6.2.2 排列数 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二人教A版高中数学选择性必修第三册第六章 6.2.2 排列数 ——STR课堂教学模式 1.分类加法计数原理:如果完成一件事情有k类不同方案,在第1类方案中有种不同方法,在第2类方案中有种不同方法,……,在第k类方案中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同方法。 2.分步乘法计数原理:如果完成一件事情有k个步骤,做第1步有种不同方法,做第2步有种不同方法,……, 做第k步有种不同方法,那么完成这件事共有种不同方法。 3.排列:从个不同的元素中取出个元素,并按一定的顺序排成一列,叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列(arrangement)。 环节一、知识回顾 1.能根据特殊到一般的数学思想猜想、归纳排列数公式,发展数学抽象素养; 2.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式,发展逻辑推理素养; 3.能运用排列和排列数公式解决问题,发展数学运算素养。 环节二、学习目标 环节三、自学内容:P2-5(10分钟) 【学习任务一】 通过P17“排列数”的概念和“探究”推导出“排列数公式”,从特殊()到一般(). 【学习任务二】 理解“全排列”、“阶乘”;通过理解P19“例3”,学会计算“排列数”;并通过“思考”推导“排列数公式”的阶乘形式. 【学习任务三】 根据例4的三种解法,体会从不同角度分析问题,检验不同思路的准确性,培养思维的灵活性. 从个不同的元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数,记为 环节四、小组展示(1)(5分钟) 概 念 例如:前面问题1是从3个不同元素中取出2个元素的排列数, 表示为:=。 前面问题2是从4个不同元素中取出3个元素的排列数, 表示为:=。 问题1 排列与排列数的区别与联系。 例如,从、中任取两个的排列有 ,其中每一个都叫做一个排列。也就是说,从、中任取两个可以组成6个排列,因此从、b、c中任取两个进行排列的排列数为6。 分析: 从个不同的元素中取出个元素,并按一定的顺序排成一列,叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列。而排列数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数,它是一个自然数,表示不同排列的总数。 特殊化:例如求排列数 分析:假定有排好顺序的两个空位,从n个不同的元素中取出2个元素去填空,每个空位填上一个元素,一种填法就是一个排列,一个排列也对应一种填法,所以不同填法的总数就是不同排列的总数。 n种 (n-1)种 解:从个不同的元素中取出2个元素填空,可以分为两个步骤: 第一步,从个不同的元素中任取1个元素填在第一个空位,有种取法; 第二步,从剩下的个不同的元素中任取1个元素填在第二个空位,有种取法。 根据分步乘法计数原理,共有种不同的填法,即共有种排法。 一般化 探究 从个不同的元素中取出个元素的排列数是多少? 所以,从个不同元素中取出2个元素的排列数=. 同理,从个不同元素中取出3个元素的排列数 =. 探究 从个不同的元素中取出个元素的排列数是多少? 探究 从个不同的元素中取出个元素的排列数是多少? n种 (n-1)种 (n-2)种 第1位 第2位 第3位 第m位 分析:假定有排好顺序的m个空位,从n个不同的元素中取出m个元素去填空,每个空位填上一个元素,一种填法就是一个排列,所以不同填法的总数就是不同排列的总数。 根据分步乘法计数原理, n+1 n+1 n+1 n+1 =(n-m+1) (n-0)种 (n-1)种 (n-2)种 [n-(m-1)] (n+1-m) ,并且 这个公式叫排列数公式 例3 计算: 从个不同的元素全部取出的排列,叫做个元素的一个全排列. (3) (1) = n的阶乘 (4) 环节五、小组展示(2)(5分钟) 思考:由例3可以看出,,即.观察这两个结果,从中发现它们的共性了吗? 乘积式 阶乘式 分析: 在0~9这10个数字中,因为0不能在百位上,其他9个数字可以在任意数位上,所以0是一个特殊的元素,百位是一个特殊位置。 例4 用这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 种 解法1: 如果优先考虑百位上的数字,可以分二步完成: 第一步,从1~9中取出1个数字填在百位上,有种取法; 第二步,从剩下的9个数字中个取出2个数字填在十位和个位上,有种取法. 根据分步乘法计数原理,所求的三位数的个数为: . 