2025年苏科版数学中考一轮复习——图形的全等变化讲义

知识导入 图形的全等变化—平移 1、 定义 在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移． 2、 两大要素 平移的方向、平移的距离． 3、 性质 1. 平移前后，对应线段平行且相等（或在同一条直线上）、对应角相等； 2. 各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 平移前后的图形全等． 4、 作图步骤 1. 根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2. 找出原图形的关键点； 3. 按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4. 按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 5. 写出结论：说明作出的图形 5、 平面直角坐标系中的平移变换 点的运动与点的坐标变化之间的关系 原来的点P 运动方式 对应点P′ （a，b） 平移 向左平移m（m≥0）个单位 （a-m，b） 向右平移m（m≥0）个单位 （a+m，b） 向上平移m（m≥0）个单位 （a，b+m） 向下平移m（m≥0）个单位 （a，b-m） 一个图形进行运动，这个图形上所有点都做同样的运动，点的坐标会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的运动。 图形的全等变化—轴对称 1、 定义 （1） 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中对应的点叫做对称点； （2） 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线。 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等． （3） 两个图形成轴对称和轴对称图形之间的区别和联系 　 轴对称 轴对称图形 区别 指两个全等图形之间的位置关系。 轴对称图形是指具有某种性质的一个图形。 有一条对称轴 有一条、多条或无数条对称轴 联系 都是根据把图形沿着某一条直线折叠后能重合定义的。 如果将成轴对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是轴对称图 形。 如果把轴对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于对称轴成轴对称。 注意： 镜面对称：有时我们把轴对称称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、 轴对称的性质 1. 图形沿对称轴翻折后两部分能完全重合 2. 对应线段平行或在同一条直线上，或延长后与对称轴交于同一点。 3. 对应点所连线段平行或在同一条直线上，被对称轴垂直平分。 3、 轴对称变换的作图 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： 1. 找出图形中的关键点； 2. 作关键点的对称点：一垂二延三相等； 3. 顺次连接关键点； 4. 写出结论：说明作出的图形 4、 平面直角坐标系中的轴对称变换 点的运动与点的坐标变化之间的关系 原来的点P 运动方式 对应点P′ （a，b） 翻折 沿x轴翻折 （a，-b） 沿直线y=m翻折 （a，2m-b） 沿y轴翻折 （-a，b） 沿直线x=m翻折 （2m-a，b） 注意： 点p（a，b）沿直线y=kx+b（k、b是常数，k≠0）翻折，对应点的坐标是？ 一个图形进行运动，这个图形上所有点都做同样的运动，点的坐标会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的运动。 5、 最短路径问题 最短路径问题本质都是对两点之间线段最短的应用，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题。 图形的全等变换——旋转 1、 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 1. 旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角。在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某个点；旋转方向有顺时针和逆时针两种. 2. 将某个图形绕着旋转中心按某一方向旋转，则这个图形上的每个点同时绕旋转中心按照此方向旋转相同的角度. 3. 对应关系：我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫对应角. 2、 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形： 1. 原图和它经过旋转所得到的图形形状相同，大小相等。 2. 对应点到旋转中心的距离相等； 3. 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； 3、 旋转的作图 1. 作图依据：旋转的性质 2. 旋转作图的一般步骤 (1) 确定旋转中心，旋转方向和旋转角. (2) 找出图形的关键点，一般是图形的顶点. (3) 做旋转后的对应点，方法如下： 1　 连线 连接图形的每个关键点与旋转中心； 2　 作角 把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）； 3　 截取。在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. (4) 按原图形的各关键点的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 (5) 写出结论，说明作出图形即为所求作的图形。 4、 平面直角坐标系中的旋转变换 点的运动与点的坐标变化之间的关系 原来的点P 运动方式 对应点P′ （a，b） 旋转 绕原点旋转180° （-a，-b） 注意： 1. 点p（a，b）绕原点旋转30°、45°、60°、90°，对应点的坐标是？ 2. 点p（a，b）绕点Q(m,n)旋转30°、45°、60°、90°、180°，对应点的坐标是？ 一个图形进行运动，这个图形上所有点都做同样的运动，点的坐标会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的运动。 5、 中心对称 （1） 定义： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形成中心对称。 这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 注意： 1. 有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； 2. 位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形 重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 。 3. 中心对称是一种特殊的旋转--旋转角为 180°。由于旋转角度等于 180°，因此旋转方向是顺时针或逆时针都可以。 4. 成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定在对称中心两侧或与对称中心重合. （2） 中心对称性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 注意： 1. 成中心对称的两个图形的是全等图形。 2. 一组对应点到对称中心的距离相等。 3. 任意一组对应点、对称中心三点在同一条直线上。 4. 对应线段平行或在同一条直线上。 确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 6、 中心对称图形　 （1） 定义： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 这个点就是它的对称中心。 注意： 中心对称图形指的是一个图形。 （2） 中心对称图形的性质： 中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点。 过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）。 （3） 中心对称、中心对称图形、轴对称、轴对称图形之间的区别和联系 中心对称与中心对称图形的区别与联系 　 中心对称 中心对称图形 区别 指两个全等图形之间的位置关系。 对称中心不定。 