专题02 一元函数的导数及其应用（7大经典基础练+优选提升练）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的几何意义 题型03切线方程 题型04基本初等函数的导数公式 题型05利用导数研究函数的单调性 题型06利用导数研究函数的极值 题型07利用导数研究函数的最值 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （    ） A．2 B． C．10 D．5 2．（23-24高二下·陕西大荔县·期末）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A．2 B．1 C． D． ( 题型02 ) 导数的几何意义 3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．6 B．3 C． D． 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 切线方程 5．（23-24高二下·陕西汉中·期末）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·陕西安康·期末）曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 )基本初等函数的导数公式 8．（23-24高二下·陕西延安·期末）下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知函数，则的值为 ． ( 题型0 5 ) 利用导数研究函数的单调性 10．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·陕西周至县·期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·陕西千阳县·期末）已知函数. (1)设函数，讨论的单调性； (2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：. ( 题型0 6 )利用导数研究函数的极值 14．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知函数有两个极值点，，且，则（    ） A．a的范围是 B． C． D．函数至少有一个零点 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．函数可能无极值点 C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在区间单调递减 16．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若函数恰有两个零点，求的取值范围. ( 题型0 7 )利用导数研究函数的最值 17．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 18．（23-24高二下·陕西延安志丹县·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 19．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，a，，且曲线在处与直线相切. (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值. (3)设.证明：当时，. 20．（23-24高二下·陕西周至县·期末）设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． (1)当切线与直线平行时，求实数的值； (2)当时，求的最大值． 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西韩城市·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递减 D．当时取得最小值 2．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·陕西安康·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．有最小值但没有最大值 B．对于任意的，恒有 C．仅有一个零点 D．有两个极值点 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）关于函数的性质，下列叙述正确的是（    ） A．时，单调递增 B．时，单调递减 C．为的极小值点 D．的极大值为 5．（23-24高二下·陕西师范大学附属中学·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的两条切线 6．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题 7．（23-24高二下·陕西周至县·期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 . 9．（23-24高二下·陕西安康·期末）设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 . 10．（23-24高二下·陕西志丹县·期末）已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 . 四、解答题 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）求下列函数的导数： (1)； (2). 12．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，． 13．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求的取值范围. 14．（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 16．（23-24高二下·陕西师范大学附属中学·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 17．（23-24高二下·陕西安康·期末）若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． (1)若是“反转函数”，求的取值范围． (2)①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 18．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设为函数的导函数，若为函数的极值点，则为曲线的拐点，亦称函数的拐点．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)当时，证明：函数的两个极值和拐点纵坐标可构成等差数列． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的几何意义 题型03切线方程 题型04基本初等函数的导数公式 题型05利用导数研究函数的单调性 题型06利用导数研究函数的极值 题型07利用导数研究函数的最值 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （    ） A．2 B． C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2．（23-24高二下·陕西大荔县·期末）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义，即可求出结果． 【详解】， 故选：A． ( 题型02 ) 导数的几何意义 3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】与极限的定义式比较，配凑出导数极限的形式：． 【详解】， 故选：A． 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，故排除B、D； 又函数增长趋势越来越快，在处切线的斜率为， 在处切线的斜率为，在处切线的斜率为， 由图可知. 故选：C ( 题型03 ) 切线方程 5．