精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团初2024—2025学年下学期八年级期中数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团初2026届初二（下）半期数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑） 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. D. 9 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象大致是（ ） A B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 如图，在四边形中，，．要使四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年1月有120人参加，2025年第一季度（前三个月）共有570人参加．设月平均增长率为x，根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中 对角线与相交于点O，点E是的中点，过点E作交于点F，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，涵涵骑车、轩轩步行分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．涵涵出发10分钟后休息，直至与轩轩相遇后，以原速度继续行驶，设两人出发时间为x （单位：），涵涵、轩轩与乙地的距离分别为（单位：m），图中的折线和线段分别表示与x之间的函数关系．下列四个结论正确的是（ ） A. 涵涵行驶速度为 B. 轩轩行驶的速度为 C. 线段所在直线的解析式为 D. 两人只有出发10分钟后相距 9. 如图，四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形，连接，分别交，于点P，Q．已知，正方形的面积为30，则图中阴影部分面积和为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 10. 对于整数串：，，…，其中n为整数且，可选择如下任意一种操作对其进行变换称为一次操作：第1种操作，将减1，加1，其余数不变，并按原序排列得到一新数串；第2种操作，将减1，加1，其余数不变，并按原序排列得到一新数串；第3种操作，将加1，减加1，其余数不变（，m为整数），并按原序排列得到一新数串，通过操作变换后得到的新数串，可继续选择三种操作中任一种变换，又得到一新数串，如此，不断得到新数串，例如：，对于数串：1，2，3，选择第1种操作变换，得新数串：0，3，3，对所得数串0，3，3，选择第3种操作，得数串：1，1，4……以下说法正确的有（ ） ①若，，，，每种操作各进行一次变换后，所得数串为：1，，0； ②当时，对任意整数串，进行若干次第1种或第3种操作后，任意相邻的两数总能变换成，，且其余数不变； ③若，对整数串，，，至少需进行10次操作后，才能使所得数串与原数串相同． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：_____． 12. 已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 14. 如图，在矩形中，，，连接，平分交于点E，点F是上一点，连接，，若，则的长为______． 15. 如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为_______． 16. 若一个正整数A的十倍能写成两个两位数的平方差，并且这两个两位数的十位数字相同，个位数字和为10，则称A为“十分数”，并把A的十倍分解成两个两位数的平方差的过程称为“十分数分解”．例如：因为，37与33的十位数字相同，个位数字和为10，所以28是“十分数”，则最小的“十分数”为_____．把一个“十分数”A进行“十分数分解”，即，其中m，n为两位数，将m放在n的左边组成一个四位数B，交换B的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字，得到一个新的四位数，记，若被7整除，且为3的倍数，则满足条件的所有“十分数”A中最大的为_____． 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 17. 计算： （1） （2） 18. 解一元二次方程： （1） （2） 19. 某公司为参加“年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息：抽取的对甲款机器人的评分数据中B等级的数据为：，，，，，，，；抽取的对乙款机器人的评分数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 对甲款机器人的满意度评分扇形统计图 对甲，乙两款机器人满意度评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中= ，= ，= ． （2）根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有人对甲款人形机器人进行评分，人对乙款人形机器人进行评分，请估计此次测验中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有多少人？ 20. 在学习了菱形的相关知识后，小花进一步研究发现：菱形中，对角线，交于点O，若，的平分线分别交于点E，F，连接，，则四边形是菱形．可利用菱形的性质以及三角形全等的知识来证明这个结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）用尺规完成以下基本作图：如图，已知平分，作的平分线交于点F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，为了证明四边形是菱形，小花的想法为：先证明，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论，请根据小花的想法完成下面的填空． 证明：四边形为菱形， ，，， ， 平分，平分， ，， ① ， 在与中， ，② ，， ， ③ ， ， 四边形平行四边形， 又， 四边形是菱形， 进一步探究发现：如果四边形是平行四边形，那么四边形是④ ． 21. 阳春三月，万花店分别用3600元和1500元购进了太阳神殿和魔幻红宝石两款绣球花（单位：盆）．已知每盆太阳神殿的进价比每盆魔幻红宝石的进价少15元，购进的太阳神殿的数量是购进的魔幻红宝石数量的3倍，太阳神殿的售价为每盆80元，魔幻红宝石的售价为每盆120元． （1）求太阳神殿、魔幻红宝石两款绣球花每盆的进价各是多少元； （2）市场热销，三月份购进的绣球花全部售出，四月份万花店再购进一批太阳神殿和魔幻红宝石若干盆．