6.2.4 组合数 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二年级—人教A版—数学选择性必修第三册第六章 6.2.4组合数 ——STR课堂教学模式 1、排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m (m≤ n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m (m≤ n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 问题:排列与组合的定义有什么联系与区别呢? 并按照一定的顺序排成一列 作为一组 取出 取出 共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关. 环节一、知识回顾 3、排列数的概念与公式:我们把从n个不同元素中取出m ( m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 其公式为: 问题:能否通过类比得出组合数的概念呢? 环节一、知识回顾 1、了解组合数的概念及公式; 2、运用组合数解决实际问题; 3、体会类比的思想方法,从特殊到一般的推理方法,培养数学计算素养。 环节二、学习目标 环节三、自学内容 (10分钟) 【学习任务一】 通过P23组合数的概念,利用“组合”与“排列”的关系“探究”组合数公式. 【学习任务二】 通过理解P24“例6”,学会运用“组合数公式”,并回答“思考”;猜想组合数性质,详见P28(性质1). 【学习任务三】 根据例7实际问题的特征,正确运用“组合数公式”;回答边框问题;并体会从不同角度分析问题;了解详见P28(性质2) 一:类比分析,引出概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 (或 )表示. 举例说明: 从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为 , 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为 . 组合数是一个正整数 环节四、小组展示(1)(5分钟) 二:问题探究,导出公式 组合——元素相同,顺序不同,两组合相同 排列——元素相同,顺序也相同,两排列才相同 问题1:组合数 等于多少呢? 从3个不同元素中取出2个元素的组合数为3. 从甲、乙、丙3个元素中取出2个元素 二:问题探究,导出公式 问题2:从4个不同元素中取出3个元素的组合数 分析:类比求 的过程,假设这4个元素分别为 ,从中取出3个元素的排列数为 ,分别为以下情况: 通过该图,我们可以从另一个角度理解“从4个不同元素中取出3个元素的排列数为 ”. 第一步 (取出) 有 种不同的组合 第二步 (排序) 有 种不同的排列 每一种组合组内 根据分步乘法的计数原理,有 , 二:问题探究,导出公式 问题3:如何将结论从特殊推广到一般的情况呢? 求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”,可以看作由以下两个步骤得到: 第1步:从n个不同元素中取出m个元素作为一组,有 种不同的组合; 第2步:将取出的m个元素作全排列,有 种不同的排列; 最后,根据分布乘法计数原理有 . 因此 , 这里 ,并且m≤n.这个公式叫做组合数公式. 另外,我们规定 . 上式也可以写成 , 由 , 阶乘式 乘积式 解:根据组合数计算公式可得: 例6 计算:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 思考:观察这两组结果,你有什么发现? 环节五、小组展示(2)(5分钟) 组合数公式运用 组合数性质 拓展内容1: 在例题中,我们发现 与 , 与 都是相同的数. 与 与 与 它们的上标之和等于下标 组合数的性质1: 取出m个元素 剩下的n-m个元素 表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数 拓展内容1:课本P28 等式左边 等式右边 所以左边=右边,证毕. 证明组合数性质1: 组合数性质 解:根据组合数计算公式可得: 思考:两种计算公式,你觉得哪一种更好用? 计算时,可以通过组合数的性质 简化运算. 例6 计算:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 例7 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 思考(1):这是一个排列问题还是组合问题? 环节六、小组展示(3)(5分钟) 思考(2):如何抽取才能使得抽出的3件产品恰好有1件是次品? 先从2件次品中抽出1件,再从98件正品中抽出2件. 例7 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 思考(3):抽出的3件产品至少有1件是次品,可以包括那些情况? 有1件次品和有2件次品两种情况. 例7 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解:(1)所有的不同抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以抽法种数为 (2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种,从98件合格品中抽出2件的抽法有 种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 思考:能否将上式中的 改为 呢? 不可以,虽然数值一样,但是意义不同. (3)方法1 从100件产品抽出3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 方法2 分析: 从100件产品中抽出3件 有0件次品 有1件次品 有2件次品 至少有1件是次品 抽出3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即 类比组合数性质1的解释,你能利用分类加法计数原理,说明组合数的性质2吗? 