29 图形的对称、平移与旋转课件2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第七章 图形的变化 第三节 图形的对称、平移与旋转 1 考点1 图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 定义 如果一个平面图形沿一条直线折 叠,直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形就叫做①____________, 这条直线就是它的②________. 把一个图形沿着某一条直线 折叠,如果它能够与另一个图 形重合,那么就说这两个图形 ③__________________,这条 直线叫做④________. 图示 ________________________________________________ ______________________________________ 轴对称图形 对称轴 关于这条直线对称 对称轴 2 轴对称图形 轴对称 性 质 对应 线段 相等 ⑤____, ⑥____ ⑦_____, ⑧_____, ⑨_____ 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那 么交点在对称轴上. 对应 角相 等 ⑩____, ⑪_______, ⑫_______ ⑬_____, ⑭_____, ⑮_____ 续表 3 轴对称图形 轴对称 性 质 对应 图形 全等 ⑯________ ⑰_________ 对应 点 对应点的连线被对称轴垂直平分. 区别 1.轴对称图形是指具有特殊形状 的图形; 2.对称轴不一定只有一条. 1.轴对称是指两个全等图形之 间的位置关系; 2.对称轴只有一条. 注意：折叠问题是轴对称变换,折痕所在的直线是对称轴,折叠前后的图形全 等,不重合的对应点的连线被折痕所在直线垂直平分. 续表 4 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 定 义 把一个图形绕着某一点旋转 ,如果旋转后的图形能够与 原来的图形⑱______,那么这个 图形叫做中心对称图形,这个点 叫做它的⑲__________. 把一个图形绕着某一点旋转 ,如 果它能够与另一个图形重合,那么就 说这两个图形关于这个点对称或中心 对称,这个点叫做它们的对称中心. 图 示 ________________________________________ _____________________________________________ 重合 对称中心 5 中心对称图形 中心对称 性 质 （1）对应线段相等：,；, , . （2）对应角相等：,；, , . （3）中心对称图形内通过对称中心的任意线段都被对称中心平分. （4）成中心对称的两个图形,对应点所连线段都经过对称中心,并且被 对称中心平分. （5）成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行（或在一条直线 上）. 续表 6 3.常见的轴对称图形、中心对称图形 7 考点2 图形的平移与旋转 图形的平移 图形的旋转 定 义 把一个图形整体沿某一直线方向移 动,会得到一个新的图形,新图形与原 图形的形状和大小完全相同,图形的 这种移动叫做平移. 把一个平面图形绕着平面内某一 点 转动一个角度叫做图形的旋 转,点 叫做⑳__________,转动的 角叫做㉑________. 图 示 _______________________________________________ _____________________________________________________ 旋转中心 旋转角 8 图形的平移 图形的旋转 要 素 平移方向、㉒__________ 旋转中心、㉓__________、旋转 角度 性 质 1.平移不改变图形的大小和形状,只 改变图形的位置,平移前后的两图形 全等； 2.对应点所连线段平行（或在一条 直线上）且相等. 1.旋转前后的图形㉔______； 2.对应点到旋转中心的距离㉕ ______； 3.对应点与旋转中心所连线段的 夹角㉖______旋转角. 平移距离 旋转方向 全等 相等 等于 续表 9 考点3 图形变换与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中,若图形位置发生了平移、对称或旋转变换,其各点坐标 也相应改变.设图形上任一点的坐标为 变换方式 变换后的坐标 平移 向上（下）平移 个单位长度 向右（左）平移 个单位长度 （㉗__________） 对称 关于 轴对称 关于 轴对称 ㉘________ 关于原点对称 关于点 对称 ㉙_______, 10 命题角度1 与平移变换相关的计算 例1 如图，在中， ，, ， 点是的中点，将沿射线平移，得到 . 