02.能量与动量专项复习-2024-2025学年高考物理二轮专题复习讲义

02.能量与动量专项复习 课前检测 思考1：变力做功有哪些求法？   思考2：功率的计算公式有哪些？   思考3：动量与冲量的关系是什么？   思考4：系统动量守恒的的条件是什么？   考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易  功和功率 2023 年浙江 卷 第4题 3 易 2023年北京卷 第11题 3 较易 机车启动 2021年湖南卷 第3题 4 中  动能定理 2023年浙江 1月 卷 第18题 11 中 2023年广东卷 第8题 6 中 2023年广东卷 第15题 15 较难 机械能守恒 2023年重庆卷 第8题 4 中 功能关系综合应用 202 3 年北京 卷 第18题 10 中 动量与冲量 2023年天津卷 第5题 4 中 动量定理 2023年全国乙 卷 第21题 6 中  动量守恒定律 2023年上海卷 第20题 16 中 2023年全国甲卷 第24题 12 较难 动能动量综合应用 2023年浙江6月卷 第18题 11 较难 目标解读 知识导图    课堂目标 运用机械能守恒定律求解多过程运动问题 灵活运动不同方法求解变力做功以及变力的冲量 掌握系统动量守恒的综合应用模型 课程重难点 能量守恒定律的综合运用 碰撞模型和类碰撞模型的综合应用 一、做功与能量 （一）功和功率表达式 计算功时的公式和注意事项 功的定义式求解时：功的定义式： ，需要分别考虑三个物理量，                                                                                                                                                                                   。要明确受力状态，做好受力分析，恒力做功比较简单，涉及变力做功时                                                                                                  ． 利用图像求解时：                                                    图像规则的问题， 比如图像为三角形，梯形，甚至圆形、圆弧等，要注意单位物理量的单位． 计算功率时公式和注意事项 首先明确求的是瞬时功率还是平均功率，求解瞬时功率时明确哪一时刻或哪一位置的瞬时功率，利用 求解；求平均功率时明确哪一时间段或哪一过程的平均功率，利用 求解． （二）机车启动问题 机车启动问题可分为恒功率启动和恒加速度启动 恒功率启动：汽车以恒功率启动过程中，做加速度                 的加速运动，此时匀变速直线运动规律不适用，牵引力做功可以利用 求解，配合动能定理或能量守恒定律求解问题． 恒加速度启动：汽车以恒加速度启动过程中，第一阶段汽车做初速度为零的匀加速运动（此阶段的最大速度       ） ，可用匀变速运动规律，第二阶段与恒功率启动相同，可用功率不变求解． 注意： 利用 求解时， 为                          ，不是合力． 经典例题 1 .(多选)如图甲所示，物体受到水平推力的作用，在粗糙水平面上做直线运动．通过力传感器和速度传感器监测到推力和物体速度随时间变化的规律如图乙所示．取．则（    ） A.物体的质量 B.物体与水平面间的动摩擦因数 C.第内物体克服摩擦力做的功 D.前内推力做功的平均功率 2 .(多选)一辆质量为、额定功率为的汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动，经过时间达到额定功率，此时的速度为，汽车行驶过程中阻力保持不变．下列说法正确的是（    ） A.汽车受到的阻力大小为 B.汽车受到的阻力大小为 C.在时间内汽车牵引力的平均功率 D.在时间内汽车牵引力的平均功率 知识点总结 巩固练习 3 .(多选)在奥运比赛项目中，跳台跳水是我国运动员的强项．某次训练中，质量为的跳水运动员从跳台自由下落后入水，在水中竖直向下减速运动．设空中下落时空气阻力不计，水对他的阻力大小恒为．那么在他入水后下降的过程中，下列说法正确的是（取）（    ） A.他的加速度大小为 B.他的动量减少了 C.他的动能减少了 D.他的机械能减少了 4 .(多选)在倾角为的光滑斜面上有两个用轻弹簧连接的物块和，它们的质量分别为和，弹簧的劲度系数为，为一固定挡板，系统处于静止状态．现用一沿斜面方向的恒力拉物块使之沿斜面向上运动，当刚离开时，的速度为，加速度方向沿斜面向上，大小为，则（    ） A.当的速度达到最大时，的加速度大小为 B.刚离开时，恒力对做功的功率为 C.从静止到刚离开的过程中，发生的位移为 D.从静止到刚离开的过,程中，重力对做的功为 5 .(多选)总质量为的汽车在平直公路上以速度匀速行驶时，发动机的功率为．司机为合理进入限速区，减小了油门，使汽车功率立即减小到并保持该功率继续行驶，设汽车行过程中所受阻力大小不变．从司机减小油门开始，汽车的图象如图，从汽车开始减速到再次达到匀速运动的过程中，行驶的位移为，汽车因油耗而改变的质量可忽略．则在该过程中，下列说法正确的是（    ） A.汽车再次匀速运动时速度大小为 B.t=0时刻，汽车的加速度大小为 C.汽车的牵引力不断减小 D.经历的时间为 学生总结 真题演练 6 .“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为，若动车组所受的阻力与其速率成正比（，为常量），动车组能达到的最大速度为．下列说法正确的是（    ） A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变 B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动 C.若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为 D.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 （三）动能定理 动能定理内容：                                                                                                                    利用动能定理解题的注意事项： ①动能定理虽然是在恒力作用下的直线运动中推导出来的，但也适用于                                                                                等情况； ②应用动能定理的关键在于写出                                                                                                                                                                                                                                ③当问题涉及力、位移、速度而不涉及时间、加速度时，                                                                                ④对于多过程问题，                                                                                                                                                       动能定理在系统中的运用 ①对于由存在相互作用的若干质点构成的系统，动能的增量在数值上等于 一切外力所做的功 与 一切内力所做的功 的代数和，称为 系统动能定理 ； ②由于作用力与反作用力                                                                                                                            ，所以对于系统只考虑外力做功二应用动能定理很可能出错，所以                                                                                                                                                                                                                                                  ③高中物理常用的处理方法： 确定内力只是弹力或静摩擦力（不发生相对运动）的系统，                                                                                                                                               确定内力为滑动摩擦力、爆炸力或电场力 （发生相对运动）的系统，                                                                                                                    经典例题 7 .(多选)如图所示，轻弹簧下端固定在粗糙斜面的挡板上，上端连接一小滑块（视为质点），弹簧处于自然状态时滑块位于点．先用外力缓慢地把滑块移至点，此时弹簧的弹性势能为，然后撤去外力，滑块沿斜面向上最高能滑到点，该过程中滑块的最大动能为，滑块的动能最大时其所在位置距点的距离为．下列说法正确的是（    ） A.滑块从点滑到点的过程中，其加速度大小先减小后增大 B.滑块从点滑到点的过程中，其动能一直增大 C.滑块经过距点距离为的位置时，其动能大于 D.滑块从点滑到点的过程中，克服摩擦阻力和克服重力做功的代数和为 题型总结 用动能定理解决问题思路：    巩固练习 8 .(多选)如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为，一端固定在倾角为的斜面底端，另一端与物块连接；两物块、质量均为，初始时均静止．现用平行于斜面向上的力拉动物块，使做加速度为的匀加速运动，、两物块在开始一段时间内的关系分别对应图乙中、图线(时刻、的图线相切，时刻对应图线的最高点)，重力加速度为，则（    ） A.时刻，弹簧形变量为 B.时刻，弹簧形变量为 C.从开始到时刻，拉力逐渐增大 D.从开始到时刻，拉力做的功比弹簧弹力做的功少 9 .机械臂广泛应用于机械装配．若某质量为的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为，提升高度为，如图所示．求：     ( 1 )提升高度为时，工件的速度大小； ( 2 )在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功． 学生总结 真题演练 10 .(多选)如图，一质量为 、长为 的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度 开始运动．已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为 ，当物块从木板右端离开时（    ） A.木板的动能一定等于 B.木板的动能一定小于 C.物块的动能一定大于 D.