二次函数与几何图形综合题-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3， ∵PD⊥x轴于点D， ∴E（m，﹣m+3），D（m，0）， ∴DE＝﹣m+3， ∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵PE＝2ED， ∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3）， 解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去）， ∴m＝2， ∴P（2，3）； （3）∵PF∥AC， ∴△ACG∽△PFG， ∴， ∴，， ∴， 作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q， ∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC， ∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b′， 将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b′，得：0＝﹣（﹣1）+b′， 解得：b′＝﹣1， ∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1， 当x＝0时，yN＝﹣1， ∴N（0，﹣1）， ∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4， ∵AN∥BC，PQ∥y， ∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF， ∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN， ∴∠FPQ＝∠ACN， ∴△CAN∽△PFQ， ∴， 设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3）， ∴PQ＝﹣n2+3n， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， ∴，， ∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠ANC＝45°， ∵∠ANC＝∠PQF， ∴∠OBC＝∠PQF， ∵，AB＝4， ∴， ∴， ∴△CPQ∽△ACB， ∴∠BCP＝∠CAB， ∵， ∴． 2．解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点， ∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）， 将x＝0，y＝2代入y＝﹣x2+bx+c得c＝2， 将x＝4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣16+4b+2，解得b， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2x+2； （2）①如答图1，设MN交x轴于点E， 则E（t，0），则M（t，2t）， 又N点在抛物线上，且xN＝t， ∴yN＝﹣t2t+2， ∴MN＝yN﹣yM＝﹣t2t+2﹣（2t）＝﹣t2+4t； ②令MN＝yN﹣yM＝﹣t2+4t＝4， 解得：t＝2； （3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）． 以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示． （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由AD＝MN，得|a﹣2|＝4，解得a1＝6，a2＝﹣2， 从而D为（0，6）或D（0，﹣2）， （ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点， 易得D1N的方程为yx+6，D2M的方程为yx﹣2， 由两方程联立解得D为（4，4）， 故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）． 3．解：（1）将B（4，0）代入， 即， 解得：， ∴， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）； （2）存在点P，使△BCP是直角三角形， ∵，对称轴为直线x＝1， 设P（1，n）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2， ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2， ∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2， 解得：n＝5； ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2， ∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32 解得：n＝﹣3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2 解得：或， 综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2），（1，2）； （3）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ， 由对称性可知，OM＝QM， ∴AM+OM＝AM+QM≥AQ， 当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠QBM＝45°， ∴BQ⊥BO， ∴Q（4，4）， 设直线AQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AQ的解析式， 设直线BC的解析式为y＝mx+4， ∴4m+4＝0， ∴m＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得：， ∴M（，）． 4．解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴B（3，0）； （2）设BC的表达式为y＝kx+b，则，解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t）2， t时，PM最大， 此时点M坐标（，）； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴设Q（1，m），且C（0，3），N（，0）， ∴CN，CQ， NQ， ∵△CNQ为直角三角形， ∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况， ①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2＝NQ2 即（）2+（m2﹣6m+10），解得：m， 此时点Q坐标为（1，）， ②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2＝CN2， 即（m2﹣6m+10）（）2，解得：m1，m2， 此时点Q坐标为（1，）或（1，）， ③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2＝CQ2， 即（）2（m2﹣6m+10），解得：m， 此时点Q坐标为（1，）， 综上所述，点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）． 