9.1成比例线段（三大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（鲁教版）

9.1成比例线段 题型一 比例的性质 1．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由得，故此选项比例式成立，符合题意； C、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）若=，则的值等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的求值，比例的性质，学会变形已知条件，使变形所得到的式子在所求的式子中能用得上是解题的关键． 我们可以用设参数法，设，然后用k表示出a和b，再代入到中进行计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 将，代入可得： = =， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键．设，利用比例的性质可得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，且，则的值为______． 【答案】12 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更加简便． 设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，即可得解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 7．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 题型二 比例尺的计算 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）位于大明湖畔的超然楼是一座拥有几百年历史的名楼，并在年入选“中国名楼”．超然楼与著名的黄鹤楼相距约千米，画在一幅图上是6厘米，这幅图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由比例尺=图上距离：实际距离，即可解答． 【详解】因为千米厘米， 所以比例尺为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例尺的计算，掌握比例尺的概念是关键，注意图上距离与实际距离的单位要统一． 2．（20-21六年级下·山东东营·期末）A、B两地相距，在的地图上，A、B两地的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，代入数据计算即可求解． 【详解】解：150km=150000m=15000000cm ∴图上A、B两地的距离=15000000×=15(cm)， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 题型三 成比例线段的概念 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1，3，20，30 B．，，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，分别找出各选项对应的比例关系即可，然后选出符合题意的答案． 【详解】解：因为，所以A选项不符合题意． 因为，所以B选项不符合题意． 因为，所以C选项不符合题意． 因为，所以D选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 3．（17-18九年级上·山东青岛·课后作业）已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析. 【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值； （2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长； （3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项． 【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm， ∴a：b＝30：60＝1：2； （2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵c＝12dm＝120cm， ∴， ∴d＝240cm； （3）是，理由： b2＝3600，ac＝30×120＝3600， ∴b2＝ac， ∴b是a和c的比例中项． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 5．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即. 1．（2020·上海奉贤·一模）已知线段，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可设a=k，b=2k，c=3k，(k≠0)，即可得到答案. 【详解】∵， ∴设a=k，b=2k，c=3k，(k≠0)， ∴=， 故选C. 【点睛】本题主要考查分式求值，根据比值，设k值，是解题的关键. 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段是解题关键．根据比例线段的定义即得出，求解即可． 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴， ∴ ∴．　 故选A． 4．（23-24八年级上·山东东营·期中），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值问题，利用等式的性质将多个未知数表示成为含相同未知数的式子，并整体代入化简求值是解题关键．根据等式的性质设，从而用含的代数式表示出，从而代入原式化简即可． 【详解】解：设， 则，，， 则， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列四组线段中，是成比例线段的共有 组． ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10． 【答案】2 【分析】本题考查成比例线段，理解成比例线段的概念是解题关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条线段相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案． 【详解】解：①：，故1.5，4，1.2，5是成比例线段； ②：，故2，4，6，8不是成比例线段； ③：，故5，6，15，18是成比例线段； ④：，故0.5，3，2，10不是成比例线段． 综上可知共有2组成比例线段． 故答案为：2． 6．（19-20九年级上·浙江丽水·期末）已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题主要考查了成比例线段，熟练掌握比例的基本性质，合比性质，是解题关键． （1）根据合比性质即可得出的值； （2）首先设，则，利用求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； （2）解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 9．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 10．（18-19八年级下·山东济宁·期中）如图，已知,且，求AB的长． 【答案】9cm 【分析】利用先其PB=6，再利用求出AP，从而得到AB的长． 【详解】∵，，PQ=2cm， ∴PB=3PQ=6， ∵， ∴AB=3AP， 即AP+6=3AP，解得AP=3， ∴AB=9（cm）． 即AB的长为9cm． 【点睛】考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 11．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ________．（第二步） (1)回答下列问题： 第二步的结果是____________，由求得结果利用了________的基本性质； (2)模仿材料解题： 已知，求的值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第二步的结果是，由求得结果利用了比例的基本性质； 故答案为：，比例； （2）解：设， ， ． 12．（24-25八年级上·山东济宁·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）③④都真命题，③、④证明见解析；（2）；（3）的周长为18 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可得到结论； （2）由四个数，，，成比例，得到，求得．求得； （3）由，根据比例的性质得到．求得，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）答：③④都真命题． ③证明：， ． ， ． ④证明：， ． ． ． （2）解：四个数a，b，c，d成比例， ． ， ， ． ． （3）解：， ． ． 的周长与的周长的差为6， ． ． ． 即的周长为18． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1成比例线段 题型一 比例的性质 1．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）若，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）若=，则的值等于（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若，则 ． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，且，则的值为______． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 7．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 题型二 比例尺的计算 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）位于大明湖畔的超然楼是一座拥有几百年历史的名楼，并在年入选“中国名楼”．超然楼与著名的黄鹤楼相距约千米，画在一幅图上是6厘米，这幅图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21六年级下·山东东营·期末）A、B两地相距，在的地图上，A、B两地的距离是（    ） A． B． C． D． 题型三 成比例线段的概念 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1，3，20，30 B．，，2 C．1，2，3，4 D．，10，10， 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 3．（17-18九年级上·山东青岛·课后作业）已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 5．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 1．（2020·上海奉贤·一模）已知线段，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）下列线段中，能成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东东营·期中），则 ． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列四组线段中，是成比例线段的共有 组． ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10． 6．（19-20九年级上·浙江丽水·期末）已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 8．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 10．（18-19八年级下·山东济宁·期中）如图，已知,且，求AB的长． 11．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ________．（第二步） (1)回答下列问题： 第二步的结果是____________，由求得结果利用了________的基本性质； (2)模仿材料解题： 已知，求的值： 12．（24-25八年级上·山东济宁·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$