精品解析：广东省深圳市龙岗区布吉高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试高一数学测试卷 满分：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卡上. 一、单选题（共8道题，每小题5分，满分40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中为真命题的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①④ D. ②④ 7. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ） A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3 二、多选题（共3道题，每小题6分，满分18分） 9. 设复数，则下列命题中正确的是（    ） A. B. 在复平面上对应的点在第四象限 C. 是纯虚数 D. 的虚部为 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 11. 如图，在边长为2的正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，将 分别沿SE，SF折起，使 两点重合于G，下列说法正确的是（ ） A. 若把 沿着EF继续折起， 与G恰好重合 B. C. 四面体 的外接球体积为 D. 点G在面SEF上的射影为△SEF的重心 三、填空（共3道题，每小题5分，满分15分） 12. 已知向量、为单位向量，且，则______. 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m. 14. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 四、解答题：（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，. （1）求的面积； （2）求c及的值. 16. 已知向量 （1）若，求及的值； （2）若与平行，求实数的值； （3）若与的夹角为，求实数的值. 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求点到平面的距离． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，求周长的取值范围. 19. 如图，在四面体中，，分别是的中点. （1）求证：； （2）在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试高一数学测试卷 满分：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卡上. 一、单选题（共8道题，每小题5分，满分40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求. 【详解】， 故选：D. 2. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，求出答案. 【详解】，又， 解得. 故选：B 3. 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆锥的母线的长和底面圆的半径即得解. 【详解】由题得圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1， 所以圆锥的侧面积为. 故选：A 4. 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角. 由条件知：，则， 故选：C. 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解. 【详解】因为，，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：A. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中为真命题的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 由面面平行的性质可判断①；对于②, m可能在内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面内找到直线使得,即可判断④ 【详解】①中,若,则内任一直线与平行,①为真命题； ②中,若,则m可能平行于,也可能在内,②为假命题； ③中,若,则m可能垂直于,也可能平行于,也可能与相交但不垂直,③为假命题； ④中,若,则可在内作一直线使,又因为,所以,又,则,④为真命题； 综上,①④为真命题, 故选:C 【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 7. 已知是边长为1的正三角形，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案． 【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示： 因为，根据上图可知 故选：A 8. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（ ） A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得.. 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有， 即，可得，则， . 故选：B. 二、多选题（共3道题，每小题6分，满分18分） 9. 设复数，则下列命题中正确的是（    ） A. B. 在复平面上对应的点在第四象限 C. 是纯虚数 D. 的虚部为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再一一判断即可. 【详解】因为，所以复数的虚部为1，故D错误； 对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限，故B正确； 对于C：是纯虚数，故C正确. 故选：ABC. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在边长为2的正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，将 分别沿SE，SF折起，使 两点重合于G，下列说法正确的是（ ） A. 若把 沿着EF继续折起， 与G恰好重合 B. C. 四面体 的外接球体积为 D. 点G在面SEF上的射影为△SEF的重心 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，可说明 与G恰好重合，判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点，判断D. 【详解】对于A，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，正确； 对于B,因为,D是EF的中点，故; 又，故平面GEF, 而平面GEF,故,又平面SGD, 所以平面，平面,所以正确； 对于，由翻折的性质可知，两两垂直， 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同， 其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， 故外接球的体积为，故正确； 对于D，因为两两互相垂直，故平面GEF,则, 设P为点G在平面SEF上的射影，连接EP,SP,则 , 而平面SGP,故平面SGP, 平面SGP, 故，同理可证,即点P为三角形高线的交点， 所以点在平面上的射影为的垂心，故D错误， 综上，正确答案为ABC， 故选：ABC 三、填空（共3道题，每小题5分，满分15分） 12. 已知向量、为单位向量，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为向量、为单位向量， 所以， 故答案为： 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得， 在中，（）. 故答案为： 14. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 【答案】13 【解析】 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 四、解答题：（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，. （1）求的面积； （2）求c及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积； （2）余弦公式求c，再应用正弦定理求. 【小问1详解】 由且，则， 所以. 【小问2详解】 由，则， 而，则. 16. 已知向量 （1）若，求及的值； （2）若与平行，求实数的值； （3）若与的夹角为，求实数的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用数量积的坐标运算求解，先求出的坐标，再求其模； （2）先求出的坐标，再由两向量平行列方程求解； （3）利用向量的夹角公式直接列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为与平行，所以，解得； 【小问3详解】 因为与的夹角为，， 所以， 所以，解得. 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，从而得证； （2）利用等体积法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体中，易知平面， 设点到平面的距离为， 所以． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，作边化角处理，然后化简可求解. （2）利用正弦定理，可得周长，化简后，利用三角函数的性质可求得周长的范围. 【小问1详解】 因为， 整理得，， ， ， ，可得， ， ，，最后可得， 【小问2详解】 ， ， 周长， ， ，， 周长的范围为 19. 如图，在四面体中，，分别是的中点. （1）求证：； （2）在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 在中，，同理， 而平面，平面， 又平面； （2）存在，，理由如下： 在上能找到一点，使平面，此时，证明如下： 记的中点为，连接， 因为是的中点，是的中点，， 平面平面，平面， 的中点即为所求，此时. （3） 【解析】 【分析】（1）利用三线合一证得，再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）找到的中点，利用线面平行的判定定理即可得解； （3）利用面面垂直的性质定理证得平面，进而得到是直线与平面所成角，再分别求得，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取中点，连接，易知故平面， 故是直线与平面所成角， 因为，所以是等边三角形， 设，则，， 在中，，， 所以， 故， 所以直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $