07.电磁场计算专项复习-复合场-2024-2025学年高考物理二轮专题复习讲义

07.电磁场计算专项复习-复合场 课前检测 1 .如图所示，金属板 M、 N正对水平放置，相距为 d，绝缘水平挡板 P与 M、 N的尺寸相同， N接地（接地电势为零）， M板的电势为（>0）， N、 P间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B；质量为 m、电荷量为 q（ q>0）的粒子自 N的左上方、距离 N为 h的位置由静止释放，通过小孔 S后粒子恰好不能打到挡板 P上，不计粒子重力，则粒子通过小孔时的速度大小 v和 N、 P间的距离 L分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 带电粒子在组合场中的运动 2023年辽宁卷 14 13 中 2021年全国甲卷 25 20 中 2023年山东卷 17 14 难 带电粒子在复合场中的运动 2021年浙江卷 22 10 中 2021年天津卷 12 18 中 2023年江苏卷 16 15 难 目标解读 知识导图 课堂目标 1. 能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动； 2.了解带电粒子在匀强磁场中运 动的偏转及其应用。 3. 会运用相关力学规律来求解带电质点在重力场、电场、磁场中的运动问题。 课程重难点 1. 能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动；了解带电粒子在匀强磁场中运 动的偏转及其应用。 2. 会运用相关力学规律来求解带电质点在重力场、电场、磁场中的运动问题尤其是现代六大科技。 一、 带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速与偏转，与在磁场中偏转两种运动有效组合在一起。 （一） 先电场后磁场 经典例题 2 .如图，在直角三角形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压加速后，沿平行于轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在边上某点以垂直于轴的方向射出。已知点为坐标原点，点在轴上，与轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为，不计重力。求： ( 1 )带电粒子的比荷。 ( 2 )带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间。 3 .如图所示的平面直角坐标系，在第象限内有平行于轴的匀强电场，方向沿轴正方向；在第象限的正三角形区域内有匀强磁场，方向垂直于平面向里，正三角形边长为，且边与轴平行．一质量为、电荷量为的粒子，从轴上的点，以大小为的速度沿轴正方向射入电场，通过电场后从轴上的点进入第象限，又经过磁场从轴上的某点进入第象限，且速度与轴负方向成角，不计粒子所受的重力．求： ( 1 )电场强度的大小． ( 2 )粒子到达点时速度的大小和方向． ( 3 )区域内磁场的磁感应强度的最小值． 题型总结 （1）先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图甲、乙所示） 提问：在电场中如何利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度？        （2）先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图丙、丁所示） 在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 巩固联系 4 .如图所示，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经电压为 U的加速电场加速后在纸面内运动，自 O点与磁场边界成角射入磁感应强度大小为 B方向垂直于纸面向里的匀强磁场｡已知甲种离子从磁场边界的 N点射出；乙种离子从磁场边界的 M点射出； OM长为 L， ON长为4 L，不计重力影响和离子间的相互作用。求：（1）甲种离子比荷；（2）乙种离子在磁场中的运动时间｡ 5 .如图所示，在直角坐标系的轴右侧有半径为的圆形有界磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里，圆与轴相切于坐标原点，在轴与之间有沿轴负方向的匀强电场，在点（）沿轴正方向射出质量为、电荷量为、初速度大小为的带正电的粒子，粒子经电场偏转后刚好从点进入磁场，经磁场偏转后，以垂直于轴方向再次进入电场，不计粒子重力，求： ( 1 )匀强电场的电场强度大小； ( 2 )匀强磁场的磁感应强度大小； ( 3 )带电粒子在电场、磁场中运动的总时间． 变式训练 6 .如图所示，在 xOy平面的第二象限内存在沿 y轴负向的匀强电场，在 x≥0区域中存在垂直于平面向里的匀强磁场。电场中 P点坐标为（- L， L），带电粒子 a自 P点以初速度 v0水平向右射入电场，一段时间后，与静止在坐标原点的不带电粒子 b相碰并立即结合成粒子 c，此后 c又恰好回到了 P点，已知 a、 b的质量均为 m， a的电荷量为 q，不计粒子重力。求：（1）电场强度 E的大小；（2）碰撞过程损失的机械能；（3）磁感应强度 B的大小。 7 .如图所示， xOy坐标系中，第三象限存在沿 x轴正向的匀强电场，第四象限与 x轴和 y轴相切的半径为 R=0.2m的圆形区域内存在匀强磁场 B1，磁感应强度 B1=0.1T，方向垂直纸面向里， x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场 B2，磁感应强度 B2=0.3T。在第三象限 x=-40cm， y=-8cm至-36cm间存在粒子源，比荷 k=108C/kg的相同带正电粒子由粒子源无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场，其中正对圆心入射的粒子经 B1偏转后恰好以垂直于 x轴的方向经切点 P点进入磁场 B2，带电粒子最终都打到放置在 x轴上的收集板上。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）第三象限中加速电场的电场强度 E；（2）收集板最小长度 L；（3）带电粒子在磁场 B1、 B2中运动的总时间范围（用含 π的分数式表示）。 8 .如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电粒子，带电粒子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为 B，区域宽度均为 d。粒子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场源漂移管，检测器能测出粒子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为 U，漂移管长度为 L、直径为 d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电粒子重力和粒子间的相互作用。（1）若带电粒子的质量为 m，电荷量为 q，求该粒子在磁场Ⅰ区域运动轨迹的半径；（2）若测得某一粒子在漂移管中运动的时间为 t，求该粒子的比荷为多少；（3）求该装置能检测粒子的比荷的最大值。 学生总结    真题演练 9 .如图所示，在区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在区域内存在沿轴正方向的匀强电场．质量为、电荷量为（）的粒子甲从点（，）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点（，）、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙．（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应） ( 1 )求电场强度的大小． ( 2 )若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在区域内加上与区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间． ( 3 )若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离． 10 .如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍．金属板外有一圆心为 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场．质量为 、电荷量为 的粒子沿中线以速度 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 点飞出电场，并沿 方向从图中 点射入磁场．已知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力． ( 1 )求金属板间电势差 ． ( 2 )求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 ． ( 3 )仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中 点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长．定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心 ． （二） 先磁场后电场 经典例题 11 .如图所示，在坐标平面的第一象限内有一沿轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场，现有一质量为、电量为的粒子（重力不计）从坐标原点射入磁场，其入射方向与的正方向成角．当粒子运动到电场中坐标为的点处时速度大小为，方向与轴正方向相同．求： ( 1 )粒子从点射入磁场时的速度． ( 2 )匀强电场的场强和匀强磁场的磁感应强度． ( 3 )粒子从点运动到点所用的时间． 12 .如图所示，为正交坐标系的原点，的空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里．一粒子质量为，带正电，从点以大小为的速度进入且的空间（即图中的满足），垂直于磁场，不计粒子的重力．求： ( 1 )粒子在磁场中运动的半径． ( 2 )粒子可以沿两条不同的路径到达坐标系第二象限的某一位置（图中未画出），且长路径耗时是短路径耗时的两倍，求到坐标原点的距离． ( 3 )若的空间存在电场，电场强度为，方向沿轴正方向，求粒子只经过一次电场就能回到点对应的的值（可用三角函数表示）． 题型总结 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： （1）进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反（如图甲所示）。 （2）进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直（如图乙所示）。                                                                                                                                                                                                                                                       甲                                                                                                                                                                                                    乙 巩固训练 13 .如图所示，在坐标系的第Ⅰ象限内存在方向与坐标平面平行且与轴夹角的匀强电场，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标原点出发，在坐标平面内沿与轴正方向夹角的方向以速率射入磁场，并从轴上的点离开磁场．已知第Ⅰ象限内匀强电场的电场强度大小，不计粒子所受重力以及粒子间的相互作用． ( 1 )求点的纵坐标． ( 2 )求粒子从原点出发到第二次经过点所用的时间． ( 3 )若撤去第Ⅰ象限内的匀强电场，在整个坐标平面内加上一方向沿轴负方向、电场强度大小的匀强电场，在第Ⅰ、Ⅳ象限也加上方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为，其他条件不变，求粒子运动过程中的最小动能． 14 .如图所示，在 x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场。在 x轴下方有沿 y轴正方向的匀强电场。一个质量为 m、电荷量为＋ q、初速度为 v的带电粒子从 a（0， d）点处沿 y轴正方向开始运动，一段时间后，粒子速度方向与 x轴正方向成45°角进入电场，经过 y轴上 b点时速度方向恰好与 y轴垂直，带电粒子重力不计。