28.1 锐角三角函数课时1 正弦函数　课件　2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 课时1 正弦函数 1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点) 2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 学习目标 新课导入 情景引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 30° 新课讲解 合作探究 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ 新课讲解 A B C 30° 35m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”, 即 可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 新课讲解 归纳 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 新课讲解 Rt△ABC 中，如果∠C=90，∠ A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 思考 解：因为∠A=45°，∠C=90°，所以AC=BC，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=2BC2， 所以 因此 新课讲解 归纳 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 新课讲解 归纳 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 新课讲解 归纳 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 ∠A的对边 斜边 sin A = 新课讲解 练一练 sinA = ( ) sinA = ( ) 1. 如图，判断对错： A 10m 6m B C √ × sinB = ( ) × sinA =0.6 ( ) sinB =0.8 ( ) √ √ 新课讲解 练一练 2. 在 △ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sinA 的值为( ) A. B. C. D. C 新课讲解 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 方法总结 新课讲解 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 新课讲解 解：∵∠C=90°， ∴ ∴ AB = 3BC =3×3=9. ∴ ∴ ∴ 新课讲解 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则 AB 的长为 ( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6， 那么BC=_____. 2 新课讲解 已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 方法总结 课堂小结 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 当堂小练 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 B 2. 如图， 在△ABC中，∠B=90°，sinA的值为 ( ) 7 A C B 3 A. B. C. D. A 当堂小练 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC ＝ ，∴ AB2 ＝ BC2＋AC2，∴ ∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC＝ 当堂小练 4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上， BD是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =______. 解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD 即可． O x y A C B D 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则： (1)sin A＝ 　；(2)sin B＝ 　；    (3)cos A＝ 　；(4)cos B＝ 　；    (5)tan A＝ 　；(6)tan B＝ 　．  课后练习 2．(人教9下P65)把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦函数值( ) A．不变 　 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的　 D．不能确定 A 3．(2024深圳一模)如图，在4×4的正方形网格中，tan α的值为　 　．  　2　 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A及cos B的值． 小结：先根据勾股定理求出所需的第三边长，然后利用定义求锐角三角函数值. 解：在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6， 所以sin A＝， cos B＝． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝10， 所以sin A＝，cos A＝， tan A＝． 5．【例2】(人教9下P65、北师9下P6改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，请按定义求出∠A的三个三角函数值． 小结：结合图形求出三角函数值，未给出图形时要作出草图. 6．【例3】如图，∠BAC放在正方形网格纸中，则tan∠BAC的值为 　．  小结：根据锐角三角函数的定义，需先构造直角三角形.   小结：若两个锐角相等，则它们的同名三角函数值相等，常用于进行边角的转化. A． B． C． D． 7 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sin B的是( ) B 8．(人教9下P65、北师9下P4改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，求sin A及tan B的值． 解：在Rt△ABC中， 由勾股定理得AC＝＝5， 所以sin A＝，tan B＝． 9．(人教9下P65改编、北师9下P6改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，请按定义求出∠A的三个三角函数值． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC＝． 所以sin A＝，cos A＝，tan A＝． 10．(2024宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ 　． 请完成课本本节对应习题 布置作业 感谢大家欣赏 $$