A的邻边 斜边 cos A = A B C 斜边 邻边 新课讲解 从上述探究和证明过程看出， 对于任意锐角α，有cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 新课讲解 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C=∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 新课讲解 ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. ∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ A B C D E F 新课讲解 归纳 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 A B C 邻边 对边 　锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A = 新课讲解 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 想一想 如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数. 新课讲解 练一练 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___. · A O B C 新课讲解 练一练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3. sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____， sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____. 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值 B C 2 3 A 课堂小结 余弦函数和 正切函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 锐角∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质 当堂小练 1. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是 ( ) A. tan70°＜cos70°＜sin70° B. cos70°＜tan70°＜sin70° C. sin70°＜cos70°＜tan70° D. cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°. 故选D. D 当堂小练 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， 求 sinA、tanA 的值． 解：在 Rt△ABC 中，由 A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k. ∴ ∴ 当堂小练 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ CD⊥AB， ∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B =tan∠ACD= 拓展与延伸 4. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ AB = AC，BC=6， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中， ∴ tanB = A B C ∴ D 1．(北师9下P5改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，sin A＝，求BC，cos B． 解：∵sin A＝，∴， ∵AB＝9，∴BC＝3， ∴cos B＝． 课后练习 2．(人教9下P69改编)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE＝8，cos A＝，求菱形的周长． 解：设菱形ABCD的边长为x， ∵BE＝8，∴AE＝x－8， ∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°， 在Rt△AED中，cos A＝， 解得x＝20(检验成立)， ∴菱形的周长＝4×20＝80． 3．如图，点P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，求cos α的值． 解：∵点P的坐标为(12，5)， ∴OP＝＝13．∴cos α＝． 4．【例1】(北师9下P6改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A，tan B的值． 解：在Rt△ABC中，sin A＝，由BC＝6得AB＝10， 由勾股定理得AC＝＝8， 所以cos A＝，tan B＝． 小结：解决此类问题往往是先由三角函数的定义及勾股定理求出直角三角形的三边长，再由三角函数的定义求值.  5．【例2】如图，过☉O外一点，作☉O的切线AB，切点为B，连接OA交☉O于C，AC＝16，sin A＝，求☉O的半径． 解：连接OB，设☉O的半径为x， ∵AB为☉O的切线，∴OB⊥AB， 在Rt△OBA中，sin A＝， 解得x＝10(检验成立)． 所以☉O的半径为10． 小结：（1）遇到圆的切线，连接过切点的半径，构造直角三角形；（2）注意根据三角函数值，常列方程求未知边. 小结：先读懂并理解新概念，再作辅助线构造直角三角形，进而求解.   A．1 B． C． D． 6．(创新题)定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sad A，即sad A＝底边∶腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B，则 cos B·sad A＝( ) B 8．(人教9下P84改编、北师9下P4改编)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，求BC的长． 解：在Rt△ABC中，∵tan A＝， ∴AC＝BC， 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即＋BC2＝102，解得BC＝6． ★9． 0.50 (人教9下P69改编、北师9下P10改编)(2024梅州一模)如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长． 解：作CH⊥AB于H． 在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°， ∴CH＝BC＝6，BH＝＝6 ， 在Rt△ACH中，tan A＝，∴AH＝8， ∴AC＝＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6 ． 请完成课本本节对应习题 布置作业 感谢大家欣赏 $$