求： （1） 匀强磁场的磁感应强度大小； （2） 匀强电场的电场强度大小； （3） 粒子从 a点开始到第三次经过 x轴的时间。     变式训练 15 .如图所示，平面直角坐标系 的第二象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场．一质量为 、带电荷量为 的粒子从 点以速度 垂直 轴射入磁场，从 轴上的 点射入第一象限时，立即在第一象限内施加一与粒子速度方向垂直的匀强电场，使粒子在第一象限内做类平抛运动且垂直 轴射出电场．不计粒子受到的重力，电场线对应直线的斜率记为 ． ( 1 )求匀强电场的电场强度大小 与斜率 的关系． ( 2 )若 ，求粒子射出匀强电场时的横坐标 ． ( 3 )当 取多少时，粒子在匀强电场中运动的时间最长，最长时间为多少？ 学生总结    真题演练 16 .某离子实验装置的基本原理如图甲所示．Ⅰ区宽度为，左边界与轴垂直交于坐标原点，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为，左边界与轴垂直交于点，右边界与轴垂直交于点，其内充满沿轴负方向的匀强电场．测试板垂直轴置于Ⅱ区右边界，其中心与点重合．从离子源不断飘出电荷量为、质量为的正离子，加速后沿轴正方向过点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心 ．已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与轴正方向的夹角为．忽略离子间的相互作用，不计重力． ( 1 )求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小． ( 2 )求Ⅱ区内电场强度的大小． ( 3 )保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为（数值未知）方向相反且平行轴的匀强磁场，如图乙所示．为使离子的运动轨迹与测试板相切于点，需沿轴移动测试板，求移动后到的距离． （三） 先后多个电场磁场 经典例题 17 . 如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场I，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B 0的匀强磁场Ⅱ．一质量为m,电荷量为+q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R 0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场I中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求： （1）带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v 0； （2）电场强度的大小E； （3）求粒子在磁场Ⅰ区的运动时间t 1。 题型总结 “4步”突破带电粒子在组合场中的运动问题第一步：明性质 第二步：定运动 第三步：用规律 第四步：找关系 巩固练习 18 .如图所示，、为两块等量异种电荷的平行金属板，、为板上正对的小孔，板右侧有两个宽度均为的匀强磁场区域，磁感应强度均为，方向分别为单是垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与、共线的点为原点，向上为正方向建立轴．板左侧电子枪发射出的热电子经小孔进入两板间，电子的质量为，电荷量为，初速度忽略， ( 1 )当两板间电势差为时，求从小孔射出的电子的速度． ( 2 )求两金属板间电势差在什么范围内，电子不能穿过磁场区域打到荧光屏上． ( 3 )若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试定性地画出电子运动的轨迹． ( 4 )求电子打到荧光屏上的位置坐标和金属板间电势差的函数关系． 学生总结    真题演练 19 .如图所示，在，的区域中，存在沿轴正方向、场强大小为的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场．一个质量为，电量为的带正电粒子从中点进入电场（不计粒子重力）． ( 1 )若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直第二次离开电场后，垂直再次进入电场，求磁场的磁感应强度的大小． ( 2 )若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从点沿轴正方向第一次进入电场，离开电场后从点第二次进入电场，在电场的作用下从点离开． ① 求改变后电场强度的大小和粒子的初速度． ② 通过计算判断粒子能否从点第三次进入电场． （四） 带电离子在交变电磁场中的运动 经典例题 20 .如图甲所示，质量为、带电荷量为的带电粒子在时刻由点以初速度垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场磁感应强度大小不变，方向周期性变化，如图乙所示（垂直纸面向里为正方向）；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同，均为．粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过的时刻均为的整数倍，则：       ( 1 )粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？ ( 2 )若初始位置与第四次经过时的位置距离为，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值（初始位置记为第一次经过）． 21 .加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大作用，回旋加速器是其中的一种。如图1为回旋加速器的工作原理图。D 1和D 2是两个中空的半圆金属盒，分别和一高频交流电源两极相连。两盒处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，在位于D 1盒圆心附近的A处有一个粒子源，产生质量为m、电荷量为+q的带电粒子。不计粒子的初速度、重力和粒子通过两盒间的缝隙的时间，加速过程中不考虑相对论效应。 （1）若已知半圆金属盒的半径为R，请计算粒子离开加速器时获得的最大动能E km； （2）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率； （3）某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图2所示的轨迹图，他认为两个D形盒中粒子加速前后相邻轨迹间距Δd是相等的。请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会有怎样的变化趋势。 题型总结 “4步”突破带电粒子在交变 场中的运动问题 第一步：读图 第二步：受力分析 第三步：过程分析 第四步：建立联系 巩固联系 22 .如图甲所示，真空中有一粒子源，连续不断地放射出带正电的粒子．粒子的初速度很小（可视为零）．粒子经加速电压加速后，从点沿着偏转电场中线射入偏转电场，两偏转极板间的距离为，所加周期性电压如图乙所示．偏转极板右侧有宽度为的足够长匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外．磁场右边界是一个足够大的光屏，所有到达光屏的粒子均不再反弹．粒子飞过偏转极板间的时间极短，可认为每个粒子飞过的这段时间里偏转电压几乎不变．已知时刻射入偏转极板间的粒子，轨迹恰好与光屏相切；偏转电压为时射入偏转极板间的粒子恰好沿着偏转极板上边缘飞出电场．不计粒子重力及粒子之间的相互作用力．求： 　　 ( 1 )偏转极板的长度． ( 2 )磁场右侧光屏上有粒子击中的范围的长度． 23 .加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大作用，回旋加速器是其中的一种．如图1为回旋加速器的工作原理图．和是两个中空的半圆金属盒，分别和一高频交流电源两极相连．两盒处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，在位于盒圆心附近的 A处有一个粒子源，产生质量为、电荷量为的带电粒子．不计粒子的初速度、重力和粒子通过两盒间的缝隙的时间，加速过程中不考虑相对论效应． ( 1 )若已知半圆金属盒的半径为，请计算粒子离开加速器时获得的最大动能 ( 2 )若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率； ( 3 )某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图2所示的轨迹图，他认为两个D形盒中粒子加速前后相邻轨迹间距是相等的．请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会有怎样的变化趋势． 学生总结    二、 带电粒子在叠加场中的运动 （一） 考虑重力的情况 经典例题 24 .如图所示，在竖直平面内，水平虚线下方存在方向竖直向下、电场强度大小的匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度大小为 B的匀强磁场。从 M点正上方以初速度水平抛出一质量为 m、电荷量为的带电小球，测得小球进入复合场区前水平位移和竖直位移大小之比为2∶1，求：（1）小球第一次到达分界线时的速度；（2）已知小球第二次到达分界线时在 M点右边，则小球第二次到达分界线时距 M点的水平距离；（3）当小球第二次离开分界线时，在分界线上方出现电场强度大小、方向水平向左的匀强电场，则小球第三次到达分界线时距离 M点的水平距离以及第二次离开分界线后的最小速率。 25 .如图所示，直角坐标系所在竖直平面内，第一、二象限中分布着沿 x轴负方向的匀强电场，第三、四象限中分布着沿 y轴正方向的匀强电场；第三、四象限还分布着匀强磁场（图中未画出）．一质量为 m、带电量为 q的正电小球自坐标为的 A点由静止出发，进入第三象限后恰能作匀速圆周运动并垂直于 y轴射入第四象限，已知，重力加速度为 g．求： （1） 小球第一次通过 x轴时的速度； （2） 匀强电场场强和匀强磁场磁感应强度 B大小的比值； （3） 小球从第四象限穿出后，经过一段时间会再次到达 x轴上的 N点（图中未标出），求小球从出发运动至 N的时间． 题型总结 “三步”解决相关问题 第一步 受力分析 [关注场的叠加] ↓ 电 场、磁场共存 电场、重力场共存 磁场、重力场共存 电磁、磁场、重力场共存 第二步 运动分析 [构建运动模型] ↓ 合力为零→匀速直线运动① 合力恒定→匀变速直线运动或曲线运动② 合力大小恒定且方向始终垂直于速度→匀速圆周运动③ 合力复杂多变→一般曲线运动④ 第三步 选择规律 [力或能的观点] 运动①→平衡条件 运动②→动能定理或牛顿运动定律、运动学公式 运动③→向心力公式等 运动④→动能定理或能量守恒定律 巩固练习 26 .如图所示，在竖直虚线左侧、水平虚线下方有范围足够大的竖直向上的匀强电场和水平向外的匀强磁场，电场的电场强度大小为，磁场的磁感应强度未知。在距离为的点将带电小球以的初速度向右水平抛出，小球在下方做匀速圆周运动，已知重力加速度为。 ( 1 )求带电小球的比荷，并指出小球带电性质。 ( 2 )若小球从点抛出后最后刚好到达上与点等高的点，求间最小距离及对应磁场的磁感强度的值。 ( 3 )已知磁场磁感应强度为，若撤去电场，小球从点抛出后，在磁场中运动过程距离的最大距离为(该点在左侧)，求小球运动经过此点时加速度。 学生总结    （二） BE复合 经典例题 27 .如图所示，在长方形虚线框区域内，存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场，电场强度，磁感应强度为 ． 1为边中点， 1 2为长方形水平中心线，照相底片与虚线 1 2垂直且离边．现有一质量为电荷量为的带正电粒子从 1点以速度（未知）水平射入时，带电粒子沿虚线 1 2做匀速直线运动．保持带电粒子从 1点水平射入的速度不变，若撤去电场，带电粒子恰好经过点后打在照相底片上的点；若撤去磁场，带电粒子打在照相底片上的点．已知，，（不计粒子重力和空气阻力）．求： ( 1 )从 1点水平射入的速度； ( 2 )带电粒子由 1点运动至点的时间； ( 3 )带电粒子打在照相底片上、两点间的距离． 28 .“物理模型”在物理学的研究和学习中起着非常重要的作用．比如“金属霍尔效应”、“磁流体发电机”与“电磁流量计”本质上都和导体切割磁感线产生感应电动势是相同的物理模型： ( 1 )如图所示，长度为的金属棒处在磁感应强度为的匀强磁场中，金属棒在外力的作用下以速度匀速向右运动，试证明金属棒产生的电动势，并说明金属棒的哪一端电势高． ( 2 )对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻的理解其物理本质．在上例中，还已知金属棒的横截面积为、单位体积内有个自由电子，电子电量为．当该金属棒通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为．试根据安培力与洛伦兹力的关系推导电流的微观表达式． ( 3 )将以上模型还原为一个实际问题．如图所示，两端开口、内壁光滑直管质量为，中央有绝缘隔板，放在光滑水平面上．中央隔板两侧有带等量正负电荷小球、，质量均为，带电量均为．处在磁感应强度为，方向竖直向下的匀强磁场中，不计二者间库仑力．现给系统垂直直管的水平初速度，设以后运动过程中小球始终在管内．求小球的最大速度和小球向右离开初位置的最远距离． 