假设一批产品中有n件正品和1件次品,共n+1件产品. 等式的左侧表示从n+1件产品中取出m件产品的组合数,包含了 没有次品(m件正品+0件次品)和有次品(m-1件正品和1件次品) 两种情况. 拓展内容2:课本P28 组合数性质2: 你能证明这个式子吗? 组合数性质 证明等式 成立 拓展内容2:课本P28 证明:根据组合数的公式,左边 右边 所以,左边=右边,证毕. 参考:课本P40 课堂练习 教科书P25:第1-3题. 环节七、尝试运用 (5分钟) 课堂练习 教科书P25:第1-3题. 环节八、小组展示 (5分钟) 请3个小组安排代表书写解答过程, 各自选一题 环节九、组内核对 (2分钟) 回顾总结 1、组合数的概念与计算公式 2)组合数的计算公式有两种: 3)巧用组合数的性质,简化运算. 1)从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数,记为 . 回顾总结 2、运用组合数解决实际问题 1)分析所求问题是一个组合问题还是排列问题; 2)带有“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数; 3)带有“至多”“至少”问题,其解法常有两种思路:一是直接分类法,确保不重不漏;二是间接法,注意找准对立面. 作业 教科书P26习题6.2: 第1次:2、3、4、6、7、10 第2次:12、13、14、15、16、18 分析:1)式子中分母是100! 2)分子是101个连续自然数的乘积 最大的为n+100,最小的为n 公式的理解要到位: ①分母的阶乘与分子中乘式的个数要统一; ②分子最大的数为组合数的下标 学习新知 环节三:应用举例,解决问题 练习1式子 可表示为( ) A. B. C. D. 根据公式: 得: 探究问题1 组合中的分组、分配问题 例1 按以下要求分配6本不同的书,各有几种方法? (1)平均分配给甲、乙、丙3人,每人2本; (2)分成3份,每份2本; (3)分成3份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)甲、乙、丙3人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本. 解:(1)可以将问题转化为3个人一个一个地来取书,每人取2本; 首先甲从6本不同的书中任取2本的方法有 种 其次乙从剩下的4本书中任取2本的方法有 种 最后丙从余下的2本书中取2本的方法有 种 所以按照分步乘法计数原理,共有 种方法 探究问题1 组合中的分组、分配问题 例1 按以下要求分配6本不同的书,各有几种方法? (1)平均分配给甲、乙、丙3人,每人2本; (2)分成3份,每份2本; (3)分成3份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)甲、乙、丙3人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本. (2)可以将问题转化为先从6本书中任取2本作为一组,再从剩下的4本书中任取2本作为一组,最后还剩下2本作为一组; 但是由于在进行上述选取过程中,出现了先后顺序,因此,选出来的三组之间自然形成了排序,如果要将6本书分成3份,应该要去掉这种顺序 有 种方法 所以,其结果为 种 平均分组,组间自然有序 探究问题1 组合中的分组、分配问题 例1 按以下要求分配6本不同的书,各有几种方法? (1)平均分配给甲、乙、丙3人,每人2本; (2)分成3份,每份2本; (3)分成3份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)甲、乙、丙3人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本. (3)与第(2)不同之处在于,分成的3个组之间元素个数是有区别的,因此我们只需要考虑第一次取1本,第二次取2本,第三次取3本. 有 种方法 (4)在第(3)问已经分成3组的情况下,分配给3个人,可以认为是3组之间的全排列. 有 种方法 探究问题2 元素相同(指标分配)问题隔板策略 例2.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,所以, 第一步:把它们排成一排,这样相邻名额之间形成了9个空隙. 第二步:在9个空隙中选6个位置插个隔板,把名额分成7份,从左到右对应7个班级. 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 所以,分配方案有 种 解:(1)方法一:要构成三角形,必须三点不在同一条直线上. 因此可以分为以下三种情况:①三点都在圆周上;②两点在圆周上,一点在直径上;③一点在圆周上,两点在直径上. 例3 如图,在以 为直径的半圆周上,有异于 的6个点 , 线段 上有异于 的4个点 . A B C1 C2 C3 C4 C5 C6 D1 D2 D3 D4 方法二:从10个点中任取3个点,再去掉三点共线的情况. 探究问题3 与几何图形有关的组合问题 (1)以这10个点中的3个为顶点可作多少个三角形? (2)以图中12个点(包括 )中的4个为顶点,可作出多少个四边形? 所以,一共可以作 个三角形 所以,一共可以作 个三角形 (2)方法一:要构成四边形,则四点必须不共线,三点也必须不共线. 因此可以分为以下三种情况:①四点都在圆周上;②三点在圆周上,一点在直径上;③两点在圆周上,两点在直径上. 例3 如图,在以 为直径的半圆周上,有异于 的6个点 , 线段 上有异于 的4个点 . A B C1 C2 C3 C4 C5 C6 D1 D2 D3 D4 方法二:从12个点中任取4个点,再去掉四点共线和三点共线的情况. 探究问题3 与几何图形有关的组合问题 (1)以这10个点中的3个为顶点可作多少个三角形? (2)以图中12个点(包括 )中的4个为顶点,可作出多少个四边形? 所以,一共可以作 个四边形. 所以,一共可以作 个四边形. $$