导数常考大题4大解题策略讲义-2025届高三数学一轮复习

高考数学常考题型归纳 【导数基础大题解题策略】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【解题策略1：端点效应】 知识讲解 1. “端点代入，先看特殊”：先将区间端点代入函数或不等式，观察特殊值的情况，初步判断是否满足条件。 2. “端点分析，确定范围”：分析端点处的函数值或极限值，确定参数可能的取值范围。 3. “若有可行，再证一般”：如果端点处的情况满足要求，再进一步证明在整个区间上都满足条件。 4. “左右极限，辅助判断”：考虑端点处的左右极限，辅助分析函数在端点附近的行为。 5. “分类讨论，灵活运用”：根据不同的端点情况和函数特点，进行分类讨论，灵活运用端点效应。 6. “结合导数，深入分析”：结合导数来研究函数在端点附近的单调性和变化趋势，更深入地分析问题。 例题精选 【例题1】（浙江省9 1联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【例题2】（湖南省三新/H11/G10教育联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）设函数，. (1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例题3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 相似练习 【相似题1】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【相似题2】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【相似题3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【解题策略2：隐零点】 知识讲解 1. 函数求导，寻找零点：对函数进行求导，通过导数研究函数的单调性，进而寻找可能存在的零点。 2. 隐零点设，代换化简：当零点不易直接求出时，设出隐零点，将其代入到原函数或导数中进行代换化简，利用隐零点满足的方程来简化问题。 3. 范围确定，性质分析：确定隐零点所在的区间范围，根据函数在该区间的单调性等性质，分析函数的最值、极值等情况。 4. 整体代换，避免求解：尽量通过整体代换的方式，利用隐零点的性质来解决问题，避免直接求解隐零点的具体值。 5. 极限思想，辅助判断：结合极限思想，分析函数在端点或无穷远处的趋势，辅助对函数性质的判断和问题的解决。 6. 二次求导，深度探究：如果一次求导无法充分解决问题，可以考虑二次求导，进一步探究函数的单调性和极值情况，为处理隐零点问题提供更多信息 例题精选 【例题1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求的值； (3)若，且，求的取值范围． 【例题2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)讨论的单调性； (3)当时，设， 证明：在上存在唯一的极小值点，且．(参考数据：) 【例题3】（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)若有且只有一个极值点，求的取值范围； (2)当时，若函数的极值点为，求证：． 相似练习 【相似题1】（2025·安徽·模拟预测）已知曲线在点处切线方程为，其中为常数． (1)①求的值；②证明：只有一个零点． (2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围． 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，且对任意恒 【相似题3】（2025·安徽芜湖·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，证明：. 【解题策略3：指对同构】 知识讲解 1. 观察结构，寻找同构：仔细观察函数表达式，尝试找出指数函数与对数函数之间的结构特征，看是否能通过变形转化为同一种形式，常见的同构形式有与，与等。 2. 适当变形，构造同构：根据观察到的结构特点，对函数进行适当的变形，如通过乘除、加减、取对数等运算，构造出同构的形式。例如，对于的形式，可能需要将含有对数的式子通过变形转化为的形式，以便进行同构。 3. 利用同构，简化问题：构造出同构形式后，利用同构函数的性质来简化问题。通常可以将原函数转化为一个更简单的同构函数，通过研究同构函数的单调性、极值等性质，来解决原函数的相关问题。 4. 结合导数，分析性质：对同构后的函数求导，利用导数来分析函数的单调性、极值点等性质。根据导数的正负确定函数的单调区间，找到极值点，进而确定函数的最值情况或函数值的变化趋势，为解决问题提供依据。 5. 挖掘条件，寻找关联：注意题目中给出的条件，挖掘条件与同构函数之间的关联。例如，给定的不等式条件可能与同构函数的单调性有关，通过利用这些关联，可以将条件转化为关于同构函数的不等式，从而进行求解。 6. 回归原问题，得出结论：在通过同构函数分析得到相关结果后，要将结果回归到原问题中，得出原函数所需要的结论。比如，通过同构函数得到了某个参数的取值范围，要将其转化为原问题中参数的取值范围。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·广东·期中）已知函数且． (1)当时，判断函数零点的个数； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，证明：． 【例题2】（2025·福建南平·三模）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【例题3】（2025·山西晋中·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若函数，讨论函数零点的个数. 【解题策略4：比值换元】 知识讲解 1. 观察式子，发现比值：仔细观察题目中给出的函数表达式或条件，寻找其中存在的比值关系，例如，等。 2. 设元换元，简化式子：设为比值，如令（为相关变量），然后将原式子中的变量用表示，从而简化式子，将多变量问题转化为单变量问题。 3. 确定范围，关注边界：根据题目条件确定的取值范围，这一步很关键，因为取值范围会影响后续函数的定义域和性质。同时，要特别关注取值范围的边界情况，这可能对最终结果产生重要影响。 4. 求导分析，研究函数：对换元后的函数进行求导，通过导数来分析函数的单调性、极值等性质。根据导数的正负判断函数的增减性，找到函数的极值点，进而确定函数的最值或取值范围。 5. 回代结果，得出结论：在得到关于的结果后，将回代到原比值关系中，从而得出原问题的结论。 例题精选 【例题1】（2025高二·全国·专题练习）设函数，a为常数，为的两个零点，试证：． 【例题2】（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【例题3】（2025·福建莆田·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （i i）当满足时，求实数的最大值． 相似练习 【相似题1】（2025·湖南长沙·一模）已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设是的两个极值点，证明： (i) (ii) 【相似题2】（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考数学常考题型归纳 【导数基础大题解题策略】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【解题策略1：端点效应】 知识讲解 1. “端点代入，先看特殊”：先将区间端点代入函数或不等式，观察特殊值的情况，初步判断是否满足条件。 2. “端点分析，确定范围”：分析端点处的函数值或极限值，确定参数可能的取值范围。 3. “若有可行，再证一般”：如果端点处的情况满足要求，再进一步证明在整个区间上都满足条件。 4. “左右极限，辅助判断”：考虑端点处的左右极限，辅助分析函数在端点附近的行为。 5. “分类讨论，灵活运用”：根据不同的端点情况和函数特点，进行分类讨论，灵活运用端点效应。 6. “结合导数，深入分析”：结合导数来研究函数在端点附近的单调性和变化趋势，更深入地分析问题。 例题精选 【例题1】（浙江省9 1联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性及极值情况； （2）变形得到，在时恒成立，令，求导，由于，故，所以，下面证明时，恒成立，放缩得，令，；求导，得到其单调性，，证明出结论. 【详解】（1），定义域为， ，； ①时，恒成立，在上单调递增，没有极值； ②时，令，则，；解得， 令，则，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 故极大值为，无极小值； （2），恒成立；即，在时恒成立； 令，； ∵，∴即，； 下面证明：时，恒成立. ∵； 令，； ； ∴在单调递减； 又∵，∴； ∴恒成立，证毕. 所以的取值范围为. 【例题2】（湖南省三新/H11/G10教育联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题）设函数，. (1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； (2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在极大值点，无极小值点，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求出导函数，得出函数单调性结合零点存在定理判断导数零点即可得出极值点； （2）先求出导函数，构造函数分和及分类讨论得出单调性即可求参. 【详解】（1）， 令，则，则，恒小于0，单调递减， 且，，∴，， ，，单调递增，，，单调递减，故函数存在极大值点，无极小值点. （2），则. 又令，， ①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增， ∴，∴，∴在区间上单调递增， ∴（不合题意）； ②当，即时，，∴在区间上单调递减， ∴，∴，∴在区间上单调递减， ∴（符合题意）； ③当，即时，由，， ∴，使，且时，，， ， ∴在上单调递增，∴（不符合题意）； 综上，的取值范围是. 【例题3】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 相似练习 【相似题1】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 【相似题2】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解. 【相似题3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. （2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 【解题策略2：隐零点】 知识讲解 1. 函数求导，寻找零点：对函数进行求导，通过导数研究函数的单调性，进而寻找可能存在的零点。 2. 隐零点设，代换化简：当零点不易直接求出时，设出隐零点，将其代入到原函数或导数中进行代换化简，利用隐零点满足的方程来简化问题。 3. 范围确定，性质分析：确定隐零点所在的区间范围，根据函数在该区间的单调性等性质，分析函数的最值、极值等情况。 4. 整体代换，避免求解：尽量通过整体代换的方式，利用隐零点的性质来解决问题，避免直接求解隐零点的具体值。 5. 极限思想，辅助判断：结合极限思想，分析函数在端点或无穷远处的趋势，辅助对函数性质的判断和问题的解决。 6. 二次求导，深度探究：如果一次求导无法充分解决问题，可以考虑二次求导，进一步探究函数的单调性和极值情况，为处理隐零点问题提供更多信息 例题精选 【例题1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求的值； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间； （2）利用（1）中函数的单调性求出函数的最值即可得解； （3）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【详解】（1）因为，，所以． 当时，恒成立，所以在上单调递减． 当时，解，得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知， 当时，在上单调递减，所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 当时，在上单调递增，所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 综上，的值为2． （3）由已知，得． 设，， 则． 因为，所以，所以的零点即函数在上的零点． 因为在上恒成立，所以函数在上单调递增． 因为，，所以存在，使得， 即，则，所以． 当时，，，所以在上单调递减， 当时，，，所以在上单调递增． 所以． 由恒成立，得， 所以，即的取值范围是． 【例题2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)讨论的单调性； (3)当时，设， 证明：在上存在唯一的极小值点，且．(参考数据：) 【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调区间和极值； （2）对函数求导得，讨论参数研究导函数的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值． （2）函数的定义域为R，对a进行讨论，分两种情况： 当时，恒成立，在R上单调递增； 当时，由，解得，由，解得， 在上单调递减，在上单调递增． 综上：当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）当时，，， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 又，且m， 所以存在唯一的，使得，即①, 当时，，  即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以是在上唯一的极小值点，则， 由①可知． 【例题3】（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)若有且只有一个极值点，求的取值范围； (2)当时，若函数的极值点为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）对函数求导，将极值点个数转化为导函数的变号零点个数问题，构造函数利用数形结合即可求得的取值范围； （2）得出函数的极值点满足的表达式，将等式变形化简可得，再利用基本不等式计算可得结论. 【详解】（1）易知的定义域为，, 若有且只有一个极值点，则可知仅有一个变号零点， 令，则， 由可得； 显然当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 因此在处取得极小值，也是最小值，， 且时，，当时，，其图象如下图所示: 依题意可得仅有一个实数根，也即与仅有一个交点， 结合图象可知或，解得或； 经检验可知，当时，仅有一个非变号零点，不合题意，舍去； 即的取值范围为 （2）当时，可得， 此时， 结合（1）可知，函数存在唯一极值点，且，即； 可得，将两边取对数可得，即 代入可得 ， 当却仅当时，即时等号成立， 显然不满足，因此等号不成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出函数极值点的表达式，利用对数运算性质代入表达式得出，结合的范围以及基本不等式计算可得结论. 相似练习 【相似题1】（2025·安徽·模拟预测）已知曲线在点处切线方程为，其中为常数． (1)①求的值；②证明：只有一个零点． (2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①由题意得，求函数的导数，由导数的几何意义即可求解；②由①知，，记，由导数研究函数的单调性进行求解； （2）因为存在正实数，使得成立，即存在正实数，使得成立．令，则，由单调性求出，即可求解． 【详解】（1）①由题意得，， 则，解得． 易得，则， 因为点在直线上， 所以，解得． ②由①知，， 记，则， 所以在上单调递增， 又， 所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 故函数只有一个零点． （2）因为存在正实数，使得成立， 所以存在正实数，使得成立， 即存在正实数，使得成立． 令，则， 由（1）②知，有唯一解在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以． 由，得，即， 即，亦即． 易得在上单调递增， 由，得，所以，即， 所以， 故，即的取值范围为. 【相似题2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，且对任意恒成立，求整数k的最大值． 【答案】3 【分析】把函数代入得，求导有唯一解b并确定其范围，根据函数单调性分析可得k的最大整数值. 【详解】，所以，， 令，则，考虑分子，， 所以在上单调递增．因为，， 所以存在，使得，所以，，， 同理，时，，所以在上单调递减， 在上单调递增．， 因为，即，所以， 所以，所以，则整数k的最大值． 【相似题3】（2025·安徽芜湖·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，分和两种情况讨论，分别得到单调区间； （2）法一：要证，即证，令，根据，通过求导判断单调性可得，即可证明； 法二：，利用导数得到在单调递减，在单调递增，其中且，所以，得证. 【详解】（1）定义域，， ①当时，，在上单调递减， ②当时，令得， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）法一：要证即证， 设，即， 设，则，令得，令得， 所以在上为增函数，在上为减函数，所以， 所以成立，所以得证. 法二：设，则， 因为，所以， 令，则，则在单调递增， 因为，，所以在上存在唯一零点， 当，，故，当，，故， 所以在单调递减，在单调递增， 则，其中， 所以， 所以，即得证. 【解题策略3：指对同构】 知识讲解 1. 观察结构，寻找同构：仔细观察函数表达式，尝试找出指数函数与对数函数之间的结构特征，看是否能通过变形转化为同一种形式，常见的同构形式有与，与等。 2. 适当变形，构造同构：根据观察到的结构特点，对函数进行适当的变形，如通过乘除、加减、取对数等运算，构造出同构的形式。例如，对于的形式，可能需要将含有对数的式子通过变形转化为的形式，以便进行同构。 3. 利用同构，简化问题：构造出同构形式后，利用同构函数的性质来简化问题。通常可以将原函数转化为一个更简单的同构函数，通过研究同构函数的单调性、极值等性质，来解决原函数的相关问题。 4. 结合导数，分析性质：对同构后的函数求导，利用导数来分析函数的单调性、极值点等性质。根据导数的正负确定函数的单调区间，找到极值点，进而确定函数的最值情况或函数值的变化趋势，为解决问题提供依据。 5. 挖掘条件，寻找关联：注意题目中给出的条件，挖掘条件与同构函数之间的关联。例如，给定的不等式条件可能与同构函数的单调性有关，通过利用这些关联，可以将条件转化为关于同构函数的不等式，从而进行求解。 6. 回归原问题，得出结论：在通过同构函数分析得到相关结果后，要将结果回归到原问题中，得出原函数所需要的结论。比如，通过同构函数得到了某个参数的取值范围，要将其转化为原问题中参数的取值范围。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·广东·期中）已知函数且． (1)当时，判断函数零点的个数； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，证明：． 【答案】(1)个 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）当时，将所证不等式变形为，令，求出的取值范围，令，其中，利用导数分析函数的单调性，求出该函数的最小值，证得即可. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，令，可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为， 当时，， 当时，，，由零点存在定理可知，存在，使得， 综上所述，当时，函数有且只有一个零点. （2）函数且的定义域为， 且， 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 故当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）当时，， 要证，即证， 即证， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 要证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因此，对任意的，，故原不等式得证. 【例题2】（2025·福建南平·三模）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数工具研究函数导函数的值的正负情况即可得解； （2）利用导数工具二次求导研究函数的单调性即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为R，，令， 所以当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：由（1）， 所以在上恒成立， 所以函数即在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即. 【例题3】（2025·山西晋中·三模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 令，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由对任意恒成立， 得对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则有， 显然为增函数，可得， 则，所以． 由（1）可知， 所以，故的取值范围为． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性； （2）令，得，即，发现其结构相同， 再令，可得，故，问题转化为求函数的值域， 分析其图象与直线的交点个数即得答案. 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若函数，讨论函数零点的个数. 