知识点总结 装置 原理图 规律 速度选择器       ，即 ，粒子做匀速直线运动 磁流体发电机                                                                                                                                                                                                                                                                            时稳定， ， 电磁流量计 ，所以                                   霍尔元件                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            巩固练习 29 .一种测量带电粒子荷质比的装置如图所示，速度选择器的两板间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为和。紧邻速度选择器右侧，在宽度为 L的虚线区域内存在不同方向的匀强磁场或匀强电场。带电粒子重力及相互作用力均可忽略不计。（1）求可以沿直线通过速度选择器的粒子速度的大小 v；（2）若在虚线区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，带电粒子穿出磁场区域时，速度方向偏转了 θ角，求粒子的荷质比；（3）若在虚线区域内存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 E，并且在电场区域右侧 L处平行于边界放置荧光屏，粒子穿出电场区域后打在荧光屏上的偏移量为 Y，求粒子的荷质比。 30 .如图所示为质谱仪的原理图．电荷量为 q、质量为 m的带电粒子从静止开始经过电压为 U的加速电场后，进入粒子速度选择器．选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强电场的场强为 E．带电粒子能够沿直线穿过速度选择器，从 G点沿垂直于 MN的方向射入偏转磁场．偏转磁场是一个以直线 MN为边界、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为．带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片的 H点．带电粒子的重力忽略不计．求： ( 1 )粒子从加速电场射出时速度 v的大小； ( 2 )粒子速度选择器中匀强磁场的磁感应强度的大小和方向； ( 3 )实验过程中，为了提高测量精确度，需要使 GH值增大．某次实验只增大加速电压 U后，发现没有达到实验目的，请你通过推导给出合理的操作建议． 31 .工业上常电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）．它的优点是测量范围宽、反应快，易与其他自动控制装置配套． 如图1是电磁流量计的示意图．圆形管道由非磁性材料制成，空间有匀强磁场．当管道中的导电液体流过磁场区域时，用仪表测量出放置在管道壁上的、两个电极间的电势差，就可以知道管道中液体的流量．已知电极、间的距离等于管道的直径，磁感应强度为 ．假定管道中各处液体的流速相同，且液体始终充满整个管道． ( 1 )液体流动方向和磁场方向如图1所示，判断、哪个电极电势高． ( 2 )推导证明电极、间的电势差与流量有正比关系，即；并说明：用某一种导电液体标定仪表刻度盘，也适用于其他导电液体． ( 3 )理想情况下，在磁场恒定不变时电压的测量是稳定的，但导电液体在稳定磁场长时间的作用下，液体中离子与电极接触的表面处会形成极化电场，干扰电压的测量．某一电磁流量计实际使用的磁场，其磁感应强度与时间的关系如图2中虚线所示，仪表只在每一个周期的特定时间段内测量、间的电势差，用于显示液体流量，请在图2中用实线在图线上标出这些时间段，并简要说明选定时间段的依据． 32 .如图所示是磁流体发电的示意图．平行金属板、 两板相距为，之间有一个很强的匀强磁场，将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带电量为的正、负带电离子）沿垂直于的方向射入磁场， 、两板间便产生电压．开关闭合前、后，等离子体在管道进、出口两端压强差的作用下, 均以恒定速率沿图示方向运动．忽略重力及离子间的相互作用力． ( 1 )图中、板哪一个是电源的正极． ( 2 )在推导磁流体发电机的电动势时，有多种方法．例如：将发电机内部的等离子体看做长度为，以速度切割磁感线的“导体棒”，可得．请你从另外两个角度证明上述结论． ( 3 )开关闭合，电路稳定后，电源的内阻为，外电路电阻为，求两板间某运动的带电离子沿电流方向受到的阻力． 33 .利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域． ( 1 )如图1，将一半导体薄片垂直置于磁场中，在薄片的两个侧面、间通以电流时，另外两侧、间产生电势差，这一现象称为霍尔效应．其原因是薄片中能够自由移动的电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是在、间产生霍尔电压． 已知半导体薄片的厚度为，自由电荷的电荷量为，求薄片内单位体积中的自由电荷数． ( 2 )利用霍尔元件可以进行微小位移的测量．如图2所示，将两块完全相同的磁体同极相对放置，在两磁体间的缝隙中放入图1所示的霍尔元件，当霍尔元件处于中间位置时，霍尔电压为，将该点作为位移的零点．当霍尔元件沿着轴方向移动时，则有霍尔电压输出． 若该霍尔元件是电子导电的，在霍尔元件中仍通以由向的电流，那么如何由输出的霍尔电压判断霍尔元件由中间位置沿着轴向哪个方向移动？请分析说明． ( 3 )自行车测速码表的主要工作传感器也是霍尔传感器．如图3，霍尔元件固定在自行车前叉一侧，一块强磁铁固定在一根辐条上．当强磁铁经过霍尔元件时，使其产生电压脉冲．已知自行车在平直公路上匀速行驶，车轮与地面间无滑动，车轮边缘到车轴的距离为． ① 若单位时间内霍尔元件检测到个脉冲．求自行车行驶的速度大小． ② 图4中的两幅图哪个可以大致反映自行车正常行驶过程中车轮边缘一点相对地面的运动轨迹？请说明理由． 学生总结    真题演练 34 .如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为的中间有小孔的两平行金属板、和边长为的立方体构成，其后端面为喷口．以金属极的中心为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立、和坐标轴．、板之间存在场强为、方向沿轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿方向的分量始终为零，沿和方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调．氙离子（）束从离子源小孔射出，沿方向匀速运动到板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面射出．测得离子经电场加速后在金属板中心点处相对推进器的速度为．已知单个离子的质量为，电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量． ( 1 )求离子从小孔射出时相对推进器的速度大小． ( 2 )不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔射出的离子均能从喷口后端面射出，求的取值范围． ( 3 )设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期，单位时间从端面射出的离子数为，且，求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿轴方向的分力． 35 .霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中．长方体半导体材料厚为 、宽为 、长为 ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示．半导体中有电荷量均为 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 和 ．当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，沿 方向，于是在 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 ，沿 方向． ( 1 )判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向． ( 2 )若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ． ( 3 )霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 方向定向移动的速率分别为 、，求 时间内运动到半导体 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 方向上形成的电流应满足的条件． 三、 课堂总结 四、 出门测 36 .如图所示，直角坐标系 xOy的第一象限存在沿 y轴负方向的匀强电场，在第二象限内处固定一个平行 x轴且足够长的挡板，且在第二象限中存在垂直 xOy平面向外的匀强磁场（图中未画出）．在处有一粒子源 P，能沿 x轴负方向以的速度发射质量为 m、电荷量为的粒子，粒子经过电场偏转后通过的 M点进入匀强磁场，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力． ( 1 )求电场强度 E的大小； ( 2 )要使粒子垂直打到挡板上，求磁感应强度 B的大小． 37 .如图所示，平行金属板M 、N间存在匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场；在 xOy直角坐标平面内，第一象限有沿轴负方向场强为 E的匀强电场，第四象限有垂直坐标平面向里，磁感应强度为 B的匀强磁场．一质量为 m、电量为 q的正离子（不计重力）以水平向右、大小为的初速度沿平行于金属板方向射入两板间并做匀速直线运动．从 P点垂直轴进入第一象限，经过 x轴上的 A点射出电场，进入磁场．已知离子过 A点时的速度方向与 x轴成角．求： ( 1 )金属板M 、N间的电场强度； ( 2 )离子第一次离开第四象限磁场区域的位置 C（图中未画出）与坐标原点的距离 OC； ( 3 )若已知，只有在第四象限磁场反向且大小变化，其它条件均不变，要使正离子无法运动到第二象限，则磁感应强度 B大小应满足什么条件？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07.电磁场计算专项复习-复合场 课前检测 【教法备注】 参考用时7min 1 .如图所示，金属板 M、 N正对水平放置，相距为 d，绝缘水平挡板 P与 M、 N的尺寸相同， N接地（接地电势为零）， M板的电势为（>0）， N、 P间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B；质量为 m、电荷量为 q（ q>0）的粒子自 N的左上方、距离 N为 h的位置由静止释放，通过小孔 S后粒子恰好不能打到挡板 P上，不计粒子重力，则粒子通过小孔时的速度大小 v和 N、 P间的距离 L分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】 A 【解析】 【详解】由题意可知， M、 N间的电场方向竖直向下，场强大小为 设粒子第一次到达 N时的速度大小为 v，由动能定理可得 联立解得 粒子恰好不能打到挡板 P上，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径与 N、 P间的距离相等，由牛顿第二定律与圆周运动公式可得 解得 故选A。 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 带电粒子在组合场中的运动 2023年辽宁卷 14 13 中 2021年全国甲卷 25 20 中 2023年山东卷 17 14 难 带电粒子在复合场中的运动 2021年浙江卷 22 10 中 2021年天津卷 12 18 中 2023年江苏卷 16 15 难 目标解读 知识导图 课堂目标 1. 能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动； 2.了解带电粒子在匀强磁场中运 动的偏转及其应用。 3. 会运用相关力学规律来求解带电质点在重力场、电场、磁场中的运动问题。 课程重难点 1. 能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动；了解带电粒子在匀强磁场中运 动的偏转及其应用。 2. 会运用相关力学规律来求解带电质点在重力场、电场、磁场中的运动问题尤其是现代六大科技。 一、带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速与偏转，与在磁场中偏转两种运动有效组合在一起。 （一）先电场后磁场 经典例题 2 .如图，在直角三角形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压加速后，沿平行于轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在边上某点以垂直于轴的方向射出。