物块的动能一定小于 （四）机械能守恒定律 机械能守恒的条件 ：                                                                                                                                                                                                                                判断机械能守恒的两个角度 ① 用做功判断：                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   ② 用能量转化判断：                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        机械能守恒的三种形式 ① 守恒观点：  ，需要选择零势能面； ② 转化观点：  ，不需要选择零势能面； ③ 转移观点： ，不需要选择零势能面． 经典例题 11 .(多选)如图所示，质量为的物块放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连．现将质量为的钩码挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将由静止释放，当下降到最低点时（未着地），对水平桌面的压力刚好为零．轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块始终处于静止状态．以下判断正确的是（    ） A. B. C.在从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对先做正功后做负功 D.在从释放位置运动到速度最大的过程中，克服弹簧弹力做的功等于机械能的减少量 知识点总结 单个物体的机械能守恒 单个物体的机械能守恒比较简单，                                                                                                                                                                                                                                                                    系统的机械能守恒 系统机械能守恒通常出现在连接体问题中，与整体隔离法联系非常紧密．                                                                                                                                                                                                                                         而不必具体讨论物体在运动过程中的细节，这不但简化了计算，而且使得研究更加明确。 巩固练习 12 .(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块， O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由 A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达 B点。在从 A到 B的过程中，下列判断正确的是（        ） A.物块加速度先减小后增大 B.物块经过 O点时的速度最大 C.弹簧的弹性势能一直减小 D.物块所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功 13 .(多选)图甲为的小球从最低点冲入竖直放置在水平面上、半径为半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图象．已知小球恰能到达最高点，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计．取，为轨道中点，下列说法正确的是（    ） A.图甲中 B.小球从到损失了的机械能 C.小球从到合外力对其做的功为 D.小球从抛出后，落地点到的距离为 学生总结 真题演练 14 .如图所示，质量均为的木块和，用一个劲度系数为的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力向上缓慢拉直到刚好要离开地面，则这一过程中力做的功至少为（    ） A. B. C. D. （五）功能关系的综合运用 不同种力做功与能量变化的对应关系  经典例题 15 .(多选)如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙．一质量为的小球从轨道的最低点以初速度向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为，不计空气阻力．设小球过最低点时重力势能为零，下列说法正确的是（    ） A.若小球运动到最高点时速度为，则小球机械能一定不守恒 B.若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为 C.若使小球始终做完整的圆周运动，则一定不小于 D.若小球第一次运动到最高点时速度大小为，则 16 .(多选)如图所示，有五个完全相同、质量均为的滑块（可视为质点）用长均为的轻杆依次相连接，最右侧的第个滑块刚好位于水平面的点处，点左侧水平面光滑面、点右侧水平面由长的粗糙面和长的光滑面交替排列，且足够长，已知在恒力的作用下，第个滑块刚好进入点右侧后，第个滑块进入点右侧之前，滑块恰好做匀速直线运动，则可判断（重力加速度为）（    ） A.滑块与粗糙段间的动摩擦因数 B.第个滑块进入点后，滑块开始减速 C.第个滑块刚进入点后时的速度为 D.轻杆对滑块始终有弹力作用 知识点总结 巩固练习 17 .(多选)一质量为 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿 轴运动，出发点为 轴零点，拉力做的功 与物体坐标 的关系如图所示．物体与水平地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小取 ．下列说法正确的是（    ）     A.在 时，拉力的功率为 B.在 时，物体的动能为 C.从 运动到 ，物体克服摩擦力做的功为 D.从 运动到 的过程中，物体的动量最大为 18 .(多选)如图所示，两个物块、用轻质弹簧相连接，放置在倾角为的光滑斜面上，它们的质量均为，弹簧的劲度系数为，为一垂直斜面的固定挡板，系统处于静止状态．现用力沿斜面方向拉物块使之向上运动，当物块刚离开时，撤去拉力，重力加速度为，则此过程中（    ） A.物块沿斜面运动的位移大小为 B.物块的机械能先增大后减小 C.物块、及弹簧所组成的系统机械能一直增大 D.刚撤去拉力瞬间，物块的加速度大小为 19 .某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型．竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态．当滑块从 处以初速度 为 向上滑动时，受到滑杆的摩擦力 为 ，滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动．已知滑块的质量 ，滑杆的质量 ，、 间的距离 ，重力加速度 取 ，不计空气阻力．求： ​ ​ ( 1 )滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小 和 ； ( 2 )滑块与滑杆碰撞前瞬间的速度大小 ； ( 3 )滑杆向上运动的最大高度 ． 学生总结 真题演练 20 .为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置．水平直轨道 、 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道 与轨道 和足够长的水平直轨道 平滑相切连接．质量为 的滑块 与质量为 的滑块 用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道 上．现有质量 的滑块 以初速度 从 处进入，经 管道后，与 上的滑块 碰撞（时间极短）．已知传送带长 ，以 的速率顺时针转动，滑块 与传送带间的动摩擦因数 ，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 （ 为形变量）． ( 1 )求滑块 到达圆弧管道 最低点 时速度大小 和所受支持力大小 ． ( 2 )若滑块 碰后返回到 点时速度 ，求滑块 、 碰撞过程中损失的机械能 ． ( 3 )若滑块 碰到滑块 立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 ． 二、动量和 动量定理 （一）动量定理内容 动量定理的内容： 或             .  对动量定理的理解： ①动量定理中的冲量是指                                                      ； ②合力的冲量与物体                                                     方向相同．   多个力求冲量： ①若各力的作用时间相同且各外力为恒力，                             ； ②若各外力作用时间不同，        ……                    ． （二）动量定理的使用 动量定理的应用范围 ① 一般来说，用牛顿第二定律能解决的问题，用动量定理也能解决， 如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理求解更便捷 。动量定理不仅适用于恒力，也适用于变力问题。这种情况下，动量定理中的力 F 应理解为变力在作用时间内的                          . ② 动量定理的表达式是矢量式， 运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向， 公式中的 是物体或系统所受的                 . 应用动量定理解题的一般步骤 ① 明确研究对象和研究过程                                                                                                                                                                                                                                         ② 进行受力分析：                                                                                                                                                                                                                                                              ③ 规定                             ④ 写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量，根据动量定理列方程求解. 经典例题 21 .(多选)如图所示，在光滑半圆槽中有一质量为的小球，小球与圆槽以共同加速度在水平地面上向右作匀加速运动，加速度大小为，在它们的速度由增加到的过程中（    ） A.重力对物体的冲量为零 B.重力对物体做的功为零 C.圆槽对物体的支持力做功为 D.圆槽对物体的支持力的冲量大小为 22 .水刀切割具有精度高，无热变形、无毛刺，无需二次加工以及节约材料等特点，因而得到广泛应用．