猜押03 规律探究、几何最值等问题（选填压轴）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（南京专用）

猜押03 规律探究、几何最值等问题（选填压轴） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 规律探究题 2024年南京卷第题，2023年南京卷第16题； 从近三年的南京中考来看，规律探究、几何最值和图形的翻折、旋转、对称问题会出现在各题型的压轴题位置，主要考查学生对规律的把握、几何动点问题的解决思路以及图形变换的技巧等；整体难度中等，但需掌握此类题型的解决技巧，把握规律的类型和动点轨迹的运动方式即可； 此三类题型是以课本知识为主，辅以灵活的技巧和平时学过的解题方法巧妙结合在一起，综合考查学生的能力，也是考生拉开分差的题目；要想拿高分，需要多练习初中常见的规律类型题，牢记初中的动点轨迹只有两种：圆和直线；预计2025年中考此类题型依旧是压轴题出现，尤其是几何最值这一块的题型； 几何最值 2023年南京卷第6题； 图形变换 2024年南京卷第14题；2024年南京卷第16题；2023年南京卷第27题； 题型一 规律探究问题 1．（2024·江苏南京·二模）（新情境）小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（    ） A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元 【答案】B 【分析】根据一个回合小明赚1元，算出小明给小红发了199元之前赚的钱减去199元求出小明的收支情况，即可得出小红的收支情况． 【详解】解：由题意，可得，一个回合小明赚1元，小明给小红发了199元之前赚了元， 元， ∴小明亏了元， ∴小红赚了元； 故选B． 【点睛】本题考查数字规律探究，解题的关键是得出一个回合，小明赚1元． 2．（2024·江苏南京·三模）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)写出第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查找规律，分式的运算． （1）根据题目中的等式，可以写出第4个等式； （2）先写出猜想，然后将等号左边的式子化简，即可证明猜想成立． 【详解】（1）解：第1个等式：，即 第2个等式：，即 第3个等式：，即， ∴第4个等式为：，即； 故答案为： （2）解：第n个等式为：， 证明：∵， ， ∴． 3．（2024·江苏南京·二模）（新情境）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①，②，③，④，⑤ (2)见解析 【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤； （2）根据题目所给思路，进行推理论证即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据三角形三边之间的关系可得：， ∴， ∴，即； （2）解：①∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则； ②∵， ∴， 则， ， ∵， ∴，则， ∴将左边除以，右边除以得：， 即； ③∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即； 【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中． 4．（2024·江苏南京·二模）（新情境）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；② (3)见解析 【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【详解】（1）解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； （2）①依题意补全方案3的示意图如下：    ②连接，M为切点，则的中点，    设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． （3）设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．    对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·江苏南京·一模）（文化背景）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，，，，……，则的值为（    ） A．1 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键．根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，再利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴． 故选C． 6．（2023·江苏南京·二模）（文化背景）喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】根据题意列不等式，即可得到结论． 【详解】∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， 第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；即 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 a a a 第2组 b b b 第3组 c c c 第4组 d d d ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， a+b≤14①，b+c≤14②，a+c+d=14③，b+d≤14④， ①+②+2×③+④≤70得，a+b+b+c+2（a+c+d）+b+d≤70， ∴3（a+b+c+d）≤70， ∴a+b+c+d≤， 7天后背诵首，取整数解即23 ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 7．（2025·江苏南京·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是 ；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为 ． 【答案】 8 或 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据题意得到，由此即可可得满足条件的“智惠数”中最大的数，设，（是正整数），由此列举判定即可． 【详解】解：，叫做“智惠数”，若， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， ∴当时，， ∴满足条件的“智惠数”中最大的数是； 已知， ∴，， ∴是完全平方数， 能被整除， 设，（是正整数）， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴符合条件的：或，对应的“智惠数”的值为或； 故答案为：①；②或 ． 8．（2024·江苏南京·一模）（新情境）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 【答案】4160 【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】由题意得： ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ∴，， ， ， 由规律可得每三次变换为一个循环， ∴ ∴ 故答案为：4160． 9．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2023秒结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点D的运动速度求出第2023秒结束时点D的位置，再证明，利用全等三角形的性质求出FG，OG的长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长为． ，， ∴第2023秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，正方形BDEF的位置相同． ∵ ， ∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为． 