中心对称图形是指具有某种性质的一个图形。 对称中心是图形自身或内部的点。 联系 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图 形。 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称。 中心对称和轴对称的区别与联系 区别 联系 中心对称图形 有1个对称中心——点 中心对称和轴对称都是两个图形按某种规则运动互相重合的特殊位置关系 一个图形绕对称中心旋转180°能够与另一个图形重合 对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分 轴对称图形 有1条对称轴——直线 一个图形沿对称轴翻折能够与另一个图形重合 对应点连线被对称轴垂直平分 中心对称图形和轴对称图形的区别与联系 区别 联系 中心对称图形 有一个对称中心--点 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴,它一定是中心对称图形，两对称轴的交点是它的对称中心。 图形绕中心旋转180°后与自身重合 对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分 轴对称图形 至少有一条对称轴--直线 图形沿对称轴翻折后两部分重合 对应点的连线被对称轴垂直平分 （4） 中心对称作图 作已知图形关于某一点对称的图形的作图步骤： 1. 确定对称中心 2. 确定关键点 3. 确定对应点：将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长，在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. 4. 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 5. 写出结论，说明作出图形即为所求作的图形。 例题分析 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（    ） A．9 B．3 C．4 D．5 2. 如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（　　）    A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm 3. 如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 4. 如图，在中，，若将平移6个单位长度得到，点、分别是、的中点，则的最大值是 ． 5. 如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为？ 6. 操作与探究 （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′． 如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′． 若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是　 　；若点B′表示的数是2，点B表示的数是　 　； 已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是　 　． （2）对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作：先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′． 如图2，正方形ABCD在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的点进行上述操作后得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′． ①若已知A（﹣3，0）、A′（﹣1，2）、C（5，4），求点C′的坐标； ②如果正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标． 7. 如图，在矩形中，，动点满足，则点P到两点距离之和的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8. 如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 9. 如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 10. 如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 11. 如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 12. 如图，在Rt中，，D为上一点且是的平分线，E，P分别是上的动点，则的最小值为 ． 13. 如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ．    14. O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（     ） A．4π B．3π C．2π D．π 15. 把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D．4 16. 如图，点是正方形内的一点，连接，，．将绕点顺时针旋转到的位置． (1)设的长为，的长为，求旋转到的过程中边所扫过区域（图中阴影部分）的面积． (2)若，，，求的长． 17. 如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． (1)如图2，当边落在内． ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； (2)设△ADE的旋转速度为秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），请直接写出所有符合条件的t的值． 18. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 19. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则DF的长为？ 20. 如图，在正方形中，M，N分别是的中点，P是线段上的一点，的延长线交于点E，连接，将绕点P顺时针旋转得，求证：①。②∠CGF=90°。 21. （1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 22. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1) 试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2) 如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3) 如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． (4) 【应用】如图所示，点在线段上，，在的上方作等边三角形（的大小和位置可以改变），连接．请直接写出的最小值，不用表述理由． 23. （1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将△ADE绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 知识导入 图形的全等变化—平移 1、 定义 在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移． 2、 两大要素 平移的方向、平移的距离． 3、 性质 1. 平移前后，对应线段平行且相等（或在同一条直线上）、对应角相等； 2. 各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 平移前后的图形全等． 4、 作图步骤 1. 根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2. 找出原图形的关键点； 3. 按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4. 按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 5. 