某水刀机床工作时，垂直射向钢板的圆柱形水流的横截面直径为，水流穿过钢板后速度方向不变，大小变为原来的一半．已知水的流量（单位时间流出水的体积）为，水的密度为，则钢板受到水的平均冲力大小为（    ） A. B. C. D. 23 .(多选)如图所示，光滑水平面 AB右端贴近相同高度的粗糙水平传送带 BC，传送带逆时针转动，速度大小始终为 v0。若物块P（可视为质点）以初速度 v从光滑水平面 AB上运动到传送带的 C端，系统产生的热量为 Q1，物块P受到的摩擦力的冲量为 I1；若物块P以初速度2 v从光滑水平面 AB上运动到传送带的 C端，系统产生的热量为 Q2，物块P受到的摩擦力的冲量为 I2，则下列关系式可能成立的是（　　） A. Q1= Q2 B. Q1=2 Q2 C. I1=2 I2 D. I1=3 I2 知识点总结 系统动量守恒： 即 或 ； 系统动能不增加： 速度符合场景：碰后若速度同向，则碰撞后 巩固练习 24 .如图所示，质量均为 m的木块 A和 B用一劲度系数为 k的轻弹簧相连，竖直放置在光滑的水平面上，木块 A上放有质量为2 m的木块 C，三者均处于静止状态，现将木块 C迅速移开，若重力加速度为 g。则下列说法中正确的是（　　） A.木块 C移开的瞬间，地面对木块 B的支持力为2 mg B.木块 C移开的瞬间，木块 A的加速度大小为3 g C.木块 A向上运动的距离为时， A的动量最大 D.木块 B可能离开地面向上运动 25 .水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点，得到广泛应用．某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为的水流以速度垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零，已知水的密度为，则钢板受到水的冲力大小为（    ） A. B. C. D. 26 .质量的篮球从距地板高处由静止释放，与水平地板撞击后反弹上升的最大高度，篮球与地板接触时间为，忽略空气阻力，重力加速度取．求： ( 1 )篮球从开始下落到反弹到最高点的过程中重力的冲量大小． ( 2 )篮球与地板的撞击过程中篮球动量的变化量． ( 3 )篮球对地板的平均撞击力． 学生总结 真题演练 27 .质量为的列车匀速行驶，突然以大小的力制动刹车直到列车停止，过程中恒受到的空气阻力，下列说法正确的是（    ） A.减速运动加速度大小 B.力的冲量为 C.刹车距离为 D.匀速行驶时功率为 （三）动量守恒定律 1．注意区分动量守恒与机械能守恒的条件 （1）                                                                                                                                                                 系统的动量守恒；                                                                                                                             ，系统的动量近似守恒；当某一方向上的合外力为零，系统在该方向上动量守恒； （2）在                                                                                                                             动能与势能相互转化，机械能守恒； （3）动量是否守恒与机械能是否守恒没有必然的联系． 2．抓住“一判断、三原则、三定律”速解碰撞问题 （1）判断两物体碰撞瞬间的情况                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              （2）碰撞的三原则 动量守恒原则 ，                                                                                                                                                                                                   能量不增加原则 ，                                                                                                                                                                                                            物理情境可行性原则 ，                                                                                                                                                                                           （3）合理选用定律 如果物体间发生的是弹性碰撞，                                                                                                                                                                                                                                如果物体间发生的不是弹性碰撞，                                                                                                                                                                                                                                                        （四）碰撞模型   碰撞的分类  ①能量是否守恒 弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒 非弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大 ②碰撞前后动量是否共线 对心碰撞（正碰） 碰撞前、后速度共线 非对心碰撞（斜碰） 碰撞前、后速度不共线 完全非弹性碰撞是指碰撞结束时两物体的速度相同的情况 弹性碰撞： 质量为 与质量为 的物体分别以速度 、 运动并发生对心碰撞，碰撞过程中无机械能损失（如图所示）．设碰后两物体的速度分别为 和 ． 据动量守恒得 ① 据机械能守恒得： ② 由①②两式得 由上述表达式可以看出： 若 ，则 ， ， 即 的速度几乎不变． 若 ，则 ， ，即速度交换． 若 ，则 ， ，即 的速度几乎不变． 得到结论： 即弹性碰撞前后相对速度大小不变，方向反向． 非弹性碰撞 非弹性碰撞的过程中，碰后系统总动能小于碰前系统总动能，系统动量仍守恒，在对心碰撞中： 完全非弹性碰撞 当碰后速度 时，系统损失的动能最大，称为完全非弹性碰撞： 例："一动一静”弹性正碰模型 如图所示，在光滑水平面上质量为 的小球以速度 与质量为 的静止小球发生弹性正碰．讨论碰后两球的速度 和 ．根据动量守恒和机械能守恒有： ， 解上面两式可得： 碰后 的速度 ， 碰后 的速度 ． 经典例题 28 .(多选)如图所示，一质量为 m、长为 L的木板A静止在光滑水平面上，其左侧固定一劲度系数为 k的水平轻质弹簧，弹簧原长为，右侧用一不可伸长的轻质细绳连接于竖直墙上。现使一可视为质点的小物块B以初速度从木板的右端无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧。设B的质量为，当时细绳恰好被拉断。已知弹簧弹性势能的表达式，其中 k为劲度系数， x为弹簧的压缩量。则（　　）    A.细绳所能承受的最大拉力 B.当时，小物块B滑离木板A时木板运动的对地位移 C.当时，细绳被拉断后长木板的最大加速度 D.为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，应大于等于2 29 .(多选)质量分别为、的A、B两物体连接在轻质弹簧两端，用轻质细线拴住A、B，弹簧被压缩，整体放置在光滑的水平面上处于静止状态。如图甲所示，若A靠在墙角，突然烧断细线，当弹簧恢复原长时，B的速度为 v，如图乙所示，若A不靠在墙角，也突然烧断细线。规定水平向右为正方向，下列说法正确的是（　　） A.烧断细线之前弹簧的弹性势能为 B.对甲图，烧断细线后当弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能为 C.对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A、B的动能之比 D.对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A的动量为 知识点总结 巩固练习 30 .(多选)如图所示，一个质量为的木箱静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个质量为的小木块，现使木箱瞬间获得一个水平向左的初速度，下列说法正确的是（    ） A.最终小木块和木箱都将静止 B.最终小木块和木箱组成的系统损失机械能为 C.木箱速度为时，小木块的速度为 D.最终小木块的速度为 31 .(多选)光滑水平面上，小球、（可视为质点）沿同一直线相向运动，球质量为，球质量大于球质量．如果两球间距离小于时两球之间会产生大小恒定的斥力，大于时作用力消失．两球运动的速度时间关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A.球质量为 B.两球之间的斥力大小为 C.时，两球发生非弹性碰撞 D.最终球速度为零 32 .如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，轴与绝缘的水平面重合，在轴右方有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，质量为 的不带电小物块静止在原点，点距点 ，质量的带电小物块以初速度从点水平向右运动，在点与 发生正碰并把部分电量转移到上，碰撞后的速度为 ，此后不再考虑、间的库仑力，已知电场强度， 小物块与水平面的动摩擦因数为 ，取，求： ( 1 )碰后的速度． ( 2 )若碰后做匀速圆周运动且恰好通过点，与轴的夹角 ，长为 ，求磁感应强度的大小． ( 3 )其它条件不变，若改变磁场磁感应强度的大小为，使离开第一象限后落地时能与再次相碰，求的大小． 真题演练 33 .某户外大型闯关游戏“渡河”环节中，选手从高台俯冲而下，为了解决速度过快带来的风险，设计师设计了如图所示的减速装置．浮于河面的B板紧靠缓冲装置A板，B的左侧放置一物体C．选手通过高台光滑曲面下滑，经过A后滑上B．已知A、B的质量均为，C的质量为．A、B的长度均为 L＝3m，人与A、B间的动摩擦因数均为，A与地面间的动摩擦因数．B在水中运动时受到的阻力是其所受浮力的0.1倍，B碰到河岸后立即被锁定．不计水流速度，选手和物体C均可看作质点，，则： ( 1 )为了防止A滑动而出现意外，选手及装备的质量最大不超过多少？ ( 2 )若选手及装备的质量为60kg，从的高台由静止开始滑下，经过A后与C发生碰撞后一起运动，碰撞时间极短可忽略，求在此碰撞过程中系统损失的机械能？ ( 3 )在第（2）问前提下，人与C碰撞后经0.5s恰好与平板B速度相同，要使选手能够到达河岸，河岸的最大宽度 d为多少？ （五）类碰撞模型 弹簧模型： 如图中，光滑水平面上的 物体以速度 去撞击静止的 物体， 、 两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大，                                                                                                                                                                         滑块问题： 在图中，物体 以速度 滑到静止在光滑水平面上的小车 上，当 在 上滑行的距离最远时， 、 相对静止， 、 的速度必定相等，系统损失的动能等于 、 间摩擦产生的热量． 可以求滑行距离，恰好不滑下的最小板长以及物块不滑下的最大速度。子弹打物块模型： 在图中，子弹以速度 射人静止在光滑水平面上的木块中．当子弹不穿出时，子弹和木块最终的速度必定相等，                                                                                                                                                                                                             圆轨模型： 如图所示，质量为 的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为 的小球以速度 向滑块滚来．设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球在竖直方向上的速度为零），两者的速度肯定相等（方向为水平向右），                                                                                                                                                                         人船模型： 相互作用的两个物体原来都 处于静止状态，初动量为零，且满足动量守恒条件． 特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人上“船”下，人左“船”右． 由动量守恒定律，    即  ．（任意时刻都成立） 所以有，   即   ； 联立解      与         得      ， ．爆炸模型： 爆炸过程中，其他形式的能量转化为机械能； 爆炸过程中，内力远大于外力，动量守恒． 反冲现象： 中系统的动量是守恒的； 质量为 的物体以对地速度 抛出其本身的一部分，若该部分质量为 ，则剩余部分对地反冲速度为： ． 注意： 反冲运动中的已知条件常常是物体的相对速度，在应用动量守恒定律时，应将相对速度转换为相对于地面的速度（一般为对地速度）． 经典例题 34 .质量为 的气球上有一个质量为 的人，气球和人在静止的空气中共同静止于离地 高处，如果从气球上逐渐放下一个质量不计的软梯，让人沿软梯降到地面，则软梯长至少应为（     ） A. B. C. D. 35 .如图（a）所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个点电荷．时，甲静止，乙以的初速度向甲运动．此后，它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动（整个运动过程中没有接触），它们运动的图像分别如图（b）中甲、乙两曲线所示．则由图线可知（    ） A.两点电荷的电性一定相反 B.甲的动能一直增大，乙的动能一直减小 C.甲乙达到共速时，乙的位移大于倍甲的位移 D.乙速度为零两点电荷的电势能最大 36 .如图所示，质量为的滑块的右半部分是光滑的四分之一圆弧轨道，轨道半径为，圆弧轨道的最低点与水平面相切，质量为（为正整数）的物块左侧固定一水平轻弹簧，滑块和物块都静止在光滑水平面上．质量为的小物块（可视为质点）从圆弧轨道的最高点由静止释放，离开滑块后继续向右运动与弹簧发生相互作用．重力加速度为．求： （1）小物块离开滑块时的速度大小； （2）当时弹簧的最大弹性势能； （3）至少为多少时，小物块能追上滑块，此种情况下小物块运动至最高点时的速度是多大． 知识点总结 巩固练习 37 .质量为的小孩站在质量为的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦．小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为，此时滑板的速度大小为（    ） A. B. C. D. 38 .一质量为的小球以的速度和静止于光滑水平面上质量为的另一大小相同的小球发生正碰，碰撞后它以的速度反弹．求： ( 1 )原来静止小球获得的速度大小． ( 2 )碰撞过程中损失的机械能． 39 .如图所示，一倾角为的光滑斜面固定于水平地面上， Q为斜面顶点， P为斜面上一点，同一竖直平面内有固定点 O， O、 P连线垂直于斜面， OP= l， P、 Q间距离 xPQ= l，长度为 l的轻绳一端系于 O点，另一端系质量为 m的小球A，质量为 M=4 m的滑块B在一锁定装置作用下静止于斜面上的 P点。现将A球拉至与 O点等高的水平位置，拉直轻绳，以竖直向下的初速度 v0释放，A与B发生碰撞前一瞬间，锁定装置解除，A、B均视为质点，碰撞过程中无能量损失，重力加速度为 g。(1)求小球A通过最低点 C点时，绳对小球拉力的大小；(2)求小球A与滑块B碰撞后瞬间，小球A和滑块B的速度 vA和 vB；(3)若A、B碰后，滑块B能沿斜面上滑越过 Q点，且小球A在运动过程中始终不脱离圆轨道，求初速度 v0的取值范围？ 学生总结 真题演练 40 .如图所示、光滑平面上静止放置两厚度相同的木板A和B。A长度为，A、B的质量均为。一可视为质点，质量为的小物体C从A的左侧以水平向右的速度滑上A的上表面，C与A、B间的动摩擦因数均为，已知A和B发生碰撞前C和A的速度已经相等，且C处在A的最右端，碰撞后A、B被锁定在一起，求：（1）动摩擦因数；（2）若C恰好没从B上落下，B的长度为多少？ 三、课堂总结    四、出门测 41 .足够长的木板C静止在足够大的光滑水平面上，距C的左端处的 P点放有一物块B，物块A以大小的水平初速度滑上木板的左端，如图所示。A、B（均视为质点）的质量均为，C的质量，A、B与木板C间的动摩擦因数均为，A、B间的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。求：（1）A、B碰撞前的瞬间，A的速度大小；（2）最终B与 P点间的距离 x；（3）整个过程中因摩擦产生的热量 Q。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02.能量与动量专项复习 课前检测 【教法备注】 思考1：变力做功有哪些求法？   【教法备注】 常用的方法有： ①功率乘时间；②动能定理；③平均力做功；④面积法；⑤微元法；⑥等效法 思考2：功率的计算公式有哪些？   【教法备注】 （①平均功率与瞬时功率②注意力与速度的方向） 思考3：动量与冲量的关系是什么？   【教法备注】 根据动量定理：合外力产生的冲量等于物体动量的变化量 提示：动量定理的表达式可以用牛二和加速度的定义公式推导 思考4：系统动量守恒的的条件是什么？   【教法备注】 ① 系统不受外力或所受外力的矢量和为零； ② 单方向动量守恒； ③ 内力远大于外力（爆炸、反冲等） 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易  功和功率 2023 年浙江 卷 第4题 3 易 2023年北京卷 第11题 3 较易 机车启动 2021年湖南卷 第3题 4 中  动能定理 2023年浙江 1月 卷 第18题 11 中 2023年广东卷 第8题 6 中 2023年广东卷 第15题 15 较难 机械能守恒 2023年重庆卷 第8题 4 中 功能关系综合应用 202 3 年北京 卷 第18题 10 中 动量与冲量 2023年天津卷 第5题 4 中 动量定理 2023年全国乙 卷 第21题 6 中  动量守恒定律 2023年上海卷 第20题 16 中 2023年全国甲卷 第24题 12 较难 动能动量综合应用 2023年浙江6月卷 第18题 11 较难 目标解读 知识导图    课堂目标 运用机械能守恒定律求解多过程运动问题 灵活运动不同方法求解变力做功以及变力的冲量 掌握系统动量守恒的综合应用模型 课程重难点 能量守恒定律的综合运用 碰撞模型和类碰撞模型的综合应用 一、做功与能量 （一）功和功率表达式 计算功时的公式和注意事项 功的定义式求解时：功的定义式： ，需要分别考虑三个物理量， 是否是变力，位移如何变化，角度是否变化等 。要明确受力状态，做好受力分析，恒力做功比较简单，涉及变力做功时 可以采用平均力的方法等 ． 利用图像求解时： 面积法适用于 图像规则的问题， 比如图像为三角形，梯形，甚至圆形、圆弧等，要注意单位物理量的单位． 计算功率时公式和注意事项 首先明确求的是瞬时功率还是平均功率，求解瞬时功率时明确哪一时刻或哪一位置的瞬时功率，利用 求解；求平均功率时明确哪一时间段或哪一过程的平均功率，利用 求解． （二）机车启动问题 机车启动问题可分为恒功率启动和恒加速度启动 恒功率启动：汽车以恒功率启动过程中，做加速度 减小 的加速运动，此时匀变速直线运动规律不适用，牵引力做功可以利用 求解，配合动能定理或能量守恒定律求解问题． 恒加速度启动：汽车以恒加速度启动过程中，第一阶段汽车做初速度为零的匀加速运动（此阶段的最大速度 ） ，可用匀变速运动规律，第二阶段与恒功率启动相同，可用功率不变求解． 注意： 利用 求解时， 为 牵引力 ，不是合力． 【教法备注】 以恒功率启动过程中，先做加速度减小的加速运动，达到最大速度之后做匀速运动以恒定加速度启动过程中，先做匀加速 ，再做加速度减小的加速 ，达到最大速度后做匀速 经典例题 1 .(多选)如图甲所示，物体受到水平推力的作用，在粗糙水平面上做直线运动．通过力传感器和速度传感器监测到推力和物体速度随时间变化的规律如图乙所示．取．则（    ） A.物体的质量 B.物体与水平面间的动摩擦因数 C.第内物体克服摩擦力做的功 D.前内推力做功的平均功率 【答案】 AC 【解析】 无解析 2 .(多选)一辆质量为、额定功率为的汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运动，经过时间达到额定功率，此时的速度为，汽车行驶过程中阻力保持不变．下列说法正确的是（    ） A.汽车受到的阻力大小为 B.汽车受到的阻力大小为 C.在时间内汽车牵引力的平均功率 D.在时间内汽车牵引力的平均功率 【答案】 BC 【解析】 A选项，B选项：汽车先以恒定牵引力做匀速直线运动，经过时间加速到速度，则加速度，，设阻力为，则，可得，故A错误，故B正确； C选项，D选项：在时间内，牵引力恒定为，则汽车牵引力的平均功率为，故C正确，故D错误； 故选BC． 知识点总结 巩固练习 3 .(多选)在奥运比赛项目中，跳台跳水是我国运动员的强项．某次训练中，质量为的跳水运动员从跳台自由下落后入水，在水中竖直向下减速运动．设空中下落时空气阻力不计，水对他的阻力大小恒为．那么在他入水后下降的过程中，下列说法正确的是（取）（    ） A.他的加速度大小为 B.他的动量减少了 C.他的动能减少了 D.他的机械能减少了 【答案】 AC 【解析】 A．根据牛顿第二定律：，代入数据解得加速度大小为，故A正确； B．自由下落后，根据，可得运动员的速度为，在水中下落后速度为：，代入数据得，他的动量减少了：，故B错误； C．减速下降的过程中，根据动能定理，动能的变化量等于合力做的功为：，故C正确； D．减速下降的过程中，机械能的减小量等于克服阻力做的功为：，故D错误. 故选AC． 4 .(多选)在倾角为的光滑斜面上有两个用轻弹簧连接的物块和，它们的质量分别为和，弹簧的劲度系数为，为一固定挡板，系统处于静止状态．现用一沿斜面方向的恒力拉物块使之沿斜面向上运动，当刚离开时，的速度为，加速度方向沿斜面向上，大小为，则（    ） A.当的速度达到最大时，的加速度大小为 B.