连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示． 设，则， ∴ ． 即． ∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 又∵ ∴ ． ∴． ∴， ∴点F的坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查点的运动规律、正方形的性质、弧长的计算、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据点D的运动速度求出第2023秒结束时点D的位置． 10．（2022江苏南京·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ．    【答案】 【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，   点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8093， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 题型二 几何最值问题 11．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设圆心为点O，与的切点为I，J，作切线，可得，四边形为正方形，证明四边形是正方形，得，，证明，得，证明，得，得，同理，得，得.得最短路径的长是． 【详解】解：如图为长方体表面展开的上面与正面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵圆与上表面三边相切， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作切线， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查长方体表面最短路径问题．熟练掌握长方体表面展开图，矩形正方形的判定和性质，切线长定理，勾股定理，含30度的直角三角形判定和性质，弧长公式，是解题的关键． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ，， ， ， ∴当时，最短，此时点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键． 14．（2024·江苏南京·一模）如图，在菱形纸片中，，，分别剪出扇形和，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点在上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得的半径为，进而求得，当与相切时，取得最大值，根据含度角的直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴的长为， ∴的半径为， 连接，则是等边三角形，， ∴ 当与相切时，取得最大值， 设与相切于点，则 ∵在菱形纸片中，， ∴， ∴ ∴的最大值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆锥侧面积公式，切线的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 15．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，可证明得到，再导角证明，得到三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点P的轨迹是解题的关键． 16．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作，与边交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到，利用相似比得到与之间的函数关系式，由关系顶点式即可求得． 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， 当时，，此时为最小， ． 故答案为：． 17．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的定义，圆中相关知识点，解题的关键是找到取得最大值时点C的位置． 过点作交所在直线于点，证明四边形是正方形，设，则，勾股定理得出，确定出时最大，求解即可； 【详解】解：过点作交所在直线于点， ∵为的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则， 在中，， 故当最大时，最大， ∵， ∴时最大，即最大， 此时， 故答案为：． 18．（2024·江苏南京·二模）如图，正方形边长为12，E为上一点，．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上取点G，使得，连接，过点E作，垂足为H，证明，得到，从而易证，得到，易得点三点共线，则点F在直线上运动，当时，有最小，证明，得到，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：在上取点G，使得，连接，过点E作，垂足为H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为定角， 点三点共线，则点F在直线上运动，当时，有最小， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 19．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为 ．    【答案】 【分析】接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，可得四边形是平行四边形，进而有，，则是等边三角形，．过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．在中，，则的最小值为． 【详解】解：连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，    ∵，点P是的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小． ∴在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，等边三角形的判断及性质，解直角三角形，垂线段最短．正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2024·江苏南京·一模）如图，在中，，点D是边上一点，且，，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理等知识，构造相似三角形，利用定弦定角模型求解是解答的关键．延长到E，使，证明得到，，进而推导出，，又，作的外接圆，设圆心为O，当是等腰三角形时，边上的高最大，则最大，此时点B在点处，，连接交于F，解直角三角形求得最大面积，进而可求解． 【详解】解：延长到E，使， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，又， ∴； ∵， ∴，又， ∴作的外接圆，设圆心为O，当是等腰三角形时，边上的高最大，则最大，此时点B在点处，， 连接交于F，则，， ∴， 则； ∴面积的最大值为， 故答案为：． 21．（2024·江苏南京·一模）如图，在中，，是高，若，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点，过点作，过点作，交于，连接，，可证明，得，则，是的垂直平分线，可知，由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，即可求得的最小值为． 【详解】解：取中点，过点作，过点作，交于，连接，， 则，， ∴， ∴， ∵，是的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵为中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号， 即：的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直平分线的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形，由三角形三边关系得是解决问题的关键． 22．