为增加四月份魔幻红宝石的销量，老板采取降价措施．据市场调查发现，在三月的基础上，若魔幻红宝石的售价每降低2元，则可多售出1盆（实际售价不低于进价）．若四月份太阳神殿的售价、销售量与三月份相同，两种绣球花四月份的销售总额为7800元，则四月份每盆魔幻红宝石的售价为多少元？ 22. 如图1所示，在中，，，，E点是边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B→A→C方向运动，当点M与点C重合时停止运动．运动过程中，设动点M运动的时间为x秒（），的面积为． （1）请直接写出与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图2所示，请结合函数图象直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，，直线经过点A，交x轴于点C． （1）求直线的解析式． （2）如图2，点D是y轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，若，求的最小值． （3）如图3，点P是直线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，平面内有一个动点M，若以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标． 24. 已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． （1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长； （2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学教育集团初2026届初二（下）半期数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑） 1. 9的相反数是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：9的相反数是， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，根据合并同类项的方法可以判断A、C；根据积的乘方可以判断B；根据同底数幂的乘法可以判断D． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 3. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，直接判断即可． 【详解】对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键． 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算与估算能力，关键步骤是展开表达式并估算二次根式的范围．本题需要先通过二次根式的乘法法则展开表达式，再估算结果的范围． 【详解】解：， ， ， ，即值在2和3之间． 故选：C． 5. 如图，在四边形中，，．要使四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选择条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 添加，则 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴四边形为平行四边形， 故选：C． 6. 某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年1月有120人参加，2025年第一季度（前三个月）共有570人参加．设月平均增长率为x，根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题根据2025年第一季度（前三个月）共有570人参加列出的方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，根据题意列出的方程为：． 故选：D． 7. 如图，在菱形中 对角线与相交于点O，点E是的中点，过点E作交于点F，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，由菱形的性质可得、，由题意得是的垂直平分线，则；再证明可得即，最后根据等边对等角即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵菱形，， ∴，， ∵点E是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，涵涵骑车、轩轩步行分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．涵涵出发10分钟后休息，直至与轩轩相遇后，以原速度继续行驶，设两人出发时间为x （单位：），涵涵、轩轩与乙地的距离分别为（单位：m），图中的折线和线段分别表示与x之间的函数关系．下列四个结论正确的是（ ） A. 涵涵行驶的速度为 B. 轩轩行驶的速度为 C. 线段所在直线的解析式为 D. 两人只有在出发10分钟后相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． 根据得到的信息结合图像，用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断A， 根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断B； 求出直线的解析式，得到点的坐标为，点坐标为：．即可求出线段所在直线的函数表达式，即可判断C； 待定系数法求得段的函数解析式，分两种情况列方程并解方程即可求解判断D． 【详解】解：由图象可得，涵涵骑车行驶（米）， 涵涵行驶的速度为：，故A错误； 由图象可得，轩轩步行的速度为：，故B错误； 由题意可得所在直线为关于x的正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴； 则时，， ∴点的坐标为， ∵涵涵在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴涵涵行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为，故C正确； 设段的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， ∴． 当涵涵休息前与轩轩相距时，有， ， 解得； 当涵涵休息后与轩轩相距时，有， ， 解得． 即两人在出发10分钟后和分钟后都是相距，故D错误； 故选：C． 9. 如图，四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形，连接，分别交，于点P，Q．