刚离开时，恒力对做功的功率为 C.从静止到刚离开的过程中，发生的位移为 D.从静止到刚离开的过,程中，重力对做的功为 【答案】 AC 【解析】 A．当的速度达到最大时，受到的合力为，则：，所以，沿斜面方向受到力：，解得，故A正确； B．根据牛顿第二定律得：，解得，则恒力对做功的功充，故B错误； C．开始处于静止状态，弹簧处于压缩，根据平衡有：，解得弹簧的压缩量为，当刚离开时，对挡板的弹力为零，有，解得弹簧的伸长为，可知从静止到刚离开的过程中，发生的位移，故C正确； D．从静止到刚离开的过程中，重力对做的功，故D错误． 故选AC． 5 .(多选)总质量为的汽车在平直公路上以速度匀速行驶时，发动机的功率为．司机为合理进入限速区，减小了油门，使汽车功率立即减小到并保持该功率继续行驶，设汽车行过程中所受阻力大小不变．从司机减小油门开始，汽车的图象如图，从汽车开始减速到再次达到匀速运动的过程中，行驶的位移为，汽车因油耗而改变的质量可忽略．则在该过程中，下列说法正确的是（    ） A.汽车再次匀速运动时速度大小为 B.t=0时刻，汽车的加速度大小为 C.汽车的牵引力不断减小 D.经历的时间为 【答案】 ABD 【解析】 无解析 学生总结 真题演练 6 .“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为，若动车组所受的阻力与其速率成正比（，为常量），动车组能达到的最大速度为．下列说法正确的是（    ） A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变 B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动 C.若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为 D.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 【答案】 C 【解析】 无解析 （三）动能定理 动能定理内容： 合外力做功等于动能的变化量 利用动能定理解题的注意事项： ①动能定理虽然是在恒力作用下的直线运动中推导出来的，但也适用于 变力做功、曲线运动 等情况； ②应用动能定理的关键在于写出 各个力做功的代数和，不要漏掉某个力，注意功的正负； ③当问题涉及力、位移、速度而不涉及时间、加速度时， 优先考虑动能定理； ④对于多过程问题， 可利用全过程动能定理，计算量更小．动能定理在系统中的运用 ①对于由存在相互作用的若干质点构成的系统，动能的增量在数值上等于 一切外力所做的功 与 一切内力所做的功 的代数和，称为 系统动能定理 ； ②由于作用力与反作用力所做的功的代数和不一定等于零 ，所以对于系统只考虑外力做功二应用动能定理很可能出错，所以 往往把系统内各质点隔离分析，分别应用动能定理比较合适； ③高中物理常用的处理方法： 确定内力只是弹力或静摩擦力（不发生相对运动）的系统， 可将系统当一整体用动能定理求解； 确定内力为滑动摩擦力、爆炸力或电场力 （发生相对运动）的系统， 分别对单个物体列动能定理． 经典例题 7 .(多选)如图所示，轻弹簧下端固定在粗糙斜面的挡板上，上端连接一小滑块（视为质点），弹簧处于自然状态时滑块位于点．先用外力缓慢地把滑块移至点，此时弹簧的弹性势能为，然后撤去外力，滑块沿斜面向上最高能滑到点，该过程中滑块的最大动能为，滑块的动能最大时其所在位置距点的距离为．下列说法正确的是（    ） A.滑块从点滑到点的过程中，其加速度大小先减小后增大 B.滑块从点滑到点的过程中，其动能一直增大 C.滑块经过距点距离为的位置时，其动能大于 D.滑块从点滑到点的过程中，克服摩擦阻力和克服重力做功的代数和为 【答案】 ACD 【解析】 A选项：滑块从点滑到点的过程中，弹簧的弹力逐渐减小直至零，弹簧的弹力先大于重力沿斜面的分力和滑动摩擦力之和，再等于重力沿斜面的分力和滑动摩擦力之和，后小于重力沿斜面的分力和滑动摩擦力之和，合外力先沿斜面向上，随着弹簧的减小，合外力减小，则加速度减小．合外力后沿斜面向下，随着弹簧的减小，合外力反向增大，则加速度反向增大，所以加速度大小先减小后增大，故A正确； B选项：在间的某个位置滑块的合外力为零，速度最大，所以滑块从点滑到点的过程中，速度先增大后减小，则动能先增大后减小，故B错误； C选项：设动能最大的位置为，从到，由动能定理得：．设距点距离为的位置为，此位置动能为．滑块从到的过程，由动能定理得：．因为，，， ，可得， ，故C正确； D选项：滑块从点滑到点的过程中，根据动能定理得：，又，则得，即克服摩擦阻力和克服重力做功的代数和为，故D正确． 故选A、C、D。 题型总结 用动能定理解决问题思路：    【教法备注】 巩固练习 8 .(多选)如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为，一端固定在倾角为的斜面底端，另一端与物块连接；两物块、质量均为，初始时均静止．现用平行于斜面向上的力拉动物块，使做加速度为的匀加速运动，、两物块在开始一段时间内的关系分别对应图乙中、图线(时刻、的图线相切，时刻对应图线的最高点)，重力加速度为，则（    ） A.时刻，弹簧形变量为 B.时刻，弹簧形变量为 C.从开始到时刻，拉力逐渐增大 D.从开始到时刻，拉力做的功比弹簧弹力做的功少 【答案】 BD 【解析】 A．由图知，时刻的加速度为零，速度最大，根据牛顿第二定律和胡克定律得：，则得：，故A错误； B．由图读出，时刻开始分离，对根据牛顿第二定律： ，所以，故B正确； C．从开始到时刻开始分离，对整体，在分离之前根据牛顿第二定律得：，由此式可知拉力逐渐增大；从时刻以后，以物体为研究对象，根据牛顿第二定律得：，由此式可知，拉力不变，故C错误； D．由图读出，时刻开始分离，对根据牛顿第二定律：① 开始时有：② 从开始到时刻，弹簧释放的势能③ 从开始到时刻的过程中，根据动能定理得： ④ ⑤ 由①②③④⑤解得= 拉力做的功比弹簧弹力做的功少；故D正确． 故选BD． 9 .机械臂广泛应用于机械装配．若某质量为的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为，提升高度为，如图所示．求：     ( 1 )提升高度为时，工件的速度大小； ( 2 )在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功． 【答案】 (1) (2)， 【解析】 (1)根据匀变速直线运动位移与速度关系有 解得 (2)根据速度公式有 解得 根据动能定理有 解得 学生总结 真题演练 10 .(多选)如图，一质量为 、长为 的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度 开始运动．已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为 ，当物块从木板右端离开时（    ） A.木板的动能一定等于 B.木板的动能一定小于 C.物块的动能一定大于 D.物块的动能一定小于 【答案】 BD 【解析】 设物块离开木板时的速度为 ，此时木板的速度为 ，由题意可知 设物块的对地位移为 ，木板的对地位移为 ， A选项，B选项：因摩擦产生的热量 根据运动学公式 因为 可得 则 所以由动能定理得木板的动能等于摩擦力对木板做的功 故B正确，A错误； C选项，D选项：根据能量守恒定律可得 整理可得 故D正确，C错误． 故选BD． （四）机械能守恒定律 机械能守恒的条件 ： 物体或系统只有重力或者弹簧弹力做功时，机械能守恒． 判断机械能守恒的两个角度 ① 用做功判断： 若物体(或系统)只受重力(或系统内弹力)，或者虽受其他力，但其他力不做功，则机械能守恒； ② 用能量转化判断： 若物体(或系统)只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式能的相互转化，则机械能守恒． 机械能守恒的三种形式 ① 守恒观点：  ，需要选择零势能面； ② 转化观点：  ，不需要选择零势能面； ③ 转移观点： ，不需要选择零势能面． 【教法备注】 机械能守恒的三种表达方式： 前后能量总和保持不变：势能和动能的转换相等： 能量增减的变化量相等：  （系统中一部分物体的机械能增加量等于剩余部分机械能的减少量） 经典例题 11 .(多选)如图所示，质量为的物块放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连．现将质量为的钩码挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将由静止释放，当下降到最低点时（未着地），对水平桌面的压力刚好为零．轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块始终处于静止状态．以下判断正确的是（    ） A. B. C.在从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对先做正功后做负功 D.在从释放位置运动到速度最大的过程中，克服弹簧弹力做的功等于机械能的减少量 【教法备注】 老师带着学生引导做，题目难度较大 【答案】 ACD 【解析】 AB选项：由题意可知物体可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，根据简谐运动的对称性，在最低点的加速度为竖直向上的，由牛顿第二定律得：，解得在最低点时有弹簧弹力为：；对分析，设绳子与桌面间夹角为 ，根据对水平桌面的压力刚好为零，有：，故有，故A正确，B错误； C选项：由题意可知从释放位置到最低点过程中，开始弹簧弹力小于重力，物体加速，合力做正功；后来弹簧弹力大于重力，物体减速，合力做负功，故C正确； D选项：对于，在从释放到速度最大过程中，机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功，即机械能的减少量等于克服弹簧弹力所做的功，故D正确； 故选ACD． 知识点总结 单个物体的机械能守恒 单个物体的机械能守恒比较简单， 只是物体动能和势能的相互转化，注意判别物体是否机械能守恒； 系统的机械能守恒 系统机械能守恒通常出现在连接体问题中，与整体隔离法联系非常紧密． 通常研究的是宏观低速的物体系在初末两状态的运动问题， 而不必具体讨论物体在运动过程中的细节，这不但简化了计算，而且使得研究更加明确。 巩固练习 12 .(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块， O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由 A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达 B点。在从 A到 B的过程中，下列判断正确的是（        ） A.物块加速度先减小后增大 B.物块经过 O点时的速度最大 C.弹簧的弹性势能一直减小 D.物块所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功 【答案】 AD 【解析】 由 A点开始运动时合力向右，小物块向右加速运动，弹簧压缩量逐渐减小，弹性势能减小，减小，根据牛顿第二定律得 因此 a减小，当运动到时， a减小为零，此时弹簧仍处于压缩状态，由于惯性，小物块继续向右运动，此时，小物块做减速运动，且随着压缩量继续减小，与差值增大，即加速度增大；当越过 O点后，弹簧被拉伸，此时弹力方向与摩擦力方向相同，因此 随着拉伸量增大，弹性势能增大，也增大，故从 A到 B过程中，物块加速度先减小后增大，在压缩状态时速度达到最大，弹性势能先减小后增大，由动能定理知， A到 B的过程中，弹力做功和摩擦力做功之和为0，故BC为错误选项，AD为正确选项。故答案为AD。 13 .(多选)图甲为的小球从最低点冲入竖直放置在水平面上、半径为半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图象．已知小球恰能到达最高点，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计．取，为轨道中点，下列说法正确的是（    ） A.图甲中 B.小球从到损失了的机械能 C.小球从到合外力对其做的功为 D.