重难点06 二次函数与几何综合题-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

重难点06 二次函数与几何综合题 （1考点+6种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 二次函数综合题是广东省中考历年的出题重点区域，也是出压轴题的重点知识，是全国各个地区中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、覆盖面广、综合性强、题意构思巧、解题方法多等特点，对学生分析问题和解决问题的能力要求很高。二次函数往往与几何知识结合在一起，形成一个综合性很强的问题。 考点一 二次函数与几何综合问题 题型01 线段（周长）问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求P点坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 题型02 面积问题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标． （3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式； (3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 题型03 角度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，与直线交于，两点．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若在第一象限的抛物线上有一点E，连接，求四边形面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 特殊三角形问题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．    (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求证：是直角三角形； (3)在轴是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 题型05 特殊四边形问题 1．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线：与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与轴交于，两点（在的右侧），顶点的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点在轴上，则在抛物线或上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型06 相似三角形问题 1．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过两点，．过点作轴，交抛物线于点，交轴于点．    (1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标； (2)若抛物线上存在点M，使得的面积为，求出点M的坐标； (3)连接、、、，在坐标平面内，求使得与相似（边与边对应）的点的坐标． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$重难点06 二次函数与几何综合题 （1考点+6种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 二次函数综合题是广东省中考历年的出题重点区域，也是出压轴题的重点知识，是全国各个地区中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、覆盖面广、综合性强、题意构思巧、解题方法多等特点，对学生分析问题和解决问题的能力要求很高。二次函数往往与几何知识结合在一起，形成一个综合性很强的问题。 考点一 二次函数与几何综合问题 题型01 线段（周长）问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求P点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3）用函数关系表示，是本题解题的关键． （1），即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，把点C的坐标代入即可求解； （3）先求直线解析式，然后求出，设，则可求，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， 故点、的坐标分别为、； （2）解：抛物线的表达式为：， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：直线过点，设其函数表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：， 故直线的表达式为：， 过点作轴的平行线交于点， ， ， 轴， ， 设点， 则点， ， ， 有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 题型02 面积问题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6），同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6），求出点P的坐标，进而求解； （3）当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，用解直角三角形的方法求出CQ，即可求解；点Q（Q′）在点C下方时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3， 该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝4，即顶点坐标为：（﹣1，4）； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点P1（m，m2+2m﹣3）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，则点E（m，m+3）， 同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（﹣m﹣3）x+m+3， 连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，则点D（0，m+3）， 则S1P1E×OA3×（m+3﹣m2﹣2m+3）（﹣m2﹣m+6）， 同理可得：S2CD×（xB﹣xP）（3﹣m﹣3）×（1﹣m）S1（﹣m2﹣m+6）， 解得：m（舍去）或， 即点P（，2）； 则△ABP的面积AB×yP（1+3）×24； （3）存在，理由： 由（2）知，P（，2）； 由点C、P的坐标得，PC＝3； 当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°， 由点C、P的坐标得，tan∠PCQ＝2， 过点Q作QH⊥PC于点H， 设CH＝（2）x，则PH＝QH＝x， 则PC＝3（2）x+x， 解得：x， 则QH＝x，CH（2）， 则CQ22， 则OQ＝3+22＝21， 即点Q（0，21）； 当点Q（Q′）在点C下方时， 同理可得：CQ′＝6﹣2， 则点Q′（0，23）； 综上，Q（0，21）或（0，23）． 2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标． （3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入解析式中，求出a和b的值，得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3，PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，根据PE＝2ED，得出﹣m2+3m＝2（﹣m+3），解得m1＝2，m2＝3（不合题意舍去），得出m＝2，得到P（2，3）； （3）设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），PQ＝﹣n2+3n，先求出，得出最大值，再证明△CPQ∽△ACB，得出∠BCP＝∠CAB，得到． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3， ∵PD⊥x轴于点D， ∴E（m，﹣m+3），D（m，0）， ∴DE＝﹣m+3， ∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵PE＝2ED， ∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3）， 解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去）， ∴m＝2， ∴P（2，3）； （3）∵PF∥AC， ∴△ACG∽△PFG， ∴， ∴，， ∴， 作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q， ∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC， ∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b′， 将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b′，得：0＝﹣（﹣1）+b′， 解得：b′＝﹣1， ∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1， 当x＝0时，yN＝﹣1， ∴N（0，﹣1）， ∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4， ∵AN∥BC，PQ∥y， ∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF， ∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN， ∴∠FPQ＝∠ACN， ∴△CAN∽△PFQ， ∴， 设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3）， ∴PQ＝﹣n2+3n， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， ∴，， ∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠ANC＝45°， ∵∠ANC＝∠PQF， ∴∠OBC＝∠PQF， ∵，AB＝4， ∴， ∴， ∴△CPQ∽△ACB， ∴∠BCP＝∠CAB， ∵， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式； (3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出直线的解析式，求出点坐标，联立两个解析式求出点的横坐标，根据角平分线结合平行线的性质，推出，列出方程进行求解，即可； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，推出，进而推出过点作轴，过点作轴，作，证明，推出同法（2）设出直线解析式，联立解析式求出两点的横坐标，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设所求抛物线解析式为，当时，，即： ∴， 解得， 故所求抛物线解析式为． （2）∵， 当时，有， 解得， ， 由（1）可知：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得 直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 联立得，， 平分， ， 又轴， ， ∴， 过点作轴，则：， ∵， ， ， 解得， 直线的解析式为． （3），，，为同高三角形， ， ∴， 过点作轴，过点作轴，作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）设直线的解析式， 由得，， 由得，， ，即， ，解得或（舍）， ， 当时，， ． 