专题01 数列（4大经典基础练+优选提升练）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的前n项和 题型03等比数列的性质 题型04等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）数列的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【答案】D 【分析】利用观察法得到数列的一个通项公式，再代入计算即可得解. 【详解】观察数列，可得其通项公式可以为， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·陕西韩城·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当,两式做差整理求解即可. 【详解】因为， 当，两式做差得： ， 故，当，，符合；故. 故选：D 3．（23-24高二下·陕西师范大学附属中学·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 【答案】D 【分析】先根据题意得到的值，再后续数列的周期性求得，从而得解. 【详解】依题意，， 故， 又，所以． 所以． 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解“冰雹猜想”的定义，找到数列的周期性，从而得解. ( 题型02 ) 等差数列的前n项和 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（    ）    A．60 B．72 C．76 D．80 【答案】C 【分析】直接利用等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为， 由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等， 所以每行的数字之和为. 故选：C. 5．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解. 【详解】等差数列中，，，则， 因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正， 所以当取得最小值时，. 故选：B 6．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. （2）， 所以 7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. 【答案】(1) (2) 【分析】当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可． 【详解】（1）若数列为1级等差数列， 即为对一切，都成立， 则数列为等差数列，设公差为， 由，，可得， 则． （2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3， 可得对一切，都成立． ， ， ，……， 可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列， 偶数项是首项为0、公差为3的等差数列， 则 所以，，． ( 题型03 ) 等比数列的性质 8．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即， 解得舍去，或，所以， 可得. 故选：C. 9．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】根据的关系求得即可得解. 【详解】，解得， 当时，，即， 所以，所以. 故选：D. 10．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：， 所以，所以为递增数列，故A正确； 对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确； 对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确； 故选：ABD 11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 【答案】3 【分析】根据等比数列性质和对数运算即可. 【详解】由题意得. 故答案为：3. 12．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等比中项得出等式再结合等差数列基本量运算即可； （2）应用裂项相消法求出即可. 【详解】（1）由，得． 因为12是，的等比中项，所以， 则， 则． 设的公差为d，则， 故． （2）由（1）可知， 则． ( 题型04 ) 等比数列的前n项和 13．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】法一：根据等比数列求和公式化简可得解；法二：根据等比数列前项和的性质可得解. 【详解】由数列为等比数列， 当时，，则，此方程无解， 法一： 当时，， 所以，化简可得， 所以； 法二： 由等比数列可知当时，，不满足题意， 且当时，，，仍成等比数列， 即， 即， 解得， 故答案为：. 14．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为 . 【答案】35 【分析】由等比数列的前ｎ项和的性质得也是等比数列,运算即可． 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则． 故答案为：． 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【分析】根据题中条件，分析出为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误. 【详解】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 16．（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知是等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据是等比数列求出通项可得答案； （2）利用错位相减求和可得答案. 【详解】（1）设，则，，则， 所以是首项为，公比也为的等比数列， 所以，则； （2）， 则， 则， 所以 ， 故. 17．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知各项均为正数的等差数列前项和为，，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，然后由已知条件列方程组求出，从而可求出的通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即， 所以，化简得， 解得或（舍去）， 所以， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 一、多选题 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 【答案】AC 【分析】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为，A选项由定义证明是等比数列；B选项通过举反例时，证明不是等差数列；C选项，由得到，从而为递减数列；D选项通过举反例，此时数列不是单调数列. 【详解】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为， A选项，设，则为常数，所以是等比数列，A正确； B选项，设，当满足是等比数列， 此时，，不是等差数列，B错误； C选项，时，即，得，则为递减数列，C正确； D选项，当满足是等比数列，且，，，此时不是单调数列，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列： 定义法：（常数）， 等比中项法：， 通项公式法： 前项和特征法： 二、解答题 2．（23-24高二下·陕西渭南大荔县·期末）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 3．（23-24高二下·陕西延安志丹县·期末）最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，. (1)求的值； (2)若数列满足，，求数列的前n项和； (3)若公差为整数的等差数列满足，，证明：. 【答案】(1)2 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义求出最小公倍数和最大公约数后，由对数运算法则计算； （2）由新定义转化后用错位相减法求和； （3）由新定义转化后利用裂项相消法求和后可证得不等式成立． 【详解】（1）. （2）因为，， 且2与3互质，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. （3）证明：设的公差为d.因为，，所以， 则， 因为公差d为整数，所以，. 当时，因为与互质，所以， 所以， 所以. 4．（23-24高二下·陕西韩城市·期末）已知等比数列的前项和为．公比，若，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先求出，再利用作差法证明即可. 【详解】（1）由．得， 解得或（舍去），所以． （2）因为，且， 所以， 所以． 5．（23-24高二下·陕西宝鸡市千阳县·期末）已知为等比数列，且，. （1）若，求； （2）设数列的前项和为.求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设公比为，依题意得到方程组求出和，即可得到，从而求解的值． （2）根据等比数列的前项和公式可得的值． 【详解】解：（1）数列为等比数列，设公比为，因为，，所以，所以 所以， 所以 所以， 解得． （2）为等比数列，且， 前项和． 那么：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的前n项和 题型03等比数列的性质 题型04等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）数列的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 2．（23-24高二下·陕西韩城·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西师范大学附属中学·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 ( 题型02 ) 等差数列的前n项和 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（    ）    A．60 B．72 C．76 D．80 5．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和； (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和. ( 题型03 ) 等比数列的性质 8．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 9．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 10．（23-24高二下·陕西渭南·期末）若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 12．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． ( 题型04 ) 等比数列的前n项和 13．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 14．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为 . 15．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 16．（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知是等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知各项均为正数的等差数列前项和为，，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 一、多选题 1．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 二、解答题 2．（23-24高二下·陕西渭南大荔县·期末）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 3．（23-24高二下·陕西延安志丹县·期末）最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，. (1)求的值； (2)若数列满足，，求数列的前n项和； (3)若公差为整数的等差数列满足，，证明：. 4．（23-24高二下·陕西韩城市·期末）已知等比数列的前项和为．公比，若，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 5．（23-24高二下·陕西宝鸡市千阳县·期末）已知为等比数列，且，. （1）若，求； （2）设数列的前项和为.求. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$