已知点为坐标原点，点在轴上，与轴的夹角为，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为，不计重力。求： ( 1 )带电粒子的比荷。 ( 2 )带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间。 【答案】 (1)带电粒子的比荷为。 (2)带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间为。 【解析】 (1)解：设带电粒子的质量为，电荷量为，加速后的速度大小为， 根据动能定理可得：① 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。根据洛伦兹力提供向心力可得：② 根据几何关系可得：③ 联立①②③式可得：④。 (2)解：设带电粒子射入磁场后运动到轴所经过的路程为， 根据几何关系可得：⑤ 则带电粒子从射入磁场到运动至轴的时间为：⑥ 联立②④⑤⑥式可得：。 3 .如图所示的平面直角坐标系，在第象限内有平行于轴的匀强电场，方向沿轴正方向；在第象限的正三角形区域内有匀强磁场，方向垂直于平面向里，正三角形边长为，且边与轴平行．一质量为、电荷量为的粒子，从轴上的点，以大小为的速度沿轴正方向射入电场，通过电场后从轴上的点进入第象限，又经过磁场从轴上的某点进入第象限，且速度与轴负方向成角，不计粒子所受的重力．求： ( 1 )电场强度的大小． ( 2 )粒子到达点时速度的大小和方向． ( 3 )区域内磁场的磁感应强度的最小值． 【答案】 (1) (2)，与 轴正方向成角 (3) 【解析】 (1)设粒子在电场中运动的时间为，则有： 联立以上各式可得：． (2)粒子到达点时沿负方向的分速度为： 所以 由几何关系，所以， 所以速度方向指向第Ⅳ象限与轴正方向成角． (3)粒子在磁场中运动时，有： 当粒子从点射出时，磁场磁感应强度为最小值，此时有： 求得：． 题型总结 （1）先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图甲、乙所示） 提问：在电场中如何利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度？        （2）先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图丙、丁所示） 在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 【教法备注】 （1）先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图甲、乙所示） 在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。    甲        乙             （2）先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。（如图丙、丁所示） 在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 ， ， 丙 ， ， 丁 巩固联系 4 .如图所示，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经电压为 U的加速电场加速后在纸面内运动，自 O点与磁场边界成角射入磁感应强度大小为 B方向垂直于纸面向里的匀强磁场｡已知甲种离子从磁场边界的 N点射出；乙种离子从磁场边界的 M点射出； OM长为 L， ON长为4 L，不计重力影响和离子间的相互作用。求：（1）甲种离子比荷；（2）乙种离子在磁场中的运动时间｡ 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）设甲种离子质量为，电荷量为，在电场中加速过程 设甲种离子在磁场中的运动半径为 R1，则 由几何关系知 联立得 （2）设乙种离子质量为，电荷量为，在电场中加速过程 设乙种离子在磁场中的运动半径为，则 由几何关系知 离子在磁场中运动的偏转角 设乙种离子在磁场中运动的周期，则 设乙种离子在磁场中运动的时间为，则 联立得 5 .如图所示，在直角坐标系的轴右侧有半径为的圆形有界磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里，圆与轴相切于坐标原点，在轴与之间有沿轴负方向的匀强电场，在点（）沿轴正方向射出质量为、电荷量为、初速度大小为的带正电的粒子，粒子经电场偏转后刚好从点进入磁场，经磁场偏转后，以垂直于轴方向再次进入电场，不计粒子重力，求： ( 1 )匀强电场的电场强度大小； ( 2 )匀强磁场的磁感应强度大小； ( 3 )带电粒子在电场、磁场中运动的总时间． 【答案】 (1) (2) (3)+ 【解析】 (1)粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律可得： 联立解得： (2)根据类平抛运动可知，粒子射入磁场时位移与水平方向的夹角为： 那么，射入磁场时速度与水平方向的夹角为：，解得： =60° 射入磁场时的速度为： 粒子进入磁场运动轨迹如图所示，其中是轨迹圆的圆心，是磁场圆的圆心： 由几何关系可得：=30°，=120°，那么=30° 因此，,解得： 根据,解得： (3)粒子在电场中运动的时间为： 在磁场中运动的时间为：，解得： 粒子在第二次电场的时间为 综上：粒子在电场和磁场中运动的时间 综上所述，总时间为： 变式训练 6 .如图所示，在 xOy平面的第二象限内存在沿 y轴负向的匀强电场，在 x≥0区域中存在垂直于平面向里的匀强磁场。电场中 P点坐标为（- L， L），带电粒子 a自 P点以初速度 v0水平向右射入电场，一段时间后，与静止在坐标原点的不带电粒子 b相碰并立即结合成粒子 c，此后 c又恰好回到了 P点，已知 a、 b的质量均为 m， a的电荷量为 q，不计粒子重力。求：（1）电场强度 E的大小；（2）碰撞过程损失的机械能；（3）磁感应强度 B的大小。 【教法备注】 与碰撞相结合动量守恒 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 （1）粒子在电场中做类平抛运动，则水平方向 解得 （2）从 O点进入磁场时的速度大小 速度为 方向 即方向与 x轴正向夹角为60 °； a粒子与 c粒子相碰后的速度为 解得 则碰撞过程损失的机械能 （3）粒子 c从 O点进入磁场后做圆周运动，从 M点出离磁场，速度方向与 y轴夹角为30 °，然后在电场中运动，再次经过 P点，则 解得 y=2 L 则粒子在磁场中运动的轨道半径为 根据 解得 7 .如图所示， xOy坐标系中，第三象限存在沿 x轴正向的匀强电场，第四象限与 x轴和 y轴相切的半径为 R=0.2m的圆形区域内存在匀强磁场 B1，磁感应强度 B1=0.1T，方向垂直纸面向里， x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场 B2，磁感应强度 B2=0.3T。在第三象限 x=-40cm， y=-8cm至-36cm间存在粒子源，比荷 k=108C/kg的相同带正电粒子由粒子源无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场，其中正对圆心入射的粒子经 B1偏转后恰好以垂直于 x轴的方向经切点 P点进入磁场 B2，带电粒子最终都打到放置在 x轴上的收集板上。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：（1）第三象限中加速电场的电场强度 E；（2）收集板最小长度 L；（3）带电粒子在磁场 B1、 B2中运动的总时间范围（用含 π的分数式表示）。 【教法备注】 粒子源问题 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 （1）由几何关系，粒子在电场加速后进入中匀速圆周运动的半径 粒子在中圆周运动 对粒子在电场中运动由动能定理 解得 ， （2）粒子均将从 P点进入磁场，粒子在中圆周运动 作出粒子源上下边界粒子的轨迹如图由几何关系知 故，则从粒子源下端进入再进入的粒子打在收集板最左端 垂直轴进入的粒子打在收集板最右端 所以收集板长度 （3）粒子进入时的位置越靠下，进入点与连线弦切角越大，在中运动时间越长，同时粒子在中的运动轨迹从劣弧向优弧变化，在中转过圆心角变大，因此粒子源上下边界入射的粒子在磁场中运动的时间即为边界时间情况由进入磁场粒子在磁场中运动时间最短 由进入磁场粒子在磁场中运动时间最长 粒子在磁场中运动时间 8 .如图所示是某研究室设计的一种飞行时间质谱仪。该质谱仪的离子源能产生比荷不同但初速度均为0的带正电粒子，带电粒子经同一加速电场作用后垂直于磁场Ⅰ区域的左边界进入磁场。其中Ⅰ区域的磁场垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为 B，区域宽度均为 d。粒子从Ⅱ区域的右边界飞出后进入一圆筒形真空无场源漂移管，检测器能测出粒子在漂移管中的飞行时间。已知加速电压为 U，漂移管长度为 L、直径为 d，且轴线与离子源中心处于同一直线上，不计带电粒子重力和粒子间的相互作用。（1）若带电粒子的质量为 m，电荷量为 q，求该粒子在磁场Ⅰ区域运动轨迹的半径；（2）若测得某一粒子在漂移管中运动的时间为 t，求该粒子的比荷为多少；（3）求该装置能检测粒子的比荷的最大值。 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 （1）带电粒子在加速电场中加速，根据动能定理有    ① 再由粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，有    ② 联立得    ③ （2）粒子在漂移管中做匀速直线运动    ④ 联立①④解得    ⑤ （3）粒子进入磁场区域后做圆周运动，最后从Ⅱ区域的右边界离开时出射方向与边界垂直，根据第（1）问中的结果可知，比荷越大，粒子在磁场中运动的轨迹半径越小，故当粒子恰好从漂移管的边缘进入时，轨迹半径最小时，比荷最大。粒子运动轨迹如图由几何关系有    ⑥ 解得    ⑦ 联立③⑦解得粒子的比荷的最大值为    ⑧ 学生总结    真题演练 9 .如图所示，在区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在区域内存在沿轴正方向的匀强电场．质量为、电荷量为（）的粒子甲从点（，）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点（，）、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙．（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应） ( 1 )求电场强度的大小． ( 2 )若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在区域内加上与区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间． ( 3 )若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)粒子甲匀速圆周运动过P点，则在磁场中运动轨迹半径 则 则 粒子从S到O，有动能定理可得 可得 (2)甲乙粒子在P点发生弹性碰撞，设碰后速度为、，取向上为正，则有 计算可得 两粒子碰后在磁场中运动 解得 两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为 则两粒子碰后再次相遇 解得再次相遇时间 (3)乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为 撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒子在磁场中仍做半径为a的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示 设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了，由余弦定理可得 则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移 10 .如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的 倍．金属板外有一圆心为 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场．质量为 、电荷量为 的粒子沿中线以速度 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 点飞出电场，并沿 方向从图中 点射入磁场．已知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力． ( 1 )求金属板间电势差 ． ( 2 )求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角 ． ( 3 )仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中 点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长．定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心 ． 