11.2.1 一元一次不等式的解法 2024—2025学年人教版数学七年级下册

11.2.1 一元一次不等式的解法 11.2 一元一次不等式 第十一章 不等式与不等式组 知识回顾 1、什么叫一元一次方程？ 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 2、观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？ ① x–7>26x； ② 3x<2x + 1； ④ -4x > 3 探究新知 共同特征： 1.只含有1个未知数； 3.未知数的次数是1； 4.不等式. 2.含有未知数的式子都是整式； 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式． ① x–7>26x； ② 3x<2x + 1； ④ -4x > 3 1、判断下列不等式是否是一元一次不等式，并说明理由. （1）3 + 5 > 7 （3）3x + 2 > x-1 （5）x - y ≤ 2 （7） + 3 < 5x-1 x 1 （2）x2 + 3 < 2 （4）-2x < 5 （6）3 – 2a ≥ 5 （8）x(x-1) < 2x × × √ √ × √ × × 练一练 2、已知 是关于x的一元一次不等式， 则a的值是________． 1 探究新知 解不等式：x-7 > 26. 利用不等式的性质，将不等式转化为 x>a 或 x<a 的形式. 解：x-7+7 > 26+7（不等式的性质1） x > 26+7 x > 33 移项法则： 把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向. 探究新知 根据不等式的性质，可以类比解一元一次方程步骤来解一元一次不等式. 解方程 解：去分母，得 3(2+x) = 2(2x-1) 去括号，得 6+3x = 4x-2 移项，得 3x-4x = -2-6 合并同类项，得 -x = -8 系数化为1，得 x = 8 解不等式 解：去分母，得 3(2+x) > 2(2x-1) 去括号，得 6+3x > 4x-2 移项，得 3x-4x > -2-6 合并同类项，得 -x > -8 系数化为1，得 x > 8 x = a x > a 或 x< a 归纳总结 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 解法 步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（解不等式时，去分母、系数化为1时，若两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变） 不同点 依据 不等式的性质 等式的性质 解的 个数 有无数个解 只有一个解 解（集）的形式 x<a (x≤a)或 x>a(x≥a)或x≠a x=a 解一元一次不等式与解一元一次方程 例题讲解 例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3(x-1) < x-2; （2） . （1）解：去括号，得 3x-3 < x-2. 移项，得 3x-x < -2+3. 合并同类项，得 2x < 1. 系数化为 1，得 x < . 0 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （2）解：去分母，得3(x-5)+2×12≥2(5x+1). 去括号，得 3x-15+24 ≥ 10x+2. 移项，得 3x-10x ≥ 2+15-24. 合并同类项，得 -7x ≥ -7. 系数化为 1，得 x ≤ 1. 0 1 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （1）3(x-1) < x-2; （2） . 例题讲解 归纳总结 【总结】解一元一次不等式的一般步骤及依据： 步骤 依据 去分母 不等式的性质2或3 去括号 分配律、去括号法则 移项 不等式的性质1 合并同类项 合并同类项法则 系数化为1 不等式的性质2或3 【注意】在去分母和系数化为1中，当不等式的两边同时乘(或除以)一个负数时 ，不等号的方向必须改变. 当堂检测 1、在下列解不等式 的过程中，错误的一步是（ ） A. 去分母，5(2+x) > 3(2x-1) B. 去括号，得 10+5x > 6x-3 C. 移项，得 5x - 6x > -3-10 D. 合并同类项、系数化为1，得 x> 13 D [教材 P132 练习 第1题] 2、解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）5x+15＞4x-1； （2）2(x+5) ≤ 3(x-5)； （3） ； （4） 当堂检测 （1）5x+15＞4x-1； 解：移项，得5x-4x＞-1-15. 合并同类项，得x＞-16. 将解集用数轴表示，则如下图. 0 -16 （2）2（x+5）≤3（x-5）； 解：去括号，得2x+10≤3x-15. 移项，得2x-3x≤-15-10. 合并同类项，得-x≤-25. 系数化为1，得x≥25 . 将解集用数轴表示，则如下图 25 0 当堂检测 （3） ＞ 解：去分母，得3(x-1)＞7(2x+5) 移项，得3x-14x ＞ 35+3 合并同类项，得-11x ＞ 38 系数化为1，得x＜ 将解集用数轴表示，则如图 0 去括号，得3x-3＞14x+35 （4） ≥ . 解:去分母，得2(x+1)≥3(2x-5)+12 移项，得2x-6x ≥ -15+12-2 合并同类项，得-4x ≥ -5 系数化为1，得x ≤ 将解集用数轴表示，则如图 0 去括号，得2x+2≥6x-15+12 当堂检测 （1）2（x+1）大于或等于 1； （2）4x 与 7 的和不小于 6； （3）y 与 1 的差不大于 2y 与 3 的差； （4）3y 与 7 的和的 小于 -2. 3、当 x 或 y 满足什么条件时，下列关系成立？ [教材 P132 练习 第2题] 2（x+1）≥1 x≥ 4x+7≥6 x≥ y-1≤2y-3 y≥2 y＜-5 （3y+7）＜-2 当堂检测 4. y 为何值时，式子 的值不大于式子 的值？并求出满足条件的最大整数. 解：依题意，得 . 去分母，得 4(5y + 4)≤21-8(1 - y). 去括号，得20y + 16 ≤ 21- 8 + 8y. 移项，得 20y - 8y ≤ 21- 8-16. 合并同类项，得 12y ≤ - 3. 系数化为 1，得 y ≤ - . y ≤ - 在数轴上的表示如图所示. 由图可知，满足条件的最大整数是 -1 拓展提升 1、 a≥1的最小正整数解是m,b≤8的最大正整数解是n,求关于x的不等式(m＋n)x＞18的解集． 所以，m＋n＝9 解：因为a≥1的最小正整数解是m,所以m＝1. 因为b≤8的最大正整数解是n,所以n＝8. 把m＋n＝9代入不等式(m＋n)x＞18中， 得 9x＞18， 解得x＞2. 2、关于x的不等式 的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 ． m≤7 x＞8 解： 2（2x-1）-6＞3x 4x-2-6＞3x x＞8； 2x-1≤x+m x≤m+1 ∴m+1≤8 ∴m≤7． 注：系数化为 1 时两边，同时乘除同一个负数时，不等式号方向改变. 一元一次不等式 特点 1.含有一个未知数 2.未知数的次数是 1 解一元一次不等式 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 3.不等式的两边都是整式 课堂小结 $$