已知，正方形的面积为30，则图中阴影部分面积和为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．设，则，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得图中阴影部分面积和为，再根据正方形的面积和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四个全等的直角三角形围成了正方形和正方形， ∴， ∴，， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴图中阴影部分面积和为 ， 又∵，，， ∴， ∵正方形的面积为30， ∴，即， ∴图中阴影部分面积和为， 故选：A． 10. 对于整数串：，，…，其中n为整数且，可选择如下任意一种操作对其进行变换称为一次操作：第1种操作，将减1，加1，其余数不变，并按原序排列得到一新数串；第2种操作，将减1，加1，其余数不变，并按原序排列得到一新数串；第3种操作，将加1，减加1，其余数不变（，m为整数），并按原序排列得到一新数串，通过操作变换后得到的新数串，可继续选择三种操作中任一种变换，又得到一新数串，如此，不断得到新数串，例如：，对于数串：1，2，3，选择第1种操作变换，得新数串：0，3，3，对所得数串0，3，3，选择第3种操作，得数串：1，1，4……以下说法正确的有（ ） ①若，，，，每种操作各进行一次变换后，所得数串为：1，，0； ②当时，对任意整数串，进行若干次第1种或第3种操作后，任意相邻的两数总能变换成，，且其余数不变； ③若，对整数串，，，至少需进行10次操作后，才能使所得数串与原数串相同． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据每次操作中新数串的变化与操作次数的关系求出每次操作所得数字是解题的关键．本题根据题目所给出的变换操作进行依次操作逐项进行判断即可． 【详解】解：说法①：第1种操作：将减1，加1，其余数不变，结果为； 第2种操作：将减1，加1，其余数不变，即将减1，加1，其余数不变，结果为； 第3种操作：将加1，减加1，其余数不变（，m为整数），可得，解得，即将加1，减加1，其余数不变，结果为；因此，说法①不正确； 说法②： 对进行1次第1种操作可以实现； 对进行1次第1种操作和对进行1次第3种操作可以实现； 对和各进行1次第3种操作可以实现； 因此，说法②是正确的； 说法③：若，对整数串，，， 第1次：选择第1种操作结果为； 第2次：选择第3种操作结果为； 第3次：选择第3种操作结果为； 第4次：选择第3种操作结果为； 第5次：选择第3种操作结果为； 第6次：选择第3种操作结果为； 第7次：选择第3种操作结果为； 第8次：选择第3种操作结果为； 第9次：选择第2种操作结果为； 若，对整数串，，，至少需进行9次操作后，才能使所得数串与原数串相同；因此，说法③是不正确的． 综上所述，正确的说法只有1个，即说法②． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了立方根，绝对值的计算，掌握立方根的计算是关键． 根据立方根，绝对值的计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为两个函数所组方程组的解是解题的关键． 由图像可知一次函数和的图象的交点坐标为，然后根据交点坐标必为两函数解析式所组方程组的解即可解答． 【详解】解：∵由图像可知一次函数和的图象的交点坐标为， ∴关于的方程组的解为． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．本题可以利用一元二次方程的根判别式，通过判别式大于零建立关于k的不等式，进而求解k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，连接，平分交于点E，点F是上一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用矩形性质和勾股定理求出长，由角平分线性质得，证求．由面积相等法求、．根据角度关系推出平分，得．再由面积相等法列方程求．最后用勾股定理求． 【详解】解：过点E作交于点M，作交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中 ， ∵平分， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、角平分线性质、三角形全等与相似以及勾股定理的应用；解题关键是通过作辅助线，利用上述性质和定理找出线段间的数量关系． 15. 如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握特殊化思想成为解题的关键．由正方形的性质以及题意可得；再根据折叠的性质可得、；如图：延长交于K，连接，则，易证可得，设，则有，根据勾股定理列方程可得，即；连接, 根据等边对等角、三角形内角和定理可得, 再根据折叠的性质可得，H是线段的中点，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接， ∴， ∵将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到， ∴, 如图：延长交于K，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， 在中，, ∴，解得：， ∴， 如图：连接, ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴, ∵将沿翻折至同一平面得到， ∴垂直平分， ∴，； ∵， ∴， ∴， 即H是线段的中点， ∴； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 16. 若一个正整数A的十倍能写成两个两位数的平方差，并且这两个两位数的十位数字相同，个位数字和为10，则称A为“十分数”，并把A的十倍分解成两个两位数的平方差的过程称为“十分数分解”．例如：因为，37与33的十位数字相同，个位数字和为10，所以28是“十分数”，则最小的“十分数”为_____．把一个“十分数”A进行“十分数分解”，即，其中m，n为两位数，将m放在n的左边组成一个四位数B，交换B的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字，得到一个新的四位数，记，若被7整除，且为3的倍数，则满足条件的所有“十分数”A中最大的为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义的数字问题，求整数解问题，整式混合运算，不等式组的应用等；理解新定义，能根据新定义表示出整数，并进行求解是解题的关键．由题意设m，n的十位数字为，个位数字分别为，根据题目条件逐步得出的值．