写出结论：说明作出的图形 5、 平面直角坐标系中的平移变换 点的运动与点的坐标变化之间的关系 原来的点P 运动方式 对应点P′ （a，b） 平移 向左平移m（m≥0）个单位 （a-m，b） 向右平移m（m≥0）个单位 （a+m，b） 向上平移m（m≥0）个单位 （a，b+m） 向下平移m（m≥0）个单位 （a，b-m） 一个图形进行运动，这个图形上所有点都做同样的运动，点的坐标会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的运动。 图形的全等变化—轴对称 1、 定义 （1） 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中对应的点叫做对称点； （2） 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线。 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等． （3） 两个图形成轴对称和轴对称图形之间的区别和联系 　 轴对称 轴对称图形 区别 指两个全等图形之间的位置关系。 轴对称图形是指具有某种性质的一个图形。 有一条对称轴 有一条、多条或无数条对称轴 联系 都是根据把图形沿着某一条直线折叠后能重合定义的。 如果将成轴对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是轴对称图 形。 如果把轴对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于对称轴成轴对称。 注意： 镜面对称：有时我们把轴对称称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、 轴对称的性质 1. 图形沿对称轴翻折后两部分能完全重合 2. 对应线段平行或在同一条直线上，或延长后与对称轴交于同一点。 3. 对应点所连线段平行或在同一条直线上，被对称轴垂直平分。 3、 轴对称变换的作图 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： 1. 找出图形中的关键点； 2. 作关键点的对称点：一垂二延三相等； 3. 顺次连接关键点； 4. 写出结论：说明作出的图形 4、 平面直角坐标系中的轴对称变换 点的运动与点的坐标变化之间的关系 原来的点P 运动方式 对应点P′ （a，b） 翻折 沿x轴翻折 （a，-b） 沿直线y=m翻折 （a，2m-b） 沿y轴翻折 （-a，b） 沿直线x=m翻折 （2m-a，b） 注意： 点p（a，b）沿直线y=kx+b（k、b是常数，k≠0）翻折，对应点的坐标是？ 一个图形进行运动，这个图形上所有点都做同样的运动，点的坐标会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的运动。 5、 最短路径问题 最短路径问题本质都是对两点之间线段最短的应用，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题。 图形的全等变换——旋转 1、 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 1. 旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角。在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某个点；旋转方向有顺时针和逆时针两种. 2. 将某个图形绕着旋转中心按某一方向旋转，则这个图形上的每个点同时绕旋转中心按照此方向旋转相同的角度. 3. 对应关系：我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫对应角. 2、 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形： 1. 原图和它经过旋转所得到的图形形状相同，大小相等。 2. 对应点到旋转中心的距离相等； 3. 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； 3、 旋转的作图 1. 作图依据：旋转的性质 2. 旋转作图的一般步骤 (1) 确定旋转中心，旋转方向和旋转角. (2) 找出图形的关键点，一般是图形的顶点. (3) 做旋转后的对应点，方法如下： 1　 连线 连接图形的每个关键点与旋转中心； 2　 作角 把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）； 3　 截取。在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. (4) 按原图形的各关键点的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 (5) 写出结论，说明作出图形即为所求作的图形。 4、 平面直角坐标系中的旋转变换 点的运动与点的坐标变化之间的关系 原来的点P 运动方式 对应点P′ （a，b） 旋转 绕原点旋转180° （-a，-b） 注意： 1. 点p（a，b）绕原点旋转30°、45°、60°、90°，对应点的坐标是？ 2. 点p（a，b）绕点Q(m,n)旋转30°、45°、60°、90°、180°，对应点的坐标是？ 一个图形进行运动，这个图形上所有点都做同样的运动，点的坐标会发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的变化，我们也可以看出这个图形进行了怎样的运动。 5、 中心对称 （1） 定义： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形成中心对称。 这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 注意： 1. 有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； 2. 位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形 重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 。 3. 中心对称是一种特殊的旋转--旋转角为 180°。由于旋转角度等于 180°，因此旋转方向是顺时针或逆时针都可以。 4. 成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定在对称中心两侧或与对称中心重合. （2） 中心对称性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 注意： 1. 成中心对称的两个图形的是全等图形。 2. 一组对应点到对称中心的距离相等。 3. 任意一组对应点、对称中心三点在同一条直线上。 4. 对应线段平行或在同一条直线上。 确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 6、 中心对称图形　 （1） 定义： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 这个点就是它的对称中心。 注意： 中心对称图形指的是一个图形。 （2） 中心对称图形的性质： 中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点。 过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）。 （3） 中心对称、中心对称图形、轴对称、轴对称图形之间的区别和联系 中心对称与中心对称图形的区别与联系 　 中心对称 中心对称图形 区别 指两个全等图形之间的位置关系。 对称中心不定。 中心对称图形是指具有某种性质的一个图形。 对称中心是图形自身或内部的点。 联系 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图 形。 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称。 中心对称和轴对称的区别与联系 区别 联系 中心对称图形 有1个对称中心——点 中心对称和轴对称都是两个图形按某种规则运动互相重合的特殊位置关系 一个图形绕对称中心旋转180°能够与另一个图形重合 对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分 轴对称图形 有1条对称轴——直线 一个图形沿对称轴翻折能够与另一个图形重合 对应点连线被对称轴垂直平分 中心对称图形和轴对称图形的区别与联系 区别 联系 中心对称图形 有一个对称中心--点 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴,它一定是中心对称图形，两对称轴的交点是它的对称中心。 