（2024·江苏南京·二模）如图，正方形中，，点E从点B运动到点C，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，在点E运动的过程中，长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，过点作于点，与的交点为，根据旋转和正方形的性质，证明，从而得出，点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值，然后利用锐角三角函数，分别求出、，即可得到DF长的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，与的交点为， 由旋转的性质可知，，， ， 四边形是正方形，， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在射线上运动，当点与点重合时，有最小值， 在中，， ， ， ，， ， ， 在中， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 23．（2023·江苏南京·一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ． 【答案】 【分析】设PQ与AC交点为O，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线，然后根据和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出，得到PQ的最小值． 【详解】解：设PQ与AC交点为O， ∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4， ∴BC＝＝2， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线， ∵，， ∴△CAB∽△， ∴， ∴， ∴＝， ∴则PQ的最小值为2＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作垂线段，构建相似三角形． 24．（2023·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，，，，，则AD的长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角△EAB，且EA=AB，连接 DE，则易得△BED∽△BAC，则可得点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当AD垂直平分线段BE时，AD最长，则易于求得AD的最大值； 方法2：过点D作DE⊥AC的延长线于点E，得出∠DCE=30°，令CD=CB=x，AC=y，则DE=x，CE=x，则AE=y+x，由勾股定理，得AD2=AE2+ED2，进而求最值． 【详解】方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角△EAB，且EA=AB，连接 DE，如图， 则∠ABE=45°，由勾股定理得． ∵，， ∴∠CBD=45°=∠ABE，， ∴∠CBD+∠EBC=∠EBC+∠ABE， 即∠EBD=∠ABC． ∵， ∴△BED∽△BAC， ∴∠EDB=∠ACB=60°．　 ∵， ∴点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当AD垂直平分线段BE时，AD最长，设此时AD与BE交于点O； 当AD最长时，△BDE是等边三角形，边长为， 则， ∵AD⊥BE，∠ABE=45°， ∴∠ABE=∠OAB=45°， ∴OA=OB． 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 方法2：如图，作DE⊥AC的延长线于点E， ∵∠ACB＝60°，DC⊥BC， ∴∠DCE=30°， 设CD=CB=x，AC=y，则DE=x，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴，且当时，等号成立， ∴ ， 当时，AD有最大值， 且， ∵， ∴△ABC为等边三角形， ∴当时，， 又， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，30°的直角三角形的性质，不等式的性质，垂径定理，圆周角定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25．（2025·江苏南京·一模）（文化背景）（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 【答案】（1）8；（2）最小值为米． 【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答． （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， 作点关于的对称点，连接， 则， 连接，，， 则， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米， ， ，即， ，， ， ， ， 米， 点在以点为圆心，半径为米的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ， ， 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ， 在中，米， 米， 点与关于对称， ， ，， 四边形，四边形，四边形都是矩形， 米， 在中，，又， ， ， 在中，米， 米， ， 米， ， ， ， 在中，米， 米， 在矩形中，米，米， 点与关于对称， 米， 米， 在中，米， ， 即的最小值为米． 【点睛】本题考查最短路径问题，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等．掌握最短路径中的将军饮马问题，瓜豆原理是解题的关键． 26．（2024·江苏南京·一模）几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系… 在 中，P是上一点，点E 在直线的上方，连接，，，探究下列问题： 【认识模型】 （1）如图①，， ①连接，求证：； ②与满足的数量关系为　　　　； 【运用模型】 （2）已知，D 是的中点，且， ①如图②，若P是的中点，连接，求证：； ②若 ，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）①见解析；②的最小值为 【分析】（1）①由相似三角形的性质可知，，得，，即可证明结论； ②根据相似三角形的性质可知，，再结合三角形的内角和定理即可得结论； （2）①先证，得，由中位线定理及斜边上中线等于斜边得一半可得，，则，，再根据相似三角形的性质可知，，进而可得，即可证明结论； ②过点作交于点，连接，根据相似可得，，进而可得，则四点共圆，得出，进而得出，在为半径的圆上，过点作于点，结合已知条件得出，，根据，即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴； ∴， ∵是的中点，是的中点，， ∴，， 则，， ∵， ∴，， 则， ∴； ②如图所示，过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在为半径的圆上，过点作于点， ∵D 是的中点，， ∴，， ∴，． ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，求一个点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 27．（2024·江苏南京·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】 (1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________； (2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】 (3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】 (4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析． (4) 【分析】（1）可证明，即可得到答案． （2）可证明，即可得到答案． （3）过点作的垂线，交于点，可得到，然后证明，可得，问题即可得证． （4）过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点，连接．可先证，得到的长度，进而求得，，的长度．根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，可知，当时，取得最小值，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，． ． ， ． ． 在和中， ． ． ． 故答案为：． （2）解：四边形为长方形， ． ， ． ． 又， ． ． 故答案为：． （3）解：如图，过点作的垂线，交于点．    由题意知四边形为矩形， ，． ． ， ． ． 又， ． 又， ． ． ． ． （4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点为，连接，连接．    由轴对称图形的性质可知，. ，， ． 又， ． 又， ． ． ． ． ． ． ． 根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，且． , 即， 当时，取得最小值． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形的性质等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键． 28．（2022·江苏南京·一模）（新情境）问题情境：如图1，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B． (1)探究证明：如图2，在上任取一点C(不与点A，B重合)，连接，求证：； (2)直接应用：如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，则的最小值是 ． (3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形中，，M是的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值为 ． (4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点，点，分别以1，2为半径作、，M，N分别是，上的动点，直接写出的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)7 【分析】(1)在中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证； (2)连接交于点P，根据勾股定理求得，进而求得； (3)的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接，求得，进而求得的最小值； (4)作点A关于x轴的对称点C，连接交x轴于点P，求出的长，进而求得的最小值． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接OA，交半于点P， ， 在中， ， ∴， 的最小值是， 故答案是：； （3）解：如图3，连接、，交于点， ∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ∵M是的中点，的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆， ，， ， ∴， 长度的最小值为， 故答案为：； （4）解：如图4，作点A关于x轴的对称点C，连接，交x轴于点P，交于点N，连接PA交于M， ， ， ∵点，点， ∴点， ， ∵分别以1，2为半径作、， ，， ， 故答案是：7． 【点睛】本题考查了轴对称性质，圆的定义与性质，勾股定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型． 29．（2024·江苏南京·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为_____．    【答案】①的值不变，为；②或；（2）24 【分析】 （1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可；②分两种情形：如图中，当点E在线段上时，如图中，当点E在的延长线上时，分别求出，可得结论； （2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论． 【详解】解：（1）①的值不变，理由如下： 如图2中，连接．    ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵在图1中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 如图中，当点E在的延长线上时，同法可得，    ∴， 综上所述，的长为或． （2）如图3中，连接，过点G作于点H．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆， 当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值， ∴的面积的最大值为16， ∴四边形的面积的最大值． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 30．（2024·江苏南京·二模）（文化背景）在中 ，是边上的中线，是边上的中线，、交于点． (1)求证：点在边的中线上． 如图①，连接 并延长，与交于点，连接 ，与交于点．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格； (2)当 时， ①如图②，连接，求 证 ：； ②若 ， 则面积的最大值为______． (3)如图③，已知线段、，求作，使 ，，且 ， （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)①；②；③ (2)①见解析；② (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，中位线的性质； （1）根据相似三角形的性质与判定填写即可求解； （2）①并延长交 于点，连接．证明，进而可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证； ②根据①的结论可得，当时，面积最大，根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由为定长，为中点，为的中点，为的中点，则的长为，根据则点在直径为的圆上，确定点的位置，进而确定点的位置，即可求解． 【详解】（1）①；②；③ （2）①连接并延长交 于点，连接． 由（1）可知，在 边的中线上，即是边上的中线． 、是、边的中点， 是的中位线， ，． ，． ． ． 在中，，是 的中点， ． ． ②由①可得， ∴ 当时，面积最大，最大值为 （3）作法： 1．作线段； 2．作的垂直平分线，交于点；作 的垂直平分线，交于点；以为直径作； 3．以点为圆心，为半径作弧，交于点 ； 连接并延长至点，使；连接，则即为所求． 理由如下，如图所示，连接， 根据作图可得，是的直径， ∴ 由分别为的中点， ∴ ∴； ∴即为所求． 题型三 图形变换问题 31．（2024·江苏南京·二模）如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，正多边形和圆，理解旋转的性质是正确解答的关键．根据旋转的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：将，即将①绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将②绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将③绕着的中点，逆时针旋转与重合； 将，即将④绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将⑤绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 即图中①，②，③，④，⑤可以通过1次旋转与重合， 故选：D． 32．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　） A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④ 【答案】C 【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P作于E，过D作于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；④作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值；再由，，，可得的最小值，即可得解． 【详解】解：①∵线段在边上运动，， ∴， ∴与不可能相等，故①正确； ②设， ∵，， ∴，即， 假设相似， ∵， ∴，即， ∴，解得或（经检验是原方程的根）， 又∵， ∴解得的或符合题意， 即与可能相似，故②正确； ③如图，过P作于E，过D作于F， 设， 由，，得，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴四边形面积为：， 又∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为：， 即四边形面积最大值为，故③正确； ④如图，作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取， 此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值 ∴，， 且， ∴，， 在中，，， ∴， 在中， 由勾股定理可得，， ∴四边形的周长为： ，故④错误， 故选：C． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 33．（2023·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴由旋转的性质可得，， 即， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意， 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 34．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与轴对称，旋转变换，中点坐标公式，掌握待定系数法求一次函数的解析式以及几何变换是解题的关键． 根据题意得，连接，由旋转可知，绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，从而可求出点，进而可得直线m表达式为，联立直线m与直线l，可得交点，的中点，的中点坐标，则过两点的解析式即为直线的表达式，则过两点的解析式即为直线的表达式，由此即可求解． 【详解】解：设直线与轴交于点，令，则，令，则，如下图所示，，连接， ∵绕点逆时针旋转得到直线，则， 相当于绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作延长线于点，延长交轴于点，过点作延长线于点，则四边形是矩形，，，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，则， ∴，，则， 同理，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 设直线表达式为，代入两点坐标， ∴， 解得， 故直线表达式为， 如图所示，设直线与直线的交点为，连接，设与对称轴直线交于点， 联立直线与直线，得， 解得，即直线与直线的交点坐标为， ∵， ∴，即的中点为， 同理，的中点坐标为，即， ∵将直线沿直线翻折与直线重合，如图所示， ∴直线经过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， 即， 解得， 即直线的函数表达式为； 当对称轴为直线时，直线过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为； 综上所述，直线的函数表达式为或， 故答案为：或． 35．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】 【分析】解法一：过点C作，交的延长线于点F，由平行四边形的性质可得，，，由平角的定义，利用含30度角的直角三角形性质得， ，由平行线的性质得，，由折叠可知，，于是可通过证明，得到，再利用勾股定理求得，则． 解法二：过点B作于点F，过点C作于点G，由题意易得，在中，， ，由折叠可知，由平行线的性质可得，进而得到，于是为直角三角形，， ，易证，由相似三角形的性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】解：解法一：如图，过点C作，交的延长线于点F， ∵四边形为平行四边形，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ， 解法二：当点恰好落在上时，如图，过点B作于点F，过点C作于点G， ∵四边形为平行四边形，， ，， ， ， 在中， ，， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，即， 为等腰三角形，， ， ， ，， ， ∴，即， ， 设， ， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， ， ） 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 36．（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，由正方形可得，，由折叠可得，，由等腰三角形可得或，分两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于，延长交于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴等于或， 故答案为：或． 37．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点在边上，且，点在边上，把沿折叠，若点恰好落在边上，则的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了菱形及其折叠问题，解直角三角形．作出如图的辅助线，求得，设，，在中，由勾股定理列式计算求得或，当时，点重合，此时；当时，中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：过点分别作的垂线，连接，如图， 则四边形都是矩形， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， 整理得， 解得或， 当时，点重合，此时； 当时，中，，， 由勾股定理得， 解得， 综上，的长为4或． 故答案为：4或． 38．（2024·江苏南京·二模）如图，在矩形中，，点在上，的平分线交于点．若，则 ．    【答案】9 【分析】延长，交于点，易得为等腰三角形，得到，设，则：，，证明，求出的长，进而得到的长，在中，勾股定理求出的长，利用，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：延长，交于点，    ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形和相似三角形． 39．（2024·江苏南京·一模）（新情境）如图①~⑧是课本上的折纸活动． 【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． (1)图③中的的形状是 ，图④的活动发现了定理“ ”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的的长是 ． 【新的发现】 (2)图⑧中，在第3次折后，点D落在点处，直接写出点的位置特点． 【换种折法】 (3)图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点． 【继续探索】 (4)如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由． 【答案】(1) 等腰三角形； 直角三角形斜边上的中点是斜边的一半 (2)点在上，且是的中点． (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据等角对等边即可求解；根据翻折性质即可求解；先证明，得到即可求解； （2）由翻折性质即可求出； （3）证明，由相似的性质即可求解； （4）由翻折性质即可求出． 【详解】（1）解：等腰三角形； 如图所示， 由翻折性质可得： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；．                                    直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如图所示： 由翻折性质可得：，， ∴， ∴， ∴发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：点在上，且是的中点． （3）解：设，，由题意，得，，． ∵为直角三角形，， ∴， ∴．解得，                     ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得。 ∴P为CD的三等分点． （4）解：如图①， P为的三等分点．折叠正方形纸片，使点B与点P重合，折痕为，点A落在点处，与交于点Q，则Q为的五等分点． 理由：设，在中，根据勾股定理，易得．易证，可得．所以Q是的五等分点． 【点睛】本题考查了几何问题，难度较大，灵活运用所学知识是解题关键． 40．（2023·江苏南京·一模）（新情境）解题的经验可以不断迁移． (1)如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将ΔAOB绕点A旋转到ΔAPC．） (2)在图②中用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） (3)如图③，直线．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，可以证明△AOP为等边三角形，OP=OA=3，根据旋转可知，PC=OB=4，可以证明△OPC为直角三角形，得出的度数，即可得出的度数； （2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，以AB长为半径画弧，与中间圆交于一点C，连接BC、AC即可； （3）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，以AB长为半径画弧，与中间圆交于一点C，连接BC、AC即可． 【详解】（1）解：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，如图所示： 根据旋转可知，，，， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形， ， ， ． （2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径的长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，以AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC、AC，则为所求作的三角形，如图所示： （3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD的长为半径画弧，交于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了复杂的尺规作图，等边三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握基本的作图和旋转的性质是解题的关键． 41．（2024·江苏南京·三模）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．    (1)求证； (2)连接，当与的比值为_______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质以及矩形的性质，得，，，由此得到，，，证明，即可得到； （2）由（1）得，由旋转得，故，又，故四边形是平行四边形，若四边形是菱形，则，为等边三角形，故，，利用即可求解． 【详解】（1）证明： 将矩形绕点旋转得到矩形，根据旋转的性质以及矩形的性质， ，，， ， ， ， ， ． （2）解：连接如图所示，    由（1）， ， 由旋转得， ，又， 四边形是平行四边形， 若四边形是菱形， 则， 为等边三角形， ， 四边形为矩形， ， ， ， ． 42．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B． (1)求直线对应的函数表达式； (2)将直线______可以得到函数的图像．（填写所有正确的序号） ①向右平移6个单位长度； ②向下平移6个单位长度； ③绕点按逆时针方向旋转； ④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 【答案】(1) (2)②③④ 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键． （1）求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）分别求得变换后的函数解析式判断即可． 【详解】（1）解：将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， 直线的解析式为； （2）①将直线向右平移6个单位长度得到； ②将直线向下平移6个单位长度得到； ③将直线绕点按逆时针方向旋转得到； ④将直线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到； ∴②③④正确． 43．（2023·江苏南京·一模）如图，，． (1)求证； (2)若将△ADB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 （写出图形的形状）； (3)若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程． 【答案】(1)证明见详解 (2)矩形 (3)方法一，将以点B为旋转中心，逆时针旋转，当BD与BC重合时，所形成的三角形为等腰三角形；方法二，将以点A为旋转中心，顺时针旋转，当AD与AC重合时，所形成的三角形为等腰三角形． 【分析】（1）由可知与均为直角三角形，又因为、，借助HL证明两三角形全等，进而证明； （2）作出线段AB的垂直平分线MN，再根据轴对称变换将△ADB沿MN翻折，即可知最终图形的形状； （3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，则有两种变化方法，将以点B为旋转中心，逆时针旋转，当BD与BC重合时，或是将以点A为旋转中心，顺时针旋转，当AD与AC重合时，所形成的三角形为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴在与中， ， ∴（HL） ∴； （2）解：如下图，作出线段AB的垂直平分线MN，再根据轴对称变换将△ADB沿MN翻折，变换后的图形为四边形，由题意及翻折变换可知， ，，， ∴， 又∵ ∴，即， ∴四边形为矩形； 故答案为：矩形； （3）解：若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，则有两种变化方法， ①方法一，如图1，将以点B为旋转中心，逆时针旋转，当BD与BC重合时， ∵， ∴此时A、C、三点共线， 又∵， ∴为等腰三角形，即此时形成的三角形为等腰三角形； ②方法二，如图2，将以点A为旋转中心，顺时针旋转，当AD与AC重合时， ∵， ∴此时B、C、三点共线， 又∵， ∴为等腰三角形，即此时形成的三角形为等腰三角形； 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形、图形翻折变换和旋转变换等知识，解题关键是利用图形翻折变换和旋转变换后的全等关系分析求解． 44．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质，解直角三角形，角平分线的性质，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，求出，解直角三角形得到，由折叠的性质和角平分线的性质得到，则可根据等面积法求出的长，再解即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，    ∵， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 45．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且，在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 ． 【答案】3或4 【分析】本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，延长，作点E关于的对称点，连接，交于点，连接、，以为直径作圆交于点、， 由矩形的性质可得， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 当时， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴，即图中圆的直径为5， 作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴此时图中所作圆的圆心到的距离为，等于所作圆的半径，和重合， 此时，， ∴， 即当时，符合条件的F有2个，为，； 当时，图中所作圆和相离，此时和不存在了，即此时符合条件的只有个，为， 当时， 当时， 要使，需，即， 解得或3， 当时， 要使，需，即， 解得，即当时，符合条件的F有2个； 当且时，由所作图形可知，符合条件的F有3个， 综上所述：当且时，有3个，当时，有2个，当时，有2个，当时，有个， 故答案为：3或． 