反比例函数与一次函数综合题-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．解：（1）∵y2过点A（1，2）， ∴m＝1×2＝2， 即反比例函数：y2， 当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1）， ∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1）， 则，解得， ∴y1＝x+1； （2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1）， ∵S△AMN•MN•|xA|＝3且xA＝1， ∴MN＝6， ∴N（0，7）或（0，﹣5）； （3）由图象可知，不等式kx+b0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1． 2．解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上， ∴m＝1×3＝n×1， ∴m＝3，n＝3， ∴反比例函数为y，点B（3，1）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数为：y＝﹣x+4； （2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4， ∴C（0，4）， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC4； （3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D， 设E（a，）（a＞1）， ∵A（1，3）， ∴AD＝a﹣1，DE＝3， ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠EAD+∠CAF＝90°， ∵∠EAD+∠AED＝90°， ∴∠CAF＝∠AED， 在△ACF和△EDA中， ， ∴△ACF≌△EDA（AAS）， ∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3， ∴F（2，4﹣a）， ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴（2）（4﹣a）＝3， 解得a＝6或a＝1（舍去）， ∴E（6，）． 3．解：（1）如图，设AB与x轴交于点E． ∵B是点A关于x轴的对称点，△ABO的面积是4， ∴S△AOE＝2． ∴，即AE•EO＝4． 又AE•EO＝k． ∴k＝4． ∴反比例函数的解析式． （2）∵点A的横坐标为1， 当x＝1时，y＝4， ∴A（1，4）． 由点A与点B关于x轴对称得B（1，﹣4）． 由题可得，点A与点C关于原点O对称， ∴C（﹣1，﹣4）， 过B点作BD∥AC，直线BD与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点D， ∴S△ADC＝S△ABC． 设直线AC的解析式为y＝ax（a≠0）． 将A（1，4）代入上式，得a＝4， ∴直线AC解析式为y＝4x． ∵AC∥BD， ∴可设直线BD的解析式为y＝4x+b， 将B（1，﹣4）代入上式，得到﹣4＝4+b， 解得b＝﹣8． ∴直线BD的解析式为y＝4x﹣8． 4．解：（1）∵反比例函数的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点， ∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1）， ∴m＝﹣4，a＝4 ∴反比例函数为y，B（4，﹣1）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数为y＝﹣x+3； （2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP， ∴四边形APQB是平行四边形， ∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P， ∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5）， ∵点Q在y上， ∴5+n， 解得n， ∴Q（，﹣5）． 5．解：（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为y． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， a＝2×3＝6， 所以反比例函数的解析式为y． （2）将x＝m分别代入y和y得， 点C的坐标为（m，），点D的坐标为（m，）， 所以． 又因为S△OBC＝2S△OCD， 所以S△OBC＝8． 令直线CD与x轴的交点为M， 过点B作x轴的垂线，垂足为N， 因为S△BON+S梯形BNMC＝S△BOC+S△COM，且S△BON＝S△COM， 所以S梯形BNMC＝S△BOC＝8， 所以， 解得． 因为m＞2， 所以m＝6， 则点C的坐标为（6，1）． 6．解：（1）∵点B（3，0）C（0，3）在一次函数y＝k1x+b图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3， ∵A（﹣1，n）在一次函数图象上， ∴n＝4， ∵A（﹣1，4）在反比例函数解析式上， ∴k2＝﹣4， ∴反比例函数解析式为：y； （2）设点P的坐标为（m，）， ∵A（﹣1，4），C（0，3）， ∴S△AOC3×1， ∴S△POB＝3， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∴S△POB丨丨， 解得m或， ∴点P的坐标为（，﹣3）或（，3）． （3）如图，作MF⊥y轴，垂足为F，作NE⊥y轴，垂足为F， 设点M坐标为（a，），C（0，3）， 在△NEC和△CFM中， ， ∴△NEC≌△CFM（AAS）， ∴CE＝FM＝a，CF＝NE＝3， ∴N（﹣3，3﹣a）， 若点N在反比例函数图象上，则有： （3﹣a）（﹣3）＝﹣4， 整理得：3a2﹣a﹣12＝0， 解得a或a（舍去）， ∴点M的横坐标为，点M的纵坐标为：， 答：存在这样的点M，点M的坐标为（，）． 