注意对范围的限制以及的分类讨论． 【详解】解：由题意设m，n的十位数字为，个位数字分别为， ， 个位数字和为10，即 ， ， ， A为正整数，， 且为正整数， ， ， 可知当时，取得最小值， 即最小的“十分数”为； 由题意可得： ， 被7整除， ， 是整数，是整数， 是整数， 设（为整数）， ， ，即， 当时，，此时不存在满足条件的； 当时，，此时满足条件的有： ①，有，不是3的倍数，（舍去）； ②，有，是3的倍数，符合； 当时，，此时满足条件的有：， 有，是3的倍数，符合； 当时，，此时满足条件的有：， 有，是3的倍数，符合； 当时，，此时满足条件的有：， 有，不是3的倍数，（舍去）； 综上或或； 其中“十分数”A中最大的为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握乘法公式和分式的运算法则是关键． （1）利用乘法公式展开，再合并同类项即可； （2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 18 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）变形后利用因式分解法解方程即可； （2）化为一般形式后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， ∵， ∴， 即． 19. 某公司为参加“年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息：抽取的对甲款机器人的评分数据中B等级的数据为：，，，，，，，；抽取的对乙款机器人的评分数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 对甲款机器人的满意度评分扇形统计图 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中= ，= ，= ． （2）根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有人对甲款人形机器人进行评分，人对乙款人形机器人进行评分，请估计此次测验中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 甲款机器人的满意度更好 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数的意义、求一组数据的中位数、求一组数据的众数、方差的意义，解题关键是理解各统计量的意义及求解方法． （1）先根据乙款机器人的评分数据求出其众数，再根据甲款机器人的评分数据中B等级的人数，求出其百分比，再用1减去除等级外的百分比求出，然后再利用中位数的意义求出； （2）先比较两款机器人的评分数据的平均数、中位数、众数和方差的大小，来评判满意度的好坏，再作出判断； （3）分别求出两款人形机器人等级的人数，再求出和即可． 【小问1详解】 解：抽取的对乙款机器人的评分数据中，85出现了次，其余都少于4次，故众数； 甲款机器人的评分数据中B等级的有人，占， 所以，故； 甲款机器人的评分数据中等级有（人），等级有人，等级有（人），等级有（人），所以中位数是第，两个数的平均数，将甲款机器人的评分数据中B等级的数据从小到大排列为，，，，，，，，所以第，两个数分别是，，所以甲款机器人的评分数据的中位数是，即． 故答案为：，，； 【小问2详解】 甲、乙两款机器人的评分数据的平均数都是，甲款机器人的评分数据的众数和中位数大于乙款机器人的评分数据的众数和中位数，甲款机器人的评分数据的方差为小于乙款机器人的评分数据的方差，所以甲款机器人的评分数据的波动比乙款机器人的评分数据的波动小，所以甲款机器人的满意度更好． 【小问3详解】 ∵有人对甲款人形机器人进行评分，人对乙款人形机器人进行评分， ∴甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有（人）． 20. 在学习了菱形的相关知识后，小花进一步研究发现：菱形中，对角线，交于点O，若，的平分线分别交于点E，F，连接，，则四边形是菱形．可利用菱形的性质以及三角形全等的知识来证明这个结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）用尺规完成以下基本作图：如图，已知平分，作的平分线交于点F，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，为了证明四边形是菱形，小花的想法为：先证明，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论，请根据小花的想法完成下面的填空． 证明：四边形为菱形， ，，， ， 平分，平分， ，， ① ， 在与中， ，② ，， ， ③ ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 进一步探究发现：如果四边形是平行四边形，那么四边形是④ ． 【答案】（1）作图见解析 （2），，，平行四边形 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图和定义、菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据菱形的性质，得到菱形两条对角线互相垂直且平分，，先证明，得出，从而通过对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论；进一步探究发现中，根据平行四边形的性质，得到平行四边形两条对角线互相平分，，先证明，得出，从而通过对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：四边形为菱形， ，，， ， 平分，平分， ，， ， 在与中， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 进一步探究发现：如果四边形是平行四边形，那么四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形为平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， 在与中， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：，，，平行四边形． 21. 阳春三月，万花店分别用3600元和1500元购进了太阳神殿和魔幻红宝石两款绣球花（单位：盆）．已知每盆太阳神殿的进价比每盆魔幻红宝石的进价少15元，购进的太阳神殿的数量是购进的魔幻红宝石数量的3倍，太阳神殿的售价为每盆80元，魔幻红宝石的售价为每盆120元． （1）求太阳神殿、魔幻红宝石两款绣球花每盆的进价各是多少元； （2）市场热销，三月份购进的绣球花全部售出，四月份万花店再购进一批太阳神殿和魔幻红宝石若干盆．为增加四月份魔幻红宝石的销量，老板采取降价措施．