（23-24高二下·陕西汉中·期末）函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义结合题意直接求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以所求切线方程为， 即. 故选：B 6．（23-24高二下·陕西安康·期末）曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 7．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． ( 题型04 )基本初等函数的导数公式 8．（23-24高二下·陕西延安·期末）下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用奇函数定义可判断. 【详解】对于A, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则A不合题意； 对于B, 定义域为，关于原点对称，且，为偶函数，不是奇函数，则B符合题意； 对于C, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则C不符合题意； 对于C, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则D不符合题意． 故选：B. 9．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先求，令，求得，可得，从而可解. 【详解】由题意，， 则， 所以，则， 则. 故答案为：1 ( 题型0 5 ) 利用导数研究函数的单调性 10．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，根据是上的增函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以，即 故选：A. 11．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解. 【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 12．（23-24高二下·陕西周至县·期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得曲线斜率为的切线方程可得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与的图象有两个不同的交点． 故选：A. 13．（23-24高二下·陕西千阳县·期末）已知函数. (1)设函数，讨论的单调性； (2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间. （2）由极值点的知识求得的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【详解】（1）， ， 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 当时，单调递减， 单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）分别是的极大值点和极小值点， ，且对于有， 且对称轴，所以， ， 所以， 综上，要证， 只需证， 因为， 即证：， 设. 所以， 所以在上单调递增，所以. 所以成立. 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解. ( 题型0 6 )利用导数研究函数的极值 14．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知函数有两个极值点，，且，则（    ） A．a的范围是 B． C． D．函数至少有一个零点 【答案】BCD 【分析】由题可得有两个不相等的实数根，利用可以判断A正确；再利用韦达定理可以判断B正确；利用导数研究的单调性，可以判断C正确；利用零点存在定理可以判断D正确. 【详解】对于A，由题可得有两个不相等的实数根， 所以，所以，A不正确； 对于B，根据题意，为的两个根，所以，B正确； 对于C，因为，且为的两个根， 所以由得或， 由得， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以成立，C正确； 对于D，由以上分析可知的极大值为， 当趋于负无穷时，也趋于负无穷， 所以存在充分小且，使得， 由零点存在定理可知，存在，使得，所以函数至少有一个零点，正确； 故选：BCD. 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．函数可能无极值点 C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在区间单调递减 【答案】ABC 【分析】根据零点存在性定理判断A，利用特例说明B，根据极值点的定义判断C，结合导函数的单调性，说明的单调性，即可判断D. 【详解】函数，， 当时，，当时，， 又当时，，当时，， 又为连续函数，所以，，故A正确； 当时，则，所以在上单调递增，无极值点，故B正确； 三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确； 若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根， 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以有极大值点且， 此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误． 故选：ABC． 16．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若函数恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为1，无极大值. (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）求导，分类讨论判断的单调性，结合零点存在性定理判断的零点. 【详解】（1）若，则， 可知的定义域为，且， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的极小值为1，无极大值. （2）因为， 则的定义域为，且. 当时，，则在上单调递增， 所以至多有一个零点，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， . 令，，则， 所以在上单调递减，且， 若，则，则至多有一个零点，不符合题意； 若，则，且， 又在上单调递减，所以在上存在唯一一个零点； ， 因为，所以，令， 令，，所以，所以在上单调递增， 所以，即， 所以，又在上单调递增， 所以在上存在唯一一个零点，所以当时，函数恰有两个零点. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． ( 题型0 7 )利用导数研究函数的最值 17．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为2 【分析】（1）先求导，进而根据题意即可求出、，从而得解. （2）先求出的解析式，再求导研究函数在上的单调性，结合其端点值和极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以由题意得，即，解得，， 所以. （2）由题意可知， 所以， 令，解得，， 列表有 x 1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 由上可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以最小值为，最大值为2. 18．（23-24高二下·陕西延安志丹县·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为2 【分析】（1）求导，根据的图象在点处的切线与直线垂直，得到方程组，求出； （2）求导，得到函数单调性，从而得到最值. 【详解】（1）由，得. 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得； （2）由（1）可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为， 所以， 所以在上的最大值为，最小值为2. 19．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，a，，且曲线在处与直线相切. (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值. (3)设.证明：当时，. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可得，结合，即可求解；（2）利用导数求出的单调区间，从而得到在上的最大值；（3）将问题转化为证明，令，结合导数得到的单调性，；求出的最小值，即可证明. 【详解】（1）由题可得：， 因为曲线在处与直线相切， 所以，， 则，解得： （2）由(1)知：，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 即在上的最大值为 （3）要证明当时，， 即证， 即证：， 即证：， 令， 则， 所以在上单调递增， 则， 故在上恒成立， 即，证毕. 20．（23-24高二下·陕西周至县·期末）设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． (1)当切线与直线平行时，求实数的值； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意，由此即可解出； （2）先求出的表达式，然后利用导数求解即可. 【详解】（1）因为，所以． 因为切线与直线平行，所以， 得． （2）因为，所以， 所以切线方程为． 令，得；令，得． 因为，所以． 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故． 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西韩城市·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递减 D．当时取得最小值 【答案】C 【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案. 【详解】由图可知，时，，为增函数； 时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值； 时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值； 时，，为减函数； 综上可得只有C正确. 故选：C 2．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导法则进行判断 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：B 二、多选题 3．（23-24高二下·陕西安康·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．有最小值但没有最大值 B．对于任意的，恒有 C．仅有一个零点 D．有两个极值点 【答案】BC 【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确. 【详解】AD选项，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误； BC选项，由于恒成立，故当时，， 令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确. 故选：BC 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）关于函数的性质，下列叙述正确的是（    ） A．时，单调递增 B．时，单调递减 C．为的极小值点 D．的极大值为 【答案】AD 【分析】求出导数，给出单调性即可求解． 【详解】， 由，得，由，得，或， 故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则A项正确， B项中的单调区间不能用“”，故错误， C项中，为的极小值点，故错误； D项中，当时，取得极大值，为，故正确， 故选：AD 5．（23-24高二下·陕西师范大学附属中学·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的两条切线 【答案】AC 【分析】A项，分析函数的单调性即可得出极点个数；B项，利用零点定理即可得出零点个数；C项，构造并分析奇偶性，利用是图象的对称中心得出点是曲线的对称中心；D项，设出切点并得出切线方程，将代入切线方程即可得出过点的切线. 【详解】由题意， 在中，． 令，得或， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是极值点，A正确． 由的单调性且极大值，极小值， 又，， 所以函数在定义域上有3个零点，B错误． 令， 因为，则是奇函数， 所以是图象的对称中心， 将的图象向上移动1个单位长度得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，C正确． 设切点为， 则切线的方程为， 代入，可得，解得． 所以过点的切线有1条，D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法求单调性，零点定理，函数的切线，考查学生分析和处理问题的能力，具有较强的综合性. 6．（23-24高二下·陕西西安中学·期末）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】ABD 【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到是的极小值点；B选项，令，求定义域，求导，得到函数单调递减，结合特殊点函数值及零点存在性定理得到结论；C选项，参变分离，构造函数，进行求解；D选项，设，即有，由得到，从而，构造函数，得到函数单调性和极值最值情况，证明出结论. 【详解】A选项，定义域为， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴是的极小值点，即A正确； B选项，令，定义域为， ∴恒成立， ∴在单调递减， ∵，， 由零点存在性定理可知，，使得， ∴有且只有一个零点，故B正确； C选项，，即等价为，， 令，，则，， 令，，则，， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 故，可得在单调递减，则无最小值， 所以不恒成立，故C错误； D选项，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得， ∴，故单调递增，可得，故成立，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三、填空题 7．（23-24高二下·陕西周至县·期末）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得（），构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 令，则． 令，则， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 8．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由指数函数的性质可知当时，不满足题意，当时，设，将问题转化为在上有2个根，利用导数求解即可． 【详解】当时，在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 由图可知与只有一个交点，不符合题意； 当时，设，则在上有个不相等实数根， 则必有在上存在变号零点， 因为，又在上单调递增， 设，即有， 则当时，，在上单调递减， 当时，，上在单调递增， 且，x趋于时，趋于， 所以只需， 所以， 即，即，即，即，即，解得， 又，所以； 综上可得的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 9．（23-24高二下·陕西安康·期末）设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 . 【答案】-1 【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可. 