图形绕中心旋转180°后与自身重合 对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分 轴对称图形 至少有一条对称轴--直线 图形沿对称轴翻折后两部分重合 对应点的连线被对称轴垂直平分 （4） 中心对称作图 作已知图形关于某一点对称的图形的作图步骤： 1. 确定对称中心 2. 确定关键点 3. 确定对应点：将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长，在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. 4. 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 5. 写出结论，说明作出图形即为所求作的图形。 例题分析 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（    ） A．9 B．3 C．4 D．5 B 【来源】山西省实验中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】如图，连接AA′、BB′．根据点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，求得点A′的纵坐标是3．又因为点A的对应点在直线y=x上一点，求得点A′的坐标（3,3），得到AA′=3，根据平移的性质知BB′=AA′即可求解； 【详解】解：如图，连接AA′、BB′． ∵点A的坐标为（0，3）， △OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点A′的纵坐标是3． 又∵点A的对应点在直线y=x上一点， ∴3=x，解得x=3， ∴点A′的坐标是（3，3）， ∴AA′=3， ∴根据平移的性质知BB′=AA′=3． 故答案为B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键． 2. 如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（　　）    A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm B 【来源】河北省石家庄市行唐县2018-2019学年七年级（下）期末数学试卷 【分析】根据平移的性质可得DF＝AC，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF， ∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm， ∴四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF＝16+3+3＝22cm． 故选B． 【点睛】此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的性质特点. 3. 如图，在平面内，线段，为线段上的动点，三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足．若点沿方向从点运动到点，则点运动的路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． D 【来源】2024年江苏省徐州市九年级中考一模数学模拟试题 【分析】本题考查了平移的性质，根据三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足，判断出三角板平移的角度，要求的路径长，只需要转化为求的路径长，而，主动点的运动路径即是线段，由此可求出从动点的路径长． 【详解】解： 三角板的边所在的直线与线段垂直相交于点，且满足， ， ， 当点沿方向从点运动到点，点的运动轨迹必须保证，因此三角板的运动轨迹如图所示， 要求点运动的路径，根据平移的性质，， ， 在中， ，又， ． 　点运动的路径长为． 故选：D． 4. 如图，在中，，若将平移6个单位长度得到，点、分别是、的中点，则的最大值是 ． 8 【来源】2021年江苏省扬州市高邮市中考数学第一次适应性试题 【分析】取的中点M，连接PM，MQ，根据平移的性质和三角形中位线的性质得出PM=6，，，然后利用三角形三边关系求解即可． 【详解】如图，取的中点M，连接PM，MQ， 根据题意可得：PM=6，，． ∵点M是的中点，点Q是的中点， ∴， ∴，即， ∴ ∴PQ的最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键． 5. 如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为 ． 4 【来源】江苏省南通市2019年中考数学试题 【分析】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N．将C(3,4)代入可得b=-2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在上，即可求得a的值. 【详解】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°， 把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2， 所以y=2x-2， 令y=0，则0=2x-2，解得：x=1， 所以A(1，0)， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBM+∠ABN=90°， ∵∠ANB=90°， ∴∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠CBM=∠BAN， 又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC， ∴△ABN≌△BCM， ∴AN=BM，BN=CM， ∵C(3，4)，∴设AN=m，CM=n， 则有，解得， ∴ON=3+1=4，BN=1， ∴B(4，1)， ∵曲线过点B， ∴k=4， ∴， ∵将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4， 故答案为4.    【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键. 6. 操作与探究 （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′． 如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′． 若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是　 　；若点B′表示的数是2，点B表示的数是　 　； 已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是　 　． （2）对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作：先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′． 如图2，正方形ABCD在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的点进行上述操作后得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′． ①若已知A（﹣3，0）、A′（﹣1，2）、C（5，4），求点C′的坐标； ②如果正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标． （1），4，；（2）①点（3，4）；②F（1，4） 【来源】江苏省盐城市滨海县滨淮初中教育集团2020-2021学年八年级上学期第二次月考数学试题 【分析】（1）先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，根据变换的关系即可得到点P的对应点P′，即可求得点A′与点B表示的数；然后设E表示的数为x，根据题意得：x+1＝x，即可求得答案； （2）先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′，与A（﹣3，0）、A′（﹣1，2），即可得方程组：，从而得到变换关系，继而求得答案． 【详解】解：（1）∵A、B的对应点分别为A′、B′，点A表示的数是﹣3，点B′表示的数是2， ∴﹣3×+1＝，（2﹣1）÷＝4， ∴A′表示的数为；B表示的数为4； ∵E的对应点E′与点E重合， 设E表示的数为x， 根据题意得：x+1＝x， 解得：x＝， ∴E′表示的数为． 故答案为：，4，； （2）∵A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣1，2）， 根据题意得： ， 解得： ， ∵C（5，4）， ∴×5+＝3，×4+4×＝4， ∴点（3，4）； 设F（m，n）， ∵点F的对应点F′与点F重合， ∴ ， 解得： ， ∴F（1，4）． 【点睛】此题考查了几何变换的知识，此题难度适中，注意根据题意得到变换关系是解此题的关键. 7. 如图，在矩形中，，动点满足，则点P到两点距离之和的最小值为（    ）    A． B． C． D． D 【来源】黑龙江省齐齐哈尔市建华区2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题 【分析】过P点作，交于M，交于N，作A点关于的对称点，连接交于点P，即为所求，由面积关系可得，在中求出即可． 【详解】解：过P点作，交于M，交于N，作A点关于的对称点，连接交于点P，    ∴，此时的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 8. 如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长（    ） A． B．3 C．1 D．2 D 【来源】江苏省苏州市振华中学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据“两点之间线段最短”，当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图： ∵将ΔABG绕点B逆时针旋转60°得到ΔEBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴ΔBFG是等边三角形， ∴BF=BG=FG， ∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根据“两点之间线段最短”， ∴当E,F,G,C共线时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H，如上图所示： ∴∠EBH=60°， ∵， ∴，EH=3， ∴EC=2EH=6， ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． C 【来源】贵州省遵义市仁怀市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出的度数． 【详解】 如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E； ∵∠BAD=140°， ∴∠G+∠H=180°-140°=40°， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴AD=DH，AB=GB， ∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG， ∴FH=FA，EA=EG， ∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB， ∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H， ∴=180°-（2∠G+2∠H）=100°， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． 10. 如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° A 【来源】江苏省无锡市锡山区天一实验学校2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题 【分析】作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则当B，F，G在同一直线上时，的周长最小，等于线段BG长，然后根据已知条件和等边三角形的性质可以得到，，从而根据等腰三角形的性质可以得到． 【详解】解：如图，连接CF， ∵、都是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，，∴， ∴， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则， ∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段BG长， 的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, 故选A． 【点睛】本题考查轴对称的综合应用，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题关键． 11. 如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° B 【来源】北京市西城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 12. 如图，在Rt中，，D为上一点且是的平分线，E，P分别是上的动点，则的最小值为 ． /4.8 【来源】江苏省南京市第一中学2022-2023学年八年级上学期第一次质量检测数学试卷 【分析】过点E作的垂线交于点G，交于点，连接，可得，当C，P，三点共线时最小，即C，P，三点构成直线且垂直于时最小，根据勾股定理可得答案． 【详解】过点E作的垂线交于点G，交于点E'，连接， ∵是的角平分线，是的垂线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 最小就是最小， 当C，P，三点共线时最小，即C，P，三点构成直线且垂直于时最小， 即Rt边上的高h． 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 13. 如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ．    / 【来源】江苏省南通市启东市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】连接，，，，，利用轴对称的性质可推出是等边三角形，进而得到，当时，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，，，，    ∵点P关于直线，的对称点分别是M，N， ∴AB垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求线段最小值的问题，关键是应用轴对称的性质得出 14. O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（     ） A．4π B．3π C．2π D．π D 【来源】2018年6月份江苏省盐城市阜宁县中考数学模拟试卷 【分析】当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小，根据公式求解即可． 【详解】解：当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小， 最小面积=π•12=π， 故选D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15. 把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D．4 A 【来源】2014届广东汕头澄海区九年级第一学期期末考试数学试卷 【分析】根据旋转可得，进而可求出，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由图①可得： 因为旋转角度为 为等腰直角三角形 在中： 故选：A 【点睛】本题考查了旋转、勾股定理的应用．根据已知条件进行几何推导是解题关键． 16. 如图，点是正方形内的一点，连接，，．将绕点顺时针旋转到的位置． (1)设的长为，的长为，求旋转到的过程中边所扫过区域（图中阴影部分）的面积． (2)若，，，求的长． B 【来源】2023年河北省承德市八校联考中考模拟数学试卷 【分析】由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积=扇形的面积扇形的面积的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积， 扇形的面积， 的面积， ∴阴影的面积=扇形的面积扇形的面积的面积 ． 故选：B． 【点睛】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含30°角的直角三角形，解题的关键是明白：阴影的面积=扇形的面积扇形的面积的面积． 