据市场调查发现，在三月的基础上，若魔幻红宝石的售价每降低2元，则可多售出1盆（实际售价不低于进价）．若四月份太阳神殿的售价、销售量与三月份相同，两种绣球花四月份的销售总额为7800元，则四月份每盆魔幻红宝石的售价为多少元？ 【答案】（1）太阳神殿的进价是元，则魔幻红宝石的进价各是元 （2）四月份每盆魔幻红宝石的售价为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设太阳神殿的进价是元，则魔幻红宝石的进价各是元，根据题意列方程求解即可； （2）设四月份每盆魔幻红宝石的售价为元，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设太阳神殿的进价是元，则魔幻红宝石的进价各是元， 根据题意得， 解得：， ， 答：太阳神殿的进价是元，则魔幻红宝石的进价各是元； 【小问2详解】 解：设四月份每盆魔幻红宝石的售价为元， （盆），（盆） 根据题意得， 解得或， ，不符合题意，舍去， 四月份每盆魔幻红宝石的售价为元． 22. 如图1所示，在中，，，，E点是边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B→A→C方向运动，当点M与点C重合时停止运动．运动过程中，设动点M运动的时间为x秒（），的面积为． （1）请直接写出与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图2所示，请结合函数图象直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） （3）（答案不唯一，误差范围不超过） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式，并确定自变量x的取值范围； （2）通过解析式及自变量的取值范围画出函数的图象，根据图象进行解答即可； （3）通过函数解析式，分别求出函数与函数相交时，自变量x的值，可以帮助结合图象进行判断． 【小问1详解】 解：当时，点在上，， 如图所示，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 当时，点上，， 如图所示， ， 故答案为：； 【小问2详解】 函数的图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 （令，得；令，得）， ∴当时，结合图象观察可知的取值范围为（答案不唯一，误差范围不超过）． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，，直线经过点A，交x轴于点C． （1）求直线的解析式． （2）如图2，点D是y轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，若，求的最小值． （3）如图3，点P是直线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，平面内有一个动点M，若以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和几何的综合应用，涉及到求一次函数的解析式以及线段长度的最值问题以及菱形的存在性问题，熟练掌握求一次函数的解析式的方法以及轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键． （1）先得出，再利用三角函数得出即可用待定系数法求出直线的解析式； （2）先利用，得出，然后过点作于点，交轴于点，利用含的直角三角形性质得出，进一步利用点到直线垂线段最短得出的最小值； （3）分别以为对角线，利用邻边相等列方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把分别代入解析式得： ，解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，，解得， ， ， ， 在y轴负半轴上 过点作于点，交轴于点， ， ， ， ； 【小问3详解】 解： 由题意设，， ①当为对角线时，,则， ， 化简得：， 解得：或； 当，即，，如图： 由菱形性质可知, ，， ； 当，即，，如图： 由菱形性质可知, ，， ； ②当为对角线时，,则，如图： ， 化简得：，解得：或（舍去）， ，， 由菱形性质可知的横坐标， ； ③当为对角线时，,则，如图： ， 化简得：，解得：（舍去）或， 由菱形性质可知, ，， ． 综上． 24. 已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． （1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长； （2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，，可证是等腰直角三角形，得到，在中，，则，即可求解； （2）延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，先证明，得出，，再证明，可证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，即可证明； （3）取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，通过证明，得出，再求证，即点、、共线，证明，得出点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，过点作直线的对称点，连接，由对称得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，过点作于点，过点作于点，通过计算求出，再计算出，，作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点，利用四边形是平行四边形，得出，则，由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点， 和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，，，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上， 如图，过点作直线的对称点，连接， 由对称得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时点位置如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值， 由（1）知与间的距离为， ∴， ∴， ∵，平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，四边形的内角和，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$