【答案】 (1) (2)或 (3) 【解析】 (1)设板间距离为，则板长为，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为 根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度有 解得 设粒子在板间的运动时间为，根据类平抛运动的运动规律得 ， 联立解得． (2)设粒子射出电场时与水平方向间的夹角为，则有 故 则粒子射出电场时的速度为 粒子射出电场后沿做匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需的向心力得 解得 已知圆形磁场区域半径为，故 粒子沿方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角为，则粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角也为，由几何关系可得 故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角为或． (3)带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为，根据几何关系可知，带电粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦长为圆形磁场的直径时粒子在磁场中运动的时间最长．则相对应的运动轨迹和弦以及圆心的位置如图所示． （二）先磁场后电场 经典例题 11 .如图所示，在坐标平面的第一象限内有一沿轴负方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场，现有一质量为、电量为的粒子（重力不计）从坐标原点射入磁场，其入射方向与的正方向成角．当粒子运动到电场中坐标为的点处时速度大小为，方向与轴正方向相同．求： ( 1 )粒子从点射入磁场时的速度． ( 2 )匀强电场的场强和匀强磁场的磁感应强度． ( 3 )粒子从点运动到点所用的时间． 【答案】 (1) (2)，． (3) 【解析】 (1)若粒子第一次在电场中到达最高点，则其运动轨迹如图所示． 设粒子在点时的速度大小为，段为圆弧，段为抛物线．根据对称性可知，粒子在点时速度的大小也为，方向与轴正方向成角，可得，解得． (2)在粒子从点运动到点的过程中，由动能定理得 ， 解得， 又在匀强电场由到的过程中， 水平方向的位移为：， 竖直方向的位移为：， 可得，， 由故粒子在段圆周运动的半径：及， 得． (3) 在点时，． 设粒子从点运动到点所用的时间为，在竖直方向上有 水平方向上有 ． 因为点的横坐标为，故粒子在电场中一定是第一次到达最高点，所以 ． 又因为 ， 故粒子在段做圆周运动的半径为 ． 粒子从点运动到点所用的时间为 ． 粒子从点运动到点所用的时间为 ． 12 .如图所示，为正交坐标系的原点，的空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直平面向里．一粒子质量为，带正电，从点以大小为的速度进入且的空间（即图中的满足），垂直于磁场，不计粒子的重力．求： ( 1 )粒子在磁场中运动的半径． ( 2 )粒子可以沿两条不同的路径到达坐标系第二象限的某一位置（图中未画出），且长路径耗时是短路径耗时的两倍，求到坐标原点的距离． ( 3 )若的空间存在电场，电场强度为，方向沿轴正方向，求粒子只经过一次电场就能回到点对应的的值（可用三角函数表示）． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)根据洛伦兹力提供向心力可得：， 解得：． 答：粒子在磁场中运动的半径为． (2)两条不同的路径是优弧与劣弧（根据旋转圆的方法可以确定粒子走优弧和劣弧都能到达的区域），且优弧与劣弧圆心角之和为，根据时间关系，可以判定优弧长度是劣弧长度的倍，优弧所对圆心角为劣弧所对圆心角的倍，故劣弧所对圆心角为，如图1所示： 根据几何关系可得：． 答：到坐标原点的距离为． (3)粒子先做圆周运动，然后在电场中做类斜抛运动回到，由对称可知，粒子第一次离开磁场时速度与轴的夹角等于入射夹角，如图2所示： 将粒子速度沿和两个方向分解，有：，， 粒子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向先做匀减速运动，再反向匀加速运动，设粒子在电场中运动的时间为，加速度大小为，有：， 根据牛顿第二定律可得：， 要使粒子能在电场中一次回到点，轴方向的位移必须等于磁场中圆弧所对的弦长，故有：， 联立求得：． 答：粒子只经过一次电场就能回到点对应的值的余弦为． 题型总结 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： （1）进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反（如图甲所示）。 （2）进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直（如图乙所示）。 粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式 甲 粒 子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析 乙 巩固训练 13 .如图所示，在坐标系的第Ⅰ象限内存在方向与坐标平面平行且与轴夹角的匀强电场，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标原点出发，在坐标平面内沿与轴正方向夹角的方向以速率射入磁场，并从轴上的点离开磁场．已知第Ⅰ象限内匀强电场的电场强度大小，不计粒子所受重力以及粒子间的相互作用． ( 1 )求点的纵坐标． ( 2 )求粒子从原点出发到第二次经过点所用的时间． ( 3 )若撤去第Ⅰ象限内的匀强电场，在整个坐标平面内加上一方向沿轴负方向、电场强度大小的匀强电场，在第Ⅰ、Ⅳ象限也加上方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为，其他条件不变，求粒子运动过程中的最小动能． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图甲所示， 设粒子轨迹圆的半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得：， 由几何关系有：， 联立解得：． 答：点的纵坐标为． (2)粒子在磁场中做圆周运动的周期为：， 粒子从点运动到点所用的时间为：， 粒子进入磁场时的速度方向与电场方向平行，故粒子先在电场中做匀减速直线运动，然后反向做匀加速直线运动回到点， 根据牛顿第二定律可得加速度大小为：， 设粒子从点运动到点再回到点所用的时间为，有：， 粒子从原点出发到第二次经过点所用的时间， 联立解得：． 答：粒子从原点出发到第二次经过点所用的时间为． (3)设粒子的速度在水平方向的分速度大小为，在竖直方向的分速度大小为，如图乙所示； 则，， 此时有：， 所以粒子的运动可视为以分速度做匀速直线运动和以分速度做顺时针方向的匀速圆周运动的合运动，粒子到达最高点时两个分速度方向相反，速度最小，故， 又， 解得：． 答：粒子运动过程中的最小动能为． 14 .如图所示，在 x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场。在 x轴下方有沿 y轴正方向的匀强电场。一个质量为 m、电荷量为＋ q、初速度为 v的带电粒子从 a（0， d）点处沿 y轴正方向开始运动，一段时间后，粒子速度方向与 x轴正方向成45°角进入电场，经过 y轴上 b点时速度方向恰好与 y轴垂直，带电粒子重力不计。求：（1）匀强磁场的磁感应强度大小；（2）匀强电场的电场强度大小；（3）粒子从 a点开始到第三次经过 x轴的时间。    【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）粒子运动轨迹如图   以后重复过程，粒子在磁场中做圆周运动有 由图可得 rcos45° =d 联立可得 （2）粒子在 x轴下方运动到 b点过程中，水平方向 r＋ rsin45° =vcos45°∙ t2 竖直方向 联立可得 （3）粒子在磁场中运动到 x1，即第一次到达 x轴所用时间 从 x1到 x2，根据对称性可知 在 x2处，粒子以速度 v与 x轴正方向成45°进入磁场，从 x2到 x3 所以粒子第三次到达 x轴所用时间为 变式训练 15 .如图所示，平面直角坐标系 的第二象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场．一质量为 、带电荷量为 的粒子从 点以速度 垂直 轴射入磁场，从 轴上的 点射入第一象限时，立即在第一象限内施加一与粒子速度方向垂直的匀强电场，使粒子在第一象限内做类平抛运动且垂直 轴射出电场．不计粒子受到的重力，电场线对应直线的斜率记为 ． ( 1 )求匀强电场的电场强度大小 与斜率 的关系． ( 2 )若 ，求粒子射出匀强电场时的横坐标 ． ( 3 )当 取多少时，粒子在匀强电场中运动的时间最长，最长时间为多少？ 【教法备注】 结合数学知识处理相关问题 【答案】 (1) (2) (3)当 时，粒子在匀强电场中运动的时间最长，最长时间为 【解析】 (1)设电场线与 轴所成的锐角为 ，则 ， 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 ，粒子射出匀强电场时的速度大小为 ，沿 轴方向有 ， ， ， 解得 ． (2)沿 轴方向有 ， 解得 ， 当 时， ， 代入数值得 ． (3)设粒子在匀强电场中运动的时间为，沿轴方向有 整理得 令 显然为第一、二象限内单位圆上的点与定点连线的斜率，如图所示，易得的最大值为，此时， 即当时，粒子在匀强电场中运动的时间最长，最长时间为 粒子在电场中运动时，在轴方向：， 整理得 , 对上述表达式进行整理，得 ， 当 时，取最大值，此时 ． 学生总结    真题演练 16 .某离子实验装置的基本原理如图甲所示．Ⅰ区宽度为，左边界与轴垂直交于坐标原点，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为，左边界与轴垂直交于点，右边界与轴垂直交于点，其内充满沿轴负方向的匀强电场．测试板垂直轴置于Ⅱ区右边界，其中心与点重合．从离子源不断飘出电荷量为、质量为的正离子，加速后沿轴正方向过点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心 ．已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与轴正方向的夹角为．忽略离子间的相互作用，不计重力． ( 1 )求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小． ( 2 )求Ⅱ区内电场强度的大小． ( 3 )保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为（数值未知）方向相反且平行轴的匀强磁场，如图乙所示．为使离子的运动轨迹与测试板相切于点，需沿轴移动测试板，求移动后到的距离． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为， 由牛顿第二定律得①， 根据几何关系得②， 联立①②式得． (2)离子在Ⅱ区内只受电场力，方向做匀速直线运动，方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心的时间为，方向的位移为，加速度大小为，由牛顿第二定律得， 由运动的合成与分解得 ，，， 联立得． (3)Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直轴方向做线速度大小为的匀速圆周运动，如图所示： 设左侧部分的圆心角为，圆周运动半径为，运动轨迹长度为， 由几何关系得， 由于在轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于点， 则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有， 到的距离， 联立得． （三）先后多个电场磁场 经典例题 17 .如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场I，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B 0的匀强磁场Ⅱ．一质量为m,电荷量为+q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R 0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场I中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求： （1）带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v 0； （2）电场强度的大小E； （3）求粒子在磁场Ⅰ区的运动时间t 1。 【答案】 略 【解析】 解：（1）粒子在第四象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得：qv 0B 0=m， 解得：v 0=； （2）粒子与y轴成45°角离开电场，则：v x=v y=v 0， 粒子在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动， 在水平方向，由牛顿第二定律得：qE=ma, 由速度—位移公式得：-0 2=2aR0， 解得：E=； （3）粒子在电场中运动时，水平方向：v x=at,R 0=， 竖直方向：y=v yt, 解得：y=2R 0， 过N点做速度的垂线交x轴于P点，P即为第第一象限做圆周运动的圆心，PN为半径， 因为ON=y=2R 0，∠PNO=45°，则：PN=2R 0， 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得：qvB 1=m， 其中粒子进入磁场时的速度：v==v 0， 解得：B 1=B 0； 粒子在第磁场区域I转过的圆心角α=135°， 粒子在磁场I中做圆周运动的周期：T=， 粒子在磁场区域I中的运动时间t 1== 答：（1）带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v 0为； （2）电场强度的大小E为； （3）粒子在磁场Ⅰ区的运动时间t 1为。 题型总结 “4步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 第一步：明性质 第二步：定运动 第三步：用规律 第四步：找关系 【教法备注】 明性质→要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。 定运动→带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。 画轨迹→正确地画出粒子的运动轨迹图。 用规律→根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 找关系→要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度 巩固练习 18 .如图所示，、为两块等量异种电荷的平行金属板，、为板上正对的小孔，板右侧有两个宽度均为的匀强磁场区域，磁感应强度均为，方向分别为单是垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与、共线的点为原点，向上为正方向建立轴．板左侧电子枪发射出的热电子经小孔进入两板间，电子的质量为，电荷量为，初速度忽略， ( 1 )当两板间电势差为时，求从小孔射出的电子的速度． ( 2 )求两金属板间电势差在什么范围内，电子不能穿过磁场区域打到荧光屏上． ( 3 )若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试定性地画出电子运动的轨迹． ( 4 )求电子打到荧光屏上的位置坐标和金属板间电势差的函数关系． 【答案】 (1)． (2)． (3)答案见解析． (4)． 【解析】 (1)根据动能定理，得由此可解得． (2)欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有 由此即可解得，而， 由此即可解得． (3)电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示． (4)若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为，则由（3）中的轨迹图可得注意到和， 所以，电子打到荧光屏上的位置坐标和金属板间电势差的函数关系为 ． 学生总结    真题演练 19 .如图所示，在，的区域中，存在沿轴正方向、场强大小为的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场．一个质量为，电量为的带正电粒子从中点进入电场（不计粒子重力）． ( 1 )若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直第二次离开电场后，垂直再次进入电场，求磁场的磁感应强度的大小． ( 2 )若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从点沿轴正方向第一次进入电场，离开电场后从点第二次进入电场，在电场的作用下从点离开． ① 求改变后电场强度的大小和粒子的初速度． ② 通过计算判断粒子能否从点第三次进入电场． 【答案】 (1)． (2)①    ②见解析 【解析】 (1)由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 ， 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有， 粒子从上边界垂直第二次离开电场后，垂直再次进入电场，轨迹如图 根据几何关系可知， 联立可得． (2)①（i）由题意可知，作出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知， 解得， 所以有，， 由洛伦兹力提供向心力有， 带电粒子从点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有， 再一次进入电场后做类斜抛运动，沿方向有， 沿方向上有， 其中根据牛顿第二定律有， 联立以上各式解得， ， ． （ii）粒子从到根据动能定理有， 可得从射出时的速度为， 此时粒子在磁场中的半径． ②根据其几何关系可知对应的圆心坐标为，， 而圆心与的距离为， 故不会再从点进入电场． （四）带电离子在交变电磁场中的运动 经典例题 20 .如图甲所示，质量为、带电荷量为的带电粒子在时刻由点以初速度垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场磁感应强度大小不变，方向周期性变化，如图乙所示（垂直纸面向里为正方向）；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同，均为．粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过的时刻均为的整数倍，则：       ( 1 )粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？ ( 2 )若初始位置与第四次经过时的位置距离为，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值（初始位置记为第一次经过）． 【答案】 (1) (2)； 【解析】 (1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 即． 解得． (2)带电粒子的运动轨迹有两种可能．        第一种情况： 粒子在Ⅲ区域运动半径；． 解得粒子在Ⅲ区域速度大小． 第二种情况： 粒子在Ⅲ区域运动半径． 粒子在Ⅲ区域速度大小． 21 .加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大作用，回旋加速器是其中的一种。如图1为回旋加速器的工作原理图。D 1和D 2是两个中空的半圆金属盒，分别和一高频交流电源两极相连。两盒处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，在位于D 1盒圆心附近的A处有一个粒子源，产生质量为m、电荷量为+q的带电粒子。不计粒子的初速度、重力和粒子通过两盒间的缝隙的时间，加速过程中不考虑相对论效应。 （1）若已知半圆金属盒的半径为R，请计算粒子离开加速器时获得的最大动能E km； （2）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率； （3）某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图2所示的轨迹图，他认为两个D形盒中粒子加速前后相邻轨迹间距Δd是相等的。请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会有怎样的变化趋势。 【教法备注】  【答案】 （1）若已知半圆金属盒的半径为R，粒子离开加速器时获得的最大动能E km为； （2）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率为； （3）该同学的分析不合理，越往外，间距越小。 【解析】 解：（1）设粒子离开加速器时的最大速度为v m，有：qv mB=m 解得：v m= 最大动能E km= = （2）设在t时间内离开加速器的带电粒子数为N，则带电粒子束从回旋加速器输出时的平均功率= 输出时带电粒子束的等效电流为：I= 联立解得：= （3）由动能定理得，粒子在n次加速后的速度满足：nqU= 粒子在n次加速后，在磁场中洛伦兹力提供向心力，有qv nB=m 联立解得：R n= 由图左侧第一个间距为经过两次加速后直径与经过一次加速后的直径的差，则：Δd=2R 2-2R 1=-=•（-1） 右侧第一个间距为经过三次加速后直径与经过两次加速后的直径的差，则：Δd′=2R 3-2R 2=-=•（-） 左侧第二个间距为经过四次加速后直径与经过三次加速后的直径的差，则：Δd″=2R 4-2R 3=-=•（2-） 可知相邻轨迹间距Δd是不相等的，越往外，间距越小。 答：（1）若已知半圆金属盒的半径为R，粒子离开加速器时获得的最大动能E km为； （2）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率为； （3）该同学的分析不合理，越往外，间距越小。 题型总结 “4步”突破带电粒子在交变 场中的运动问题 第一步：读图 第二步：受力分析 第三步：过程分析 第四步：建立联系 【教法备注】 第一步：读图——了解电磁场变化情况 第二步：受力分析——分析粒子在不同场受力情况 第三步：过程分析——分析粒子在不同场运动情况 第四步：建立联系 巩固联系 22 .如图甲所示，真空中有一粒子源，连续不断地放射出带正电的粒子．粒子的初速度很小（可视为零）．粒子经加速电压加速后，从点沿着偏转电场中线射入偏转电场，两偏转极板间的距离为，所加周期性电压如图乙所示．偏转极板右侧有宽度为的足够长匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外．磁场右边界是一个足够大的光屏，所有到达光屏的粒子均不再反弹．粒子飞过偏转极板间的时间极短，可认为每个粒子飞过的这段时间里偏转电压几乎不变．已知时刻射入偏转极板间的粒子，轨迹恰好与光屏相切；偏转电压为时射入偏转极板间的粒子恰好沿着偏转极板上边缘飞出电场．不计粒子重力及粒子之间的相互作用力．求： 　　 ( 1 )偏转极板的长度． ( 2 )磁场右侧光屏上有粒子击中的范围的长度． 【答案】 (1)偏转极板的长度为 (2) 【解析】 (1)设带电粒子离开加速电场时速度为，根据动能定理有， 设偏转极板的长度为，当时，粒子在偏转电场中竖直方向加速度为，运动时间为，则有： 竖直方向， 根据牛顿第二定律， 在水平方向， 联立各式解得． 答：偏转极板的长度为． (2)设时刻射入偏转极板间的粒子在磁场中轨道半径为，偏转电压为时沿着偏转极板上边缘飞出电场时速度为，则： 由洛伦兹力提供向心力， 整理得， 飞出电场时速度大小， 粒子在磁场中运动有，， 根据几何关系， 解得． 答：磁场右侧光屏上有粒子击中的范围的长度为得． 23 .加速器在核物理和粒子物理研究中发挥着巨大作用，回旋加速器是其中的一种．如图1为回旋加速器的工作原理图．和是两个中空的半圆金属盒，分别和一高频交流电源两极相连．两盒处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，在位于盒圆心附近的 A处有一个粒子源，产生质量为、电荷量为的带电粒子．不计粒子的初速度、重力和粒子通过两盒间的缝隙的时间，加速过程中不考虑相对论效应． ( 1 )若已知半圆金属盒的半径为，请计算粒子离开加速器时获得的最大动能 ( 2 )若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率； ( 3 )某同学在分析带电粒子运动轨迹时，画出了如图2所示的轨迹图，他认为两个D形盒中粒子加速前后相邻轨迹间距是相等的．请通过计算分析该轨迹是否合理？若不合理，请描述合理的轨迹其间距会有怎样的变化趋势． 【答案】 (1) (2)； (3)不合理，见解析 【解析】 (1)当粒子在磁场中的轨道半径等于半圆金属盒半径时，粒子具有最大速度，最大动能；由洛伦兹力提供向心力可得 可得 粒子离开加速器时获得的最大动能为 (2)设在时间内离开加速器的带电粒子数为，则粒子从回旋加速器输出时形成的等效电流为 解得 带电粒子从回旋加速器输出时的平均功率为 (3)第次加速获得的速度为，根据动能定理可得 第次加速获得的速度为，根据动能定理可得 根据 联立得 所以相邻轨迹间距是不相等的，故该轨迹不合理．合理的轨迹，其间距会越来越小，示意图如图所示 学生总结    二、带电粒子在叠加场中的运动 （一）考虑重力的情况 经典例题 24 .如图所示，在竖直平面内，水平虚线下方存在方向竖直向下、电场强度大小的匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度大小为 B的匀强磁场。从 M点正上方以初速度水平抛出一质量为 m、电荷量为的带电小球，测得小球进入复合场区前水平位移和竖直位移大小之比为2∶1，求：（1）小球第一次到达分界线时的速度；（2）已知小球第二次到达分界线时在 M点右边，则小球第二次到达分界线时距 M点的水平距离；（3）当小球第二次离开分界线时，在分界线上方出现电场强度大小、方向水平向左的匀强电场，则小球第三次到达分界线时距离 M点的水平距离以及第二次离开分界线后的最小速率。 【答案】 （1），速度斜向下与水平方向的夹角为45°；（2）；（3）， 【解析】 （1）设小球从水平抛出至第一次到达分界线所用时间为，由小球做平抛运动可得竖直方向位移为 水平方向位移为 根据题意分析可知 联立得 则竖直方向分速度 小球第一次到达分界线的速度大小为 设小球第一次到达分界线的速度与水平方向的夹角为 则小球第一次到达分界线的速度斜向下与水平方向的夹角为45°；        （2）小球做平抛运动的水平位移 小球在分界线下方受到重力、电场力、洛伦兹力的作用，根据题意分析可知 可知，合力等于洛伦兹力，则小球在竖直平面内做匀速圆周运动        由洛伦兹力提供向心力有 解得 小球的运动轨迹如图所示由几何关系可得小球第一次到达分界线与第二次到达分界线两点之间的水平距离 则小球第二次到达分界线时距点的水平距离 （3）小球第二次离开分界线后，由运动的合成与分解知，小球在水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，可得小球做竖直上抛运动的上升时间 由竖直上抛的对称性可知，小球上升时间等于下降时间，则有小球从第二次离开分界线到第三次到达分界线的运动时间 小球在水平方向的加速度 水平位移 则小球第三次到达分界线时的位置与点距离 小球第二次离开分界线后的运动状态如图所示假设合加速度与水平方向成角，则 小球做类斜抛运动，其运动过程中的最小速率 25 .如图所示，直角坐标系所在竖直平面内，第一、二象限中分布着沿 x轴负方向的匀强电场，第三、四象限中分布着沿 y轴正方向的匀强电场；第三、四象限还分布着匀强磁场（图中未画出）．一质量为 m、带电量为 q的正电小球自坐标为的 A点由静止出发，进入第三象限后恰能作匀速圆周运动并垂直于 y轴射入第四象限，已知，重力加速度为 g．求：（1）小球第一次通过 x轴时的速度；（2）匀强电场场强和匀强磁场磁感应强度 B大小的比值；（3）小球从第四象限穿出后，经过一段时间会再次到达 x轴上的 N点（图中未标出），求小球从出发运动至 N的时间． 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 （1）小球在第一象限有 则 得 即小球在第二象限内沿与 x轴成角进入第三象限，有间距离为 由动能定理得 得 （2）小球在第三象限做匀速圆周运动，由 得 运动轨迹如图，有几何关系得 又 得 则 （3）小球由 A点运动到 B点的过程竖直方向，有 解得 小球做匀速圆周运动周期为 小球从 B点到 C点的过程中所用时间为 小球从 C点到 N点的过程做类平抛运动，有 垂直速度方向 沿速度方向 由几何关系可知 联立得 总时间 题型总结 “三步”解决相关问题 第一步 受力分析 [关注场的叠加] ↓ 电 场、磁场共存 电场、重力场共存 磁场、重力场共存 电磁、磁场、重力场共存 第二步 运动分析 [构建运动模型] ↓ 合力为零→匀速直线运动① 合力恒定→匀变速直线运动或曲线运动② 合力大小恒定且方向始终垂直于速度→匀速圆周运动③ 合力复杂多变→一般曲线运动④ 第三步 选择规律 [力或能的观点] 运动①→平衡条件 运动②→动能定理或牛顿运动定律、运动学公式 运动③→向心力公式等 运动④→动能定理或能量守恒定律 巩固练习 26 .如图所示，在竖直虚线左侧、水平虚线下方有范围足够大的竖直向上的匀强电场和水平向外的匀强磁场，电场的电场强度大小为，磁场的磁感应强度未知。在距离为的点将带电小球以的初速度向右水平抛出，小球在下方做匀速圆周运动，已知重力加速度为。 ( 1 )求带电小球的比荷，并指出小球带电性质。 ( 2 )若小球从点抛出后最后刚好到达上与点等高的点，求间最小距离及对应磁场的磁感强度的值。 ( 3 )已知磁场磁感应强度为，若撤去电场，小球从点抛出后，在磁场中运动过程距离的最大距离为(该点在左侧)，求小球运动经过此点时加速度。 【答案】 (1)，粒子带正电。 (2)，。 (3)。 【解析】 (1)解：因为小球在下方的运动是匀速圆周运动，所以电场力等于重力，电场力方向向上，所以带正电 因为所以。 (2)解：小球从点抛出做类平抛运动，做出图如下： 根据平抛运动可得： 解得 所以 最小时最大，磁场的磁感强度有最小值。 所以 小球在下方的运动是匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 所以 。 (3)解：若撤去电场，小球从点抛出后，在磁场中运动过程距离的最大距离为 根据动能定理列式得： 又 所以。 学生总结    （二）BE复合 经典例题 27 .如图所示，在长方形虚线框区域内，存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场，电场强度，磁感应强度为 ． 1为边中点， 1 2为长方形水平中心线，照相底片与虚线 1 2垂直且离边．现有一质量为电荷量为的带正电粒子从 1点以速度（未知）水平射入时，带电粒子沿虚线 1 2做匀速直线运动．保持带电粒子从 1点水平射入的速度不变，若撤去电场，带电粒子恰好经过点后打在照相底片上的点；若撤去磁场，带电粒子打在照相底片上的点．已知，，（不计粒子重力和空气阻力）．求： ( 1 )从 1点水平射入的速度； ( 2 )带电粒子由 1点运动至点的时间； ( 3 )带电粒子打在照相底片上、两点间的距离． 【答案】 (1)； (2)； (3) 【解析】 (1)粒子沿虚线 O1O2做匀速直线运动，根据平衡 解得 (2)撤去电场后，设带电粒子在磁场中做半径为 R的匀速圆周运动，如图 由牛顿第二定律 得 根据几何知识 粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子离开磁场做匀速直线运动至 P，点过程的位移 该过程的运动时间 则带电粒子由 O1点运动至 P点的时间 t (3)撤去磁场后，如图所示 粒子在电场中偏转 联立得 根据几何知识 P、两点间的距离 28 .“物理模型”在物理学的研究和学习中起着非常重要的作用．比如“金属霍尔效应”、“磁流体发电机”与“电磁流量计”本质上都和导体切割磁感线产生感应电动势是相同的物理模型： ( 1 )如图所示，长度为的金属棒处在磁感应强度为的匀强磁场中，金属棒在外力的作用下以速度匀速向右运动，试证明金属棒产生的电动势，并说明金属棒的哪一端电势高． ( 2 )对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻的理解其物理本质．在上例中，还已知金属棒的横截面积为、单位体积内有个自由电子，电子电量为．当该金属棒通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为．试根据安培力与洛伦兹力的关系推导电流的微观表达式． ( 3 )将以上模型还原为一个实际问题．如图所示，两端开口、内壁光滑直管质量为，中央有绝缘隔板，放在光滑水平面上．中央隔板两侧有带等量正负电荷小球、，质量均为，带电量均为．处在磁感应强度为，方向竖直向下的匀强磁场中，不计二者间库仑力．现给系统垂直直管的水平初速度，设以后运动过程中小球始终在管内．求小球的最大速度和小球向右离开初位置的最远距离． 【答案】 (1)点电势高 (2)见解析 (3) 【解析】 (1)当棒内产生稳定电动势时，棒中的电荷受力平衡； 在沿棒方向：电场力，洛伦兹力， 可得，点电势高． (2)金属棒所受安培力，棒中每个自由电子所受洛伦兹力， 金属棒中自由电子总数为， 安培力为所有自由电子受到的洛伦兹力的宏观表现，所以， 可得． (3)对系统，洛伦兹力不做功，仅管与两球之间的弹力做功，所以系统机械能守恒，所以当两球从初位置向右运动到最远时，管的速度为零时，两小球速度达到最大． 根据机械能守恒：；解得； 两球从初始位置向右运动到最远过程中，对一个球，沿管向上，受到的洛伦兹力分力的平均值大小为，根据动量定理：， 所以向右运动最大位移． 知识点总结 装置 原理图 规律 速度选择器 若 ，即 ，粒子做匀速直线运动 磁流体发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为 时稳定， ， 电磁流量计 ，所以 所以流量 霍尔元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差 巩固练习 29 .一种测量带电粒子荷质比的装置如图所示，速度选择器的两板间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为和。紧邻速度选择器右侧，在宽度为 L的虚线区域内存在不同方向的匀强磁场或匀强电场。带电粒子重力及相互作用力均可忽略不计。（1）求可以沿直线通过速度选择器的粒子速度的大小 v；（2）若在虚线区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，带电粒子穿出磁场区域时，速度方向偏转了 θ角，求粒子的荷质比；（3）若在虚线区域内存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 E，并且在电场区域右侧 L处平行于边界放置荧光屏，粒子穿出电场区域后打在荧光屏上的偏移量为 Y，求粒子的荷质比。 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 （1）由于 可得 （2）由几何关系可得粒子在偏转磁场中运动的轨迹半径为 由 可得 （3）由 可得 由 及 可得 解得 30 .如图所示为质谱仪的原理图．电荷量为 q、质量为 m的带电粒子从静止开始经过电压为 U的加速电场后，进入粒子速度选择器．选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强电场的场强为 E．带电粒子能够沿直线穿过速度选择器，从 G点沿垂直于 MN的方向射入偏转磁场．偏转磁场是一个以直线 MN为边界、方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为．带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片的 H点．带电粒子的重力忽略不计．求： ( 1 )粒子从加速电场射出时速度 v的大小； ( 2 )粒子速度选择器中匀强磁场的磁感应强度的大小和方向； ( 3 )实验过程中，为了提高测量精确度，需要使 GH值增大．某次实验只增大加速电压 U后，发现没有达到实验目的，请你通过推导给出合理的操作建议． 【答案】 (1)； (2)；垂直纸面向外； (3)见解析 【解析】 (1)粒子在电场中加速，可得 解得 (2)粒子在速度选择器中受力平衡，可得 解得 根据左手定则可知，磁感应强度的方向垂直纸面向外． (3)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 由几何关系，可知 GH值为 已知可以通过减小的方法，来使 GH值增大． 31 .工业上常电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）．它的优点是测量范围宽、反应快，易与其他自动控制装置配套． 如图1是电磁流量计的示意图．圆形管道由非磁性材料制成，空间有匀强磁场．当管道中的导电液体流过磁场区域时，用仪表测量出放置在管道壁上的、两个电极间的电势差，就可以知道管道中液体的流量．已知电极、间的距离等于管道的直径，磁感应强度为 ．假定管道中各处液体的流速相同，且液体始终充满整个管道． ( 1 )液体流动方向和磁场方向如图1所示，判断、哪个电极电势高． ( 2 )推导证明电极、间的电势差与流量有正比关系，即；并说明：用某一种导电液体标定仪表刻度盘，也适用于其他导电液体． ( 3 )理想情况下，在磁场恒定不变时电压的测量是稳定的，但导电液体在稳定磁场长时间的作用下，液体中离子与电极接触的表面处会形成极化电场，干扰电压的测量．某一电磁流量计实际使用的磁场，其磁感应强度与时间的关系如图2中虚线所示，仪表只在每一个周期的特定时间段内测量、间的电势差，用于显示液体流量，请在图2中用实线在图线上标出这些时间段，并简要说明选定时间段的依据． 【答案】 (1)板电势高 (2)带电粒子在洛伦兹力作用下堆积于、处，当电荷不再堆积时，电势差达到稳定，此时，洛伦兹力和电场力平衡，设某电荷电量为，、间为匀强电场，有： ① ② ③ 解得④ 即． ④式中比例系数与液体性质无关，因此只需用某一种导电液体标定刻度盘，即可用来测定其他导电液体的流量 (3) 选择这些时间段用来测量并显示流量，使导电液体中的正、负电荷一段时间内向一侧堆积，接下来的另一段时间内向另一侧堆积，不会使导电液体与电极间的电场总恒定，从而消除了极化电场的影响．另外，每一个时间段内磁场都是恒定的，仪表显示流量是确定的，能够进行准确测量，但又不是恒定段都选，而是取中间段，避免边缘的变化影响 【解析】 (1)电场力等于洛伦兹力，根据受力平衡考虑． (2)带电粒子在洛伦兹力作用下堆积于、处，当电荷不再堆积时，电势差达到稳定，此时，洛伦兹力和电场力平衡，设某电荷电量为，、间为匀强电场，有： ① ② ③ 解得④ 即． ④式中比例系数与液体性质无关，因此只需用某一种导电液体标定刻度盘，即可用来测定其他导电液体的流量． (3)标记如图所示： 选择这些时间段用来测量并显示流量，使导电液体中的正、负电荷一段时间内向一侧堆积，接下来的另一段时间内向另一侧堆积，不会使导电液体与电极间的电场总恒定，从而消除了极化电场的影响．另外，每一个时间段内磁场都是恒定的，仪表显示流量是确定的，能够进行准确测量，但又不是恒定段都选，而是取中间段，避免边缘的变化影响． 32 .如图所示是磁流体发电的示意图．平行金属板、 两板相距为，之间有一个很强的匀强磁场，将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带电量为的正、负带电离子）沿垂直于的方向射入磁场， 、两板间便产生电压．开关闭合前、后，等离子体在管道进、出口两端压强差的作用下, 均以恒定速率沿图示方向运动．忽略重力及离子间的相互作用力． ( 1 )图中、板哪一个是电源的正极． ( 2 )在推导磁流体发电机的电动势时，有多种方法．例如：将发电机内部的等离子体看做长度为，以速度切割磁感线的“导体棒”，可得．请你从另外两个角度证明上述结论． ( 3 )开关闭合，电路稳定后，电源的内阻为，外电路电阻为，求两板间某运动的带电离子沿电流方向受到的阻力． 【答案】 (1)板为电源正极 (2)方法 外电路断开时，路端电压等于电动势． 当离子所受洛伦兹力与电场力平衡时，离子将不再偏转，电源有稳定电动势． 