精品解析：2025陕西省咸阳市永寿县中学高一下学期期中考试数学试题

永寿中学2024-2025学年高一下学期期中考试 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的乘法运算可得到结果. 【详解】复数，对应的点坐标为，在第一象限. 故选：A. 【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题． 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出原图和直观图，然后求面积. 【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为. 故选：D. 【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题. 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 解的个数不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可判断. 【详解】由正弦定理可知，，即，得， 因为，所以或， 所以此三角形有两解. 故选：B 5. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案. 【详解】由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r， 根据圆柱和球的对称性可得， 所以圆柱的表面积. 故选：D 6. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量线性运算求解. 【详解】如图所示： ，， ， ， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ） A. MN∥PD B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用线面平行的性质分析解答. 【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA， ∴MN∥PA. 故选：B 8. 在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，取的中点，连接，则可得为异面直线与所成的角或补角，然后在中求解即可. 【详解】设，取的中点，连接，则 因为分别为的中点，所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 所以为异面直线与所成的角或补角. 因为分别为的中点， 所以， 所以. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可： 【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误； 一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确； 如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误； 梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确； 故选：BD. 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据复数的运算及相关概念一一判断可得； 【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确； 对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误； 复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误； 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用三角形的性质，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】解：对于选项：在中，若，根据大边对大角，所以， 利用正弦定理，所以， 则，故选项正确． 对于选项：在锐角三角形中，，即， 故不等式恒成立，故选项正确． 对于选项：在中，， 由余弦定理可知：，因此有 ，即，因为，所以， 因此，所以或，即，或（舍去）， ，所以，故C正确． 对于选项：在中，若，，三角形面积 所以，解得， 所以， 由正弦定理，故选项错误． 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数（i为虚数单位），则______ 【答案】 【解析】 【分析】 首先化简，求出的共轭复数，再求模长即可. 【详解】， ，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解. 【详解】，， ，由可得， 又，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题. 14. 如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意判断形成的几何体是组合体：上面半球，下面是圆柱，由球和圆柱的表面积公式求出形成的几何体的表面积． 【详解】由题意知，形成的几何体是组合体：上面半球，下面是圆柱， 因为正方形的边长为1，， 所以球的半径为1，圆柱的底面半径为1，母线长为1， 则形成的几何体的表面积为： ， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 【答案】（1） 证明：由已知，得＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2. 因为＝2e1－8e2，所以. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． （2）12 【解析】 【详解】（1）略 （2）由（1）可知＝e1－4e2.因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12. 16. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 【答案】（1）证明：连接AC交BD于O,连接OG. 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分. 又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以. 因为面,面,所以AF//平面BDG. （2）证明:因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD. 因为面,面,所以AB//平面. 因为面,面面=EF. 所以AB//EF. 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF//平面BDG； （2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 设复数，m为实数. （1）当m为何值时，z是纯虚数； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值； （2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出. 【小问1详解】 已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合以上两个条件，可得. 【小问2详解】 将代入，可得： . 根据复数模的计算公式可得：. 18. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3. （1）求正三棱锥的表面积； （2）求正三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求； （2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解. 【详解】（1）取的中点D，连接， 在中，可得. ∴. ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， ∴正三棱锥的侧面积是. ∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴. 则正三棱锥的表面积为； （2）连接，设O为正三角形的中心，则底面. 且. 在中，. ∴正三棱锥的体积为. 【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题. 19. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且. （1）求； （2）若的面积为；已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理可求得，进而求得； （2）由面积公式求出，由已知可得，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求的最小值. 【小问1详解】 由正弦定理，可得，即， 故，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 因为E为BC的中点，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永寿中学2024-2025学年高一下学期期中考试 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 解的个数不确定 5. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ） A. MN∥PD B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 8. 在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 11. 下列结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数（i为虚数单位），则______ 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______ 14. 如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 16. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 17. 设复数，m为实数. （1）当m为何值时，z是纯虚数； （2）若，求的值； 18. 如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3. （1）求正三棱锥的表面积； （2）求正三棱锥的体积. 19. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且. （1）求； （2）若的面积为；已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $