精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2024－2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

沈阳市第一二六中学2024－2025学年度下学期 七年级期中数学学科作业检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形内角和等于180° C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等，两直线平行 4. 若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A ①②都可以 B. ①②都不可以 C. 只有①可以 D. 只有②可以 5. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中与“藕粉”有关的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1所示，平整地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①同位角的角平分线互相平行； ②中，若，则是直角三角形； ③周长相等的两个等边三角形全等； ④三角形三条高线交于一点； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（　　） A. 60° B. 67.5° C. 72.5° D. 75° 10. 如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题．本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则______． 12. 如果的乘积中不含的一次项，那么________． 13. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有_______个． 14. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为________． 15. 在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 计算： （1）； （2）（利用乘法公式计算）． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知：点B、D、C、F一条直线上，且，，．求证：． 19. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个． （1）从袋子里摸出一个球为红球的概率为______；从袋子里摸出一个球为黄球的概率为______； （2）先从袋子中取出m个红球（m＞1且m为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A． ①若事件A为必然事件，则m的值为______； ②若事件A为随机事件，则m的值为______． 20. 如图，点P为∠AOB内一点，根据下列语句画图并回答问题： （1）画图：①过点P画OB边的垂线，垂足为点M；②过点P画OB边的平行线，交OA于点N； （2）若∠O＝120°，则∠ANP＝ °，依据是 ； （3）连接OP，则线段OP与PM的大小关系是 ，依据是 ． 21. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． （1）已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； （2）如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 23. 【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市第一二六中学2024－2025学年度下学期 七年级期中数学学科作业检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择． 【详解】，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算正确，符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选C． 2. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形内角和等于180° C. 两点之间线段最短 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性， 故选：A． 【点晴】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 4. 若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A. ①②都可以 B. ①②都不可以 C 只有①可以 D. 只有②可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将的直铁丝分为两段， 即只有①可以，②不可以， 故选：C． 5. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中与“藕粉”有关的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据一共有8个基本款，买中与“藕粉”有关的有2个基本款，再结合概率公式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人” ∴小亮购买一个盲盒，买中与“藕粉”有关的结果有“藕粉哪吒”以及“藕粉敖丙”， ∴买中与“藕粉”有关概率是． 故选：B． 6. 如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得，，再加上公共边，根据，即可判断． 【详解】解：∵得， ，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得． 故选C ． 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①同位角的角平分线互相平行； ②中，若，则是直角三角形； ③周长相等的两个等边三角形全等； ④三角形三条高线交于一点； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质进行判断即可． 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故①错误； 中，若， ， ，故不是直角三角形；故②错误； 周长相等的两个等边三角形全等；故③正确； 三角形三条高线所在的直线交于一点；故④错误． 故选A． 9. 如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（　　） A. 60° B. 67.5° C. 72.5° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行直线的性质，熟记三角形内角和定理是解题的关键．先求出和的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如下图所示，作 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由得出，，求出，再由计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题．本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用证明， 根据全等三角形的性质得出，结合直角三角形的性质求出， 再根据，求解即可．熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如果的乘积中不含的一次项，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算 【详解】解： 依题意，， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：3． 13. 在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有_______个． 【答案】5 【解析】 【分析】设袋中白球有x个，根据题意用黄球数除以白球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得： =0.75， 解得x=5． 所以袋中白球有5个． 故答案为5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 15. 在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）（利用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘，幂乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先整理原式，在运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） ；（2），3 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，整式的化简求值，零指数幂，负整数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数幂进行计算即可； （2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行计算即可，再代数求值． 详解】解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 将，代入， 原式． 18. 如图，已知：点B、D、C、F在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，先整理得，再运用证明，则，即可作答． 【详解】证明：∵点B、D、C、F在一条直线上，且， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴． 19. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个． （1）从袋子里摸出一个球为红球的概率为______；从袋子里摸出一个球为黄球的概率为______； （2）先从袋子中取出m个红球（m＞1且m为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A． ①若事件A为必然事件，则m的值为______； ②若事件A为随机事件，则m的值为______． 【答案】（1）， （2）①4；②2或3 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）①必然事件发生的概率为1，据此求得m的值即可； ②根据随机事件发生的概率大于0且小于1，据此求得m的值即可． 【小问1详解】 解：P（摸到红球）＝＝； P（摸到黄球）＝． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①若事件A为必然事件，则袋子中全部为黄球， ∴m＝4． 故答案为：4． ②若事件A为随机事件，则袋子中还有红球， ∵m＞1且m为正整数， ∴m＝2或3． 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了概率计算，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，点P为∠AOB内一点，根据下列语句画图并回答问题： （1）画图：①过点P画OB边的垂线，垂足为点M；②过点P画OB边的平行线，交OA于点N； （2）若∠O＝120°，则∠ANP＝ °，依据是 ； （3）连接OP，则线段OP与PM的大小关系是 ，依据是 ． 【答案】（1）见解析 （2）120；两直线平行，同位角相等； （3）OP>PM；垂线段最短． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出平行线与垂线； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）根据点到直线的距离垂线段最短即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵PN//OB， ∴∠ANP = ∠AOB = 120°． 故答案为：120；两直线平行，同位角相等； 【小问3详解】 ∵PM⊥OB于M， ∴OP > PM 故答案为：OP>PM；垂线段最短． 【点睛】本题考查了画平行线，画垂线，平行线的性质，点到直线的距离垂线段最短，掌握平行线的性质与点到直线的距离垂线段最短是解题的关键． 21. 【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． （1）已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； （2）如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 【答案】（1） （2）① ；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可； （2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解； ②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵和互为“幸福角”，且， ∴①， ∵和互补， ∴②， 得，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①设， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵和互为“幸福角”，且， ∴，即， ∴， 解得； ②设，同理，， 则， ∵，， ∴， ， ∵与互为“幸福角”， 分两种情况， 当， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 22. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）6；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； 图2阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； （2）图3阴影的面积等于边长为的正方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去4个长方形的面积 即； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 23. 【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），， （2），，理由见解析 （3） （4）． 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答即可； （2）同理证明，根据全等三角形的性质解答即可； （3）作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，推出，从而证明出，，，最后利用三角形面积公式求解即可； （4）作，使，证明，推出，，连接并延长至点，使，连接，，，证明，得到，，再证明，得到，再证明是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴； 故答案为：，，； （2）解：，；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：设， 作，使， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$