46．（2024·江苏南京·一模）如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是证明和是相似三角形，此题难度不大． 作于M， 于N，先用勾股定理求出， 进而用等积法得到AM，利用三角函数及等腰三角形的性质求出，最后证明，得成比例的线段即可得到的长度． 【详解】解∶ 作于M， 于N， ， ， 矩形中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 47．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，将绕点A旋转，求旋转过程中线段的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用特殊位置，当在下方与相切时，的值最小；当在上方与相切时，的值最大，即可求解． 【详解】解：∵和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图，以A为圆心，为半径画圆， 当在下方与相切时，此时最小，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴是直角三角形， ∵斜边为定值， ∴最小时，最小， ∵， ∴， ∴； 如图，以A为圆心，为半径画圆， 当在上方与相切时，此时最大，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是直角三角形， ∵斜边为定值， ∴最大时，最大， ∵， ∴， ∴； 综上所述，旋转过程中线段的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用特殊位置求出的最大值和最小值是解题的关键． 48．（2024·江苏南京·三模）如图，将矩形绕点旋转，使点落在对角线上的处，延长交于点．若，，则的长为 ．    【答案】1 【分析】如图所示，连接，由矩形的性质和勾股定理得到，，，由旋转的性质得到，四边形是矩形，证明，则可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， 由旋转的性质可得，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，证明，利用等面积法求出的长是解题的关键． 49．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为 ．    【答案】12128 【分析】然后通过旋转发现，每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为12128． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 50．（2024·江苏南京·二模）如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据三角函数解直角三角形，折叠的性质等知识．先根据勾股定理求出，得到，根据折叠的性质得到，，进而求出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由题意得折叠得到， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：B 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押03 规律探究、几何最值等问题（选填压轴） 猜押考点 3年南京真题 考情分析 押题依据 规律探究题 2024年南京卷第题，2023年南京卷第16题； 从近三年的南京中考来看，规律探究、几何最值和图形的翻折、旋转、对称问题会出现在各题型的压轴题位置，主要考查学生对规律的把握、几何动点问题的解决思路以及图形变换的技巧等；整体难度中等，但需掌握此类题型的解决技巧，把握规律的类型和动点轨迹的运动方式即可； 此三类题型是以课本知识为主，辅以灵活的技巧和平时学过的解题方法巧妙结合在一起，综合考查学生的能力，也是考生拉开分差的题目；要想拿高分，需要多练习初中常见的规律类型题，牢记初中的动点轨迹只有两种：圆和直线；预计2025年中考此类题型依旧是压轴题出现，尤其是几何最值这一块的题型； 几何最值 2023年南京卷第6题； 图形变换 2024年南京卷第14题；2024年南京卷第16题；2023年南京卷第27题； 题型一 规律探究问题 1．（2024·江苏南京·二模）（新情境）小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（    ） A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元 2．（2024·江苏南京·三模）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ； (2)写出第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 3．（2024·江苏南京·二模）（新情境）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 4．（2024·江苏南京·二模）（新情境）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 5．（2024·江苏南京·一模）（文化背景）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，，，，……，则的值为（    ） A．1 B． C． D．10 6．（2023·江苏南京·二模）（文化背景）喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵； ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 7天后，小颖背诵的诗词最多为（    ）首． A．21 B．22 C．23 D．24 8．（2024·江苏南京·一模）（新情境）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 9．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2023秒结束时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2022江苏南京·一模）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ．    题型二 几何最值问题 11．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 12．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（　　）    A． B． C． D． 14．（2024·江苏南京·一模）如图，在菱形纸片中，，，分别剪出扇形和，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点在上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ． 16．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作，与边交于点，连接，则的最小值为 ． 17．（2024·江苏南京·模拟预测）（新情境）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 18．（2024·江苏南京·二模）如图，正方形边长为12，E为上一点，．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且．若和交于点F，连接，则的最小值为 ． 19．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为 ．    20．（2024·江苏南京·一模）如图，在中，，点D是边上一点，且，，则面积的最大值为 ． 21．（2024·江苏南京·一模）如图，在中，，是高，若，则的长的最小值为 ． 22．（2024·江苏南京·二模）如图，正方形中，，点E从点B运动到点C，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接，在点E运动的过程中，长的最小值为 ． 23．（2023·江苏南京·一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ． 24．（2023·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，，，，，则AD的长的最大值为 ． 25．（2025·江苏南京·一模）（文化背景）（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 26．（2024·江苏南京·一模）几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系… 在 中，P是上一点，点E 在直线的上方，连接，，，探究下列问题： 【认识模型】 （1）如图①，， ①连接，求证：； ②与满足的数量关系为　　　　； 【运用模型】 （2）已知，D 是的中点，且， ①如图②，若P是的中点，连接，求证：； ②若 ，当点P在上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出的长的最小值． 27．（2024·江苏南京·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】 (1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________； (2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】 (3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】 (4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 28．（2022·江苏南京·一模）（新情境）问题情境：如图1，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B． (1)探究证明：如图2，在上任取一点C(不与点A，B重合)，连接，求证：； (2)直接应用：如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，则的最小值是 ． (3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形中，，M是的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值为 ． (4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点，点，分别以1，2为半径作、，M，N分别是，上的动点，直接写出的最小值为 ． 29．（2024·江苏南京·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为_____．    30．（2024·江苏南京·二模）（文化背景）在中 ，是边上的中线，是边上的中线，、交于点． (1)求证：点在边的中线上． 如图①，连接 并延长，与交于点，连接 ，与交于点．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格； (2)当 时， ①如图②，连接，求 证 ：； ②若 ， 则面积的最大值为______． (3)如图③，已知线段、，求作，使 ，，且 ， （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 题型三 图形变换问题 31．（2024·江苏南京·二模）如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　） A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④ 33．（2023·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 35．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 36．（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ． 37．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点在边上，且，点在边上，把沿折叠，若点恰好落在边上，则的长为 ． 38．（2024·江苏南京·二模）如图，在矩形中，，点在上，的平分线交于点．若，则 ．    39．（2024·江苏南京·一模）（新情境）如图①~⑧是课本上的折纸活动． 【重温旧知】 上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③和⑧；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥． (1)图③中的的形状是 ，图④的活动发现了定理“ ”（注：填写定理完整的表述），图⑤中的的长是 ． 【新的发现】 (2)图⑧中，在第3次折后，点D落在点处，直接写出点的位置特点． 【换种折法】 (3)图⑧中，在第1次折后，再次折叠，如图⑨，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点． 【继续探索】 (4)如何折叠正方形纸片ABCD得到边AD的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由． 40．（2023·江苏南京·一模）（新情境）解题的经验可以不断迁移． (1)如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将ΔAOB绕点A旋转到ΔAPC．） (2)在图②中用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） (3)如图③，直线．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 41．（2024·江苏南京·三模）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．    (1)求证； (2)连接，当与的比值为_______时，四边形是菱形． 42．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B． (1)求直线对应的函数表达式； (2)将直线______可以得到函数的图像．（填写所有正确的序号） ①向右平移6个单位长度； ②向下平移6个单位长度； ③绕点按逆时针方向旋转； ④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度． 43．（2023·江苏南京·一模）如图，，． (1)求证； (2)若将△ADB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 （写出图形的形状）； (3)若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程． 44．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的处，则折痕的长为 ．    45．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且，在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 ． 46．（2024·江苏南京·一模）如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为 ． 47．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，将绕点A旋转，求旋转过程中线段的取值范围 ． 48．（2024·江苏南京·三模）如图，将矩形绕点旋转，使点落在对角线上的处，延长交于点．若，，则的长为 ．    49．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为 ．    50．（2024·江苏南京·二模）如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是（　　） A． B． C． D． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$