【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，所以， 得到切点，点到直线即的距离， 解得或3. 当时，过点和，过点和， 又，，所以与相交，不符合题意； 当时，令，则，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即恒成立， 所以与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：-1. 【点睛】关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小. 10．（23-24高二下·陕西志丹县·期末）已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 四、解答题 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）求下列函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得； （2）根据导数的运算法则计算可得. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 12．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，将得出代入函数和导函数分别得切点和切线斜率，再根据点斜式即可得切线方程. （2）明确导数和定义域，根据导数特征分类讨论求出导数正负区间范围即可得函数的单调性. （3）先（1）得出时，再将问题转化成证，则只需求证即可. 【详解】（1）由题， 令，，且切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 可化为. （2）， 当，在上恒成立， 故在上单调递增； 当时，令得（舍去）或； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：时增区间为； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）知，当时，有， 所以证当时，， 即证恒成立， 即证， 即证， 令， 则， 令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增． 所以，所以， 所以在上单调递减． 因为，所以， 所以， 即当时，． 13．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)（）. 【分析】（1）分类两种情况求导函数讨论函数的单调性； （2）根据函数的最值，结合函数零点存在定理即可求参. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题可知a为非正数时，函数单调递减，不可能有2个零点，所以， 则， 又因为时，时，恰有两个零点， 所以，解得， 故的取值范围为. 14．（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知函数. (1)求的单调区间及极值点； (2)若方程有三个不同的根，求整数的值. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3； (2). 【分析】（1）对已知函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间与极值点； （2）利用（1）中结论，方程有三个不同的根，满足，可求出答案. 【详解】（1）因为，所以. 令，得或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 故的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值点为1，极小值点为3. （2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减. 因为，， 当时，，当时，， 且方程有三个不同的根，所以 所以的取值范围是. 因为，所以，故整数的值为. 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，利用经过的点坐标即得切线方程； （2）将不等式恒成立问题通过参变分离法，转化成，故只须求即得. 【详解】（1）当时，， 则，，则， 曲线在点处的切线方程为，即． （2）在上恒成立， 等价于在上恒成立，即， 令，则， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故，所以，即a的取值范围为． 16．（23-24高二下·陕西师范大学附属中学·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3)4 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得， 可知的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以函数的最小值为. （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 17．（23-24高二下·陕西安康·期末）若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． (1)若是“反转函数”，求的取值范围． (2)①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【分析】（1）根据“反转函数”的定义，分和两种情况讨论即可求出的取值范围； （2）①根据“反转函数”的定义证明，令，求导后可得在上递减，然后分和两种情况证明即可；②由①可得，当时，，令，则化简变形可得，然后累加可得结论. 【详解】（1）当时，由，得， 所以，所，即， 所以，得， 因为在上递减，所以， 所以， 当时，由，得， 所以，所以，得， 所以， 因为在上递增，所以， 所以， 综上，，即的取值范围为； （2）①证明：令，则 ， 所以在上递减， 所以当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 所以为“反转函数”； ②证明：由①知，当时，，即， 所以， 所以对任意时，， 所以， 整理得. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合，考查函数的新定义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是根据为反转函数可得当时，，然后令化简变形，考查计算能力和数学转化思想，属于难题. 18．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设为函数的导函数，若为函数的极值点，则为曲线的拐点，亦称函数的拐点．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)当时，证明：函数的两个极值和拐点纵坐标可构成等差数列． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数，分类讨论函数单调性，从而得极值； （3）根据题意，找到函数的拐点纵坐标，结合（2）求得的极值，利用等差数列定义证明. 【详解】（1）当时，, 则，且， 所以曲线在点处的切线方程为： ，即； （2）由，则， 当时，，则函数在上为增函数，无极值点， 当时， 或时，，则函数单调递增， ，，则函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 当时， 或时，，则函数单调递增， ，，则函数单调递减， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值； （3）令，则， 由，得， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以函数的拐点纵坐标为， 由（2）易知当时，函数有极大值，极小值， 对于，可得， 所以成等差数列. 【点睛】关键点点睛：第（3）问，根据题意，找到函数的拐点纵坐标，结合（2）求得的极值，利用等差数列定义证明. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$