7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

1.离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2.均值的性质： 3.随机变量X服从两点分布，则有 温故知新： 2 人教A版2019选择性必修第三册 7.3.2 离散型随机变量的方差 第七章《随机变量及其分布》 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图. 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X O 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 1.离散型随机变量的方差 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为 (x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，‧ ‧ ‧，(xn－E(X))2 所以偏差平方的平均值为 我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)表示. (x1－E(X))2P1＋(x2－E(X))2 P2＋‧ ‧ ‧＋(xn－E(X))2Pn 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 1.离散型随机变量的方差 一组数据的平均数、方差与离散型随机变量的均值、方差公式对比 若一组数据为x1，x2，‧‧‧，xn，则该数据的平均数和方差公式分别为 问题2：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 解： ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 变式1：已知随机变量X的分布列如下表所示，求D(X). 解： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 例5：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差 解：随机变量X的分布列为 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 证明： 例5：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 解法2：随机变量X的分布列为 2.方差的性质 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同? 方差的性质： 标准差的性质： 变式2：随机变量X的分布列如下表所示，求E(2X－1)， D(2X－1)，σ(2X). 解： 均值的性质： 方差的性质： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 解： 1.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X＋7). 请看课本P70：练习1 请看课本P70：练习2 1.离散型随机变量的方差： 2.方差与标准差的性质： 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 课堂小结： 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 例6：投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 解： 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? ∵ E(X)>E(Y)，∴投资股票A的期望收益较大. ∵D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高. 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度. 在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等. 3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位:cm)的分布列如下： 解： 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证. ∵ D(X)>D(Y)，∴X的分布离散程度较大. 请看课本P70：练习3 1.某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润－300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1．求每部手机获利的均值和方差． X的分布列为 X 100 0 －300 P 0.6 0.3 0.1 请看课本P71：习题7.3 2.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是多少元? 用表格表示X的分布列为： X 0 2 10 50 100 1000 P 0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005 请看课本P71：习题7.3 即1张彩票可能中奖金额的均值是2元． 请看课本P71：习题7.3 4.在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0． 解：设选对得分为a，选错得分为b，则得分X的分布列为 X a b P 0.25 0.75 请看课本P71：习题7.3 6.有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？ 解：设先猜A谜语奖金为X元，则X的分布列为 X 0 10 30 P 0.2 0.4 0.4 设先猜B迷语奖金为Y ，则Y的分布列为 Y 0 20 30 P 0.5 0.1 0.4 请看课本P71：习题7.3 7.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列 X －1 0 1 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 试比较甲、乙两种品牌手表的性能． 请看课本P71：习题7.3 $$