5．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a﹣4+3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①， 令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3， 故点C（0，3）、点B（3，0）； （2）PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上， 线段BC的中点坐标为（，）， 则BC中垂线的k值为1，过点（，）， 则其表达式为：y＝x…②， ①②联立并求解得：x， 则点P坐标为（，）或（，）； （3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似， 则△MAB∽△ACB，即：，则MB， 过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G， ∵OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°， 则MH＝MG＝MB，OH＝OB﹣BH， 即点M（，） 6．解：（1）对yx+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4， ∴A（0，2），B（4，0）， ∵抛物线经过点C（﹣2，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将点A（0，2）代入得，﹣8a＝2， ∴a， ∴抛物线G的表达式为y（x+2）（x﹣4）x2x+2． （2）∵， ∴， ∴ED：CD， 设点E的坐标为（x，x+2），则点D的坐标为（，）， 将点D的坐标代入抛物线，得（）2（）+2， 解得：x＝1， ∴点E（1，），点D（2，2）， 如图1，连接AD，过点E作EF⊥AD于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则AD∥x轴， ∵点A（0，2）， ∴AD＝2，AE，EF， ∴S△ADE， ∴DH， ∴d（点D，△ABC）； （3）∵d（G，L）≥2， ∴直线L与抛物线G没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线L与抛物线G只有一个交点时，得到直线m，则 方程x2x+2＝﹣x+t只有一个实数根， ∴Δ0， ∴t， 记直线m与抛物线的交点为G，与y轴的交点为点M，则M（0，）， 将直线m沿垂直于直线m的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线L，记为直线n， 此时，GK＝2， 过点G作GL∥y轴，交直线n于点L，则∠LGM＝∠OMG＝45°， ∴∠LGK＝45°， ∴△LGK是等腰直角三角形， ∴LG＝2， 记直线n与y轴的交点为N，则四边形MNLG为平行四边形， ∴MN＝LG＝2， ∴点N的坐标为（0，）， ∴t的取值范围为t． 7．解：（1）把A（1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得： ， 解得：， ∴y＝x2﹣5x+4； （2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4， 设P（m，﹣m+4），则Q（m，m2﹣5m+4）， ∴PQ＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m， ∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ， ∴﹣m2+4m＝4， 解得m＝2， ∴Q（2，﹣2）； （3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下： ∵D是OC的中点，点C（0，4）， ∴点D（0，2）， 由（2）知Q（2，﹣2）， ∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2， ∵A（1，0）， ∴A在直线DQ上，AD，AC， 过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图： ∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ， ∵∠DQE＝2∠ODQ， ∴∠HQA＝∠HQE， ∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称， ∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1， ∴G（3，0）， 由点Q（2，﹣2），G（3，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6， 联立， 解得或， ∴点E的坐标为（5，4）， ∵B（4，0）， ∴BK＝1，EK＝4，BE， ∴， ∵∠EKB＝90°＝∠COA， ∴△EKB∽△COA， ∴∠EBK＝∠CAO， ∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB， ∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点， 设点F的坐标为（t，2t﹣6），则EF， 当△BEF∽△CAD时，有， ∴， 解得t＝4或t＝6（在E右侧，舍去）， ∴F（4，2）； 当△BEF∽△DAC时，， ∴， 解得t＝8.4（舍去）或t＝1.6， ∴F（1.6，﹣2.8）， 综上所述，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）． 8．解：（1）∵C（0，3）， ∴c＝3， 将A（﹣1，0）代入抛物线得：﹣1﹣b+3＝0， 解得：b＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B点的坐标为（3，0）， ∵OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵DF∥y轴， ∴∠DFE＝∠OCB＝45°， ∵DE⊥BC， ∴， ∴， ∴当DF最大时，△DEF的周长最大， 设D点坐标为（m，﹣m2+2m+3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3，代入B点的坐标，得： 3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∴F点的坐标为（m，﹣m+3）， ∴， ∴当时，DF取最大值为， ∴△DEF周长的最大值为； （3）在抛物线上存在M点，使∠AMB＝45°；理由如下： 根据题意得：AB＝4， ①以AB为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在AB的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于AB长度的一半，如图1， ∴Q（1，﹣2）， 以点Q为圆心，QA为半径作⊙Q，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点M（m，﹣m2+2m+3）， 由勾股定理得：（m﹣1）2+（﹣m2+2m+3+2）2＝8， 整理方程，得：（m﹣1）2+（m2﹣2m﹣5）2＝8， 即（m﹣1）2+[（m﹣1）2﹣6]2＝8， 设（m﹣1）2＝a，则原方程为：a+（a﹣6）2＝8， 解得a1＝4，a2＝7， ∴当（m﹣1）2＝4时，m1＝3，m2＝﹣1（与A，B重合，舍去）， 当， ∴点M的坐标为或； ②以AB为边在x轴上方作等腰直角三角形，点Q′为直角顶点，同理Q′点坐标为（1，2），以点Q′为圆心，Q′A为半径作⊙Q′，与抛物线交于M点，点M即为所求．