联立解得：． 方法、由电动势的定义． ． 联立解得：． 方法电路接通时，克服安培力做功的功率等于电流做功的功率． 解得：． (3) 【解析】 (1)板为电源正极． (2)方法 外电路断开时，路端电压等于电动势． 当离子所受洛伦兹力与电场力平衡时，离子将不再偏转，电源有稳定电动势． 联立解得：． 方法、由电动势的定义． ． 联立解得：． 方法电路接通时，克服安培力做功的功率等于电流做功的功率． 解得：． (3)电路稳定后，电路中的电流． 两极板间的电压为路端电压：． 根据可知，稳定后离子运动时沿电流方向的分速度不变． 粒子沿电流方向受力平衡，有：． 联立解得：． 33 .利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域． ( 1 )如图1，将一半导体薄片垂直置于磁场中，在薄片的两个侧面、间通以电流时，另外两侧、间产生电势差，这一现象称为霍尔效应．其原因是薄片中能够自由移动的电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是在、间产生霍尔电压． 已知半导体薄片的厚度为，自由电荷的电荷量为，求薄片内单位体积中的自由电荷数． ( 2 )利用霍尔元件可以进行微小位移的测量．如图2所示，将两块完全相同的磁体同极相对放置，在两磁体间的缝隙中放入图1所示的霍尔元件，当霍尔元件处于中间位置时，霍尔电压为，将该点作为位移的零点．当霍尔元件沿着轴方向移动时，则有霍尔电压输出． 若该霍尔元件是电子导电的，在霍尔元件中仍通以由向的电流，那么如何由输出的霍尔电压判断霍尔元件由中间位置沿着轴向哪个方向移动？请分析说明． ( 3 )自行车测速码表的主要工作传感器也是霍尔传感器．如图3，霍尔元件固定在自行车前叉一侧，一块强磁铁固定在一根辐条上．当强磁铁经过霍尔元件时，使其产生电压脉冲．已知自行车在平直公路上匀速行驶，车轮与地面间无滑动，车轮边缘到车轴的距离为． ① 若单位时间内霍尔元件检测到个脉冲．求自行车行驶的速度大小． ② 图4中的两幅图哪个可以大致反映自行车正常行驶过程中车轮边缘一点相对地面的运动轨迹？请说明理由． 【答案】 (1) (2)霍尔元件向轴正方向移动；若侧电势高，说明霍尔元件向轴负方向移动，若输出的霍尔电压显示侧电势高说明霍尔元件向轴正方向移动． (3)① ②在自行车正常行驶时，车轮与地面之间不打滑，因此车轮与地面接触的一点相对地面的速度为，即车轮边缘一点运动到最低点时相对地面的速度为．甲图中的轨迹满足这一特点，而乙图中的轨迹的最低点的速度方向指向自行车行驶的反方向，不符合实际 【解析】 (1)设、两侧面之间的距离为，当电场力与洛伦兹力相等时， 又，其中， 代入得． 故答案为：． (2)层级：由输出的霍尔电压可知、两侧哪侧电势高，进而可判断霍尔元件沿着轴向哪个方向移动． 层级：由题意可知，两块磁体的中间位置合磁场的磁感应强度为，中间位置右侧的区域合磁场的方向向左，中间位置左侧的区域合磁场的方向向右．当霍尔元件处于中间位置右侧，且通有由向方向的电流时，根据左手定则可判断，自由电子受洛伦兹力的方向指向一侧，因此侧积累负电荷，侧积累正电荷，侧电势高；当霍尔元件处于中间位置左侧，情况则刚好相反，侧电势高．若输出的霍尔电压显示侧电势高，说明霍尔元件向轴正方向移动；若侧电势高，说明霍尔元件向轴负方向移动． 故答案为：霍尔元件向轴正方向移动；若侧电势高，说明霍尔元件向轴负方向移动，若输出的霍尔电压显示侧电势高说明霍尔元件向轴正方向移动． (3)①单位时间内霍尔元件检测到个脉冲，因此车轮转动的角速度自行车的行驶速度． 故答案为：． ②甲图可以反映自行车正常行驶过程中车轮边缘一点相对地面的运动轨迹． 参考答案：在自行车正常行驶时，车轮边缘上的一点同时参与两个运动，一是以速度和自行车一起向前做直线运动，二是以线速度绕车轴做圆周运动，因此车轮边缘上一点运动到最高点时相对地面的速度最大，大小为，运动到最低点时相对地面的速度最小，为．甲图中的轨迹满足这一特点，而乙图中的轨迹的最低点的速度方向指向自行车行驶的反方向，不符合实际． 参考答案：在自行车正常行驶时，车轮与地面之间不打滑，因此车轮与地面接触的一点相对地面的速度为，即车轮边缘一点运动到最低点时相对地面的速度为．甲图中的轨迹满足这一特点，而乙图中的轨迹的最低点的速度方向指向自行车行驶的反方向，不符合实际． 故答案为：在自行车正常行驶时，车轮与地面之间不打滑，因此车轮与地面接触的一点相对地面的速度为，即车轮边缘一点运动到最低点时相对地面的速度为．甲图中的轨迹满足这一特点，而乙图中的轨迹的最低点的速度方向指向自行车行驶的反方向，不符合实际． 学生总结    【教法备注】 真题演练 34 .如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为的中间有小孔的两平行金属板、和边长为的立方体构成，其后端面为喷口．以金属极的中心为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立、和坐标轴．、板之间存在场强为、方向沿轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿方向的分量始终为零，沿和方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调．氙离子（）束从离子源小孔射出，沿方向匀速运动到板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面射出．测得离子经电场加速后在金属板中心点处相对推进器的速度为．已知单个离子的质量为，电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量． ( 1 )求离子从小孔射出时相对推进器的速度大小． ( 2 )不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔射出的离子均能从喷口后端面射出，求的取值范围． ( 3 )设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期，单位时间从端面射出的离子数为，且，求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿轴方向的分力． 【教法备注】 中档学员保第一问冲第二问舍第三问。 【答案】 (1) (2) (3)，方向沿轴负方向 【解析】 (1)离子从小孔射出运动到金属板中心点处，根据动能定理有，解得离子从小孔射出时相对推进器的速度大小． (2) 当磁场仅有沿方向的分量取最大值时，离子从喷口的下边缘中点射出，根据几何关系有，根据洛伦兹力提供向心力有，解得．当磁场在和方向的分量同取最大值时，离子从喷口边缘交点射出，根据几何关系有，此时．根据洛伦兹力提供向心力有，解得，故的取值范围为． (3)粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示，，，由动量定理得，，则离子束对推进器作用力沿轴方向的分力． 35 .霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中．长方体半导体材料厚为 、宽为 、长为 ，以长方体三边为坐标轴建立坐标系 ，如图所示．半导体中有电荷量均为 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为 和 ．当半导体材料通有沿 方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，沿 方向，于是在 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为 ，沿 方向． ( 1 )判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向． ( 2 )若自由电子定向移动在沿 方向上形成的电流为 ，求单个自由电子由于定向移动在 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小 ． ( 3 )霍尔电场建立后，自由电子与空穴在 方向定向移动的速率分别为 、，求 时间内运动到半导体 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在 方向上形成的电流应满足的条件． 【答案】 (1)自由电子受到的洛伦兹力沿 方向． (2) (3)设 时间内在 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 、空穴数为 ，则 霍尔电场建立后，半导体 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则 ，即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在 方向形成的电流应大小相等、方向相反． 【解析】 (1)自由电子受到的洛伦兹力沿 方向． (2)设 时间内流过半导体垂直于 轴某一横截面自由电子的电荷量为 ，由电流定义式，有 ① 设自由电子在 方向上定向移动速率为 ，可导出自由电子的电流微观表达式为 ② 单个自由电子所受洛伦兹力大小为 ③ 霍尔电场力大小为 ④ 自由电子在 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式得其合力大小为 (3)设 时间内在 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为 、空穴数为 ，则 霍尔电场建立后，半导体 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则，即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在 方向形成的电流应大小相等、方向相反． 三、课堂总结 四、出门测 36 .如图所示，直角坐标系 xOy的第一象限存在沿 y轴负方向的匀强电场，在第二象限内处固定一个平行 x轴且足够长的挡板，且在第二象限中存在垂直 xOy平面向外的匀强磁场（图中未画出）．在处有一粒子源 P，能沿 x轴负方向以的速度发射质量为 m、电荷量为的粒子，粒子经过电场偏转后通过的 M点进入匀强磁场，忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力． ( 1 )求电场强度 E的大小； ( 2 )要使粒子垂直打到挡板上，求磁感应强度 B的大小． 【答案】 (1)； (2) 【解析】 (1)设粒子在电场中做类平抛运动的时间为 t，加速度大小为 a，沿 x轴负方向有 沿 y轴负方向有 又 联立解得电场强度的大小 (2)设粒子到达 y轴时速度方向与 x轴负方向的夹角为，则有 ， 可得 ， 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，由洛伦兹力提供向心力可得 要使粒子垂直打到挡板上，如图所示由几何关系可知 联立解得 37 .如图所示，平行金属板M 、N间存在匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场；在 xOy直角坐标平面内，第一象限有沿轴负方向场强为 E的匀强电场，第四象限有垂直坐标平面向里，磁感应强度为 B的匀强磁场．一质量为 m、电量为 q的正离子（不计重力）以水平向右、大小为的初速度沿平行于金属板方向射入两板间并做匀速直线运动．从 P点垂直轴进入第一象限，经过 x轴上的 A点射出电场，进入磁场．已知离子过 A点时的速度方向与 x轴成角．求： ( 1 )金属板M 、N间的电场强度； ( 2 )离子第一次离开第四象限磁场区域的位置 C（图中未画出）与坐标原点的距离 OC； ( 3 )若已知，只有在第四象限磁场反向且大小变化，其它条件均不变，要使正离子无法运动到第二象限，则磁感应强度 B大小应满足什么条件？ 【答案】 (1)； (2)； (3)或 【解析】 (1)根据题意分析可知正离子在M、N间受力平衡，即 解得 (2)作出正离子的运动轨迹如图所示． 正离子在第一象限中做类平抛运动，其加速度大小为 设正离子经过 A点时的速度大小为 v，根据速度的合成与分解有 解得 则正离子经过 A点时的竖直分速度大小为 正离子从 P点到 A点的运动时间为 所以 设正离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系可得 所以 (3)假设当磁感应强度大小为 B1时，正离子的运动轨迹恰好与 y轴相切，如图所示，根据几何关系可知正离子再次进入第一象限时速度方向与 x轴夹角为45°，且大小仍为 v，此后正离子将做类斜抛运动，根据类斜抛运动的对称性可知其在第一象限中运动的水平位移大小为2 OA，所以正离子将从 A点右侧再次进入第四象限做匀速圆周运动，由此可推知正离子将在第一和第四象限内往复运动，一定不会运动至第二象限，设此时正离子做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系可得 根据牛顿第二定律有 解得 当 B＞ B1时，正离子运动半径减小，结合上述分析可知仍将在第一和第四象限内做往复运动，无法运动至第二象限．所以正离子在没有进入第三象限的情况下无法运动至第二象限时磁感应强度大小应满足的条件是 假设当磁感应强度大小为 B2时，正离子刚好垂直于 y轴进入第三象限，如图所示．这种情况显然正离子也不会运动至第二象限．设此时正离子做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系可得 根据牛顿第二定律有 解得 当 B＜ B2时，正离子运动半径增大，进入第三象限时速度方向与 y轴负方向成锐角，不可能进入第二象限．所以正离子在进入第三象限的情况下无法运动至第二象限时磁感应强度大小应满足的条件是 学科网（北京）股份有限公司 $$