7．解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：a＝2﹣1＝1，即点A（2，1）， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1， 解得：k＝2， 即反比例函数的表达式为：y， 联立一次函数和上式得：x﹣1， 解得：x＝2（舍去）或﹣1， 故点B（﹣1，﹣2）； （2）设点M（x，0）， 当AB是边时，将B向右平移3个单位向上平移3个单位得到点A，同样M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M）， 则x±3＝0， 解得：x＝3或﹣3， 故点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）； （3）设点P（m，），则点Q（﹣m，）， 设直线AB交y轴于点R，过点P作直线m∥AB交y轴于点M，过点Q作直线n∥AB交y轴于点N， ∵△ABQ的面积是△ABP的面积的3倍， ∴RN＝3RM， ∵直线AB的表达式为：y＝x﹣1， 则直线m的表达式为：y＝x﹣m， 则点M（0，﹣m）， 同理可得：点N（0，m）， ∵RN＝3RM，即（m）＝3（﹣1+m）， 解得：m＝1±（舍去负值）， 即m1． 8．解：（1）∵一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）， ∴﹣2k1+3＝0，解得k1， ∴一次函数为：yx+3， ∵一次函数yx+3的图象经过点C（2，m）． ∴m2+3＝6， ∴C点坐标为（2，6）， ∵反比例函数经过点C， ∴k2＝2×6＝12， ∴反比例函数为：y； （2）作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F， ∴CE∥PF， ∴△PFD∽△CED， ∴， ∵PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6）， ∴PD：CD＝1：3，CE＝6， ∴， ∴PF＝2， ∴P点的纵坐标为2， 把y＝2代入y2求得x＝6， ∴P（6，2）， 设直线CD的解析式为y＝ax+b， 把C（2，6），P（6，2）代入得， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+8， 令y＝0，则x＝8， ∴D（8，0）， ∴OD＝8， ∴S△COP＝S△COD﹣S△POD8×68×2＝16； （3）由（1）知，yx+3， ∴B（0，3）， ∵P（6，2）， 设M（m，m+3），N（a，n）， 分三种情况： ①当BP为边时，对角线PN＝BM，且PN与BM互相平分， 有， 解得， ∴点N的坐标为（，）； ②当BP为对角线时，对角线NM＝BP，且MN，BP互相平分， 有， 解得或， ∴点N的坐标为（，）或（6，2）； ③当BP为边时，对角线BN＝PM，且BN，PM互相平分， 有， 解得：， ∴点N的坐标为（6，2）； 综上所述，点N的坐标为（6，2）或（，）或（，）． 9．解：（1）∵|b﹣3|＝0， ∴a＝1，b＝3， ∴一次函数的解析式为y＝x+3， 当y＝0时，x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 把点B（n，4）代入y＝x+3得：n+3＝4， 解得：n＝1， ∴B（1，4）， 把B（1，4）代入y得：4， 解得：k＝4； （2）四边形ABCD的面积可以为12． 过点A作AF∥y轴交CD于F，过点B作BG∥y轴交CD于G， 由题意得：D（m，），直线CD的解析式为yx， 则C（﹣m，）， ∵A（﹣3，0），B（1，4）， ∴F（﹣3，），G（1，）， 当﹣4＜m＜﹣3时，点D在AF的左侧， 则S四边形ABCD＝S△ADF+S四边形ABGF+S△BCG AF•（xA﹣xD）（AF+BG）•（xB﹣xA）BG•（xG﹣xB） （﹣3﹣m）（4）×（1+3）（4）×（﹣m﹣1） 2m+6， ∵S四边形ABCD＝12， ∴2m+6＝12， 解得：m＝﹣1或m＝﹣2， ∵﹣4＜m＜﹣3， ∴此时无解； 当﹣3≤m＜﹣1时，点D在AF的右侧， 则S四边形ABCD＝S四边形ABGF+S△BCG﹣S△ADF （AF+BG）•（xB﹣xA）BG•（xG﹣xB）AF•（xD﹣xA） （4）×4（4）×（﹣m﹣1）（m+3） 2m+6， ∵S四边形ABCD＝12， ∴2m+6＝12， 解得：m＝﹣1或m＝﹣2， ∵﹣3≤m＜﹣1， ∴m＝﹣2； （3）如图，以BP为边向右侧作等边三角形BPF，以B为顶点作等边三角形BCD，使CD边在x轴上，设直线CF交y轴于点G， 则C（1，0），∠PBF＝∠DBC＝∠BDC＝∠BCD＝60°，BP＝BF，BD＝BC， ∴∠PBD+∠DBF＝∠DBF+∠FBC，∠PDB＝120°， ∴∠PBD＝∠FBC， ∴△PBD≌△FBC（SAS）， ∴∠FCB＝∠PDB＝120°， ∴∠PCF＝∠FCB﹣∠BCD＝120°﹣60°＝60°， ∴OG＝OC•tan60°＝（1）4， ∴G（0，4）， ∴直线CG的解析式为yx4， ∵点F在双曲线y（x＞0）关于x轴对称的图象上， ∴点F在双曲线y（x＞0）的图象上， 联立得， 解得：，， ∴F1（，），F2（1，﹣4）， 设P（x，0），且x＜0， 当F（，）时，则BP＝BF， ∴（x﹣1）2+42＝（1）2+（4）2， 解得：x＝3（舍去）或x1， ∴点P的坐标为（1，0）； 当F（1，﹣4）时，则PB＝BF＝8， ∴（x﹣1）2+42＝82， 解得：x＝1+4（舍去）或x＝1﹣4， ∴点P的坐标为（1﹣4，0）； 综上所述，点P的坐标为（1，0）或（1﹣4，0）． 10．