小球从抛出后，落地点到的距离为 【答案】 ACD 【解析】 无解析 学生总结 真题演练 14 .如图所示，质量均为的木块和，用一个劲度系数为的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力向上缓慢拉直到刚好要离开地面，则这一过程中力做的功至少为（    ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 开始时，、都处于静止状态，弹簧的压缩量设为，由胡克定律有； 物体恰好离开地面时，弹簧的拉力等于的重力，设此时弹簧的伸长量为，由胡克定律有，这一过程中，物体上升的高度，弹簧的弹性势能变化量为零，根据能量守恒可知，力做的功等于的重力势能的增加量，所以，故B正确，A、C、D错误． 故选B． （五）功能关系的综合运用 不同种力做功与能量变化的对应关系  经典例题 15 .(多选)如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙．一质量为的小球从轨道的最低点以初速度向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为，不计空气阻力．设小球过最低点时重力势能为零，下列说法正确的是（    ） A.若小球运动到最高点时速度为，则小球机械能一定不守恒 B.若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为 C.若使小球始终做完整的圆周运动，则一定不小于 D.若小球第一次运动到最高点时速度大小为，则 【答案】 AC 【解析】 无解析 16 .(多选)如图所示，有五个完全相同、质量均为的滑块（可视为质点）用长均为的轻杆依次相连接，最右侧的第个滑块刚好位于水平面的点处，点左侧水平面光滑面、点右侧水平面由长的粗糙面和长的光滑面交替排列，且足够长，已知在恒力的作用下，第个滑块刚好进入点右侧后，第个滑块进入点右侧之前，滑块恰好做匀速直线运动，则可判断（重力加速度为）（    ） A.滑块与粗糙段间的动摩擦因数 B.第个滑块进入点后，滑块开始减速 C.第个滑块刚进入点后时的速度为 D.轻杆对滑块始终有弹力作用 【答案】 AC 【解析】 A．个滑块刚好进入点右侧后，第个滑块进入点右侧之前，滑块恰好做匀速直线运动，则，解得，故A正确； B．第个滑块进入点后，第三个滑出粗糙面，此时受到摩擦力还是，还是匀速运动，故B错误； C．第个滑块刚进入点时，根据动能定理可知，解得，故C正确； D．在匀速阶段，轻杆对滑块无弹力作用，故D错误． 故选AC． 知识点总结 巩固练习 17 .(多选)一质量为 的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿 轴运动，出发点为 轴零点，拉力做的功 与物体坐标 的关系如图所示．物体与水平地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小取 ．下列说法正确的是（    ）     A.在 时，拉力的功率为 B.在 时，物体的动能为 C.从 运动到 ，物体克服摩擦力做的功为 D.从 运动到 的过程中，物体的动量最大为 【答案】 BC 【解析】 由于拉力在水平方向，则拉力做的功 ，可如题图中图线的斜率代表拉力 ． AB．在物体运动的过程中根据动能定理有 ，则 时物体的速度 ，在 时，拉力 ，拉力的功率 ， 时物体的动能 ，故A错误、B正确； C．从 运动到 时，物体克服摩擦力做的功为 ，故C正确； D．根据题图可知，在 的过程中 ， 的过程中 ，由于物体受到的摩擦力恒为 ，则物体在 处速度最大，且根据选项AB的分析可知此时的速度 ，则从 运动到 的过程中，物体的最大动量 ，故D错误． 故选BC． 18 .(多选)如图所示，两个物块、用轻质弹簧相连接，放置在倾角为的光滑斜面上，它们的质量均为，弹簧的劲度系数为，为一垂直斜面的固定挡板，系统处于静止状态．现用力沿斜面方向拉物块使之向上运动，当物块刚离开时，撤去拉力，重力加速度为，则此过程中（    ） A.物块沿斜面运动的位移大小为 B.物块的机械能先增大后减小 C.物块、及弹簧所组成的系统机械能一直增大 D.刚撤去拉力瞬间，物块的加速度大小为 【答案】 CD 【解析】 无解析 19 .某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型．竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态．当滑块从 处以初速度 为 向上滑动时，受到滑杆的摩擦力 为 ，滑块滑到 处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动．已知滑块的质量 ，滑杆的质量 ，、 间的距离 ，重力加速度 取 ，不计空气阻力．求： ​ ​ ( 1 )滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小 和 ； ( 2 )滑块与滑杆碰撞前瞬间的速度大小 ； ( 3 )滑杆向上运动的最大高度 ． 【答案】 (1) (2)； (3) 【解析】 (1)当滑块处于静止时，桌面对滑杆的支持力大小等于滑块和滑杆的重力大小之和，即 ； 当滑块向上滑动过程中受到滑杆的摩擦力为 ，根据牛顿第三定律可知滑块对滑杆的摩擦力也为 ，方向竖直向上，则此时桌面对滑杆的支持力为 ． (2)滑块从开始向上运动到碰前瞬间，根据动能定理有 ，代入数据解得 ． (3)由于滑块和滑杆发生完全非弹性碰撞，即碰后两者共速，碰撞过程根据动量守恒有 ，碰后滑块和滑杆以速度 整体向上做竖直上抛运动，根据动能定理有 ，代入数据联立解得 ． 学生总结 真题演练 20 .为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置．水平直轨道 、 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道 与轨道 和足够长的水平直轨道 平滑相切连接．质量为 的滑块 与质量为 的滑块 用劲度系数 的轻质弹簧连接，静置于轨道 上．现有质量 的滑块 以初速度 从 处进入，经 管道后，与 上的滑块 碰撞（时间极短）．已知传送带长 ，以 的速率顺时针转动，滑块 与传送带间的动摩擦因数 ，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 （ 为形变量）． ( 1 )求滑块 到达圆弧管道 最低点 时速度大小 和所受支持力大小 ． ( 2 )若滑块 碰后返回到 点时速度 ，求滑块 、 碰撞过程中损失的机械能 ． ( 3 )若滑块 碰到滑块 立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 ． 【答案】 (1)； (2) (3) 【解析】 (1)滑块 从 到 ，根据动能定理有 ， 解得 ， 在 点，根据牛顿第二定律有 ， 解得． (2)滑块 返回 点时的速度 ，滑块 一直在传送带上减速，加速度大小为 ， 根据 ， 可得在 点的速度 ， 滑块 从碰撞后到到达 点机械能守恒，则 ， 解得 ， 因 碰撞动量守恒，则 ， 解得碰后 的速度 则滑块、碰撞过程中损失的机械能 ． (3)若滑块 碰到滑块 立即被粘住，设 碰后的共同速度为，根据动量定理得 ， 解得 ， 当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度 ， 则 ， 当弹簧被压缩到最短时压缩量为 ，由系统能量守恒有 ， 解得 ， 同理当弹簧被拉到最长时伸长量为 ， 则弹簧最大长度与最小长度之差 ． 二、动量和 动量定理 （一）动量定理内容 动量定理的内容：              或             .  对动量定理的理解： ①动量定理中的冲量是指              合外力的冲量             ； ②合力的冲量与物体          动量的变化量          方向相同．   多个力求冲量： ①若各力的作用时间相同且各外力为恒力，                         ； ②若各外力作用时间不同，                       ……                    ． （二）动量定理的使用 动量定理的应用范围 ① 一般来说，用牛顿第二定律能解决的问题，用动量定理也能解决， 如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理求解更便捷 。动量定理不仅适用于恒力，也适用于变力问题。这种情况下，动量定理中的力 F 应理解为变力在作用时间内的 平均值 . ② 动量定理的表达式是矢量式， 运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向， 公式中的 是物体或系统所受的 合力 . 应用动量定理解题的一般步骤 ① 明确研究对象和研究过程 (研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段). ② 进行受力分析： 只分析研究对象以外的物体施加给研究对象的力，不必分析内力. ③ 规定 正方向. ④ 写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量，根据动量定理列方程求解. 经典例题 21 .(多选)如图所示，在光滑半圆槽中有一质量为的小球，小球与圆槽以共同加速度在水平地面上向右作匀加速运动，加速度大小为，在它们的速度由增加到的过程中（    ） A.重力对物体的冲量为零 B.重力对物体做的功为零 C.圆槽对物体的支持力做功为 D.圆槽对物体的支持力的冲量大小为 【答案】 BC 【解析】 无解析 22 .水刀切割具有精度高，无热变形、无毛刺，无需二次加工以及节约材料等特点，因而得到广泛应用．某水刀机床工作时，垂直射向钢板的圆柱形水流的横截面直径为，水流穿过钢板后速度方向不变，大小变为原来的一半．已知水的流量（单位时间流出水的体积）为，水的密度为，则钢板受到水的平均冲力大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 以水为研究对象，根据动量定理可知 可得 又 ， 代入可得 故答案为A。 23 .(多选)如图所示，光滑水平面 AB右端贴近相同高度的粗糙水平传送带 BC，传送带逆时针转动，速度大小始终为 v0。若物块P（可视为质点）以初速度 v从光滑水平面 AB上运动到传送带的 C端，系统产生的热量为 Q1，物块P受到的摩擦力的冲量为 I1；若物块P以初速度2 v从光滑水平面 AB上运动到传送带的 C端，系统产生的热量为 Q2，物块P受到的摩擦力的冲量为 I2，则下列关系式可能成立的是（　　） A. Q1= Q2 B. Q1=2 Q2 C. I1=2 I2 D. I1=3 I2 【教法备注】 本题计算量较大， 教师可以 看学生计算能力 适当引导或者详细讲解 【答案】 BD 【解析】 【详解】C．设物块质量为 m，摩擦因数为 μ，传送带长为 L，物块受摩擦力为 加速度为 设两种情况下在 C端的速度为 v1， v2，由速度位移关系可得 两种情况下的时间分别为 t1、 t2，由冲量定理可得 两种情况下物块位移均为 L，有 则 整理可得 若 I1=2 I2 则 I1= I2 故 I1≠2 I2 C错误；D．若 I1=3 I2 则 由动量定理可得 解得 满足 故D正确；A．两种情况下，系统产生的热量分别为 Q1、 Q2，有 整理可得 若 Q1= Q2 则 I1= I2 故 Q1≠ Q2 A错误；B．若 Q1=2 Q2 则 控制 v0大小可能满足上式，故B正确。故选BD。 知识点总结 系统动量守恒： 即 或 ； 系统动能不增加： 速度符合场景：碰后若速度同向，则碰撞后 巩固练习 24 .如图所示，质量均为 m的木块 A和 B用一劲度系数为 k的轻弹簧相连，竖直放置在光滑的水平面上，木块 A上放有质量为2 m的木块 C，三者均处于静止状态，现将木块 C迅速移开，若重力加速度为 g。则下列说法中正确的是（　　） A.木块 C移开的瞬间，地面对木块 B的支持力为2 mg B.木块 C移开的瞬间，木块 A的加速度大小为3 g C.木块 A向上运动的距离为时， A的动量最大 D.木块 B可能离开地面向上运动 【答案】 C 【解析】 A．在木块 C被移开前，以 ABC整体为对象，进行受力分析可以知，地面对 B的支持力为4 mg，木块 C移开的瞬间，弹簧的弹力不变，地面对 B的支持力保持不变，所以木块 C移开的瞬间，地面对木块 B的支持力为4 mg，故A为错误选项；B．