如图2， 设点M（m，﹣m2+2m+3）， 由勾股定理得：（m﹣1）2+（﹣m2+2m+3﹣2）2＝8， 整理方程，得：（m﹣1）2+（m2﹣2m﹣1）2＝8， （m﹣1）2+[（m﹣1）2﹣2）2＝8， 设（m﹣1）2＝a，则原方程为：a+（a﹣2）2＝8， 解得：a1＝4，a2＝﹣1， ∴当（m﹣1）2＝4时，m1＝3，m2＝﹣1（与A，B重合，舍去）， 当（m﹣1）2＝﹣1不符合实际意义，舍去， 综上所述：点M的坐标为或． 9．（1）解：将A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣2； （2）解：将B（1，0）代入，得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为：， 联立直线BC与抛物线得：， 解得：或， ∴， 设，则Q（m，m2+m﹣2）， ∵PB＝PQ， ∴， 整理得：， 即或 解得：m＝1或或m＝﹣5， ∵P是线段BC上一点，B（1，0），， ∴， ∴； （3）证明：设M（x1，x1﹣2，N（x2，x2﹣2）（x1≠1，x2≠1）， 直线MN的解析式为y＝kx+n， 即， 解得：， ∴直线MN的解析式为：y＝（x1+x2+1）x﹣（2+x1x2）， 直线BM的解析式为y＝k′x+n′， 即， 解得：， ∴直线BM的解析式为：y＝（x1+2）x﹣（2+x1）， 当x＝0时，y＝﹣（2+x1）， ∴E（0，﹣2﹣x1）， 直线BN的解析式为y＝k″x+n″， 即， 解得：， ∴直线BN的解析式为：y＝（x2+2）x﹣（2+x2）， 当x＝0时，y＝﹣（2+x2）， ∴F（0，﹣2﹣x2）， ∴EF＝|x1﹣x2|， ∵△EBF∽△EOB， ∴， ∵， ∴， 即， ∴x1x2＝﹣5﹣2（x1+x2） ∴y＝（x1+x2+1）x﹣（2+x1x2）＝（x1+x2+1）x﹣[2﹣5﹣2（x1+x2）]＝（x1+x2）（x+2）+x+3， ∴当x＝﹣2时，y＝1， ∴直线MN经过一个定点（﹣2，1）． 10．解：（1）设抛物线表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）， 则y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）MN+MQ是为定值8，理由： 点P（m，m2+2m﹣3）， 由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝（m﹣1）（x+3）， 当x＝﹣1时，y＝（m﹣1）（﹣1+3）＝2m﹣2＝﹣MN， 同理可得，yQ＝﹣2（m+3）＝﹣MQ， 则MN+MQ＝2（m+3）﹣2m+2＝8为定值； （3）根据题意可得F（m，0）（m＞﹣3）， ∵F（m，0），A（﹣3，0）， ∴AF＝m+3， ∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣4）， ∴AC2， 设D（a，0）， ∵AD＝CD， ∴（a+3）2＝（﹣1﹣a）2+（﹣4）2， ∴a＝2， ∴D（2，0）， ∴直线CD的解析式为yx， 解得或， ∴P（，）， ∴CP， 设AE＝y，则CE＝AC﹣AE＝2y， ∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°， ∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°， 又∵∠PEF＝∠CAB， ∴∠AFE＝∠CEP， ∵∠ACP＝∠BAC，即∠EAF＝∠PCE， ∴△AEF∽△CPE， ∴，即， ∴m， ∵0， ∴当y时，m有最大值为， ∴﹣3＜m． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标． （3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值． 2．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．①用含求t的式子表示线段MN的长；②当t取何值时，MN的长度为4． （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标（写出简要求解过程）． 3．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 5．已知抛物线y＝ax2﹣4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）若点P为抛物线上点，当PB＝PC时，求点P坐标； （3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标． 6．【阅读理解】对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2的图象与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线G：y＝ax2+bx+c的图象经过A，B，C三点． （1）求抛物线G的表达式； （2）点D为第一象限抛物线上的一点，连接CD交AB于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△CBE的面积为S2，若，求d（点D，△ABC）的值； （3）已知坐标系中有一直线L：y＝﹣x+t，若d（G，L）≥2，求t的取值范围． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴交于C（0，3）． （1）求抛物线的解析式． （2）点D是直线BC上方抛物线上的一动点，DE⊥BC，DF∥y轴，在抛物线上是否存在一点D使△DEF的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． （3）在抛物线上是否存在M点，使∠AMB＝45°，若存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线经过点B，交抛物线于另一点C．P是线段BC上一点，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线于点Q，且PB＝PQ，求点P的坐标； （3）M，N是抛物线上的动点（不与点B重合），直线BM，BN分别交y轴于点E，F，若△EBF∽△EOB，求证：直线MN经过一个定点． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），C为抛物线顶点，P是抛物线上点B，C之间的一个动点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接AP交对称轴于点N，连接BP并延长交对称轴于点Q．当点P运动时，MN+MQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）如图3，连接AC，连接CP并延长交x轴于点D，且DA＝DC．E是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F．设点F的横坐标为m，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$