题型03 角度问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)点横坐标为或 (3)存在， (4)存在，到轴的距离为 【分析】（1），，把，两点坐标代入即可求解； （2）过点作的平行线交抛物线左侧于点，可求直线的解析式为， ，即可求解；作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，同理可求； （3）设，由，即可求解； （4）过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于，可求， ，可证，可求，从而可求，过作轴，交轴于，可求，直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：； ，， 把，两点坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，过点作的平行线交抛物线左侧于点，此时   是的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， 作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，此时 同理可求直线的解析式：， 令， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴点横坐标为或． （3）解：存在，理由如下： 设， 又∵，， ∴， ， ， ， ， 即： 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． （4）解：存在， 如图，过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于．   ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ∴， ， ， 过作轴，交轴于， ， ， ， ， ，，   ， 设直线解析式为，则有 ， 解得： ， 直线解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴到轴的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握求法，判定方法及性质是解题的关键． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，与直线交于，两点．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若在第一象限的抛物线上有一点E，连接，求四边形面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的函数解析式为； (2)四边形面积的最大值为； (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设，利用列式，根据二次函数的性质即可求解； （3）求得直线的解析式，当时，分两种情况讨论，当点P在x轴下方时，当点P在x轴上方时，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）解：∵， ∴， 设，    ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为； （3）解：∵在抛物线上，则， ∵，在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴于点F，则，，， ∴， 当时，分两种情况讨论， 当点P在x轴下方时，即，交y轴于点G，    ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 解方程，得（舍去），或， 当时，， ∴点P的坐标为； 当点P在x轴上方时， 交y轴于点H， ∵， ∴点H与点G关于x轴对称， ∴，∴点H的坐标为； 同理，可得直线的解析式为， 解方程，得（舍去），或， 当时，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题型，涉及待定系数法求解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型04 特殊三角形问题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 2．已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．    (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求证：是直角三角形； (3)在轴是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，点坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用； （1）将、，代入二次函数，求得、的值即可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段、、的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）分，，三种情况讨论．根据等腰三角形的性质，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点、， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）由得，点坐标为， 与轴交于另一点， 令，，解得或， ，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （3）∵点坐标为，点， ∴， 如图，当时，则点或；      当时，过点作轴， ，， 点， 当时， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为或或或． 题型05 特殊四边形问题 1．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答． （2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答． （3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设二次函数为， 再把代入， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， 结合图象，得出， 把，分别代入， 得， ∴， 则； （2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴ 结合图象， 四边形的面积 ； （3）解：或或或或 过程如下： 依题意，设， 当为对角线时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 综上：或或或或． 2．如图，已知抛物线：与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与轴交于，两点（在的右侧），顶点的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点在轴上，则在抛物线或上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)满足条件的点的坐标为或，或，或或 【分析】（1）令或，解方程可得结论； （2）设平移后的抛物线的解析式为，如图1中，过点作于，连接，．构建方程组解决问题即可； （3）观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．分别令和等于3或，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，令，得到，解得或1， ，， 令，得到， ； （2）解：设平移后的抛物线的解析式为， 如图1中，过点作于，连接． 是抛物线的顶点， ，， ，， ， ， ， 又，经过， ， 解得或1（不合题意舍弃），， ，； （3）解：如图2中， 观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形． 对于，令，， 解得或，可得， 令，则， 解得，可得，，，， 对于，令，方程无解， 令，则， 解得或4，可得，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 题型06 相似三角形问题 1．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，N点，其坐标为或或或 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标； （2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，得出和为等腰直角三角形,进而可得出,即可得到答案； （3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出的长度，当和相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标． 【详解】（1）∵顶点A的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， 联立抛物线和直线解析式可得， 解得或， ∴，； （2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点， 则，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，即， ∴是直角三角形； （3）存在，点N的坐标为或或或，理由如下： 假设存在满足条件的点N， 设，则， ∴，， 由（2）在和中，可分别求得，， ∵轴于点N， ∴， ∴当和相似时有或， ①当时，则有，即， ∵当时，M、O、N不能构成三角形， ∴， ∴，即， 解得或，此时N点坐标为或； ②当时，则有，即． ∴， 即，解得或，此时N点坐标为或． 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度稍大． 2．如图，抛物线经过两点，．过点作轴，交抛物线于点，交轴于点．    (1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标； (2)若抛物线上存在点M，使得的面积为，求出点M的坐标； (3)连接、、、，在坐标平面内，求使得与相似（边与边对应）的点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为：，，，； (3)点的坐标是，，，． 【分析】（1）把，代入求得抛物线的函数表达式为，由于轴，设．于是得到方程，即可得到结论； （2）设边上的高为，根据已知条件得到，点即为抛物线上到的距离为2的点，于是得到的纵坐标为0或4，令，或令，解方程即可得到结论； （3）解直角三角形得到，，，，；①如图1，当时，求得，过作轴于，根据三角函数的定义得到，，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到，过作轴于，过作轴的平行线交的延长线于解直角三角形得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， 故抛物线的函数表达式为， ∵轴， 设． ，解得：或， ， ∴； （2）解：设边上的高为， ， ， ，点即为抛物线上到的距离为2的点， 的纵坐标为0或4，令， 解得：，， ，， 令， 解得：，， ，， 综上所述：点的坐标为：，，，； （3）解：，，，， ，，， ，， ①如图1，    当时，，， ， 过作轴于， ， 在中，， ，， 同理可得； ②如图2，    当时，，， ， 过作轴于，过作轴的平行线交的延长线于， ， ， ， ，， ，同理， 综上所述：使得与相似（边与边对应）的点的坐标是，，，． 【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． $$