在木块 C被移开前，对 A进行受力分析，可知 A受到 C的压力、弹簧的支持力和重力，弹簧的支持力和重力的合力大小等于 C的重力大小，当木块 C移开的瞬间，弹簧的支持力和重力的合力保持不变，所以 A受到的合力大小等于 C的重力大小，根据牛顿第二定律可知 故B为错误选项；C．当 A所受合力为0时， A的速度最大，动量最大。当木块 C被移开前，弹簧的形变量为 当 A所受合力为0时，弹簧的形变量为 木块 A向上运动的距离为 所以木块 A向上运动的距离为时， A的动量最大，故C为正确选项；D．由C项分析和对称性可知，木块 A可以继续上升的高度为Δ x，此时弹簧的伸长量为 此时弹簧的弹力为 可知木块 B刚好与地面的弹力刚好为0，但不可能离开地面向上运动，故D为错误选项。故答案为C 25 .水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点，得到广泛应用．某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为的水流以速度垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零，已知水的密度为，则钢板受到水的冲力大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设时间内有体积的水打在钢板上，则这些水的质量为：，以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为，以水运动的方向为正方向，由动量主理有：，解得：；故D正确；ABCD错误． 故选D． 26 .质量的篮球从距地板高处由静止释放，与水平地板撞击后反弹上升的最大高度，篮球与地板接触时间为，忽略空气阻力，重力加速度取．求： ( 1 )篮球从开始下落到反弹到最高点的过程中重力的冲量大小． ( 2 )篮球与地板的撞击过程中篮球动量的变化量． ( 3 )篮球对地板的平均撞击力． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)由， 由， 所以，． 故答案为：． (2)取向上为正方向：，， ． 故答案为：． (3)撞击过程列动量定理，取向上为正， ． 故答案为：． 学生总结 真题演练 27 .质量为的列车匀速行驶，突然以大小的力制动刹车直到列车停止，过程中恒受到的空气阻力，下列说法正确的是（    ） A.减速运动加速度大小 B.力的冲量为 C.刹车距离为 D.匀速行驶时功率为 【答案】 C 【解析】 A．根据牛顿第二定律有 可得减速运动加速度大小 ， 故A错误； B．根据运动学公式有 故力的冲量 方向与运动方向相反，故B错误； C．根据运动学公式 可得， 故C正确； D．匀速行驶时牵引力等于空气阻力，则功率， 故D错误． 故选C． （三）动量守恒定律 1．注意区分动量守恒与机械能守恒的条件 （1） 不受外力或者所受外力的矢量和为零时， 系统的动量守恒； 当外力比相互作用的内力小得多 ，系统的动量近似守恒；当某一方向上的合外力为零，系统在该方向上动量守恒； （2）在 只有重力或弹力做功的系统内， 动能与势能相互转化，机械能守恒； （3）动量是否守恒与机械能是否守恒没有必然的联系． 2．抓住“一判断、三原则、三定律”速解碰撞问题 （1）判断两物体碰撞瞬间的情况 当两物体相碰时，首先要判断碰撞时间是否极短、碰撞时的相互作用力(内力)是否远远大于外力．（2）碰撞的三原则 动量守恒原则 ，即碰撞前后两物体组成的系统满足动量守恒定律；能量不增加原则 ，即碰撞后系统的总能量不大于碰撞前系统的总能量；物理情境可行性原则 ，即两物体碰撞前后的物理情境应与实际相一致． （3）合理选用定律 如果物体间发生的是弹性碰撞， 则一般是应用动量守恒定律和机械能守恒定律进行求解； 如果物体间发生的不是弹性碰撞， 则一般应用动量守恒定律和能量守恒定律(功能关系)进行求解． （四）碰撞模型   碰撞的分类  ①能量是否守恒 弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒 非弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大 ②碰撞前后动量是否共线 对心碰撞（正碰） 碰撞前、后速度共线 非对心碰撞（斜碰） 碰撞前、后速度不共线 完全非弹性碰撞是指碰撞结束时两物体的速度相同的情况 弹性碰撞： 质量为 与质量为 的物体分别以速度 、 运动并发生对心碰撞，碰撞过程中无机械能损失（如图所示）．设碰后两物体的速度分别为 和 ． 据动量守恒得 ① 据机械能守恒得： ② 由①②两式得 由上述表达式可以看出： 若 ，则 ， ， 即 的速度几乎不变． 若 ，则 ， ，即速度交换． 若 ，则 ， ，即 的速度几乎不变． 得到结论： 即弹性碰撞前后相对速度大小不变，方向反向． 非弹性碰撞 非弹性碰撞的过程中，碰后系统总动能小于碰前系统总动能，系统动量仍守恒，在对心碰撞中： 完全非弹性碰撞 当碰后速度 时，系统损失的动能最大，称为完全非弹性碰撞： 例："一动一静”弹性正碰模型 如图所示，在光滑水平面上质量为 的小球以速度 与质量为 的静止小球发生弹性正碰．讨论碰后两球的速度 和 ．根据动量守恒和机械能守恒有： ， 解上面两式可得： 碰后 的速度 ， 碰后 的速度 ． 【教法备注】 讨论：①若 ， ， ， ， ，表示 的速度不变， 以 速度被撞出去． ②若 ， ， ，方向都与 方向相同． ③若 ，则有 ， 即碰后两球速度互换． ④若 ， ， ， 为负值，表示 和 ，方向相反， 被弹回． ⑤若 ，这时 ， ， ， ，表示 被以原速率反向弹回，而 仍静止． ⑥ ． 两物体碰后的速度随两物体的质量比变化情况如图所示．⑦能量传递：在弹性碰撞中，传递的能量跟两者质量比 有关，即 ．两球质量越接近，碰撞中传递的动能越大；在 和 两种情况下，传递的动能相等． 经典例题 28 .(多选)如图所示，一质量为 m、长为 L的木板A静止在光滑水平面上，其左侧固定一劲度系数为 k的水平轻质弹簧，弹簧原长为，右侧用一不可伸长的轻质细绳连接于竖直墙上。现使一可视为质点的小物块B以初速度从木板的右端无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧。设B的质量为，当时细绳恰好被拉断。已知弹簧弹性势能的表达式，其中 k为劲度系数， x为弹簧的压缩量。则（　　）    A.细绳所能承受的最大拉力 B.当时，小物块B滑离木板A时木板运动的对地位移 C.当时，细绳被拉断后长木板的最大加速度 D.为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，应大于等于2 【答案】 ABD 【解析】 【详解】A．细绳恰好被拉断时，B的速度为0，细绳拉力为，设此时弹簧的压缩量为，则有 由能量关系，有 解得 故A正确；B．当时，B的质量为 m，细绳恰好被拉断。细绳拉断后小物块和长木板组成的系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得 则小物块滑离木板时，二者的位移大小关系为 又有 联立解得 故B正确；C．当时，设细绳被拉断瞬间小物块速度大小为，则有 细绳拉断后，小物块和长木板之间通过弹簧的弹力发生相互作用，当弹簧被压缩至最短时，长木板的加速度最大，此时小物块和长木板的速度相同，设其大小为 v，弹簧压缩量为 x，以向左为正方向，由动量守恒得 由能量守恒定律得 对长木板，有 联立方程，解得 故C错误；D．由题意，时，细绳不会被拉断，木板保持静止，小物块向左运动压缩弹簧后必将反向运动。时，小物块向左运动将弹簧压缩后细绳被拉断，设此时小物块速度大小为，由能量守恒定律得 此后在弹簧弹力作用下小物块做减速运动。设弹簧恢复原长时小物块速度恰减小为零，此时木板的速度为，以向左为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 联立方程，解得 所以为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，应大于等于2，故D正确。故选ABD。 29 .(多选)质量分别为、的A、B两物体连接在轻质弹簧两端，用轻质细线拴住A、B，弹簧被压缩，整体放置在光滑的水平面上处于静止状态。如图甲所示，若A靠在墙角，突然烧断细线，当弹簧恢复原长时，B的速度为 v，如图乙所示，若A不靠在墙角，也突然烧断细线。规定水平向右为正方向，下列说法正确的是（　　） A.烧断细线之前弹簧的弹性势能为 B.对甲图，烧断细线后当弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能为 C.对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A、B的动能之比 D.对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A的动量为 【答案】 BD 【解析】 A．根据能量守但定律可得，烧断细线之前弹簧的弹性势能为 故A为错误选项；B．对甲图，烧断细线后当A离开墙角后，系统的动量守恒，当弹簧压缩量最大时A、B达到共同速度，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得弹簧的弹性势能为联立得 故B为正确选项；C．对乙图，烧断细线后系统的动量守恒且为0，则A、B的动量总是等大反向，当弹簧恢复原长时设A、B的动量大小均为 p，由能量守恒定律可得 联立得 故C为错误选项；D．由能量守恒定律可得 又 联立得 又 联立得 则A的动量为，故D为正确选项。故答案为BD。 知识点总结 巩固练习 30 .(多选)如图所示，一个质量为的木箱静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个质量为的小木块，现使木箱瞬间获得一个水平向左的初速度，下列说法正确的是（    ） A.最终小木块和木箱都将静止 B.最终小木块和木箱组成的系统损失机械能为 C.木箱速度为时，小木块的速度为 D.最终小木块的速度为 【答案】 BC 【解析】 A．系统所受外力的合力为零，系统的动量守恒，初状态木箱有向左的动量，小木块动量为零，故系统总动量向左，系统内部存在摩擦力，阻碍两物体间的相对滑动，最终小木块和木箱相对静止，由于系统的总动量守恒，不管中间过程如何相互作用，根据动量守恒定律知，最终两物体以相同的速度一起向左运动．故A错误； BD．规定向左为正方向，山动量守恒定律得：，则得最终系统的速度为：，方向向左．最终小木块和木箱组成的系统损失机械能为：，故B正确，D错误； C．当木箱速度为时，根据动量守恒定律有：；可得：，故C正确． 故选BC． 31 .(多选)光滑水平面上，小球、（可视为质点）沿同一直线相向运动，球质量为，球质量大于球质量．如果两球间距离小于时两球之间会产生大小恒定的斥力，大于时作用力消失．两球运动的速度时间关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A.球质量为 B.两球之间的斥力大小为 C.时，两球发生非弹性碰撞 D.最终球速度为零 【答案】 BD 【解析】 当两球间距小于时，两球均做匀减速运动，因球质量大于球质量，可知球加速度小于球的加速度，由图像可知：；；由牛顿第二定律：，解得，，选项A错误，B正确； 由图像可知，在时刻碰前速度：，；碰后：，，因，可知时，两球发生弹性碰撞，选项C错误；由图像可知，两部分阴影部分的面积应该相等且都等于，可知最终球速度为零，选项D正确． 故选BD． 32 .如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，轴与绝缘的水平面重合，在轴右方有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，质量为 的不带电小物块静止在原点，点距点 ，质量的带电小物块以初速度从点水平向右运动，在点与 发生正碰并把部分电量转移到上，碰撞后的速度为 ，此后不再考虑、间的库仑力，已知电场强度， 小物块与水平面的动摩擦因数为 ，取，求： ( 1 )碰后的速度． ( 2 )若碰后做匀速圆周运动且恰好通过点，与轴的夹角 ，长为 ，求磁感应强度的大小． ( 3 )其它条件不变，若改变磁场磁感应强度的大小为，使离开第一象限后落地时能与再次相碰，求的大小． 