【答案】答案见解析 【分析】令，则，即，则函数的零点个数即为方程实数根的个数，令，则题目转化为求关于的方程实数根的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值即可得解. 【详解】令， 则，即， 则函数的零点个数即为方程实数根的个数， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在单调增，所以， 则关于的方程实数根的个数， 即为关于的方程实数根的个数， 即为关于的方程， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，无零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【解题策略4：比值换元】 知识讲解 1. 观察式子，发现比值：仔细观察题目中给出的函数表达式或条件，寻找其中存在的比值关系，例如，等。 2. 设元换元，简化式子：设为比值，如令（为相关变量），然后将原式子中的变量用表示，从而简化式子，将多变量问题转化为单变量问题。 3. 确定范围，关注边界：根据题目条件确定的取值范围，这一步很关键，因为取值范围会影响后续函数的定义域和性质。同时，要特别关注取值范围的边界情况，这可能对最终结果产生重要影响。 4. 求导分析，研究函数：对换元后的函数进行求导，通过导数来分析函数的单调性、极值等性质。根据导数的正负判断函数的增减性，找到函数的极值点，进而确定函数的最值或取值范围。 5. 回代结果，得出结论：在得到关于的结果后，将回代到原比值关系中，从而得出原问题的结论。 例题精选 【例题1】（2025高二·全国·专题练习）设函数，a为常数，为的两个零点，试证：． 【答案】证明见解析 【分析】方法1：根据题意可得，将不等式通过变形并进行构造函数，利用导数求得函数单调性即可得出结论； 方法2：根据题意可得，再由换元法令构造函数，利用导数求得函数单调性即可得出结论； 【详解】证明： 方法1：因为，，所以，， 所以， 要证，即证，即证， 即证， 令，即证， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以． 方法2：因为，，所以，所以， 令，则，即，所以， 所以， 要证，即证， 即证，即证， 以下同方法1，设，则， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以， 问题得证，所以． 【例题2】（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围； （3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 【例题3】（2025·福建莆田·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （i i）当满足时，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先把代入函数求，再对求导得，算出即切线斜率，最后用点斜式得出切线方程. （2）（i）先得出和，因有两个极值点，是零点，将变形，设并求导，分析其单调性得最大值，结合图象确定2a范围，进而得到范围. （ii）根据条件得到2a表达式，设，代入化简得表达式，设求导分析单调性，由确定范围，得出范围，进而确定范围，再根据2a表达式设，分析其单调性得最大值，从而得到最大值. 【详解】（1）当时，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）（i），则， 因为函数有两个不同的极值点，所以是的零点， 由，得． 设，则， 令，得；令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以． 当时，，当时，， 结合的图象的变化趋势可知，，所以， 故实数的取值范围为． （i i）由条件可知，，， 则，且． 不妨令，将代入中， 得，则． 设，，则， 令，则，所以在上单调递减， 则，即，所以在上单调递减． 由得，，所以， 因此在区间上单调递减，即， 于是，所以，则， 又，令，由（ⅰ）可知，在区间上单调递增， 所以，则，解得， 故实数的最大值为． 相似练习 【相似题1】（2025·湖南长沙·一模）已知函数 (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设是的两个极值点，证明： (i) (ii) 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析 【分析】（1）依题可知，对恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可； （2）(i)由题可得是方程的两根，即，且，令，得，问题转化为证明，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数证明，，可得与的交点横坐标为，则，与的交点横坐标为，则，由此得证. 【详解】（1）的定义域为， 依题可知对恒成立，即，   令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故； （2）(i)令，即，由题知是方程的两根， 又时，，由（1）得， 此时， 令，则， 即， 要证，即证，即证， 构造，则， 故在上递增，， ，原问题得证. (ii)易求得的图象在处的切线方程为， 的图象在处的切线方程为， 先证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 再证，即证， 令，则， 所以在上递减，在上递增，故，得证. 易知与的交点横坐标为， 令与的交点横坐标为，则， 令与的交点横坐标为，则， 故. 【相似题2】（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$