当和重叠部分的面积是 面积的一半 时， 平移的距离为_ _______. 【思路点拨】 解题关键点：由阴影三角形与 相似，得 . 11 [解析] ，,， 点 是的中点， .如图，由平移易知 ，点是 的中点， ,， ， .故平移的距离为 . 12 例2 [2023南通中考改编] 图（1） 图（2） （1）知识储备：如图（1）， 的顶点均在正方形网格的格点上，则 线段可看作是由线段 先向右平移___个单位长度，再向上平移___个单 位长度得到的. 2 2 13 （2）知识迁移：如图（2），四边形的两条对角线， 互相垂直， ，，则 的最小值是______． [解析] 如图，将平移至的位置，连接 ，则四 边形是平行四边形，, ， ，.连接 ，则 .， 当 点，，共线时， 的值最小，最小值为 . 14 【思路点拨】 （2）解题关键点：通过平移变换将， 转化到同一三角 形中，再利用“两点之间，线段最短”求解. 15 提分特训 1.[2023平顶山二调改编] 如图,在中,已知 , ,点为的中点,过点作轴,垂足为.将 向右平 移,当点的对应点落在边上时，点的对应点 的坐标为________. （第1题） 16 [解析] 点为的中点，， .又 ， 轴， ，.如图，延长交于点 ， 易知，，是 的中位 线，， 点向右平移2个单位长度后的坐标为 . 17 （第2题） 2.如图，在中， ， ， .将平移5个单位长度，得到，点 为的中点，点为的中点，连接，则线段 的长度的取值范围为________________________. （第2题） [解析] 易知.如图，取的中点 ，连接 ，,则， .由题意可知 ，即 . 18 命题角度2 与旋转变换相关的计算 例3 [2023自贡中考] 如图（1），一大一 小两个等腰直角三角形叠放在一起，点 ，分别是斜边， 的中点， ， ． （1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点， 距离的最大值和最小值； 解：点， 距离的最大值为3，最小值为1. 19 （2）如图（2），将绕顶点逆时针旋转 ，求 的长． 解：如图，连接， ， 易知，, . 过点作于点，则 ， ，， ， . 20 【思路点拨】 （1）分析出旋转过程中点的运动轨迹，即可得到点， 距离的最值. （2）连接，，求得，的长及 的度数，据此求解即可. 【自主解答】 21 提分特训 3.如图，在中， ， ，.点 为的中点，点为直线上一动点，将线段绕点 顺时 针旋转 ，得到线段，连接，则线段 的最小值为 _____. 第3题图 [解析] 易知.如图，过点作于点 ，易证 ,, 在点 运动的过程中， 点在平行于且到的距离为的直线上运动, 线段 的最小值为 . 22 命题角度3 与对称变换相关的计算 例4 [2024南充中考] 如图,在矩形中,为边上一点, ,将 沿折叠得,连接,,若平分,,则 的长为 ____. （例4） 23 [解析] 如图，过点作于点， 于点，则四边形是矩形.平分 ， ， 四边形 是正方形.由折叠的 性质可得, , , , ，.在 中，由勾股定理得 . 24 （例5） 例5 如图，在中， ， ，，点是 延长线上一动点，以 ，为邻边作平行四边形，连接 ，则 的最小值为_____. 【思路点拨】 解题关键点1：分析出点 的运动轨迹 （与平行，且到 的距离为2）；解题关键点2：分 析出值最小时点 的位置（利用“将军饮马”模 型）. 25 [解析] 如图，过点作，垂足为点 ，易证 .将直线 向下平移2个单位长度，得到直 线，则点在直线上运动.作点关于直线的对称点 ， 连接，，则 ， ， 当点，， 共线时， 的值最小，最小值为的长.过点 作 ，交的延长线于点，则 ， ，，即的最小值为 . 26 提分特训 （第4题） 4.[2023洛阳一模] 如图,在平面直角坐标系中,点 , 轴于点,将沿翻折得到 ,连接 并延长交轴于点,则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. [解析] 设，交于点D，由翻折的性质，得 , .又 , ， ，即，即，， . 27 （第5题） 5.如图，在菱形纸片中， , ，点为边上一动点，连接 ,将 沿折叠，点的对应点为点,再将 沿折叠,点的对应点为点,连接.当 与菱形 的边垂直时, 的长为_ _________. 或 28 [解析] 当与菱形的边垂直时，分两种情况讨论.①当 时，如图 （1），设,交于点,则 , ， , , ， 当 时，如图（2）， 则 ， .过点作于点,设 ，则 ,.又，,解得 ， 29 .综上可知，的长为或 . 图（1） 图（2） 30 $$