【答案】 (1)碰后的速度为 ，方向水平向左 (2) (3) 【解析】 (1)与碰撞前的速度为，由动能定理 ． 代入数据解得： ． 碰撞后的速度为 ，由于、正碰，由动量守恒有： ． 代入数据解得碰撞后的速度： ，负号表示速度方向水平向左． (2)碰撞后恰好做匀速圆周运动，所以 可解得：所带电荷量为： ． 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设圆周的半径为则有： 洛伦兹力提供向心力：． 轨迹如图，由几何关系有： ． 解得： ． (3)当经过轴时速度水平向左，离开电场后做平抛运动，碰后做匀减速运动． 匀减速运动至停，其平均速度为： ． 由于，所以在停止后与其碰撞 由牛顿第二定律有： ． 停止后离点距离： ． 则平抛的时间：． 平抛的高度： ． 设做匀速圆周运动的半径为 ，由几何关系有： ． 在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力有： ． 得： ． 真题演练 33 .某户外大型闯关游戏“渡河”环节中，选手从高台俯冲而下，为了解决速度过快带来的风险，设计师设计了如图所示的减速装置．浮于河面的B板紧靠缓冲装置A板，B的左侧放置一物体C．选手通过高台光滑曲面下滑，经过A后滑上B．已知A、B的质量均为，C的质量为．A、B的长度均为 L＝3m，人与A、B间的动摩擦因数均为，A与地面间的动摩擦因数．B在水中运动时受到的阻力是其所受浮力的0.1倍，B碰到河岸后立即被锁定．不计水流速度，选手和物体C均可看作质点，，则： ( 1 )为了防止A滑动而出现意外，选手及装备的质量最大不超过多少？ ( 2 )若选手及装备的质量为60kg，从的高台由静止开始滑下，经过A后与C发生碰撞后一起运动，碰撞时间极短可忽略，求在此碰撞过程中系统损失的机械能？ ( 3 )在第（2）问前提下，人与C碰撞后经0.5s恰好与平板B速度相同，要使选手能够到达河岸，河岸的最大宽度 d为多少？ 【答案】 (1)72kg； (2)180J； (3)6.75m 【解析】 (1)为了防止A滑动，则 解得 (2)滑上A时速度 与C碰前速度 经过A后与C发生碰撞后一起运动 损失机械能 解得 (3)人与C碰撞后经0.5s恰好与平板B速度相同，根据系统动量定理 ， 解得 B运动距离 之后一起减速，加速度 减速位移 所以最大宽度 （五）类碰撞模型 弹簧模型： 如图中，光滑水平面上的 物体以速度 去撞击静止的 物体， 、 两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大， 系统损失的动能等于弹簧获得的弹性势能．滑块问题： 在图中，物体 以速度 滑到静止在光滑水平面上的小车 上，当 在 上滑行的距离最远时， 、 相对静止， 、 的速度必定相等，系统损失的动能等于 、 间摩擦产生的热量． 可以求滑行距离，恰好不滑下的最小板长以及物块不滑下的最大速度。子弹打物块模型： 在图中，子弹以速度 射人静止在光滑水平面上的木块中．当子弹不穿出时，子弹和木块最终的速度必定相等， 系统损失的动能等于子弹与木块间摩擦产生的热量．圆轨模型： 如图所示，质量为 的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为 的小球以速度 向滑块滚来．设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球在竖直方向上的速度为零），两者的速度肯定相等（方向为水平向右）， 小球获得的重力势能等于系统损失的动能．人船模型： 相互作用的两个物体原来都 处于静止状态，初动量为零，且满足动量守恒条件． 特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人上“船”下，人左“船”右． 由动量守恒定律，       即    ．（任意时刻都成立） 所以有，   即       ； 联立解      与  ； 得    ， ．爆炸模型： 爆炸过程中，其他形式的能量转化为机械能； 爆炸过程中，内力远大于外力，动量守恒． 反冲现象： 中系统的动量是守恒的； 质量为 的物体以对地速度 抛出其本身的一部分，若该部分质量为 ，则剩余部分对地反冲速度为： ． 注意： 反冲运动中的已知条件常常是物体的相对速度，在应用动量守恒定律时，应将相对速度转换为相对于地面的速度（一般为对地速度）． 经典例题 34 .质量为 的气球上有一个质量为 的人，气球和人在静止的空气中共同静止于离地 高处，如果从气球上逐渐放下一个质量不计的软梯，让人沿软梯降到地面，则软梯长至少应为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设人沿软绳滑至地面，软绳长度至少为 ， 以人和气球的系统为研究对象，竖直方向动量守恒， 规定竖直向下为正方向，由动量守恒定律得： ，① 人沿绳梯至地面时，气球上升的高度为 ， 速度大小： ，② 人相对于地面下降的高度为 ，速度大小为 ，③ 将②③代入①得： ， 解得： ，故 C正确． 故选 C． 35 .如图（a）所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个点电荷．时，甲静止，乙以的初速度向甲运动．此后，它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动（整个运动过程中没有接触），它们运动的图像分别如图（b）中甲、乙两曲线所示．则由图线可知（    ） A.两点电荷的电性一定相反 B.甲的动能一直增大，乙的动能一直减小 C.甲乙达到共速时，乙的位移大于倍甲的位移 D.乙速度为零两点电荷的电势能最大 【答案】 C 【解析】 无解析 36 .如图所示，质量为的滑块的右半部分是光滑的四分之一圆弧轨道，轨道半径为，圆弧轨道的最低点与水平面相切，质量为（为正整数）的物块左侧固定一水平轻弹簧，滑块和物块都静止在光滑水平面上．质量为的小物块（可视为质点）从圆弧轨道的最高点由静止释放，离开滑块后继续向右运动与弹簧发生相互作用．重力加速度为．求： （1）小物块离开滑块时的速度大小； （2）当时弹簧的最大弹性势能； （3）至少为多少时，小物块能追上滑块，此种情况下小物块运动至最高点时的速度是多大． 【答案】 （1）；（2）；（3）， 【解析】 （1）A、C组成的系统，小物块A离开滑块C时二者速度分别为，规定向右为正方向，由机械能守恒定律有 由水平方向动量守恒定律得 由联立得 （2）A、B及弹簧组成的系统，共速时弹性势能最大，设共速时的速度为 v，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 由联立得 （3）若A要追上C则有 解得 故 n的最小值为5，此种情况下 A、C组成的系统水平方向动量守恒，二者共速度时A滑至C最高处，此时速度为，则由水平方向动量守恒有 解得 故物块A滑至C的最高点时C的速度大小为。 知识点总结 巩固练习 37 .质量为的小孩站在质量为的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦．小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为，此时滑板的速度大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 忽略滑板与地面间的摩擦，小孩和滑板系统动量守恒，取小孩跃起的方向为正，根据动量守恒定律得： ， 解得滑板的速度大小为：，故B正确，ACD错误． 故选B． 38 .一质量为的小球以的速度和静止于光滑水平面上质量为的另一大小相同的小球发生正碰，碰撞后它以的速度反弹．求： ( 1 )原来静止小球获得的速度大小． ( 2 )碰撞过程中损失的机械能． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)碰撞过程，取小球碰撞前速度方向为正方向，由动量守恒定律得： ， 解得：； 即原来静止小球获得的速度大小为． 答：原来静止小球获得的速度大小为． (2)②碰撞过程损失的机械能： ， 代入数据解得：． 答：碰撞过程中损失的机械能为． 39 .如图所示，一倾角为的光滑斜面固定于水平地面上， Q为斜面顶点， P为斜面上一点，同一竖直平面内有固定点 O， O、 P连线垂直于斜面， OP= l， P、 Q间距离 xPQ= l，长度为 l的轻绳一端系于 O点，另一端系质量为 m的小球A，质量为 M=4 m的滑块B在一锁定装置作用下静止于斜面上的 P点。现将A球拉至与 O点等高的水平位置，拉直轻绳，以竖直向下的初速度 v0释放，A与B发生碰撞前一瞬间，锁定装置解除，A、B均视为质点，碰撞过程中无能量损失，重力加速度为 g。(1)求小球A通过最低点 C点时，绳对小球拉力的大小；(2)求小球A与滑块B碰撞后瞬间，小球A和滑块B的速度 vA和 vB；(3)若A、B碰后，滑块B能沿斜面上滑越过 Q点，且小球A在运动过程中始终不脱离圆轨道，求初速度 v0的取值范围？ 【答案】 (1)；(2),；(3)或 【解析】 (1)小球A摆到 C点时，设速度为 vC，绳对小球的拉力大小为 T，则 在 C点，对小球A，由牛顿第二定律有 解得 (2)设小球A在与 B碰前的速度为 v1，则 对于碰撞过程，取沿斜面向上为正方向，由动量守恒定律得 mv1= mvA+ MvB 由机械能守恒定律有 解得 ,， (3)讨论：①滑块B能沿斜面上滑越过 Q点，则 解得 ②小球A不能做完整圆周运动，但不脱离圆轨道，即回到最右端位置时速度不能大于零，则 解得 ③小球A能做完整圆周运动，即能够过最高点，设小球 A恰能过最高点的速度为 v2，则 小球A能过圆轨道的最高点的条件为 解得 初速度 v0的取值范围 或 学生总结 真题演练 40 .如图所示、光滑平面上静止放置两厚度相同的木板A和B。A长度为，A、B的质量均为。一可视为质点，质量为的小物体C从A的左侧以水平向右的速度滑上A的上表面，C与A、B间的动摩擦因数均为，已知A和B发生碰撞前C和A的速度已经相等，且C处在A的最右端，碰撞后A、B被锁定在一起，求：（1）动摩擦因数；（2）若C恰好没从B上落下，B的长度为多少？ 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）C从左端滑上木板A到A的最右端过程，以A和C为系统，根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得动摩擦因数为 （2）A和B发生碰撞过程，以A和B为系统，根据动量守恒可得 解得 若C恰好没从B上落下，设B的长度为，C从左端滑上木板B到B的最右端过程，根据系统动量守恒可得 解得 根据系统能量守恒可得 解得 三、课堂总结    四、出门测 41 .足够长的木板C静止在足够大的光滑水平面上，距C的左端处的 P点放有一物块B，物块A以大小的水平初速度滑上木板的左端，如图所示。A、B（均视为质点）的质量均为，C的质量，A、B与木板C间的动摩擦因数均为，A、B间的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。求：（1）A、B碰撞前的瞬间，A的速度大小；（2）最终B与 P点间的距离 x；（3）整个过程中因摩擦产生的热量 Q。 【答案】 （1）2m/s；（2）0.2m；（3）7.2J 【解析】 （1）从A滑上C到A、B碰撞前的瞬间，A做匀减速直线运动，加速度大小为 B、C整体做匀加速直线运动，加速度大小为 设从A滑上C到A、B碰撞的时间为 t1，根据匀变速直线运动的规律，结合几何关系有 解得 根据速度时间关系有 解得 （2）A、B碰撞前的瞬间，B、C的共同速度大小 设A、B碰撞后的瞬间，A、B的速度大小分别为 vA2与 vB2，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得 ， 此后，B做匀减速直线运动，A、C一起做匀加速直线运动，最终三者速度相等，根据动量守恒定律有 解得 A、B碰撞后，B做匀减速直线运动的加速度大小为 A、B碰撞后，B通过的位移大小为 A、B碰撞后，A、C一起做匀加速直线运动的加速度大小为 A、B碰撞后，C通过的位移大小为 所以 （3）A、B碰撞前，A、C间因摩擦产生的热量为 A、B碰撞后，B、C间因摩擦产生的热量为 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$