解：（1）∵一次函数y2＝ax+2与y轴交于C， 当x＝0时，y＝2， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， ∵点A（1，m）， ∴， ∵S△OAC：S△OBD＝2：3， ∴， ∵点A（1，m）和点B是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴△OAC的面积为，k的值为3； （2）∵点A（1，m）在反比例函数上， ∴m＝3， ∴A（1，3）， 将A（1，3）代入一次函数y2＝ax+2得： a+2＝3， 解得：a＝1， ∴直线AC的表达式为y2＝x+2； （3）设B（a，b），则ab＝3， 分以下三种情况： 当点N在y轴正半轴上，点M在x轴正半轴上时，如图1，作BH⊥y轴于H，则BH＝a，OH＝b， ∴BH∥OM， ∴△NBH∽△NMO， ∴， ∵NB＝3MB， ∴， ∴，ON＝4b， ∵OP2＝OM•ON， ∴， ∵点P为∠MON的平分线上一点，∠MON＝90°， ∴点P到x轴和y轴的距离相等， 设为m，则P（m，m）， ∴OP2＝2m2＝16， 解得， ∴； 当点N在y轴负半轴上，点M在x轴正半轴上时，如图2， 同理可得，△NBH∽△NMO，， ∴，ON＝2OH＝2b， ∴， ∵点P为∠MON的平分线上一点，∠MON＝90°， ∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为， ∴， 当点M在x轴负半轴上时，MB＞NB，不合题意，舍去． 综上：点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标； （3）求不等式kx+b0的解集．（请直接写出答案） 2．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 3．如图，点A在第一象限，且在反比例函数的图象上，点B是点A关于x轴的对称点，△ABO的面积是4． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点A的横坐标为1，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接BC，点D（m，n）（m＞1）在反比例函数图象上，满足△ACD的面积等于△ABC的面积，求直线BD的解析式． 4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求点Q的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（﹣2，0），与反比例函数y的图象相交于点B（2，3）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标． 6．如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）已知P为反比例函数y的图象上一点，满足S△POB＝3S△AOC，求点P的坐标． （3）在第四象限反比例函数y的图象上是否存在点M，使点M绕点C顺时针旋转90°得到的对应点N恰好落在第二象限反比例函数y的图象上？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． 7．如图1，已知反比例函数y（k≠0）的图象与一次函数y＝x﹣1的图象相交于A（2，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标； （2）M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点M的坐标； （3）如图2，反比例函数y的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为m（m＞2），点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接AP，AQ，BP，BQ．若△ABQ的面积是△ABP的面积的3倍，求m的值． 8．如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数相交于点C（2，m）． （1）求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半由于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积； （3）在（2）的条件下，若M为一次函数y＝k1x+3的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点B（n，4），其中a，b满足． （1）直接写出k，n的值及点A的坐标； （2）点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且﹣4＜m＜﹣1，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接BC，AD，四边形ABCD的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； （3）点P是x轴负半轴上一点，以BP为边向线段BP右侧作等边△BPF，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 10．如图，点A（1，m）和点B是反比例函数图象上的两点，一次函数y2＝ax+2（a≠0）的图象经过点A，与y轴交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接OA，OB．已知△OAC与△OBD的面积满足S△OAC：S△OBD＝2：3． （1）求△OAC的面积和k的值； （2）求直线AC的表达式； （3）过点B的直线MN分别交x轴和y轴于M，N两点，NB＝3MB，若点P为∠MON的平分线上一点，且满足OP2＝OM•ON，请求出点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$