环节六、小组展示(3)(5分钟) 百位 十位 个位 种 例4 用这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法2: 如果优先考虑三位数是否含0,可以分为三类情况: 第一类,三位数不含0,从1~9中取出3个数字按一定的顺序排成一列,从左到右分别填在三个空位上,有种填法; 第二类,个位上的数字是0,从1~9中取出2个数字按一定的顺序排成一列,从左到右分别填在百位和十位上,有种填法; 第三类,十位上的数字是0,从1~9中取出2个数字按一定的顺序排成一列,从左到右分别填在百位和个位上,有种填法。 根据分类加法计数原理,共有++种不同的填法,一种填法就是一个三位数,也就是可以组成648个没有重复数字的三位数。 百位 十位 个位 三位数不含0 百位 十位 个位 0 个位数是0 百位 十位 个位 0 十位数是0 例4 用这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 分析:先求出从10个数中取出3个数的排列数,然后减去其中百位是0的排列数,就得到没有重复数字三位数的个数。 种 种 0 第一个数字不是0 第一个数字是0 解法3: 从中取出3个数字按一定顺序排成一列,从左到右填在三个空位上,有种填法。如果第一个空位上的数字是0,则从剩下的9个数字中取出2个数字按一定的顺序排成一列,填在第二和第三个空位上,有种填法。如果第一个空位上的数字不是0,就有种填法,每一种填法就是一个三位数,所求三位数个数为648。 课堂练习 教科书P20:第1-3题. 环节七、尝试运用 (5分钟) 课堂练习 教科书P20:第1-3题. 环节八、小组展示 (5分钟) 请3个小组安排代表书写解答过程, 各自选一题 环节九、组内核对 (2分钟) 练习2 (1)求证。 解法1:因为 所以 , 两式得证。 解法2:因为,, , 所以 得证。 分析: 排列数公式有两种表示:乘积式,阶乘式。 练习2 (1)求证。 解法3:表示“从个不同元素中取出个元素”的所有排列的个数,表示“先从个不同元素中取出一个元素放在第一个空位上,再从剩下的个元素中取出个元素排成一列,从左到右放在剩下的个空位上”的所有排列的个数,两种方法得到的排列是相同的,所以排列数也相同:。 分析: 根据排列的定义及排列数公式的意义进行分析。 第1位 第2位 第3位 第m位 n种 练习3 一个火车站有8股岔道,如果每股岔道只能停放一列火车,现要停放4列不同的火车,共有多少种不同的停放方法? 解法1: 选出4股岔道可以分四步完成: 第一步,先从8股岔道中选一股停放第一列火车,有8种选法; 第二步,从剩下的7股岔道中选一股停放第二列火车,有7种选法; 第三步,从剩下的6股岔道中选一股停放第三列火车,有6种选法; 第四步,从剩下的5股岔道中选一股停放第四列火车,有5种选法。 根据分步乘法计数原理,共有=1680种不同的停放方法。 分析: 因为每股岔道只能停放一列火车,岔道的数量多于火车的数量,所以可以考虑从8股岔道中选出4股分配给4列火车。一种分配方法就是一种停放方法,一种停放方法对应着一种分配方法,所以不同的分配方法数就是不同的停放方法数。 8种 火车1 火车2 火车3 火车4 7种 6种 5种 练习3 一个火车站有8股岔道,如果每股岔道只能停放一列火车,现要停放4列不同的火车,共有多少种不同的停放方法? 解法2: 假定有排好顺序的4列火车,8股岔道分别标号为,从8个标号中任取4个进行排列,按排列的顺序从左到右分配给4列火车。因为每一个排列就是一种停放方法,每一种停放方法对应一个排列,所以共有种不同的停放方法。 火车1 火车2 火车3 火车4 任取4个进行排列 按排列的顺序分配 环节四、回顾过程,提炼方法 1.本节课我们学习了哪些内容? 2.我们是怎样探究排列数公式的? (1)从特殊到一般,归纳推导排列数公式; (2)从一般到特殊,应用排列数公式计数。 3.应用排列数公式时有哪些注意事项? (1)分析问题中要完成的“一件事”是什么,判断是否与排列要完 成的“一件事”一致; (2)分析限制条件,并以限制条件为标准进行分步或者分类计数。 排列数、排列数公式、全排列、阶乘等。 作业 教科书P26习题6.2:第1,8,11题. 环节一、创设情境,铺垫方法 问题1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,共有多少种不同的挂法? 左 右 3种 2种 解:完成这件事情可以分为两个步骤: 第一步,从3幅不同的画中选出1幅挂在左边墙上的指定位置,有3种选法; 第二步,从剩下的2幅不同的画中选出1幅挂在右边墙上的指定位置,有2种选法。 根据分步乘法计数原理,共有3x2=6种不同的挂法。 问题2 从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名参加一项活动,分别安排参加上午和下午的活动,共有多少种不同的排法? 上午 下午 4种 3种 解:完成这件事情可以分为两个步骤: 第一步,从4名同学中选出1名安排参加上午的活动,有4种选法; 第二步,从剩下的3名同学中选出1名安排参加下午的活动,有3种选法。 根据分步乘法计数原理,共有4x3=12种不同的排法。 $$