17. 如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． (1)如图2，当边落在内． ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； (2)设的旋转速度为秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），请直接写出所有符合条件的t的值． 【来源】广东省广州市外国语学校2022~2023学年八年级上学期数学期末考试卷 【分析】以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，根据矩形的性质得，根据，都是等边三角形得，，，可得，用SAS可证明，得，根据得，根据，，在中，设，则，根据勾股定理得，，进行计算得，，即可得点Q在射线上运动，根据得，根据，，得，根据垂线段最短，即可得当点与点重合时，的值最小，最小值为． 【详解】解：如图所示，以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，设，则，根据勾股定理得， ， ， ， ，（舍）， ∴，， ∴点Q在射线上运动， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造全等三角形，添加辅助线，本题是中考选择题中的压轴题． 18. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【来源】江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 【分析】连接，过作于，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 19. 矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则DF的长为？ 【来源】2023年浙江省绍兴市越城区建功中学等部分校中考三模数学试题 【分析】根据矩形的性质，由勾股定理得出，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，得正方形，延长交于，连接，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出，证出，设，则，利用勾股定理列出方程求出，然后由，得，所以，即可求出的长． 【详解】解：在矩形中， ，，， ， 如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，得正方形，延长交于，连接，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， 四边形是正方形， ，， 由旋转得：， ，，，， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 20. 如图，在正方形中，M，N分别是的中点，P是线段上的一点，的延长线交于点E，连接，将绕点P顺时针旋转得，求证：①。②∠CGF=90°。 ①②③ 【来源】2022年广东省深圳市宝安区第一外国语学校中考数学仿真试卷（一） 【分析】延长交于点H，连接，由已知可得为的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得，由四边形内角和定理通过计算可得；利用平行线的性质可得，则，可说明②的 结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得，得到A，F，C三点共线，得到为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线上运动，当时，的值最小，连接，解直角三角形的知识可得④的结论不正确． 【详解】解：延长交于点H，连接，如图， ∵正方形中，M，N分别是的中点， ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵是绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∴． ∴①的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴②的结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴点A，B，E，F在以点P为圆心，为半径的同一个圆上． ∴． ∴点F在对角线上， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵平分， ∴垂直平分． ∴③的结论正确； 由以上可知：点F在正方形的对角线上运动， ∴当时，的值最小． 此时点E与点D重合， ∴． ∴④的结论不正确． 综上，结论正确的序号有：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 21. （1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． （1）见解析；（2） 【来源】陕西省西安市灞桥区五环中学2021-2022学年八年级下学期 数学期末质量检测试题 【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论； （2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=PA， ∵PC=P'C， ∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′； （2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°， ∴AC=10，BC=， 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′， 当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'=PB， ∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°， ∴∠ABC'=90°， 由勾股定理得： ∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． 22. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1) 试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2) 如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3) 如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． (4) 【应用】如图所示，点在线段上，，在的上方作等边三角形（的大小和位置可以改变），连接．请直接写出的最小值，不用表述理由． 背景：；60；探究：；；见解析；应用： 【来源】河北省石家庄市晋州市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】背景：根据等边三角形的性质可得，，，进而得到，证明即可得到结论，根据全等三角形的性质可以得到，推出，即可得出锐角的大小； 探究：和是等边三角形，得出，，， 推出，即，进而证明，得到，；设与交于点，则，得到，即可得出结论； 应用：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，则，， 先证明，进一步证明，得到，再根据（当且仅当点在线段上时等号成立）得到的最小值，最后依次计算、、和即可； 【详解】背景： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；60． 探究： ；． 证明：∵和是等边三角形， ∴，，． ∴，即． ∴． ∴，且． 设与交于点，则， ∴， 即， ∴， 应用： 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值， ∵，， ∴，   ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 23. （1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将△ADE绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． （1）25（2）（3）24 【来源】江苏省南京市将军山中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$